二项式定理及典型试题.docx

二项式定理与典型试题学问点一：二项式定理二项式定理：(+b)*-Cj0+CC-3+Cw1.>r+C；炉(<)公式右边的多项式叫做(+b)的二项绽开式：绽开式中各项的系数0；(101"-/)叫做二项式系数；式中的第r+1项叫做二项绽开式的通项，用。“表示；二项绽开式的通项公式为1】=Cs"引.学问点二：二项绽开式的特性项数：有n+1项：次数：每项的次数都是n次，即二项绽开式为齐次式：各项组成：从左到右，字母a降相排列，从n到0：字母b升箱排列,从。到n；系数：依次为TJrQ.学问点三，二项式系数的性质对称性：二项绽开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等单调性：二项式系数在前半部分渐渐增大，在后半部分渐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项绽开式中间项的二项式系数0?最大；当n为奇数时，二项绽开式中间两项的二项式系数汀，汀相等，且最大.二项式系数之和为T,即C+C：+C；+禺三2*其中，二项绽开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和,即C+U+C+s三c2+ct+c;+=2”经典例题例1.求（34+9片的绽开式；解：原式=（罕1.吗c=4c<3"+c（3»+c）、CxW+.1.x=81+84+-+54X*【练习1求（3Ga'的绽开式2 .求绽开式中的项例2.已知在（近-加的绽开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含寸的项的系数；（3）求绽开式中全部的有理项.解：通项为"c：，。TXW=（-g）G广因为第6项为常数项，所以r=5时，有彳=0,即n=10（2）令与2=2,得r=2所以所求的系数为C*-2-=竺.324（3）依据通项公式，由题意与晨Z0r10.rZ令吐"=KAgZ）,则=5-竺，故A可以取2。一2,即r可以取2,5,3 28.所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为3（-手炉0（-G（-夕*'2【练习2】若7+志）"绽开式中前三项系数成等卷数列.求：（1）绽开式中含X的一次麟的项；（2）绽开式中全部X的有理项.3.二项绽开式中的系数例3.已知(6+/产的绽开式的二项式系数和比(3x-1.)"的绽开式的二项式系数和大992,求(2x-J"的绽开式中：(1)二项式系数最大的项：(2)X系数的肯定值最大的项(先看例9).解：由题意知，2?"-2"=992,所以2"=32,解得n=5.(1)(D由二项式系数性质，Qx-1.严的绽开式中第6项的二项式系数最X大.Ttt=C1;(2a)3(-1)5=-8()64.(2)设第r+1项的系数的肯定值最大，Q.产Ty52F，产，C1,02'0-"C1.,u,2'1-/C21.°-,C'29-C°2G2G1即1."r2r2(r+1.)10-r解得IMrMvreZ,.r=3,故系数的肯定值最大的项是第4项，7；=-C27.?=-1536Oa练习3已知的绽开式中的第五项的系数与第三项的系X数之比是10：1.求绽开式中含f的项：(2)求绽开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的绽开式指定塞的系数例4.(/+1Xx-2)7的绽开式中，/项的系数是解：在绽开式中，X的来源有：第一个因式中取出/,则其次个因式必出J其系数为C（_2）”；第一个因式中取出1,则其次个因式中必出，其系数为.X,的系数应为：C（-2）G+C；（-2）'=1008.1.8.5、求可化为二项式的三项绽开式中指定幕的系数例5（M安徽改编）（x+'-2）'的绽开式中，常数项是；X解：（x+1.2-=3,=S二121,该式绽开后常数项只有一项XX.v,C'I）,即-20X6、求中间项例6求（i-，的绽开式的中间项；解：T.1.=C,g"”亡）、.绽开式的中间项为仁心<卡，即：-2521.当”为奇数时，（+6）"的绽开式的中间项是犬产户和产卢：当为偶数时，”的绽开式的中间项是厂/后7、有理项例7（4-；尸的绽开式中有理项共有项；解：工，=C"严：）'=c>i）'j，当r=0,369时，所对应的项是有理项。故绽开式中有理项有4项。当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式;当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不行约分数）时，那么这个代数式是无理式。8、求系数最大或最小项<1)特别的系数域大或最小问题例8(00上海)在二项式(X-Iv的绽开式中，系数最小的项的系数是；解：却=Or-D'.,要使项的系数要小，则r必为奇数,且使C；为最大，由此得=5,从而可知最小项的系数为C,(-D=T62<2>般的系数最大或最小问题例9求绽开式中系数最大的项；2ih解：记第/项系数为7>设第2项系数域大，则有广之，Tk1.,又7；=C'1.1»那么有C'2"C'即IfK一2二一2二1c-c:.广7°”工Ti(K-IN49-Kp*,zK!8-K)!9-KX解得3分M4,系数最大的项为第3项7>7/和第4项Z=7)。(3)系数肯定值最大的项例10在(x-)"的绽开式中，系数肯定值最大项是解：求系数肯定最大问题都可以将型转化为Fa+/，)"”型来处理，故此答案为第4项c>y，和第5项_c；小,。9、利用“赋值法”与二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例I1.(2x+v5)*=a,+a1.x+a.x1+a,x,+a1.x),则+q)'的值为；解：V(2x+,3)*=an+a1.x+a,x:+a,x'+a1.x'令X=I,有(2+V3)4=(,+a,+a.+ui+«,令X=-I,有(-2+75)4(«,+.+«4)-(«,+,)故原式=(“+4+«,+<,+,).3.+«；+at)-(a,+«,)=(2+V3)*.(-2+VJ)*=(-1)1=1【练习1若(I-2x)mm-,+1.+a.x2+.+20(MX”“，则(4+rt1)+K+j)+.+(«+0>«)=_解：.(1-2万严=%+4)+%/+.+2004/".令X=I,有(1-2严="。+.+%j=I令X=O,有(1-0产'=4=1故原式=(即+at+«,+.+*)+2OO3u=1+2003=2004【练习2】设(2r-1.-<,x"+,x'+.+,x+4.»则k+m+E+.+d=；解：乙I=C(W(T)rp0+f1.1.+1«,+.+at=at-a,+a,-a,+ai-a,+at=(,+.+o1+,)-(1+a,+0,)=110、利用二项式定理求近似值例15.求0.998°的近似值,使误差小于0.001；分析：因为0.99泸=(I-0.002儿故可以用二项式定理绽开计算。解：0.998h=(1-0.002F=I+6.(-0.002)'+15.(-0.002):+.+(-0.002)6/7；=(.(-O.2)2=I5×(-O.OO2)2=0.(XKX)6<0.1.且第3项以后的肯定值都小于0.001,.从第3项起，以后的项都可以忽视不计。.0.998h=(1.-0.002)61.+6×(-0.2)=1-0.012=0.988小结：由(1.+W=1.+C>+C2+.+O",当X的肯定值与1相比很小且很大时，/.一等项的肯定值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽视不计，因此可以用近似计算公式：(1.+x)"z+",在运用这个公式时，要留意按问题对精确度的要求，来确定时绽开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以运用更精确的公式:八、”.1)ra+,÷÷-x-新课标人教版排列、组合与二项式定理(选修23)留意事项：1 .本试题分为第I卷和第I1.卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。2 .答第I卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡,并收回。3 .第1卷每题选出答案后，都必需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑，如需改动，必需先用橡皮擦干净，再改涂其它答案.第I卷一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(08年上海卷12组合数C(>r>b爪rZ)恒等于n()a篙1；B.("D6%；C.nrC二D.4弋rr1.2.一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是A.40B.74C.84D.2003 .以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有()A.18个B.15个C.12个D.9个4 .从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦,则这样的不同的和弦种数是()A.512B.968C.1013D.10245 .假如(+A)"的绽开式中全部奇数项的系数和等;512,则绽开式的中间项是()A.味了B.77C.或.iD.屐/”46 .用0,3,4,5,6排成无重红字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是()A.36B.32C.24D.207 .现有一个碱基力，2个减基43个碱基£由这6个碱基组成的不同的碱基序列有()A.20个B.60个C.120个D.90个8 .某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，假如将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为()A.504B.210C.336D.1209 .½(1.+x)3+(1.+(1.+x严的绽开式中,f的系数等于D&B小10 .现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参与数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是()A.2男6女B.3男5女C.5男3女D.6男2女11 .若WR,÷.定义MJ=X(X+1)(*+2)1),例如M1.=(-5)(-4)(-3)(-2)(-1)=-120,则函数/(x)=AM2的奇偶性为()A.是偶函数而不是奇函数B.是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数12 .已知集合力=1,2,3,Q4,5,6),从巾到8的映射力，中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为()A.8B.9C.24D.2713 .有五名学生站成排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有().24种B.36种C.60种D.66种14 .等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10,这样不同形态的三角形的种数为(A.8B.9C.10D.1115 .甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，假如甲同学不值周的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有().36种B.42种C.50种D.72种16 .若(QX)'°a0+a1.x+a2j+.+zyx,0,J1.J(<+a2+.+10)-(1.+03+<)2的值为()A.0B.2C.-1D.1第I1.卷二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在横线上.17 .某电子器件的电路中，在48之间有GD,从/四个焊点(如图),假如焊点脱落,则可能导致电路不通.今发觉A,4间电路不通，则焊点脱落的不同状况有种.18 .正整数&&A-2h-1.称为凹数,假如>>"t且-1.>,-2>->a>其中at(7=1,2,3,)0,1.,2,9),请回答三位凹数a1(a1)共有个(用数字作答).19 .(08年福建卷13)若(不一2)$=&/+a>'+a+&/+a+a),则+aj+a1.+=.(用数字作答)20 .栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满意有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的全部可能状况种数有.21 .已知(x+1.)'(a*1)*的绽开式中，系的系数是56,则实数a的值为三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.22 .（本小题满分10分）将7个相同的小球随意放入四个不同的盒子中,每个盒子都不空，共有多少种不同的方法?23 .（本小题满分12分）已知（水+V?”绽开式中的倒数第三项的系数为45,求:（1）含下的项；（2）系数最大的项.24 .（本小题满分14分）规定M=X（X-I）.（x"+1.）.其中xwR,m为正整数，且父=1.这是排列数M（",m是正整数，旦”）的种推广.（1）求A'的值：（2）排列数的两特性质：A：=”心，AT+认丁=/C.（其中m,n是正整数）是否都能推广到A>sR.m是正整数）的情形？若能推,写出推广的形式并蜴予证明：若不能，则说明理由：（3）确定函数的单调区间.25 .（本题满分14分）一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，四周的圆环分为（23,WN）等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.（1）如图1,圆环分成的3等份为有多少不同的种植方法？如图2,圆环分成的4等份为q.4，4，生，有多少不同的种植方法？（2）如图3,圆环分成的n等份为q,%,%，4,有多少不同的(S1.)(图2)溷3)参考答案3.CQ4-3=12.种植方法？4. B分8类:C+&+%+.+C：=C，+C；+G：+.+-(C)=H+10+45)=968.5. B21=512,，=10,中间项为4=。？（«）5=&/66. D按首位数字的奇偶性分两类：A；A；+（A"A；）*=207. B分三步：CCG：=&）8.AA；=504.:504.9.B+)'"Q+严Jb-<!+)j+产即求(+X)W中X的系数为GJw.原式=I-。+K)X10.B设有男生X人，则C±>,C=90,即gT)(8)=3O,检验知8正确.I1./(x)=x(.v-9Xx-8).(A-9+19-1.)=A2(.V-1.K.r-4).(x2-81).12. DC-31=27.13. B先排甲、乙外的3人，有A：种排法，再插入甲、乙两人，有种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占1,故所求不同和站法有'=36(种).14. C共有(1,1,1).(1.2,2),(1,3,3),(1,4,4),(2,2,2).(2,2,3),(2,3,3),(2,4,4),(3,3,3)(3,3,4)10种.15. B每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的推法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有C：C-2Ae：+用=42(种).16. D设f(x)=(2-j1.i1.W1J(c1÷HFtJ)2-(a+a4卜W(4÷a+ai1.)（八）a1.÷aw+a1.1.)=F(I)f(I)=(2+1.),0(2-1.),0=1.二、填空题17. .13按焊点脱落个数为1,2,3,4分四类，有G(C尸中选一)+Cf+C+仁=13.18. 2402%=24019. 31设/"&)=(*2)*=as*'+a1.x'+aix+asZ+a1x+a>,则"=(/2尸=a+aj+a>+a>=-1,又，SH=(2)'=32.故ai+az+a、+a,+a；=3120. 65分二类：第一类，甲上7楼，有6种：其次类：甲不上7楼，有4X2X5种，共有5：+4X2X5=65种.21. -1或6(工+1.)6(<-1.)2三(x6+CK+C'x1.+C>,+C；X+)(2x2-2ax+1).项的系数为I+C：(-2a)+C>M=56.即M-5-6=0.=T或=6.三、解答题22. 解法1：.7=1.+1.+1.+4=1.+1.+2+3=1.+2+2+2,分三类，共有分法C+&+C=20(种).解法2(隔板法)：将7个小球排成一排，插入3块隔板，故共有分法C=20(种).23. 解：由题设知C,2=45,即C：=45".=10.2I-1Ir-7;f1.=CMX1)1.0z(x")r=Qa-,令.；=3,得，=6,含的项为7；=CtMIX=G53=2oM."-W25系数最大的项为中间项，即T=C>=252.r.24 .解：(I)4!15=(-15)(-16)(-17)=-4O8();(II)性质、均可推广，推广的形式分别是：AT=Xe：,A"+,吠|=A1(XWRgeN.)事实上，在中，当】=1时，左边=4=,右边=Mi=X,等式成立；'1.,n21.左边=X(X-I)(x-2)(.v-w+1.)=x(x-1.)(x-2)(x-1.)-(w-1.)+1.)=XC因此，AT=M成立；在中，'i”=1.时，左边=A：+A：=x+1.=A1.I=右边，等式成立：当m2时，ii=(-1.)(.v-2)(-/?+1)+wu(-1)(.v-2)(x-m+2)=X(X-I)(X-2)(X-+2儿(X-+1.)+m=(X+1)x(X-I)(X-2)(x+1.)-w+1.=A1.=右边，因此A：+，碉=A：1(.reR.meNJ成立。(IH)先求导数，得(大)=3f-6x+2.令3-6x+2>0,解得或x>5.33因此，当XW时，函数为增函数,当XW,+8时，函数也为增函数。令3-6x+2<0,解得±m<x<g5.因此，当xW.时，函数为减函数所以，函数4：的增区间为.+函数人的减区间为25 .解：(1)如图1,先对&部分种植，有3种不同的种法，再对及、小种植，因为、然与哥不同颜色，、包也不同.所以S(3)=3X2=6(种)如图2,S(4)=3×2×2×2-S(3)=18(种)如图3,圆环分为n等份，对a有3种不同的种法，对生、&、&都有两种不同的种法,但这样的种法只能保证&与d(六2、3、n-1.)不同颜色，但不能保证团与&不同颜色.于是一类是区与a不同色的种法，这是符合要求的种法，记为S(")("N3)种.另一类是黑与四同色的种法，这时可以把&与国看成部分，这样的种法相当于对n-1.部分符合要求的种法，记为55-1).共有3X2-种种法.这样就有55)+S(n-)=3×2'.即S(w)-2"=TSs-I)-2-,则数列S5)-2"(3)是首项为S(3)-2'公比为一1的等比数列.则S(M)-2n=(S(3)-2'(-1.)n-,(M3).由(1)知：S(3)=6.S()-2"=(6-8X-I)*.-.S(m)=2*-2(-1),'.答：符合要求的不同种法有2"-2(7)i种(23).