教学设计：双曲线及其标准方程.docx
2. 2.1双曲线及标准方程教学目标：1 .通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程.2 .使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.3 .通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.教学重点与难点重点：双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程.难点：定义中“差的绝对值”、a与C的大小关系的理解与标准方程的建立。教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法教学用具：CAI课件、演示教具课时安排：一课时教学过程：一、课题导入师：椭圆的定义是什么？（学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来.）师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件IPF"+IPF2I=2a（常数）（2a>IF1F2I）的动点P的轨迹叫椭圆.下面,我们来做这样一个实验：（同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题）师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题）二、定义探究师：我们知道满足几何条件IPFJ+IPF2I=2a（常数）的动点P的轨迹是椭圆,那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？（引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：IPF1I-IPF2I=2a或IPF2I-IPF1I=2a）师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.（播放双曲线flash生成动画，验证几何条件）师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果IPF1I>IPF2I,则得到曲线的右支，如果IPF2I>IPF1I则得到曲线的左支，能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？（引导学生思考，此时只需在IPF"-IPFzI=2d左边加上绝对值）师：作为此时差的绝对值2a与IERI大小关系怎样？（结合图象，学生分析：应该有2a<IF1F2I）（在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书）三、方程推导师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？（学生口述教师板书椭圆的标准方程）师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.（学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程）建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P（x、y）,IF1F2I=2c,并设F.（-c,0）,F2（c,0）.由两点间距离公式，得IPFiI力(x+c)2+y2,IPF2I=(x-c)2+y2由双曲线定义，得IPF1I-IPF2I=±2a即7(x+c)2+y2-7(x-c)2+y2=±2a化简方程J(X+c)2+y2=-J-2a+(x-c)2+y2两边平方，得(x÷c)2+y2=4a2±4ay(x-c)2+y2+(x-c)2+y2化简得：c-a2=±(x-c)2+y2两边再平方，整理得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)(为使方程简化，更为对称和谐起见)由2c2a>0,即c>a,所以a?。设ca2=b2(b>0),代入上式，得b2x2-a2y2=a2b2也就是x2a2-y7b2=l师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中a>0,b>0的条件是不可缺少的b的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有c2=a2+b2,区别其与椭圆中aJb'+c2的不同之处.师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢？（引导学生类比椭圆得到焦点在y轴上时双曲线的标准方程：y7a2-x2b2=l此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程）师：如何记忆这两个标准方程？（师生共析：双曲线的方程右边为1,左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”）四、巩固内化例：已知两定点耳（-5,0）,工（5,0）,求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。变式：（1）若两定点为“0,-5）,B（0,5）则轨迹方程如何？变式：（2）若两定点为山鸟I=IO则轨迹方程如何？（例由师生共同分析共同完成，（1）、（2）由学生完成）方法总结：求双曲线标准方程，先定位再定量.五、课堂小结（1）双曲线的定义及其标准方程（2）把握方程中的3个常数a,b,c间的关系：CJa2+也如何确定焦点位置，会求双曲线的标准方程（3）体会双曲线标准方程的探究过程,感受数学知识的和谐、对称美师：（给出彗星运行的图片）唐代诗人李贺曾在梦天中写到：“一泓海水杯中泻”，描写的是在茫茫夜空中出现彗星的美丽情景：彗星的轨道有三种：椭圆、抛物线、双曲线，在已算出的彗星中其轨道为双曲线的大约为49%,双曲线是我们平面解析几何中一类重要的曲线，它在我们生活中也很常见：（给出实物图片）有人说双曲线好似细腰的花瓶，有人说双曲线是高脚杯两侧最娓美的轮廓线，还有人说双曲线就是一对悲伤的恋人，彼此相依却无缘相聚，种种想象赋予了双曲线丰富而神秘的内涵，为什么人们会对它如此的着迷?它又有哪些性质呢？有待同学们在今后的学习中去继续探讨！六、课堂作业（略）七、板书设计课题：双曲线及其标准方程1.复习回顾：3.方程建立：4.例题：2.双曲线定义：标准方程：5.练习与椭圆比较表：
