傅里叶变换与傅里叶级数.docx

重温傅里叶一笔记篇本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（假如对这些公式已经很熟识，可以干脆看第三部分：总结性说明）代温傅里叶一第记篇一、傅里叶级数$关于三角函数系的正交性：三角函数系包括：1,cosX,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,“正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在（-五，区间内的积分为0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个绽开后的正余弦在（-11,n）上积分都为0）.不同频率(但都是整数倍基频)的两个正弦函数之积，在(F,JI)上积分恒为Oo同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-n,Jo上积分才是0。三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-%11)上的积分恒为兀，“1”在这个区间上的积分为211°上公式！当周期为2兀时:式(I)：f(x)=÷(qcosnx+bnsinnx)2j1-a0=ff(x)dx冗'X<aj,=If(x)cosnxdx11ix=fxsinnxdx11J.上式成立的条件是f()满意狄立克雷充分条件：1. 在随意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点；2. 随意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间(另一种说法是：随意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的)式第一行中的a2就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的状况成立：假如f(x)不连续，则应表示成“(1/2)×f(-0)+f(x+0)w,即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似状况都是这样，之后就不再特地说明，这些大家应当都Ii第三、四行中，n的取值都是：1,2,3,4,n,(都为正,且不包含0)。当周期为21.时(这也是最一般的情形)：式(2)：F(X)=+Vancos(«x)+Sin(x)2士、1.1.J1工a0=jf(x)dx1.1.<2n=jf(,x)COS(7?x)dx1.1.A=yJf(x)sin(2x)dx/第一行中的a2就是f（x）的周期平均值:第三、四行中，n的取值都是：1,2,3,4.n,（都为正,且不包含0）。傅里叶级数的更数表达方式同样设周期为21.。依据欧拉公式，正余弦函数都可以用豆指数表示出来。这样上面式（2）中的第一行：F(X)=+Yancos(x)+bnsin(?x)式(3)2£-1.1.)可以表示为:令:。与CC互为共挽。这样式(4)变为:式(6a)>zv*7inx若将上式中的第一项。看做:则上式可重写为:工JJJ-XF(X)=XC/，C=-XF(X)=Co+Zc/1.式(6b)*1由式(5)和式(2)中对a>b,b,c°ac”的定义，可以发觉a可统一表达为：=ff(x)e7dr(其中=0,±1.,±2,±3,±4,)21.1.将傅里叶级数用更数表示后，就是式(6)和式(7)这样简洁的形式。简洁分析:傅里叶级数转变成复数形式后，原来每一项中的：/ancos仿一x）+6”Sin（一x）In1.n1.都被分为正、负两个频率的波：。J-jt-inxCne1.+5i只不过这两个频率的振幅CnC”都不再是实数，而是一对共蜿复若f（x）为偶（或奇）函数，则全部的b,（或a,）将为0,此时的c.将变为实数（或纯虚数），且a,（或b“）是转换后所得的C“的2（或2D倍，而C.与a相等（或纯虚共轨）。二、复变函数中的傅里叶变换先上公式:尸(=-Xf(t)e-WdtI卜(0)+钝+°)=：Fei9td定理：若f(t)在(-8,+8)上肯定可积，即f(t)的肯定值在(-8,+8)上收敛，则F(3)在(-8,+8)上存在且连续(F(3)的连续性在熨变函数的教科书中一般都有证明)。F(3)是实变熨值函数,即变量是在实数区间(-,+)定义，而函数值F(3)却在复数空间。式(9)的条件是：f(t)在(-8,+8)上肯定可积，并在任-有限区间满意狄立克市充分条件。$若f(t)为偶函数，则F(3)将为纯实数，且同为偶函数；若f(t)为奇函数，则F(3)将为纯虚数，且同为奇函数：而财随意f(t),F()与F(-3)始终共挽，这意味着F()与IF(-)恒相等，即F(3)的肯定值是偶函数$由于要求f（）肯定可积，所以对于周期函数一股是不能用傅里叶变换的，只能用傅里叶级数分析。（周期函数往往不能收敛）。三、总结性说明周期函数可以看成由许多频率是原函数频率整数倍的正余弦波松加而成，每个频率的波都有各自的振幅和相位，必需将全部频率的振幅和相位同时记录才能精确表达原函数。但从上面的公式来看，我们似乎从没涉与到相位？其实不然，从式（2）来看，我们将每个频率的波分成了一个正弦重量和一个余弦重量，同时记录了这两个重量的振幅&,、bf,其实就已经包含了这个频率的波的相位信息；而时于式（6a）f每个频率的波被分成了正负两个频率的史数“波”，这种方式其实比正余弦形式更加直观，因为巨振幅a恰好同时记录了这个频率的振场和相位，它的物理意义很明显：a的幅值IcJ即为该频率的振幅（精确的说是振幅的一半）,而其辐角恰好就是相位（精确的说是反相的相位，J的辐角才恰好代表该频率波聿量的相位）。傅里叶变换针对的是非周期函数，或者说，周期为无穷的函数。它是傅里叶级数的一个特例（好吧，我曾经始终以为傅里叶级数是傅里叶变换的个特例，正好相反，刚前几天才想通透）。当傅里叶级数的周期1.趋于无穷时，自然就变成r上面的傅里叶变换。这种关系从二者的表达式中也许能看出点端倪，但是也不是特殊明显，终归它们的表达形式差别还挺大。假如不把傅里叶级数表达成夏数形式，那就更加难看出二者之间的联系了，这也是为什么本文中具体列出了复数形式的傅里叶级数。傅里叶变换要求f（D在（-8,+8）上肯定可积，其实可以理解成“傅里叶级数要求函数在一个周期内的积分必需收敛”。在深化篇中，我再好好说说二者是如何联系的。重温傅里叶一深化篇1一傅里叶级数与傅里叶变换的关系以与频谱图的介绍在读本文前，请先大致阅读F笔记篇里的东西，卜面运用的符号与其意义都跟笔记篇里是一样的。笔记篇里记录的大都是基础的公式，教科书上都可以找到。（愧疚，刚发觉有点小错误：在式（6-4）和式（11）里，积分项中的“dx”都应改为“d3”，由于改图不太好改，就只在这里说明白。请读者看的时候留意）为了下面叙述便利，我先做几点约定和说明：木文中提到的傅里叶级数都是豆数形式的级数，下标n都是负无穷到正无穷；对于笔记篇里常常出现的“nn/1.”，它可以看成个角频率,用3表示。（角频率与频率（通常用表示）之间的关系是：3=2K3。（参见笔记篇中的式（3）.（4）、（6）等）；进一步，我将“111.,t称为“角基频”，这样的话“nn/1.”就是n倍角基频。当周期为2。时，角基频恰好为1；肯定别搞混：C.代表的不是角频率为n的波重量的振幅，而是角频率为n倍角基频的波重量的振幅：对于周期函数，除了角频率为整数倍（包括负整数倍）角基频的波重量振幅可以不为O外，角频率为其他值的波重量振幅都是Oo（下面介绍频谱图时会再提到此事）：*对于周期1.等于无穷人的函数（非周期函数），其角基频为n1.=0,这样实数范围内的全部角频率都可以看成整数倍角基频了，因此林周期函数在全部的角频率处都有波垂量！（就是说，频谱图由离散变得连续了）。什么，那不乱套了？假如全部的角频率都有波重量而且每个波垂量都有一个不为0的振幅，那级数怎么可能收敛？还好，每个C0的表达式中都有一个1/21.的系数，这样周期无穷大时，全部的振幅3也都变成“0”了，所以不会乱套，但是这么多0加一块应当还是0,怎么能凑出原来的f（x）呢？这就像对一个函数积分一样，函数在随意一个点处的积分都是0（好吧我知道这说法不科学，但是便利理解），但对一个区间积分，这么多0加起来就成了一个有限值。好了，不乱说了，越说越乱，本文就从这里起先，看完卜面的几段大家就能清晰的知道是怎么回事了。为便利大家翻阅，我先将一会儿涉与到的几个公式重新贴一遍在这里。这些公式与公式的标号都与笔记篇中相同。周期函数的傅里叶级数相关公式：IAJU-JfF(X)=Eq6上n-X11.,cn=fxe1.必r(其中=0,±1.,±2,±3,±4,)复变函数中的傅里叶变换相关公式：.，r1d3/(r-0)+f(t+0)=一8Fg)=f(t)e-tdt-X周期级数公式如式(6)和式(7)那样，我们现在要做的是，搞明白为什么周期1.趋于无穷时，就会有式(9)和式(8)的结果。好,现在我们对式(6)和式(7)进行第一步加工:将式中的“g/1.”用角频率3“来表示，代表n倍角基频。这样，会产生下面的新式子:f(x)=C产)X=-Xcn=F(X)e”"d(其中=0,±1.,±2,±3,±4,)21.I1.对比式（7-1）和式（8）,发觉他们右边的积分式主体部分形式几乎是一样的，只是上卜限和系数不同。好吧，为了更直观的对比，我再创建个符号，R,将它定义如下：Fn=CnX21.这样我们就可以彻底抛弃a这个碍眼的符号了，全部用Fr,代替。然后重写式（6）和式（7）：1+OCAX）=寸乙1.77=o4=Jf(x)e2'xdx-1.再拿式(7-2)和式(8)对比,会发觉很让人兴奋的结果,他们的形式几乎样！但是式(6-2)和式(9)貌似差别还不小，他们的系数个是(1/21.),一个("2n)°好吧,接着来，我们再创建一个符号,定义如下：=(11/D(其实就是角基频的大小)利用它来再次加工式(6)：(式(7-2)不变，但还是一块列了出来)1+<F(X)=VFfO2乃£Fn=f(x)e'idx-1.重新对比式(6-3)和式(9),发觉形式已经很相近了，只不过一个是积分一个是和式等一下！和式？再细致看看看式(6-3),发觉这时它很像一个函数积分的和式绽开式！那我们现在来构造两个函数吧：F*()和a"(),构造方法如下:F*()Fn1/2)<<(n+1/2)时；,()-,当(n-"2)A3<3<(n+1/2)时；这是两个分段跳动函数，它们都以<，>为白变量，并每隔As,函数值改变-次。好吧，数字太不直观，我把自(3)的函数图象大致画出来便利大家理解：图1.上面这个阶梯状的东西就是F（3）的函数图象。（）的图像也是类似的阶梯状，而且它的更简洁，是一个从负无穷到正无穷逐步上升的形态（每次上升一个角基频的大小）。这里有必要说明一下，以免误导大家：F.一般都是复数,只有在Nx）本身是偶函数时才是实数，因此函数F的值也应为发数。也就是说，将F'的函数图象画成图1那样的实数形式其实是不合理的。我这样做只是为了便利大家理解（6-3）中的和式是如何变成积分式的。好了，有了这两个函数，我们再来细致看看式（6-3）,不难看出，这个和式其实就是函数F*在（-8,+8）上的枳分（面积）！这次我们再进一步，将上面两个式子中的F.和”也都换掉，使其变成3和F'这两个函数之间的关系式（离胜利不远了）：+00F(X)=F1fei'xdx2111.一8尸*(。)=f)ei'xdx-1.这就是转换后的结果。笔记篇中的式（6b）与式（7）,跟现在推出的式（67与式（7-4）,是完全等价的，因为后面的两个就是依据前两个换算来的，只不过借助广（3）和3'（八）这两个新构造的函数而已。表达的意义一样，适用范围也一样（都适用于周期函数），但形式却大变!这时再回头看看式（9）和式（8）,我们最终可以松1.1.气了，形式完全一样！好了，现在我们再看看看周期1.趋于无穷时会发生什么。假如干脆分析笔记篇中的式（6b）与式（7）,我们会很悲观，因为1.趋于无穷时，它们都“退化”了，很难干脆地从这两个式子中得到有用的信息（假如用这两个式子，我们所能得到的“直观”结果就是：c“全变O了，所以f（x）是0。明显这是错的）.但我们后来创建出来的式（6-4）与式（7-4）,适应环境的实力就很强了。1 .首先，1.趋于无穷时，A3会变得越来越小直至变成0（A是什么？忘了？前面有，=（11/1.）；2 .同时，对于'（）=n,由于A3其实就是角基频，而相邻的两个储差就是一个角基频，依据1可知，1.趋于无穷时，3'（3）就F1.I阶梯跳动变得连续了，这时（）=03 .同时，两个相邻的F“他们的差别也越来越小直至变成0,（%=C1X21.,从量的表达式可以看出，1.趋于无穷时Cr1.本身就是一个与（1/1.）同阶的无穷小量，那相邻的Ca之间的差值就是比(1/1.)更高阶的无穷小量，因此相邻的F.之间的差值就趋于O了)。这样一来，图1中表示的函数F(3)就渐渐的由阶梯跳跃变成果，这时F*(3)就可以表达为：6*(©)=f(,x)exdx-Z(-x)而式(64)也可表示成：.，F(X)=1211÷xF*dx式(10)和(11)其实就是式(8)和(9)OK完结，多么简洁，可是以前就没想到，刚现在才开窍。数字媚戏玩完之后，我们再好好理解一下式(8)(9)中的F(3)。从我们刚才的证明过程中，可以看到F11=c1,×21.,在笔记篇中我说过，a其实就代表某个频率波重量的振幅和相位，而卜与a,是成正比的，它的值同样可以表征一个波重量的振幅和相位。F(<j)与R有相同的意义，因此【；（3）的分布其实就代表/各角频率波重量的分布。具体的说：F（）的分布正比地体现了各个角频率波重量的振幅分布。（别忘了F（3）是第数）的辐角体现了各个角频率波重量的相位分布。我们平常所说的“频谱图”，其实指的就是I1；（3）的函数图象，它始终是偶函数（这个就是实数了，因为我们取的是F（。）的幅值而不是F（3）本身）。对于满意傅里叶变换条件的非周期函数，他们的频谱图般都是连续的；而对于周期函数，他们的频谱则都是离散的点，只在整数倍角基频的位置有非零的频谱点存在。依据频谱图可以很简洁推断该原函数是周期函数还是非周期的（看频谱图是否连续就行了），而且对于周期函数，可以从频谱图读出周期大小（相邻的离散点之间的横轴间距就是角基频，这个角频率对应的周期就是原函数的周期）。那怎样读出每个频率的振幅呢？IF（）与振幅成正比，要想读出某个频率波重量的实际振幅，只需让F（3）乘以相邻离散点的横轴间距再除以11即可。其实就是让F（3）除以原函数周期值的一半（即1.），参考卜我们上面说到的E,和C“之间的关系式以与我在笔记篇中提到的“Ia1.的幅值是实际振幅的一般”，就可以轻松得到得到这个结论。对于非周期函数来说，其频谱图已趋于连续，相邻“离散点”的横轴间距就是一个无穷小量，而F（3）是有限值，那么每个频率波重量的实际振幅就都是O了。所以对于非周期函数，说“|F（3）|代表了振幅密度的大小”比说"F（）代表了振幅的大小”更贴切一点。在某个宽度为A3的区间内（频带），对这个“密度”进行积分，（其实还要再除以11的）就能得到这个宽度为的频带中全部频率产生的振幅之和（虽然大家的振幅都是趋于0,但多数个加块就有非零值了）。怎么理解呢？先把这个连续频谱图想象成一个由许多离散点组成的离散频谱图，只不过相邻离散点之间的横轴间距特殊小（用da表示吧，便利我叙述），其实相当广先把这个非周期函数想象成了一个周期很长的周期函数（周期越长，相邻离散点的横轴间距111.越小），然后用周期函数那一套计匏这个宽度为A3的频带内全部频率的振幅之和，求解方法就是让每个非零的频谱值乘以相邻离散点横轴间距d,都加一块，再除以11o这要取个极限的话，正好就是“在这个宽度为As的频带内，对这个密度进行枳分，下面配两个图，分别是一个周期函数和一个非周期函数的频谱图:F(3).图2周期函数的频谱图注：用箭头指示是因为画孤立点的话如果图小就不容易看到，“并不代表尖峰脉冲”本文完。我以前就始终不清晰傅里叶变换和傅里叶级数的具体关系，在网上找不到很好的资料，以前又没听过课（估计课上也不会讲），书本上又讲的太模糊，所以很长时间没有好好思索过傅里叶级数，现在最终自己想明白了。希望我的这些想法希望对你也有所帮助。我探讨过傅立叶级数可以说是对于个周期性的函数而含的，然而当我们把周期看成无穷大时，那么离散的傅立叶级数也就成为了连续的傅立叶变换了，然后在利用哪个欧拉公式，将它变成了实数与发数的傅立叶变换心这个是时域与频域的变换，这个变换大大的化简r在时域里面的运算，我们可以看到傅立叶变换的求导和积分都是在原来的基础上多了个幅度的改变而已，F（3）=e3i,连续形式的傅立叶变换其实是傅立叶级数的推广，因为枳分其实是种极限形式的求和算子而已。离散傅立叶变换是离散时间傅立叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTET在时域上离散，在领域上则是周期的°DTFT可以被看作是傅立叶级数的逆.对于周期函数，其傅立叶级数是存在的：这是一个特别奇异的变换