专题4.13 等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练（30道）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题4.13等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练(30道)【人教A版2019选择性必修第二册】姓名：班级：考号：1. (2022江苏南遹.将二期中)设容差数列*的前n项和为S1,已知/=IS,S5=45.(I)SRan1.着a1.1.为为与a2n7(n4.nN')的等比中项，求儿【解密思路】(1)由已知条件，列式后解方程组，求数列的首项和公差，再求通项公式：<2)首先由题意为冠=册_3。2时1，(n4,ne'),代入通项公式后求n.【解答过程】(1)设等基数列1%>公差为d.SS=5a1+d=45,解褥4+2d=9,116=a1+Sd=15.所以d=2.a,=5.an=a1+(n-1)×rf=Zn+3.<2)由题意:ns°n-3a2n-1.>(n4nen')jP(2n+3)z=(211-3)(4n+1).化简得：2n2-I1.n-6=0.解之行n=6述n=-g(含)，故n=6.2. (2022广东高二期中)已知等差数列SG满足,a1=10.Ha2+10.a3+8,a4+6成等比数列.(I)求数列a1.1.)的通攻公式；(2)若数列%的通项公式为垢=2".求数列SnbJ的1»“项和.【解曲思路】(I>设等势数列%的公空为乩由超遇可知到(a3+8)2=(a2+10)-(a4+6),化为基本At5和d的关系,即可求解：<2)根据惜位和减法求和即可.【解答过程】(I)等差数列a1.t)的首项5=10,公差设为d,Iha2+10.a3+8.a.+6成等比数列.WJ(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).8J(a1+2d+8)2=(a1+d+10)(a1+3d+6),即(18+2d)2=(20+d)(16+3d).解得d=2.所以a”=Oj+(n-1)d=2n+8.<2)1.1.½,anbn=(211+8)2n.设数列*%)的前n项和为二.则Stt=102,+122z+-+(2n+8)2n.2S11=1022+12-23+-+(2n+8)2n41.两式相然得-51.,三20+2(22+23+2n)-(2n+8)-2"】即-Sn=20+221.*b-(2n+8)2n+,.化简得$,=-16+(2n+7)-2"+,.3. (2022江西高三阶段练习(文)已知等差数列斯的前“项和为SttK26-S5=3.2S6-3aft(I)求at1.的通项公式：(2)若%=n2f求数列%的前“项和小.【解密出路】(I)设SC的公差为d,则由已知条件列方程祖可求出的,d,从而可求出通项公式：(2)由=(2n-3)×2-然后利用错位相战法可求出。.【解答过程】(I)设S(J的公差为乩A2(a1.+5d)-(5a1+d)=3(2(6a1+等d)-3(a1+7d)=9'化简幅3X-解明:所以数列att)的通项公式为a.=-1+(n-1)×2=2n-3.由三(2n-3)×2"-*.所以Ttt=(-1)X20+1X2+3X2?+(Zn-3)×2n-1.M2,=(-1)×21+1×22+3×23+(2n-3)×2n由一和-7；=(-1)+2×21+2×2z+-+2×2"1-(2n-3)×2"2×2i-2×2n,×2-(2n-3)×2n=-5+2"+,-(2n-3)×2"=-S-(211-S)×2n.所以数列¼1的前项和4=S+(2n-S)×2".4. (2022四川,高三期中)已知等差效列时和等比数列%满足处=瓦=1,a2+a410,b2bt=a5(1)求StJ的通项公式：(2)求和：bi+bi+½11-【裤即思路】（1）设等空数列a1.1.的公差为乩利用1=1.,<+4=1.。求出d.再由等差点列的通项公式计算可知答案：<2）设等比数列hn的公比为q,则奇数项构成公比为V的等比数列.利用2<=好=9求出、qz.可汨（b2r是公比为3,首项为1的等比数列，再出等比数列的前n项和公式计口可汨答案.【解答过程】（1）设等差数列%的公差为d,1.h1=1.a2+a4=10.可得：1.+d+1.+3d=10.耨得d=2.所以%的通项公式%=1+2（n-1）=2n-1；<2）设等比数列%的公比为q.则奇数项构成公比为独的等比数列,由可得a$=9,等比数列6满足比=1,b2%=虏=9,由于仇=1>0,可得=3（舍去bs=-3）,（等比数列奇数4符号相同），所以q2=W=3,则坛tt-J足公比为3,首项为1的等比数歹人瓦+8+%+ft-1.N-).5. （2022广东图二期中）已知数列aJ的前n项和为Sr,J1.5r,=n2+1«,递增的等比数列%满足：氏+6. =18.b2b3=32.（1）求数列4）、%的过项公式；（2）San,¼1.的前n项和分别为Sn,Tn,求Srj.Tn.【解时思路】（1）根据%=1.n-,求出*的通项公式,利用等比数列的性质得到“b3b1*4=32,故如"可看作方程-8+32=0的两极,根据函数学网性求出从而得到公比，求出仍“的通发公式：<2）利用等差数列和等比数列的公式求出答案.【解答过程】(I)当n=1.时.a1.=S1=+1=2.当n>2时an=Sn-&t=#-翔T>一处T"3n-1.又3x1-1=2,满足上式故（arj）的通项公武为at1.=3n-1.次等比数列仍n的公比为q.因为仇+b4=18,b2bs=1.b4=32.所以瓦,几可看作方程/一i8x+32=。的两根,解Ma二；M因为等比数列单调递增,所以C;,:一由去.tt=y=8,解机¢=2.故%的通项公式为a=2×2n-1.=2n：(2)因为x=3n-1.所以q1.-j1.=3故Sj为等差数列,由等差数列求和公式得：S”=当F=他+；F=咚1由等比数列求和公式为：=喑2=2-1-2.6. (2022江苏高二阶段练习)等差数列册满足%+<h=10.a6-a4=4.(I)求册)的通项公式和前n项和Sn:设等比数列1%满足2=。3,b3=a7,求数列%的前n项和【好跑思路】<1)设等基数列SQ的公差为d械匏双速可求得d、的值，利用等基数列的辿项公式可求褥a1.t的友达式,利用等基数列的求和公式可求得S”的友达K：<2)设等比数列他,的公比为q求出g、瓦的值.利用等比数列的的求和公式可求得7；的衰达式.【解答过程】(1)解：设等差数列SJ的公差为4M12d=6-4=4.可知d=2.曲+a?=2%+d=2ai+2=10.解得处=4,则即=1.+(n-1.)d=4+2(n-1)=2n+2.所以,SIt=W2)="+3m(2)科：设等比数列回的公比为g.则q=F=中=弓=2,fc1.=三4.*»2«10Qd所以,TI1.=怛产=卑2=2"?-4.I-Z7. (2022.黑龙江将二阶段练习)已知数列/满足：5=3,且对任意的nN都有1.n.冬”成等差数列.(1)证明：数列a1,-1为等比数列；(2)已知：bn=(%-1.)(2n+1)求败列他1.前加根为.【解咫思路】（1）由条件可知1+t1.=2tt,即,.-1.=2（1,-D从而得出数列册-1为等比数列：<2)bn=(n-1.)(2n+1)=(2n+1.)211,利用错位相减法即可求解.【解答过程】(D证明：由条件可知1.+n+1=2n,WanM=Zan-I.an+-1=2(an-1).且(-1=2,.an-1是以%-1=2为首项，q=2为公比的等比数列.<2)由(I知%-1是以%-1=2为首项，q=2为公比的等比数列，.,an-1=2n.)!Jn=(an-1.)(2n+1)=(2n+1)-2n.Sn=32,+5-22+723+-+(2n+1)2".2Sn=322+523+724+-+(211+1.)2"*1.两式相减可用,-Sn=3-2,+222+2-23+2-24+-2-2"-(2n+1)-2"*,fWJ-Sn=6+-"b-(2n+1)2"*1.I-Z化简得S1.,=(2n-1.)2"r+2.8. (2022福建淌：阶段练习)已知等差数列(art中，a1=1,a2+Za3+a4=12.(I)求+a的值：(2)若数列%满足Ibn=(1.t-1.证明：数列4是等差数列.【解陋思路】(I)中等弟数列的性质易得%=3.由等差数列的通项公式求得公差d.再由舫本盘运算求得结论：<2)由(”求得通项公式及,从而可得6,计tZbr,-bn(1122)可汨结论.【解答过程】(I)a2+d4=2a3.a2+2a3+a4=Aa3=12.ai=3»O3=aI+2d,d=1,.a5+a7=2a1÷IOd=12；由可知an=如.bn=a2n-1=2n-1.bn-bn.1.=(2n-1)-2(n-1)-1=2(n2).二数列(九是等差数列，首项是1,公差是2.9. (2022广东高三阶段练习)已知数列<,瓦满足=>=1,>an+2+-anbn=0.若数列an为等比数列,公比为办Ia1.-W1.=2,求b1.t)的通项公式:(2)若数列(斯)为等差数列,a*2-a*=2.求%的曲”项和兀.【解题思路】（1）由已知条件求出等比数列%的公比和通项得到数列brt为等比数列可求出地项公式:（2）由等差数列%的通项利用案乘法求格数列（¼1.的通力,再用裂项相消求%的前W项和Tn.【解答过程】（I）数列SJ为等比数列.公比为Wf1.1.=1.1-2=2,2=3=-1.Ih9=q=3或q=-I1.1.1.t,42hnf1.-anbn=0.所以争=-2三-=2又仇=1.即数列（bj是以1为苜项,5为公比的等比数列故瓦=t）或耳=1<2）依题求得等差数列SG公差d=2,则%=a,+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1.由an+2%+-a11bn=0，所以能=1，<,na*2从而/,=乌_.=生.”.瓦=吐1.吐£山山瓦%7bn-?b1<¼.1.ajta4a3=_2_=!_）,0八”（2h-1）（2÷1）22n1.2n÷1.='T（"9+GV）+（/-白）卜总-六）=E10 .（2022贵州贵阳高三期中（Jt）已知%是以I为首项的等差效列，（b是以2为首项的正项等比数列，口满足a6-B=auj-B=2.求att）与SJ的通项公式:求fei7的前n顶和5"，并求满足咻>2022的G小正整数.【杯即出路】（I）根则已知条件求得斯的公差，九）的公比，从而求得at1.与bj1.的辿顶公式：<2）利用裂项求和法求得S1.1.然后将S“代入“$,>2022求斛不等式即可匐到.【解答过程】（I）依即意，（ar是以1为首项的等差数列，瓦是以2为百项的正项等比数列，设SJ的公差为d，仍J的公比为q<g>0）.由已知瞰叫:就窦。（«10一%=，（1+9rf-2q£=2消去d,可褥5q2-9q-2=0,解得q=2速q=-：（舍去）.所以,q=2Wd=1.所以.册=4+S-1.)d=1.+n-1.=n.bn=瓦qn-1=2×2n'1=2n.(2)由(I)知，i=<*n三n>>,«n<n*1.)n11+1.i:,：.Si.-.÷2÷+an=1一：+：；+1.1.=1-=n111223nn41.n÷1.n*1.I1.1.nSn>2O22SI.三>2022,即M-2022n-2022>0.解得.n<IO1.1.-1011×1013.或n>IO1.1.+1011X1013.X1.O1.1.-1011×1013<0,2022<IO1.1.+1011×1013<2023,nN+.所以,M小正整数”为2023.11 .(2022.全国.模拟预测)已知公差不为等的等差数列%的前n项和为且满足S,=10.%.取，4成等比数列，<=10g2%.求数列b的通项公式：设Cn=Iog2=.求数列cfJ的前n项和乙.【解时思路】(1)设等差数列%的公差为d,根据题息列出关于4和d的方程组求斛即可I(2)根据题总可得Cn=1.og211-og2(n+1.)+n利用裂项相消和分组求和运算求解.【解答过程】(I)段等差数列a1.t的公1为d(dW0),由SS意可怖卜=2(;+a,)=10w2a+3)=2Ia1.=a1a4(a1+dr=d(f1.+3d)整理瞰a/二)=5,解得Q1.=d=1.,所以Qn=a1+(n-1.)d=n,Van=1.og2bn=,所以b1.1.=2n.<2)Vcn=Iog2=k>g2暮=1.og2n-Iog2(n+1)+n.Tn=Iog2I-Iog22+Iog22Iog23+iog2n-Iog2(n+1)+1+2+n-1.og2(n+1).AiTnn(n“)-Iog2(n+1).12.(2022浙；首国：阶段练习已知正项等比数列%满足a+a2+<=7J13aarg的等差中项，数列WQ满足瓦=2,-=-(112,nW).求数列I%,%的通项公式；求数列%-|的前施和S”.【解跑思路】(1)根楙条件.列方程求出4和q.坛用累加法求出4:<2)cn=an-bn.cn分类讨论即可.【解答过程】(I)设数列1总的公比为g(g>O).由条件制“空,v1.U2V«3/M67一1+qT,解得%=1,9=2或q=-3(舍)，/=2n,.Ia1.+aiq+a1.qi=71+一铝=M=M-Xn22那加得；4÷(-)÷(-)÷(-)=2+(>9+(泊)+(泊)+“+(六-3/-2),.bn=3n-1.(n2),Xfe=2符合该式，所以“1=3n-1.：<2)令C1.1.=an-bn.则Cn=2"",-3n+1.又j.-O=2nT-3,则当n3时.cnf1.>cn.当n2时.cn41<cn.又当nS4时，c11<0,当nN5时,Cn>0.n4时，Sn(Cj+Q+C11)=j-2n+1.nN5时，Sn=-(C1.+C2+C3+C4)+(<+cn)=-2(c1+C2+C3+c4)+(C1.+Q+Cn)=2"誓+21,(-2n+1.,n4»=卜_学+21.ZI3(2022全国模拟预测)已知等比数列a1.1.的首项由=1,公比为价%是公差为d(d>0)的等差数列,4=abs=a3.%是&与b7的等比中顶.(1)求数列aj的遹项公式：(2)设&的前n项和为S11,数列cf1.湎足nq=aSn,求数列q的前“项和丁【解题坦路】(D根据g是瓦与g的等比中小，利用翦本量法可得d=%进而得到九=4n-3,再根据bi=ai,b3=c可用OB=3w-1三an=(-3)"-1；(2)由Sn=n(2n-1),化简可曲=(2n-1)9"T,再根据错位相M可得4.【怦答过程】(1)第一步：求数列%的通项公式因为%是公差为d(d>0)的等差数列.b,=a,=1.坛是比与加的等比中项,所以(1+d)2=1.×(1.+6d).(等比数列的性质)耨得d=4或d=O(舍去.(注。d>0)所以数列b的通项公式为4,=4n-3.第二步：求数列%的通项公式所以&3=坛=9,又=1,所以q=±3,所以数列SJ的通项公式为a”=3n-,=(-3)b->.<2)第一步：求数列0的通项公式III(1)得SfJ=n(2n-1).an=3n,=(-3)n1.I1.incn=dftSn，得Cn=i=(2n-1.)9"-1,第二步：利用错位相减法求和于是K1.=ct+e2+cn=1+3×9,+5×92+7×93+-+(211-1.)9111.97；=9+3×9z+5×93+7×9,+-+(2n-1.)9n.W1.-87；=1.+2×(9,+92+93+94+-+911,)-(2n-1.)9n.(运”:铝位相域法求和时最后一项注意支号)W-BTn=1.+2×若等-(2n-1)9，郎再得TjI=处等士.所以数列c,J的前”项和力=幽答丝.I4(2O22全国模拟预测)己如Sn为等比数列Sn)的前”项和,若4a2,2。3,为成等差数列，旦S,=Sa2-2.(I)求数列a1.t)的通项公式：若九=法；点.区口数列%的前”项和为证明：7;<i【解阳出路】(I)首先列方程，求公比；其次，列方程.求首项：最后求出数列的通项公式；<2)求出b”.然后运用裂项相消法求出7；可窗结论.【解答过程】(1)设数列SJ的公比为中I4a22图，a.成等或数列可1得4<+««=4a3.放4+q2=4q,解解q=2.Ig=8a2-=16a1-2.解得=2,=2n.即散列对的通项公式为a”=211,nN,.2n<2)III(1)可得兀=(n*2)(0n41.2)一(2"»2>(2"*>«2)-2"«2一2"*1.¼2'-WB*aBaBHM*WB61010102"+22n-,*2'1.11=1时，2<1.；+2'大值当11T+8时,；：.2T02",+Z6'15（2O23M庆高三阶段练习）己知等差数列aj的前“项和为S1,.公差d0,且满足2$S3=3,0s,4,7成等比数列.求品；求数列,J)的前30JftUI.【解虺思路】（I）由等差数列的公式列方程组即可求解:<2）分类讨论即可求解.【解答过FU（I）由咽意可得:2-(301+d)=3(1+3d)2=(a1+4d)(a1.+M)解瞰；M5明/3IAan=-15+（n-1.）×4=4n-19.<2）由（1可知：Sn=-15n+"j"2-=2rtz-17n.设数列Uan1）的前n项和为,易如当ng4时，an<0.IaiJ=-伺=19-4",所以7；=-S,=36.当n>5时，a”>0.an=an=4n-19.Tn=Sn+2T4Zn2-17n+72.所以T30=2×900-17×30+72=1362.16.（2022攘龙江高二期中）已知等差数列%中，Oio=10an=11,在各项均为正数的等比数列b1.1.中，b1.=a2,b3=as.求数列a1J与办的通项公式（2）求数列att%）的前n项利0.【解题照路】（I）由等差数列的a1.H10.%7=17即可求出a1.t）的通项公式.进而求出b1.J的通项公式<2）表示出厮九的通项公式.用修位相减法即可求解数列斯瓦的前八项和兀【解答过程】（1）解：设fJ的公差为d,则d=*5=1.,所以au>=+9d解得力=1,所以%=n：小题设等比数列瓦3的公比为g>0111超得，=2,b3=H.2×g2=8.：.q=2.所以加=2X21*=21.所以坛=2”.<2）由题得品儿=n21.所以Tn=1×2,+2×22+-+n211则27；=1×Z2+2×23+-+（n-1）-2n+n2n+1两式相减得F=2,+22+23+2"-n2n÷1=S>-n2"+1.=（1-n）2"+,-2所以Tn=（n-1.）211+,+2.17.（2022湖南常德高三阶段绦习）已知数列%满足%=3%+=2%,nW犷,数列他J是等曲数列,且加=a2b3=2+3+4（1）求数列a,J%的通项公式：（2）设Cn=an-bn.求数列c1.t）的前n项和【解时思路】（1）根据等比数列的定义，C1.接写出品，出等券较列的糜本境运算，结合1.1.知条件,求得瓦与公茏，即可求得九：<2）利用分组求和法，结合等基数列和等比数列的前n项和公式,直接求好即可.【裤答过程】（1）因为数列SJ满足%=1.an41=2an.ne/V.所以数列StJ是以1为首项.公比q=2的等比数列.所以即=a1.qn-1.=2",即数列at1.）的通项公式为Qn=2n-1.设等茏数列Sn的公差为小由瓦=。2=2，%=曲+。3+。4=2+4+8=14,得1.i=6,所以=b+（n-1.）d=6n-4,即数列b的通项公式为b=6n-4.2）由（1）可知Cr1.=an-bn=2n-1.-6n+4.所以数列q的前n顶和1=（1.+2+2”T）-2+8+-+（6n-4）j=T-"1.2*'41=2n-3nz+n-1.U|）S=2"-3nz+n-1.1«.（2022广西模拟预泅（文）数列%满足=%“1+%匕3.誓2=4（kGN'g为正常数）.J1.a2=2%=2,aj=a2a6.a1+a2÷aa=。$(I)求数列(斯的通限公式：求数列,J的前n项和S”.【解题思路】(I)由题意可得布数项成等差数列，设公差为乩I1.供数项成等比数列.公比为q(q>O),运用等差数列和等比数列的通项公式,解方程可得公差d和公比q，即可得到所求通项公式：<2)讨论”为例数和奇数，由等差数列出等比数列的求和公式，计籁可得所求和.【解答过程】(I)数列(tt满足2cm=2t.1+田等1=q.可行2",2k+1.(hk+3成等若数列，制奇数顶或等差数列.设公差为d,R儡数顶成等比数列,公比为q(q>O),Ha2=2a1=2.a1=az%,a1+2+a3=a5.可得(1+d)2=2-2q3+1.+d=1.+2d,解为d=3,q=2.手,n为奇数2：n为偶数+3.号一1.),n为奇数化为22”Tn为偶数<2)Wm为隅数时.数列S3的前n项和Sn=(%+/+f1.n-1.)+(。2+°4+)=泊(1+誓)+P=生上+2呜-2当n为布数时(n3).cc,3(n-I)2-2(n-1)0<1.1.0.3n-1Sn=Sn.1.+an=+22-2+-3n2÷4111.r=+2i-2.当n=1时SJ也适合上式.既上:371口-1583"-2t-16111+2T.n为奇数+2等,n为偶数19. (2022.福建三明高二阶段练习)已知数列SJ的前n项和为S11,满足3Sj,=2(an-1).瓦是以8为首项且公差不为0的等差数列,%,%，与成等比数列.求数列a1J,b71.的通项公式：(2)令G=anbn,求数列cj的前n项和0.【解咫思路】<|)根用册=1.s,n7,求出sc的通项公式.求出儿的公差，进而求出九的通项公式：(2)利用错位相M法来数列%的前n项和7“.【解答过程】(1)3Sm三2(n-1).Jttn三1nJW3S1«2(a1-1),又&=%.所以3%=2(a-1).则%=-2.当n2时由条件可得，产=：£»-D两式相减可得,an=-2an.1.Ka,三-2,所以9U=-2,所以数列%是首项为-2,公比为一2的等比数列，故a1.1.=(-2)n,f1.M-I因为伍=%=-2.设等差数列儿的公差为d.财坛=-2+4%=-2+24%=-2+6d.由坛,成等比数列.所以(-2+2d)2=(-2+d)(-2+6d),又d*0,所以解得d=3.If1.bn=3n5.<2)<=anftn=(3n-5)(-2)",7；=(-2)×(-2)1+1×(-2)2+4×(-2)3+(3n-5)×(-2)n.-2Tn=(-2)×(-2尸+1×(-2)3+4X(-2)4+(3n-8)×(-2)n+(3n-5)×(-2)n+1.相战得3T“=4+3(-2)2+(-2)3+(-2)4+(-2)n)-(3n-S)×(-2)"÷,.所以3。=4+3串)：-(3n-5)×(-2)n*.所以3兀=8-(3n-4)(-2)"+,所以T1.t=STX20. (2022勒龙江模拟预测)已知等比数列%的公比q>1,J1.a2+a3+a4=14.a3+I是a2'4的等差中项,数列4满足：数列4.4的前n项和为n列*.(1)求数列%、%的通项公式:(2)若j=%+bn,dn=772-求数列8J的前彼项和&.【解题思路】时于(1).设®)甘项为公比为4.由。2+。3+内=14,<h+1.是<h%的等差中项可得SJ通项公式设Srtbrt)的前n项和为7小则at,bn=r,Tn'n2.据此可知%ifi项公式:I斯瓦，n=1对于,由cn=2"-+n÷1.,注意到%=端诉-齐3据此可得【解答过程】设(aj首项为%,公比为9.由。2+。3+4=14,出+1是a2,a.的等型中项可得(a1+a1q2+a1.<j3=axq(q2+q1)=14(2aq2+2=axq+aq3=>aq(q2-2q+1)=2'两式相除得号=7=>Zq2-S<7+2=O.Xq>1,得q=2.q.一“.i将q=2代入%g(q2+0+1)=14.1.=1.故art=2"T.nN+.设.%的前nJ¾和为，W1.a1,4=*-*'ms2,neN+I%,瓦.n=1.(n-2n-(11-1)2-1.n>2一,fian-hn=1.neN+.又=1×2*=22.n=1WJan-h=n-2"-(n-1)-2n1,结合%=2n1,得瓦=n+1,nN+.琮上：4通项公式为a”=2*,“CN+%)超J¾公式为%=n+1.,neN+.<2)It1.(1>可得.cn=2"-*+n+1,nGN».则4-(2"->+n÷1.)(2n+n+2)'7,W“+.汁Ji刊»>_,j(z*'1.+n+1.)(2n+n+ZZ*-1.+n+1.ZnnZ*VASn=d+d2÷,÷4÷%11.11t1111=20+2.21+3+2,+3Z3Ti+-"+2t-2+n2n-i+n+1+2"->+n+1.2"+n+2十?nNtt5"=5F7,neN+'21.(2022广东海三阶段练习)己知等差数列S7J满足a.=4a1,a6+a8=14.等比数列6满足必=1,Iogz瓦=-3-(1)求数列即,%的通项公式：',n为奇数109a".求证：q+C2+-+cn<.其中n4.。”瓦，n为隅数36(2)令呢=【解题思路】(I)利用定义法即Ur求出等与数列和等比数列的通攻公式<2)通过(1求出的SJ,瓦1.的通项公式，衣达数列0,然后利用公式法和放缩法，分类讨论n为奇数或偶数时前nT贪的和，进而证明不等式.【解答过程】(1)由题通，nWN在等差数列SJ中,n三a1+(n-1.)d"=3>60191St.,ZX66(I*U)Z一获十-I-1.>us+u)i>ur:.嘿?T=-S啊糠uZ-=j±.±+.+>+i+1.=us!i5-1.I-U1It1、£上+匹+更+史=除白.t-UT9»Z>1署+1+Rg=-S由1+,+豆+三+三中I-UT9¥Z)(1.÷u)z>->-(1.*W)SISh(÷-7)×7÷I=(÷-÷7-7÷7-7)×7÷>÷÷÷T=.(I”_I-Uj7._(一)1”)_I-ZU>£«.+-+1.=UX型害+Y+y+j+Y+-+Y+Y+I=+-+b=1U'间Jf1.Ha,uJ+zJ+1J=乜徨W¾*)uj.,=Uq'U=uD<u.N3Uft<1>非冢窗甲(。1.-U'z(Nm%A"qE-=*qzoj7=b野蜘*%=%I=,中/1(.N3U)U="D.P£4-=8叭PS+1D=MI=P=ID三ff1=bd+,dJIDtr=tDIP£+1D=hJ当”为偶数时.Tnct+c2+-+cn=1+j+.同理可得F：拚卜弗S,161094936琮I：,q+C2+Cn-.22. （2022陕西j二阶段练习（文）已知数列%是公差不为I；YJ等空数列,1三11.1.a2,a5,w成等比数列.（I）求数列即的通项公式：（2）求数列（2%+册+1的前n项和5.【解即思路】（1）根据等比数列性而得到0h+4d）2=（5+d）（如+13d）,解得答案.2）利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计和即可.【解答过程】（1）设等基数列的公差为乩因为a2,%aM成等比数列,所以(4+4dA=(a1+d)(a1+13d)r解得d=2或d=0(舍去).Aian=i+2(n-1)=2n-1.(2)由(1>'>rma"+a,1+1.=22"-1+2n.I-*0,(2+2n)xn2.n.2.+-三-4"+nz+n-1-42323. （2022黑龙江裔二阶段练习（文）己知（所|是各项均为IE数的等比数列,a1=2.a3=2a2+16.（I）求m的通项公式:（2）设4=1.og2a11求数列加J）的前”顶和.【蚱曲思路】（I）设等比数列的公比,由已知列式求得公比,则逋及公式可求:(2)把(1)中求得的4的逋项公式代入*RHk>&/，得到%.说明数列%是等差数列再由等差数列的前n项和公式求解.【解答过程】(I)%J是各项均为正数的等比数列,设等比数列的公比为q，1.1.1.=2.a3=2<h+16,得2/=4q+16,BUq?-2q-8=0,蝌得q=-2(舍)或q=4.an=aiqni=2×4"1=22"1.s<2)h=Iog2a11=!og222n,=2n-1.h1=1.n+1-hn=2(n+1)-1-2n+1=2.二数列瓦是以I为苜琰.以2为公差的等差数列.则数列1瓦J的前“顶和r”=nx1+n（n；1|x2=n2.24. （2022全国模拟预测）在数列%中，%=2,a2=8.且对任怠的nN*,都有%+z=4n+t-4n.（D证明：.-21.）是等比数列,并求出%的通项公式：-,n=2-1.,fcN若加最力队门广求数歹旭”）的前“项和7”.【解胭思路】由an+z=%，可得Qn.z-2册+1=23"1-2M）,SP%+-21.t是等比数列，可求得e-2t1.=2",变形为*-崇=1,即可得到倒是等差数列，可求畦=小从而求御f-1.n=2k1任N，（2）bn=卜''.利用分组求和以及等差等比前n项和公式,先求出n为正偶数时7；的表-11rn=2krN达式再求为正奇数时的友达式,即可得到.【解答过程（1）证明：因为=2.a2=8.所以%-2c1=8-2×2=4.因为t.2=4«n+i-4%所以<W-20n4=2(,1.>-2n)又如-21=40.则有+-2an0(nN+).所以Air誓=2,q*1.-2011所以Sn+-2%是以4为首项，2为公比的净比数列.所以%”-21.,=4X2-t=2-八,Z=1,所以宾是以I为百4，I为公里的等差数列.所以.=1+(n-DXI=n,所以a”=n<2)由知/>=一,n=Ik-1.,kN11Iog2,n=2k,k6X*,n=2"i,kN-n.n=2k.kN*则4的奇数项为以b1=：为苜项.:为公比的等比数列：偶数项是以B=-2,-2为公十的等姜数列.所以当n为偶数,J1.n2B4.，=(瓦+%+*n-)+(为+&+£)，=+J+)+(-2-4n)_2v11、"5+2)_IMn.243x2”T423当n为奇数,Ibt之3时，n-1.为偶饮，Tn=Tn1.+an=-!-空H+-_J_一Q+Un"1.R3XZ"-Z«2十3十Z"3XZ"十12'n=m.ti=-+=a,满足，所以，当n为奇数,I1.n之1时.-ffTn=-T+77,-i-+i.n=2-1,N'综上，Tn=5×-Z：2.I一层一9-»=25WN25. (2022陕西,高三阶段练习(理)己知等龙数列%1.的前n项和为Sji,n,再从条件、条件和条件中选择两个作为己知，并完成解答.条件：2=4；条件：a11+an=2；条件；S2=6.(I)求数列Sj的通项公式：(2)设等比数列4)满足/=1.瓦=%.求数列%+瓦的前n项和【解四思路】1)若选.则产;f；4.解出由4则可求为a“：若选，则2。：+f=6解出即乩则可求得%:若选质，则(Ji；：，解出外，d，则可求得明：<2)由(”得=<=4,4=a.=8,从而可求出公比和则可用加,然后利用分措求和法可求如心.【解答过程】(I)选®,由已知<=4.a<-aM=2.Ma=解MK3二数列Stj是首项为2,公差为2的等差数列.二数列g的通项公式为a”=a1+(n-1.)d=2+(n-1)×2=2n.选卷