傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换.docx

傅里叶(Fourier)皴数的指数形式与傅里叶交换专题摘要：依据欧拉(EUIer)公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶枳分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。在通信与信息系统、交通信息与限制工程、信号与信息处理等学科中，都须要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理说明、给予其物理意义,是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以与信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。全部这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学衣达式就是傅里叶级数的指数形式。不但傅里叶变换依靠于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论探讨还是在实际应用中都占有特别重要的地位。我们承认满意狄里克莱(Dirich1.et)条件卜傅里叶级数的收敛性结果，不去探讨和深究傅里叶展式的唯一性问题。傅里叶级数的指数形式一个以7,为周期的函数/，在上满意狄里克莱条件：1"/“)连续或只有有限个第一类间断点；2”只有有限个极值点。那么/在_1百上就可以展成傅里叶级数。在连续点处其中f(t)=+Z(a“cos11<+bnsinnt),2HT211=，T2an=Vf()cosntdt,(=0,1,2,)»ba=IE/(Osinntdt.(=1,2.3.,)»依据欧拉(Eu1.er)公式：e”=COSe+jsin®,(1)式化为=«+y一也不+4+jb“夕I21.22(1)(2)(3)(4)若令Co=Jfi”仪Cn=/()cos<J-./()sinntdt2TIIf/（三）cosjft,/-jfiinnidt*/")eK'M,=1,2,3,-J=f/丁血”=1,2,3,综合7，*J1，可合并成一个式子IT(5)(6)ca=£任/力，=±.±2,-T若令叫=n,=0,±I,±2,则(1)式可写为/(0=cf1.+£(i+c/Av)=C产,AF-IZY这就是傅里叶(FOUrier)级数的指数形式。或写成(7)0)=y(r)e-r傅里叶积分定理因为任何一个非周期函数/都可以看成是由某个周期函数.。当Tte时转化而来的，即1.in】4(r)=/(r)。于是有-*011/")=7町7r4什把一“加*j可以证明(具体过程可参阅文46),当r+8时，有/(/)=5J'j')(r)e-"7"卜",(8)公式(8)称为傅里叶枳分公式。从而得到一个非周期函数可用傅里叶积分公式表示的傅里叶积分定理。傅里叶变换依据傅里叶积分定理，设F()=tftetxdt,(9)则f(t)=-F()ed,(10)2尸J-H从上两式可以看出，/和通过指定的枳分运算可以相互表达。(9)式叫做了的傅里叶变换，记为F(<)=F()1.F(M叫做力的象函数，(10)式叫做F(M的傅里叶逆变换，记为/«)叫做F(M的原象函数。