二项式知识点十大问题练习含复习资料.docx

1 .二项式定理：(a+b)n=Cy+Ca1.b+C;an'b,+C»"(e/V).2 .基本概念：二项式捉开式：右边的多项式叫做(“+”的：项爆开式，二项式系数:绽开式中各项的系数C：(r=0.1,2项数：共(r+1.)项，是关于的齐次多项式通项：淀开式中的笫r+1项Cw1.一少叫做二项式标开式的通项。用Tr,t=C<,b,表示。3 .留意关键点，攻数：捉开式中总共有(+1)项.依次：留意正确选择”，其依次不能更改.(+/，)"与(+")"是不同的。48数：4的指数从逐项M到0,是降耗排列。的指数从0逐项减到“，是升邪排列。各项的次数和等于.系数：留意正确区分：项式系数与项的系数，：项式系数依次是U，C，C，,q,c;项的系数是与b的系数(包括：顶式系数.4 .常用的结论：令“=1S=X,(1+x)"=d+C*+C：.d+CX+C*"SwN)令=1,8=-X,(I-X)"=U'-C>+C-X2-.+C>r+(-I)"C>"(mGAr)5 .性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对矩离”的两个二项式系数相等，即C=CC=CT二项式系数和：令=b=1,则二项式系数的和为d+C+C+C'=2",变形式U+C+U+U=2"-1.奇数原的二项式系数和-偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令=1.Z>=-1.则C：-C：+C：-C：+(-ire；=(I-I)"=0,从而得到：C,'+d+C+d'+=C+C+C-rt,+-=×2n=2n-'有数项的系数和与偈数顶的系数和:(a+x)11=C43,+Caf-1.x+C;a'-2x2+C>0.vn=q>+a1.x'+a2x2+anxn(x+a)n=Cy/+Cab+C>V-2+.+C>n=+a2x2+1.+%令=1.则为+q+生+仆÷an=(r?+1.)11令*=I,!Jq,+/-a、+÷<zw=(u-1.)z,+得4+/+q+Urt=("+"”一)”(奇数项的系数和)-得,q+6+%+4=红号”立(偶数项的系数和)二J¾式系数的双大项：假如：项式的郝指数是例数时，则中间一项的：项式系数CW取得最大值.假如二项式的知指数”是奇数时，则中间两项的二项式系数肃.一1c同时取得最大值.系数的最大项：求(+a)”淀升式中最大的项,一般采纳待定系效法,设雄开式中各项系数分别Z>A为A，A、,4“，设第r+1项系数最大，应有<'“一，从而解出来一IAa2A专题一题型1：:项式定理的逆用：例：C：+C：6+C：-6?+.6,=,解：(1.+6r=C+C-6+C；-6-+C；-6'+C'6'与已知的有一些差距.C+C>6+C6+C>6"T=(C6+C62+C>6")=Ic+C,1.,6+Cj62+C：-6*-1.)=1(1+6)-1=(7"-1.)666练：C+3CJ+9C>+3,c;=.解:设S,=C：+3C：+9C；+3*q,则3S.=C：3+C'3'+C；3,+C；3"=C：+C：3+C1；32+C：3'+C：3"-1=(1+3)"-1(1.+3)n-1.4"-1''=33遨型二：利用二项公式求取的系数:例：在二项式（行+MFy1的绽开式中倒数第3项的系数为45.求含有./的项的系数？解：由条件知Cr2=45.RPC；=45,-11-9()=0,解R"=-9(含去)或"=IO.由0=C鼠T)"%=GM三子,由题意-W-+r=3,Wr=6.43则含有x'的项是第7项T=CQr'=2】0./,系数为210，练：求绽开式中V的系数？2.v解：7；.,=C;(xir(-)r=GCx",-2r(-)rx,=C(-),.*,-3.令83/=9,则Ix22r=3I71故X"的系数为C；(一5)'=彳题里三：利用通项公式求常数项:例：求二项式(F+-I=)10的旋开式中的常数项？解：7；tI=C1,0(),-r(-U)r=C1,0(rA2'r,令201=0,得r=8,所以2.t22%y夕噎练：求二项式(2.r-)6的旋开式中的常数项？解：=G(2x)"'(-1.)'()'=(1)'墨26"(；)'./”，令6-2r=0得r=3,所以4=(-I)C=-20练：若(/+_)"的二项绽开式中第5项为常数项，则”=.X解：1=U(F)"7(¼'=C2E2,令2-12=0.得”=6.X鹿型四；利用通项公式，再探讨而确定有理数项；例：求：项式(JT-WV绽开式中的有理项？解：7；.,=C(x7,(-r)z=(-1.),C1iAr,令-wZ,(0rS9)得r=3如=9,6所以当，=3时.卫二=4,Ti=(-1.)Cx4=-846当r=9时，=3,>=(-1.)3C=-.6题型五：奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：例：若(7-J=1绽开式中偶数项系数和为-256,求A-解：设("一苏)"绽开式中各项系数依次设为4，%，*令X=-I,则有0+-=0.令x=1,则有«0-«,+,-+(-1.),11=2".将-得：2(“+«,+%+)=-2',a1.+a1+,+=2,1.,有璃意得，-2=-256=-2f1.,.=90练：若的城开式中,全部的奇数项的系数和为1024,求它的中间项.解：.C+Cj+U+C'+=C：+C：+CT'+=2i,.2Z=1O24,解IUn=II所以中间两个项分别为n=6,n=7,小=C>J)6(s4)5=462-.t4.Q=462*题鞭六：朵大系数，最大项:例：已知（二+2刈"，若捉开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求淀2开式中：顶式系数以大项的系数是多少？解：C+C：=2C.，一21.+98=0,解出n=7或=14,当=7时，筵开式中：项式系数最大的项是7；和I；.7；的系数=C（；）"2'=T，7；的系数=<7；（；）”4=70.当=14时，绽开式中：顶式系数以大的项是7；,1的系数=C：,1）'2=3432.练：在5+）”的绽开式中，二式系数最大的项是多少？解：二项式的R:指数是偶数2，则中间一项的：顶式系数最大，UJ=7：,.,也就是第“+1凰练：在（5-京）"的旋开式中，只有第5项的二项式最大，则绽开式中的常数项是多少？解：只有第5项的：项式最大，则+1.=5,即=8,所以绽开式中常数项为第七J等于以少=7例：写出在（。-8）'的绽开式中，系数及大的顶？系数最小的项？解：因为二项式的鼻指数7是奇数,所以中间两项（第4.5项）的二项式系数相等,且同时取得最大值，从而右;=-CM%的系数公小，7；=C；«V系数最大。例：若绽开式前三项的二项式系数和等于79,求g+2x）”的坡开式中系数最大的项？解：由C'+C+U=79.解出”=12.假设却项最大,(1+2x严=(；严。+4x)”M/,化简得到94r10.4又.Or12,小AJcc-1.4-',.1Arc14)c17,4.r=10.淀开式中系数最大的项为7；有几=4产SW°=I6896M0练：在(1+2x的艇开式中系数引大的项是多少？解：假设刀“项最大，？；”=G第y，=产入可I，化简得到4“A,?(C1;2rC；"",r+1.2(1.()-r)6.37.3,又.04r10.r=7,绽开式中系数最大的项为7；=C1,27=15360*?.题鞭七：含有三项变两项：例：求当(F+3x+2)i的绽开式中X的一次项的系数？M:(x2+3x+2)5=(x2+2)+3xf,.Tr.1.=C；(x2+2)f,(3x)r,当且仅当r=1.时，7；”的绽开式中才有*的一次项，此时(“=第=G(./+2)"3x,所以X得一次项为C；Cj2'3x它的系数为C；C：2"3=240。解法；(x2+3x+2)s=(x+1)s(x+2)s=(CJ,a-s+C>4+C*)(C,xs+C>42+C；2s)故绽开式中含X的项为C；*C2'+Ctx24=24(",故绽开式中X的系数为240.练：求式子(M+J7-2)的常数项？W：刎而2)洞谪)0.设笫r+1.i为常数项，则.W6-2r=0.r=3.心=G(T)Irr(y=(T)6C;Mr1.11=(-),c2=-20.题型八：两个：顶式相乘；例：求(1+2x)'(1.7)'展开式中小的系数.解：.(1.+2x)'的展开式的通项是C>(2Xyn=C(I一R4的展开式的通项是C：(一x)«=C：-1"x",其中，"=0.1,2.3,=0,1,2.3.4.令+=2.则，=Ofiw=2,m=1且=1.m=2且A=0.因此(1+2)1(1-x)4的展开式中M的系数等于笠2°6(T)2+cbTc:Ga+耨"C(T)0=-6绦求(i+7)F+2尸展开式中的常数项.I4»4W-K骷(1+火)6。+二严展开式的通项为0亍"=cc1V.Vm=6.=8.其中加=0.12.6,n=0.12,10.当且仅当4m=3",即，'或.或=0,=4,时得展开式中的常数项为以+4246.练：已知(I+X+/)(.v+4)"的展开式中没有常数项.wGfJ12<8.则”=X解：(+4)"展开式的通项为c>x-"=q,通项分别与前面的三项相乘可得XC：MtC:j”.c;S2,.展开式中不含常数项.28n4r且“4r+1.K114r+2,即“4,8J1.n*3,7且“2,6,.'.n=5.遨型九：奇数项的系数和与偈数项的系数和：例：在(K-)x*w的二项展开式中,含布J奇次解的项之和为5,当X=5-t,5=解：曲x-'*=¾+ij+2x2+avr+a2intxxn,(-2)2*w4=<0-aix,+a2x2-113+wft©-斓2(。严火./+%/+xo5.v2,j,s)=x-42)-x+2)三.(X-右产展开式的奇次赛项之和为S(X)=1(a-严x+V)"""当X=5,S(2)=-(2-0严-(2+0产=-=-2,22即型十：赋依法：例：议二项式(3爪+1)”的绽开式的各项系数的和为p,全郃二项式系数的和为s,若X“+S=272,则等于多少？解：(37+-)"=au+W1a-+a,x2+auxn.,=a,1.+1.+«,.S=C+q=2",令X=I得/>=4",又P+S=272.即4+2=272=>(2+172n-16)=O解得2*=16或2"=T7(自去)，.”=4.统：若(3石-，=的淀开式中各JS系数之和为64,则艇开式的常数项为多少？解：令x=1.则卜4-1=)的绽开式中各J系数之和为2"=64,所以=6,则绽开式的常数项为C(37)1.(-%)3=-540.例：若(13产=q,+M+府+%，+&,-XG/O玲+参+翁的值为解：令X1可得4+>墨+.+然皿喙+*+筹=一4在令X=O可得4=1.因而B+*+撅=T练：若(X-2),=«5/+<jx4+1.x3+2x1+x'+时,则4+«,+j+4+3=解：令X=O得=-32,令X=I得4+a1.+a2+«,+,1+«,=-1,：.q+%+4+生+&=31.避里十一：整除性：例：证明：3*c-8-9(e*)能被64整除证；3:"*2-8/»-9=9*,"-8«-9=(8+1)*"1-8m-9=+C.9+C芦+C.8,+C；：；-8n-9=Ct8"'+C：“8"+q-,8,+85+1)+1-8-9=CX+C>8*+4芦由于各项均能被64整除二3?"2-8"-90igN'）能被64整除k(X-D”键开式中X的偶次项系数之和是1，设f()=(-1.)”,倡次项系数之和是小正D=(-2)u/2=-102422、C+3C：+3'C：+3"G=2、，3、(为+尢)20的绽开式中的有理项是绽开式的第项.3、3,9,15,214、(2-D'筵开式中各项系数肯定值之和是4,(2xT)锭开式中各项系数系数肯定值之和实为(2x+1.)"绽开式系数之和，故令x=1.,则所求和为3s.5,求+x+x2)”绽开式中'的系数.5J1.+x+x+-X)H1.=(I-x*1.-X)，要得到含x'的项.必需第一个因式中的1与(1x)'绽开式中的项c；(-x)4作积，第一个因式中的一X与X),绽开式中的项Cb-X)作枳,故x'的系数是C；+C；=1356、求(Dx)Xhx)?+MIx)"'绽开式中x'的系数.6、(I+X)+(I+x)2+(1+X3=(1+x)U-+)'°1.=(X+1)”-(X+D原式中X，1.-(1.+x)X实为这分子中的x',则所求系数为C17,若f(x)="+x)*n+(1.+x)”(mnwN)Si:开式中,X的系数为21.何m、n为何值时.x的系数最小？91J<M)7,由条件褥>n-21,x：的项为Ci2+cj2.则C：+C：=(n-W)2+N.因nN.24故当rv三10或11时上式有最小值,也就是B=U和n=10,或M1.O和211时,小的系数最小8、自然数n为隅数时，求证：I+2C：+C：+2C：+U+-+2C：-1+C：=32n,8、原式=(C：+C；+C*+C=+C)+(C,+O+CT)=2n+21.1.=32”9、求80”被9除的余数.9、80"=(81-1)"=Ch8"-¢,8110+C1181-1=8I-I(Z),Vk三Z,9k-1.Z.81”被9除余810.在(x'3x+2)的绽开式中,求X的系数.IOx(xj+3x+2)s=(x+1)s(x+2)s在(x+D'雄开式中，常数项为1,含X的项为C；=5x,在(2+x).绽开式中，常数项为2'=32,含X的项为C12X=SOx，绽开式中含X的项为1.(80x)+5x(32)=240x.此绽开式中X的系数为240.11、求(2x+1产绽开式中系数最大的项.11、设T,.：的系数G大，则T.:的系数不小于T,与Te的系数，即有CJ22C；'2C；2>C；：'=>3-r4-,.r=433.续开式中系数最大项为第5项，T16C；/'=7920x