专题02 等腰三角形的存在性问题(解析版).docx

专题二等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等三角形的存在性问题强艰出现，这类试题的知织Wk面较广，爆合性较强，意构思精巧，要求学生要有较高的分析向的能力和解决向JR的能力，这类问M符合课标对学生能力提育的聂求.【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性WJ时，一««先分类.如果AABC是等腰三角形，那么存在AB=AC,©BA-BC,CA=CB三种情况.娜等及三角形的存在性阿J三有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解J又好又快.几何法TR分三步：分类、图、计算.骞些题目适合用几何法强？如果AABC的NA（的余弦值）是确定的，夹/A的两边AB和AC可以用含X的式子表示出来，那么就用几何法.如图1,如果ABNAC,直控列方程I如图2,如果BAMBC,那么如图3,如果CA=CB,那么.代数法TR也分三步，罗并三边长，分类列方程，解方程并检验.如果三角形的三个角都是不现定的，面三个II点的坐标可以用含X的式子表示出来.那么根据两点间的距育公式，三边长的平方）就可以罗列出来.【解题类型及其思路】解围美S1.动态类S1.1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型向f1.!背景类型I1.几何BB形IMU2.平田亶角坐标系和几何图形IMI解息时几何法TR分三步，分类、图、计算代数法一般也分三步I罗列三边长，分类列方程，解方程并检验.如果ZSABC是等!三角形，那么存在AB=AC,BA=BGCA=CB三种情况.已知长画等腰三角形用MH.已知底边等腰三角形用刻度尺重宣平分线解等三角形的存在性向Ji.有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合，可以使得解愿又好又快.【典例指引】类型一【二次函数缥合题中根据条件判定三角形的形状】本即是二次函数的综合题.难度较大.解答第（2）何的关犍是：利f1.NZM445°,找出出线小;与y轴交点的坐标：解答第（3）问的关犍是：用含r的代数式表示出ff.HF.HP,"1的长.【举一反三】如图.已知抛物使y=aK+M+3C对）与、轴交于点A（1,0）和点B（-3,0）.与y轴交于点C.（2）设It物线的对称轴与X轴交于点M,同在对歌轴上是否存在点P,使ACMP为等三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标，着不存在，请说明理由,（3）如BB，若点E为第二象IRi1.MW1.上一动点，连接BE,CE,求四边形BOCE面枳的量大值，并求此时E点的坐标.【答案】，1）尸”-2'+3：存在.P-1,i»iP1-1-i）1¾P<-1.6>1P1-1.->：（3）3"h.=-1H-.'-s.一最儿Imfi吟.此时,点E坐标为（尚，【丽】【分析】<1）已知抛物线过A、B两点,即将两点的坐标代入抛物线的解析式中.用待定系数法即可求出二次函数的解析式：（2）可根据（1）的函数解析式得出拊物战的对构:轴，也就得出了M点的坐标，由于C是楸物戏写y轴的交点，因此C的坐标为<0,3）,根加M、C的坐标可求出CM的比底.然后分三种怖况迸行讨论：当CP=PM时.P位于CM的垂运平分线上.求P点坐标关世足求P的纵坐标.过P作BQJy轴于Q,如果设PM=CP=X.那么直角三角形CPQ中CP=X.OM的长.可根据M的坐标得出,CQ=3-x,因此可根据勾股定理求出X的值.P点的横坐标与M的横坐标相同.纵坐标为X.由此可得出P的坐标.当CM=MP时.根据CM的长即可求出P的纵坐标.也就得出了P的坐标（要注Jet分上下两点）.(2)过也E作所1.x轴于点尸设E(a,-a2-2a+3)(-3VaVo)EF=-2-2a+3>'BF=<+3OF=-a,:“彩S=；陟EFOCEF).OF=-(+3)(-2-2«+3)+-(-«:-2«+3+3)(一“)22一一+一222；."'ia=1时,SWia悔ocJ",11；I.283Q1S'a=Ii<.-a-2<+3=1-3+3=244此修：,点E”标为(一T.V)<3)连接AC当点C闻则gCA=CE时，此时CO为底边的正门T分线，涵定条件的O1.,.4关.V耗时称，二点。坐标为(TO)当点A为顶点,AB=ACt,在ACO'I>>OA=,OC=3,出勾股定理汨：AC=Jid,以点A为H心，AC的长为半fi什孤,交X轴于两点Di,Di,即为满足条此时它KJ的坐标分别为2(-Jid+,0),/(io÷,)八1.边时.？戈或ACm向平分线与X轴的交点&.即.笈件的点.i殳垂直AC的,CZN仙JP过ACIQ,.ZAOC=ZBOc=NPQC=90.NBPO=ZCPQ：.ZACO=OD1P：.&CPQAcAOM)Fo.ODiCQCP'OACOAC-PQ=警叫OD4OPOD1=PQio23二=谈四=4,"6"D1('(-4.0)I)坐标为。(一1,0)或。式一+1,0),或4(加+1,0)或。1(-4Q)【名师点睹】此时是：次函数的综合理，考在待定系数法，最值问题的确定而将所求问题列出解析式并配方为顶点式，即可得到答案：3是图形中存在等腰.三角形问题，此类问应福分：种情况进行讨论,依次求出点的坐标.【举一反三】如图，已知抛物栽J=x2+bx+c的图象与X轴交于,1(2,O),I1.C-H,0)两点，与交于点C(0,-8).(I)求轴物线的解析式；(2)点/是直就下方抛物战上的一点，当A8CF的面积大时，求出点尸的坐标：(3)在2)的条件下，是否存在这样的点。(O,m),使得A"F。为等三角形？如果有，请直接耳出点。的坐标：如果没有，请说明理由.【答案】7)V-x-+3x-8：<2)点尸的坐标是F(-4.-12)：(3)点Q行坐标为<0.4#>袁(0,-46)¾<0.-4)或(0.0).【的】【分析】(I)将A,B.C的坐标代入函数尸=心+6+c即可；<2)如图I中,作FN>轴交8CJ-M求出仃线8C的解析式.设二(%y+3m-8),则NGn.8).再用台”,的代数式表示出8CF的I1.1.i枳.川函数的思想即可推出结论：<3)此间要分8Q=6RQB=QF,F6=FQ=种情况迸行讨论,分别用句般定理可求出/»的值,进一步岂出点Q的坐标.【详解】<1)将A(2.0),8(-8.0)C(0,-8)代入函数、'=ar，+/w+c.4a+2b+c=0得，J<>4a-8b+c=00a+0b+c=-8Ia=2解得.2=3,C=-8衲物线解析式为-r+31.8：作&V轴交BC于N将5(80)代入y=k8,得.*=-I.)C=78,设F(阳，J病+3？8),则V(孙8).*5,wc=Samw*5f1=一FM<82=AFN=4<-m-8)-<-m2÷3m-8)2=-2n2-I6/m=-2(r+4)-+32.当初=4时，A3C的面枳由'鼓大值，此时广(4-12),，点尸的坐标是产4,-）2）：<3）存在点。（0.”，），使得A科Q为等腰二角形.理由如下:如图2-I,'BQ=BFB,图2-1由SS意可列，8W=(8-4)j+12-.',i?'(.Mi=4#>t2=4Jh：心(O.46>.Qz(0,-46I;如图2-2.图2-2当。8=0小时，出题意可列.SW=(m+12)-+4-.耨即，m=-4.；.Q(0.4)确,为什么？(3)连接CF、DF,请直接写出ACDF为答腰三角形时所有t的值.【答案】(I)y=-x'+2x+3(2)点D为GC的中点时线段EF最长(3)1I：,3fj,(»：为等腹.角形【呻】【分析】<1)由于1.1.知帕物线与X釉交点砸标,则设交点式y=a(+1)(x-3).然后把C点坐标代入求出a即可得到她物城解析式：<2)先利用待定系数法求出直观BC的解析式,再设EC,川+3，接着表示H1.D(O,3),F(bt,+2(+3),然后用t衣示出EF的长，再利用：次次数的性质定EF最大时的I的低，从而判断巾D是否为OC的中点：< 3)先由C<0,3>.D(0.-t+3),F<,-r+2*3)和利用两点间的距总公式衣示H1.CDCF1.,DF2,然后分类讨论：当CD=CF或FC=ID或DC=DF时得到关于t的方程,接看分别解关于I的方程即可.【佯解】< 1)设抛物战的解析式为y=a(x+1.)(x-3).把C(Q,3)代入得a1.(-3)=3.MMBa="I.所以拗物线解析式为y=-<x+1.)(x-3),即y=-x,2x+3:< 2)他猜把正确.理由如下：设直线BC的解析式为y-mxn.JCC<0.3),B(3,0>IJnj3rvP践K的解析式为'3m+n=0(n=3设E(1.7+3)，则D(0.-t+3F(t»-1+21+3).所以EF=-I'+2i+3-(t+3)=-t1+3t=".当。号时，EF最大,JR大值欧,此时D点坐标为(0,三),所以点D为OC的中点时,线段EF最长：(3) VC(0.3).D(0.-t3),F(t,-t*+2t*3),.C)-1.+3-3)I,(2t>3-3>:=t+21.)Z.Di;：-t:+21.+3+t-3)<-+3t)*.当Q)=CF时，即t*=t1+<-t+2t>:,解得t>=0,1尸2：当FC=FD,即：.(-t+2t)=t+<-te+3t>:.蚱得t=0.：当DC=DF时，即tx=t1+(-f+3t>2.解得t=0,t>=3:疗匕所述,节1=2或!或3时,ACDF为等腰角形.【新题训练】I.如图，在平面直角坐标系中,已知点M-2,-4),直线=-2与、轴相交于点B,连接OA,It物线J=-x'从点O沿OA方向平移，与宣线X=-2交于点P，顶点M到点'时停止移动.Q)线段OA所在直钱的函数解析式是t(2)设平移后抛初线的!点、1的横坐标为m,问：当m为何值时，战段PA量长？井求出此时PA的长.(3)若平移后撤物线交y轴于点Q,是否存在点Q使得AoMQ为三角形？若存在，请求出点Q的坐标I若不存在，请说明理由.【答案】y=2x：U；1-In=I1.1.PA的值融大,M的最大玳为1：m存/1.,<0,5-25'-,(11.-8)->5()-j.ADE的血枳取得被大：33【答案】1；，K函数的解析人为y=-%'-3+6：<2;'<3)P点的中标为(TI).(-1.,±iT),(-,-2±i?).【详解】(1).:次用数产*+加+，经过点A(-4.0)、B(2.0),C«),6).16«-4b+c=04n+2Z>+C=O.c=6解得:所以：次函数的解析式为；尸-2/-之工+6：42<2)iA(-4.0),E(0,2),可求AE所4F线解析式为过点。作ZUx轴，交4£于点儿交A轴干点G,过点E作E"±OR乖足为“，如图./×(+1.>×U22=-x"XAG+-XDFXEH22=-×4×DF2【答案】(1)y=-x2+2r÷3.'(6,-3)(2).)jjr=3：U=V,一,I.22555【详解】<1).矩形A8CO.8点坐标为(4.3).C点坐标为(0,3>；搪物线>=-x2+b.xI<"过V1.杉AUCO的顶力:从C设的解析式为)，=&/+自4,+b.=01.=-V(4.0),1.X2.3)f,、；.22A=3b、=63/ay=-A+6F+6),-y=-+2x+32.F点在第四象限，.F(6,-3)<2)V£(0,6)：.CE=CO连接CF交A轴于Ht.过W作A轴的垂线交BCTP'.当P运动到.1JH运动到小时.EP+PH+HF的值最小.设黄线b的解析式为y=+%b、=3k、VGO.3)、H6.-3)(："=T+36k2÷¼=-3b2=3的坐标I如果不存在，请说明理由:(3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作X轴的重袋与搀物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBI的面积量大？求出四边形CDBF的量大面枳及此时E点的坐标.(3)当点E运动到(2,1)时，四边形CDBF的面积最大，S>-db-=：.【惮解】(I)；抛物设y=-!x2*mx+n经过A<-I.0),C(0.2).M(1)求二次函数的解析式；(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作'轴的近线PQ,善足为Q,若OQ=m四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函聂道断式，并写出m的取值范(3)探索：线段BM上是否存在点N,使ANMC为等三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.93【答案】'I>.次M数的解析式为y=-'+2+.i:(2)S=-11r÷-m÷-(1.m<1.>(3>蒯BMI存4.<,N<2.2),<1+巫.4-冬叵使ANMC为第攫珀形.5555【详解】解：.()B=OC3,：.B(3.0),C(0,3)0=-9+3fr+c3=c；.：次函数的解析式为产0计3：2，1.-=-(X-I)2+4,M(.4)设直线MB的解析式为y=tr+.则有4=k+n0=3k+n：.UtMB的解析式为产-2+6.9【m】(D二次函数的衣达式y=2-2-3；(2)PM"，.=：；P(2,-3)或<3-J*,2-4).4将A,B,C代入函数解析式.a=b=-2,C=-3a-b+c=()9a+3b+c=0,解得c=-3这个.次函数的农达式产返-2x7：<2）设BC的解析式为y=kx+b.符B.C的坐标代入的数解析式.御3k+h=()A=-3BC的解析式为y=*-3,设M(n.n-3),P<n.11-2n3).39PM=<n-3)-(n:-2n-3)-r+3n=-(n)J+一,2439当时，PM»(-；当PM=PCHf,<-n1+3n)2=n2+<n2-2n-3+3)2,解得m=0(不符合SS通,舍)，11j=2.n2-2n-3=-3.P<2.-3)i当PM=MC时，(-n:+3n)2=nj+(n-3+3)2.得Mo(不符合题第台)，m=3+J(Zrn-32.n'-2n-3=2-4y2的解析式为y=JK+3i-0).A'=-+kk设卢践MN的解析式为.v=h+1.点”的楼抬标为三方.将y=6r+3：、IJ评得:把产()代入产Jtr+I得：JtrH=O.解褥：=一一2”作MG1.t轴，乖足为G,则AG=E二£+6VZMAG=W./八GM=90o."M=2AG=tf+26=¾,J-+=-+-Jk-小k-y3AMAN23-2四73-3-3(3-1.):在-2限-22(6D13.如图，在平面直角坐标系中，Tt物嫉的对称轴为宣统=1,与轴负半轴交于C点，与X轴交于A、(2)若点G(2,y)是该抛物线上一点，点P是直线V；下方的IMM1.上一动点，当点P运动到什么位时，AAPG的面积量大？求出此时P点的坐标和AAPG的大面积.(3)若平行于X轴的直线与读物线交于M、N两点(其中点M在点、的右例)，在X轴上是否存在点Q,使AMNQ为答腰亶角三角彩？若存在，请求出点Q的坐标I若不存在，请说明理由.SM心H为胃：(3Q<一/。:或O【答案】)=x:-2x-3：<2>P.点的坐标为！1-!.50)或<2+5.0)域(2-50)或<>0).【详解】<1)设抛物姣的解析式为用炖混副+如瞰,由己知得：C(0.-3),1.0),-+c=09+3+c=0,解褥c=-3二抛物线的解析式为J三x=-2-3s<2)过点P作y轴的平行战与AG交于点Q，111)-X：-2x-3.令X=2,则产一3,二点G为(2,-3),k+n=Ok设直线AG为J=x+n(kH).'一.解得：一.即F1.级AG为J=-X-1,2k+n=-371=-1设P(x,-2-3×则F(X.-XI).PF三-X2+2,：SanI=Swf+SM=g(-2+A+2)×3=-.+.V+3.二当X=工时，AAPG的面积也大.此时P点的坐标为I!,一竺*,2247<3)存在.；MNx轴，HM.N在微物找上，.MN关于也找X=IjC寸称，设点M为，m.!-51.)I1.w>1.'.AfV=2(w-1).当NQMN=90%I1.MN=MQ时,MNQ为等。直角：.角形,MQ1MN即MQX轴,二2(/】)=|m：-2/一3|.即2(mT)!«：_>»_3或2佃-1).-(/-2ffJ-3)於，4=2+百.n2=2-y5(一公，或冽：=#.w.-5(舍)，.'M为<2+5.2+25)或<J.2-1-J5-Q为<2+5，0)或(/.(),4SZQNM=90o,I1.MN=NQ,AMNQ大过门巾用形.同理可奈.，Q为(一有，P)或'2-5。)，设P)=x.则。£=8-x.在RIAzME中.PEi+E-=f,A2.(8-x)i+4j=x2,Wfi1.t=S.Pfi=8-5=3.：.P(2.3).综上所述：点P的坐标为(2.2)或2,6)或2,3.16.如留，已知二次函数的国象餐过点A(4,4),B(5,(»和原点O,P为二次函效留藏上的一个动点,过点P作X轴的垂线，垂足为Dm,0),并与宣线OA相较于点C.(1)求出二次通数的解析式I(2)当点P在亶线OA的上方时，求线段PC的大值；(3)当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P,使射线OP平分NAO”若存在,请求出P点坐标：若不存在.请说明理由；(4)当m。时，探索是否存在点P,使得APeO为等三角形，若存在，求出P点的坐标：若不存在，请说明理由.M1.(1)y=-x2÷5xt(2)4：(3)疗在.P(4-0,2+32：-I：i7/:.P(4-2.2+30)【详解】解：(I);：次函数的图象经过原点，：.设.次函数的解析式为y=ax-+bx.将A(4,4),B<5,0)代入.6n+4b=425a+5h=0斜得.a=-I.b=5.y=-x2+5xs<2)设立线OA的解析式为y=ax.将A(4,4)代入，汨,a=1.,J1OA=X.VPD1.X轴，D(m.0),P<m.-m-+5m),C(m,m),二PC=-m2+5n-m=-m2+4n="(m-2)2+4.根据.次函数的图象及性质可知,当m=2时，PC仃G大俏,其最大做为4；<3)存在,理由如下：如图,当射线OP平分/AOy时,过点P作PM1.y轴于点M.作PN,<)A于点N.MJPM=PN.：点C在直线yoA=X.匕.ODC是等腰直角：知形，/.ZOCD=ZPCN=45°.PCN是等腋IIff1.三角形，由(2)知.PC=-m-+4m.PN=(-m2+4m)=-nrin.22VP<m.-m2+5m>.PM=m,VPM=PN,.,.n-nr+2y2>n.Vf'1.mi=O(舍去),m：=4-五.P<4-2，2+32)：(4)存在,理由如下:VZPCO=1800-ZOCD-135°.-1UPCO为等腰三珀杉时，只疗在PC=OC种情况,I(2)1.PC-nf+4n,OC-0OD-0m.-in-4my/2m解Om1.0(i夫).m24-y/2-二当m=4-近：1.-|.-m+5m=2+321P<4-2-2+3W).17.如图1,抛物线与）-+；x+4与X轴交于A、"两点（点A在点/，的左倘），与F轴交于点G，J连接AC、HCt点。是线段A3上一点，且,I0CA,连接CO.（1）如图2,点，是直线"C上方Ii物线上的一动点，在线段4C上有一动点。，连接/»C、/小PQ,当APa）面积量大时，求。（汗回C0的小值;10（2）将过点。的宣线绕点旋转，设旋转中的直线/分别与直线AG亶线Co交于点MN,当ACMN为腰三角形时，亶按写出CM的长.【if解】解：(1)当y=0时，-Jx2+!+4=0.33解"卜Xi=-3,X2=4A<3,O),B(4,0),Vx=Of1.j.y=4C(0.4),设OD=In则AD=m+3,在R必AoC中，ffAC2=AO2÷OC2,(m÷3)2=32+4-,解得：m=2,n=28D0).如图I.设点P(m.n).=2n÷z-4331,7=-+-11：Va=-<0,K1.1.ft!<jAif),(.'11)=(；J1.i如图2,过点D作DHJ"CB.ADHB为等腰件向三角形，则DB=2,DH-BH2VBC42过点PfPG1.CD支BerQ,则PG=PQ*CQ,10CD直战解析式为：Y=-2x*4i设G(m,-2m+4),作GM1.CO,PN1.GM,正足分别为M、N,T(1.CMG->KiN.,CMMG"gnpn'4-(-2n+4)_m：.7-13._.m(-2w+4)212解汨：m=，."CIX)<×>GPN.COGN2CDGP45.PQ+-CQ的M小tf为契GIO60将(2,0)代入得：b=-2ky=kx-2k当CMi=CN1.ON=-2k.CN=4+2k.M1=I-2kVAMHA(X',AM.AHMiH>.=1.ACAOCO.1-2*AHMiH53434,.AH=j(I-2k>.M1.H-(1.-2).M1.(+-.-J1.>.5555代入y=kx-2k得二襄=一旦+1)-2kk=-2.k2=过A作APBD,设AP直线解析式为y=kx+b,将点A代入.-3k+b=0.b=3k.二AP%2+9=J1.+Ji2.CO二3F-3k-47,k.24'DMI工线解析式为：y=j-j.24127722），=-XX=2412山“5.'.CM=：当MJC=MJN3时,如图5：在XiE半轴上取点Q<3.0).4.'.CQ解析式为y=-x+4.过点D作DMSCQ.8：DMj的蚱析式为y=-§X+§，1 ioM1(一一.>.2 3CM-i651()A综所述：CM的长为：Z或二或于.1«.在平面直角坐标系I。，中，触物德y=-+mx+与、轴交于点A,B(A在B的左制)(I)加图I,若抛物线的对林轴为直线x=-3,A8=4.点A的坐标为I,),点B的坐标为I,);求抛物制的通达式：如BB2,轿UJ中的Ii物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的I1.MMMB过点O,且与X正半轴交于点C,记平移后的凝物线J1.点为P,若AO。，是等腰亶角三角形，求点P的坐标.【详好】(1)'.'跄物线.y=-x'+11tr+。x二交于力,A.B.对称汕为I1线X=-3,A8=4.二点A(-5,0),点B(-1.,0)：把A(-5.0).B(-1.0)代入y=-2+”+.IH=-6n=-5-25-5/?+?»=0-1.-j+,j=0.抛物浅H'JM数表达式是Iy=2-6x-5：<2)V平移后的抛物线经过点0.二设平格用的地物线的解析人为：y=-x2+bx.(bM).卢.C的坐标是(b.0),点P的中标是(号,?),：AOCP1等股H角51形.：.-=.解得：b=2b=()<-A24二点P的坐标是：(I.I).