专题4.4 等差数列的概念（重难点题型检测）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题4.4等差数列的概念（重难点题型检测）x*m*r一.选IMK（共8小愚，满分24分，每小J1.3分）1. （3分（2022北京朝阳高二期末）-2与一8的等差中项是（A.-5B.-4C.4D.5【解腮思路】代入等差中项公式即可解决.【解答过程】-2与-8的等差中项足宁=-5.故选：A.2. （3分）（2022,陕西,高二期中（理）在等号数列g中,2=2,10=18.则（%1.的公差为（）A.IB.2C.3D.4【解题思路】根据等点数列的定义,列出方程,解之即可.【解答过程】设SJ的公差为乩则5+d=2,at+9d=18,解得d=2.故选：B.3. （3分）（2022江西H.阶段练习（文）已知数列a1.1.满足力=3,r,+1=n+2向TrF+I.WUa10=）A.80B.I（X）C.120D.143【解即思路】根据与=11+2、GTK+1.可得+1=（H711+1）.从而可证价数列"711）是等十数列,从而可求解数列,J的辿项，即可巴解.【解答过程】解：因为金+1=斯+2辰?1+3所以a”.1+1=（Ja+if+2jat1.+1+1.即at+1=（Ja）+1+1）2.等式两边开方可得：Jaj1.+1+1=JJ711,+1即JanH+1-11711=1，所以数列（何万1是以首项为VGT不I=2,公差为I的等基数列，所以Jan+】=2+（n-1）×1=n+1,所以a”=n'+2n.所以如。=IO2+20=120.故选：C.4. （3分）（2O22全国高三专题练习）已知数列SJ满足a1=：,a+=e7,则的。22=（2aM÷*ab7c-d-【裤四思路】根执数列的递推关系,利用取倒数法进行传化，构造等H数列,求出逋项公式即可.【解答过程】因为即“=三所以J-二=1.%MOnin又叫=；,故三=2.12«1所以数列6是杵项为2,公差为I的等差数列，所以=n+1.,所以的=土，2022=-=-.f*4U4414U4J故选：D.5. (3分)(2022全叫高二课时练习)现有下列命即：若a”=,.1+11(n2),则数列a1.t是等基数列：若对“一如=n,则数列g是等差数列：若“1.1.=E+CC是常量),则数列1.1.)是等差数列.其中真命题有().A.O个B-I个C.2个D.3个【解即思路】由等½列的定义即可得出结论.【解答过程】1.1.n=n.1+n(n>2).ft)an-an.1=r,满足等差数列的定义,故正确：ag-a1.1.=n.n不是常数不满足等差数列的定义,故饰以：an=bn+c.an-=fe(n-1)+c=h11+c-b.arj-的-i=。，满足等差数列的定义，故正确.故选：C.6.(3分)(2022全国高：课时练习)在等差数列5,3%2,-%的饵相邻两项中插入一个数，使之成为一个新的等差数列,则新的数列的通项公式为()A.an=n-三B.an=-5-(n-1)C.an5-(n1)D.an=11z-3n【解题思路】自接利用公式法求出通项公式即可.【解答过程】因为新的等差数列的公差d=i×(-3+5)=;.所以%=5+S1)X：=一弓.故选A.7.(3分2022喷州海三期中(史己知数列an满足；a1=3,n2时，a=(an,1+1+1)-1,则关于数列SJ说法错误的跄()B.数列aj为递增数列C.数列r1.为周期数列D.an=n2+2n【解阳出路】利用数列的速推关系推出麻口=n-+I+1所以数列内ki是以GT=2为首项I为公差的等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误.【解答过程】W:由题感得；（辰口）2=（辰KT+I）?，即"Tn=JanT+1+1.所以数列而不可是以G11=2为首项1为公差的等差数列.所以Jan+1=n+1,所以j1.=nZ+2n,故D对.所以%=8.故A对，函数y=+2,（.x>-1.f1.r.单调递增.故1.1.=M+2n是单调递增数列，故B正确.C情诺.故选：C.8.（3分）（2022江苏连云港高二期末）RH是第七届国际数学教Ief大会（Sj1.CME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连申直角三角形演化而成的，其中。4=&&=“=人渊8=1.如果把图2中的直角三角形继续作下去，记O4,OA2,，QAn的长侬构成的数列为4,由此数列的【解也思路】田几何关系得a”2=W+1.,%=1即可求出警差数列Stt2）的通项,从而求得S（I*打通项.【解答过程】由题点知，OA1=Ax2=A2Ai='=A1a=1,H.OA1A2,OA2A3。必必都是宜角三角形，所以%=1.I1.a1.t2=a1.i+1.所以数列Sn2）是以1为苜顶.I为公差的等差数列，所以2=1+（n-1）×1=n.由1.t>。n4=fi.故选：B.二.多选JB（共4小愚，清分16分，每小04分）9.（4分）（2022.全国高二课时练习）设X足。与的等差中项，M是t1.z与>2的等龙中项,则“与/,的关系为（）a=bB.a=3bC.a=bD.=-3b【解即思路】利用等茏中项求解【解答过程】由等差中项的定义知X=等./=7所以？=（z）,即苏2ab3b2=0»所以（。+b）（a-3b）=0,故=或=3b.故选：AB.1（）.（4分）（2023.全国高三专题练习）在数列1.1.中1=3,且对任意大于1的正整数n.点（周,疯二；）在直规-y-5=0上，则（）A.数列/是等差数列B.数列国是等差数列C.数列arj的通项公式为=3nD.数列J5；的通项公式为VG=3n【怦即思路】由点在比筏上可知数列Q是等差数列.由等差数列通项公式可求得向,推导可得册,从而可得各个选项的正误.解答过程】点Ja1.1.T）在自.线X-y-3=Ofc.ya-JaI1.-I=3, '数列匹是以风=卷为笛项5为公差的等若数列，B正确； =V3+3（n-1）=V3n,D正确：,r=3M，C错误； at,-OnT-3n2-3（n-I）2=6n-3,4）不是等差数列，A错误.故选：BD.11. （4分（2021江苏高二期中）已知等基数列$，下列结论一定正确的是（）A.若4+。2>0，则a2+%>。B.若。1+。2<0，则<+3<OC.若O<%<a2>则<h>JaIa3D.（a2-a1）（az-a3）O解密思路】根据等差数列的定义和通项公式,结分选本不等式，逐项判定，即可求【解答过程】对于A中，由+<>0又由%+。3=5+%+2d.因为公差d的正负不跑定，所以g+a3>O小一定成立,所以A不一定正确：对于B中.由上+<12<0，又由2+3=<h+2+2d,因为公差d的正负不确定，所以叼+。3<0不一定成立，所以B不一定正确：对于C中，因为OVa1.Va2,可得%>0口为=空.乂因为a1+。322(i(tj所以?JaIa3又由小<J3,所以等号不成立，即2>何砥，所以C正确.对于D中，由等基数列的定义知(2-a1)S2-a3)=dx(O=-d2O.所以D正确.故选：CD.12. (4分)(2022山东百岛高二期中)已知数列,J满足：at=2.an=2-.n=2.3.4a»-t则下列说法正确的是()A=fB.对任意nN.n41<az1.恒成立C.不存在正整数p,q,r使%,ar,成等差数列D,数列e为等差数列【解跑思路】首先判断D.根据数列的递推关系.通过D构造等是数列的定义,即可判断：根据等差数列的通项公式，得到数列a11的通项公式，再通过代入的方法，WABC.【解答过程】因为%=2-二一,(n2,nN,).所以a»i=2k(nW).t-1.f1.即atu-1=1-因为-1=10»所以=½-=+1.i-1%!-=1=1%.TOn-I<»1-1所以数列七是首项为1，公差为1的等差数列，即卷=n,19a1.,=1.+-,故D正确：ftA.as=1.+g=g,故A正确：B.a”+i-%,=(I+±)-(1+：)=-靛X<0所以a1.t.<a1.t,故B正确：C若存在正整数p.q.r使（ip.ar,dq成等差数列,则2,=%+（iq.即2+1=2+；+；.得：=；+；.令p=3,r=4,q=6,满足等式,所以C错误：故选：ABD.三.填空JI（共4小,清分16分，每小114分）13. （4分）（2022海南省高二期中己知等差数列%1中，2=2,a12=12,则由与a1的等差中项为【裤四思路】用基本ht%,d去示SS干条件，求如辿项公式,由。5加11的等度中项为4券代入计切即可.【解答过程】由题总，不妨设数列%的首项为a-公差为d,1.az=2,au=12-%臂H喇忆卜tta11=+（n-Dd=n.故as%的等差中顶为牛=8.故答案为：8.14. （4分）（2021北京神三阶段练习）已知数列&满足/+1.%=3（nejV,）>a2三1.则a$=10.【解咫思路】由a/-%=3,可得数列a,J为等差数列,公差d=3,结合%=a2+3d可得解【解答过程】他题急,an,t-an=3.故数列14为等差数列.公差d=3.,.as=a2+3d=1+9=10.故答案为：10.15. （4分（2O22全国高三专题练习）己知等差数列ar是递增数列，且处+0+&3,a?3a?S8,则a.的取Ift范围为（-4.111.【解时思路】数列%是他调递增数列,根据满足为+a2+a33.a7-3a3<8.可掰a?<1,O<d<5.a1>-4即可得出.【解答过程】等差数列<是递增数列,f1.a1+a2+a33.,.a21.rd>O.XVa7-3a38=a1+6（1-3（a1+2d）=-2a1.8.a1.4.O<d=a2-a15>a4=°+3d>-4.a4=a2+2d1+10=11,即内的取值范围为（一4,11）,故答案为（一4。16. （4分）（2022云潮玉溪模拟预测（埋>）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的洋解九章算术一书中的“杨辉三角形4520172018201920203579403540374039812168072807620286I48此次由若干个数字组成，从笫二行起，姆一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若饵行的第个数构成彳i方数列/，并且得到递推关系为册=2册_1+2时2,%=1.=（n+I）X2吁2.【蚱即思路】苜先在画的递推关系式两边器除以21.,嗤=舒十%进而构造出等差数列条再化简求位即可得到期的通项公式.【解答过程】解：有穷数列（,J递推关系为%=2n.1.+2n-2,01.=1：V2,=?-偿）足以汐首项.:为公差的等基数列,喙=渭(nT)=Xn+I).an=3Q=(n+Dx2f故答案为：（n+1.）x2n四.解答题共6小题，送分44分）17. （6分）C021.全国高二课时练习）已知数列册为等差数列，且公差为止<I)若。15=8,O60=20.440105Wtft:<2)若a2+a3+a+as=34.a2as=52.求公差d.【解毡思路】（1）H1.½j.根据等羌数列的通项公式建立方程组可求得数列的首项和公）3由此可求得答案:<2）界据等差数列的性质得2+的）=34.由此可褥%3,山等格数列的性质可求汨答案【解答过程】解：由题意得：；5啜；）解得_竺1!5.故(bos=5+104d=9+104X卷=32.所以小05=32.<2)I1.1.a2÷a3÷a4+as=34.得2(c+a§)=34a2÷<>$=17.瞰震我又畸X嘿:2d=?=誓=3*一号=T所以公屋d为3或一3.18. <6分）（2022福建拓二期中）<1）已知在递增的等差数列a1.t）中,a3a=SS,3+6=16.求/的通项公式：< 2）已知数列%中.a=Qn-a*=2a,g+r证明：数歹联足等差数列.【解时思路】（1）根据已知条件解方程组可褥（h=5,4=11,再列出关于4.d的方程组.求出a1,d,从而可求出通项公式：< 2）根据等差数的定义结合己知进行证明.【解答过程】（I）解：由H数列SJ通增，（。3十一1。汨%=5,a=11.设数列SiJ的公祭为d所以严：方=1，解他;=>（a1+5a=11Id=2所以a1.t=aj+（n-1）d=2n-1.（nN'）；< 2）证明：Wa=,-a1.t+t=2anan+j.所以工-1.=S=劲&U=2,at<a*n*ann*所以数列J是以2为首项，2为公差的等差数列.19. （8分）（2022上海高二期中）已知等差数列aj中,由<a2<a3<<时且<,%为方程/-Io+16=0的两个实盘.求此数列a,J的通攻公式：（2）268是不是此数列中的项？若是,是第多少项？若不是.说明理由.【解题思路】（I）根据堪为得到（h=2,a6=8,再利用等差数列的通项公式列方程,解得小-2.d2.然后写通项即可；<2）令268=2n-40N*）,解得n即可.【解答过程】（I）由已知条件得<=2,ab=3.又，/）为等基数列,设首项为由,公差为d,a1÷2d=2.a1+5d=8.解得出=-2.d=2.an=-2÷（n-1）×2=2n-4（nN）,，数列%1的通项公式为%=2n-4.<2)268=2n-4(nN).fin=136.268是此数列的第136凰20. （8分）（2022江西高三阶段练习（文）己知数列%1满足：1=1,Kon+1=-.求证：切是等差数列.并求应的通项公式：（2）是否存在正整数，”，使得如.=2.,+1.若存在.求出桁的（ft:若不存在说明理由.（7.路】根据题戢整理构六一（=一2.即J是等差数列,根出.：；，：战列未射；：心O把（1）中的通项公式代入为m=2am+1求解.注意，”应为正整数.【解答过程】（I）Ihatt.=,此1.=±-2.7i-：=-2又F=1.二数列）是以I为首项.-2为公差的等差数列：.=1.-2（n-1.）三-Zn+3a”<2)Va2nt=2an,+1.3-4mJ-ZfnW12m2-6m+3=0,解汨m=萼,不符合题叁二不存在正整数m.使得a2m=2an+1.21. （8分）（2022上海海二专SS练习无穷数列（a"满足：册+1册+3ar+册+4=。且S-2.<1）求证：（一三为等差数列：n*z（2）着g02i为数列如中的最小攻，求出的取值范附.【衅时思路】（I）利用递推公式证得舟-卷=1,根抠等差数列的定义即可得出结论：（2）由于数列；）是以I为公差的等差数列，所以苦j>0,则数列；是递增数列，所以数列（Jt1.*2f1.I*2H2H÷z-i-+2020<0无最大项.因此a1.1.中无技小项,tt-<0.然后结合题立即可知到，解不等式组即可求叫+2-J-+2021>0a1.+2出结果.【解答过程】（I）W>jan1.an+3an>1+an+4=0.Wan*tan=-3an,1-a,-4所以_21_<-af11m÷2-（an4i÷2Xan÷2）=<-nrF-2(%+*)+4._/.1-3j1.+1-y1.-4+2(an+n4)÷4g11"r÷1.f1.+%1=1,故数列卷是以I为公差的势差数列；<2)若7>0,则数列T是递增数列，所以数列；无景大项，因此a71中无以小项,故一三<0,(ZZ*+ZA÷2乂数列-½及递增数列，且出021为数列4中的呆小项，所以一H是数列中的最大负项，从而有n÷202D2142*,n*2一½<O-+2020<Oxw÷2K1.1.f1.r1.÷2t,ain40<1.,4043；,而-=-+n-1.½,J1.,解由<1<11>0321.÷21-2-+2021>O20201rtMM÷2O1.+2故a向取值范围为(-翳,-翳).22.(8分(2022四川省高-期中(理)己如数列a71是公差不为O的等差数列，a1=6-a3,aj=a2a14.(1)求数列att)的通项公式：(2)设数列九满足：bn=(an+1.)(an+3),请问是否存在正整数m,使出brn+8=61+2-4n+成立？若存在,请求出正整数m的值:若不存在,请说明理由.【解也思路】(1)根据已加条件及等差数列的等差中项,冉利川等方数列的遹项公式即可求解：(2)根据已颊条件及(D的结论,得出欲列1的通项公式,假设存在正整散m,使得+8=ftm+2-bm+1成立，由此列出关Fm的方程即可求斛.【解答过程】(I)VaI=6-a3.!a1+a3=6,Za2=6,Aa2=3.设等若数列(a1.t)的公差为d,(dw)则Vaj=a2-Qh>(三2+3d)2=a2(a2+12d).d2=2d.解得d=O(含)或d=2.'j=Oj-d=32=1,所以数列S"的通项公式为：an=1+(n-1)×2=2n-1.(neN*).(2)由(1)知，an2n-1.(nN*).所以bfi=(a,1.+1.)(a1.1.+3)=2n(2n+2)=4n(n+1).假设存在正整使得人+8=bmu-成立.即4m(m÷1)÷8=4(m+2)(m÷3)-4(m÷1.)(m+2).化陆整理,trn2-m-2=O.1.!(m-2)(rn+1)=0.解得m=2或m=-1(含).所以存在正整数m=2,使得b7n÷8=brn.z-皿立,