位值原理与数的进制.教师版.docx

5-7位置原理与数的进制国掘本讲M轨论学何体系中的两大基本问题,也是学好找论学问所必须条写我的学问要点。通过本番的学习，笑求学生双小并硼熟皮用位值原理的表示彩式，驾版透制的表示方法、各迂制网的互化以及二进：W与实除问英的冷台应用.异学会在其它遗凯中位值原理的应用.从而使一些与数论用关的问卷向洁化.角IM蚱尊画一、位值JK理傀值摩班依定义：同一个数字，由于它在所勾的教里的住直不同，所表示的教值也不同。也犹是说，每一个数字除了有自身的一个值分.还一个“住置值例加“2”，写在个位上,就表示2个一.写在百位上，就表示2个百，这种数字和教位结合起来表示敬的原则，称为与教的位值原理.征值朦现的豪达给式：以六值数为例：Mef=a×10QOOO*bX10OQO*c×1000*d×10O+e×10*f.二、敷的进制我们常用的边制为十进制，材点是“逢十选一”。在实除生活中，除了十进制计效法外，还有其他的大于1的自然敦进位制。tt如二进制.八送制.十六进制导。二进制：在升鼻机中.所关纳的计找法是二进$4.即“逢二进一”.因此.二造肥中只用两个数字0和1.二进制的计收单位分别是1'2'、22,二遗制女也可以写做蚊开式的劭式,例如100I1.o在二进制中表示为：(100110)F1.×2,+0×2*+0×2i+1×2'+1X2'+0X2N制*4烯算法则：“满二选一二“借一当二”，泵法口诀是：零零得零，一卷拜冬.事一得发.一1.挣一.毒：对于附会自然数n,我们有n°=1°n选制：n遗制的运算法划是“逢n进一，借一当n”，n进：W的四则混合运算和十遗物一样，先来除，后加成：同圾运算，先左后右：有括号时先计算括号内的。址制同的冷染：如右国所示。5三三模块一、位原理【例1】某三位数正和它的反序数丽的基被99除，商等于的差I【解析】招黑“地军迪曳。我们不妨设a>b>c.Gbc-d×'>÷99=(100a*10b*c)-(100c*10b*a)÷99=(99a-99c)÷99=a-c:<H1电产目的差被9除，商等于与的热C*Mt1.tub-Iw)÷9=(10a-)-(10b+a)÷9=(9a-9b)÷9=a-b;【虱因】而与女的和被n除，商等于与的和.KtMt1.(茄+而)÷11=(1Oa+b)+(1Ob+a>÷11=(11a+11b)÷11三+b.例2(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位ft.假如原来的两位数和交换后的新的两位数的差是46,试求这样的两位数中大的是多少？ff¼1.2原主的两位数为汇，交换后的新的两位数为而，依据逆意.%-晶=(IOa+)-(1帅-)=*-历=45,a-b=5,原两位教最大时，十住敬字至多为夕，即a=9,b=4,欺来的两位教中最大的是94.【我国】将一个四位敷的数字依次倒过耒，得到一个羲的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802.求原来的四位JR.【解析】设原数为两,时新致为小如人而-丽=(I(Xxw+1OOr+10+。)-(100+100+1Oc+d)=999(d-a)+9(xc-m.依非题麦：.<999(<-11)+90(c-fe)=8802.111.×(J-)+10×(t-/»)=978888+90.推如d-=8.c-b9.用到d=9.=1.c=9.b=0.原数为1099.<假如一个自然敷的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自稣数，我的就称这个自然数为“巧铲例如，99就是一个巧数，因为9X9+(9+9)=99.可以证明，全部的巧数都是两位效.请你写出全部的巧数.【解析】说这个巧数为0'J<ab+a+b=10a+b,a(b+1)=10a,所以b+1=10.b=9«消息条件的巧敷在：19.29、39、49、59、69、79、89,99.例3(第五届希加杯培训试JB)有3个不同的数字，用它们想成6个不同的三位数，假如这6个三位效的和是1554,那么这3个数字分别是多少？【解析】设这六个不同的三位效为<bc,(Uh,b<u,hca,ab,cha,因为“Zw=10(k+1.(W>+c.<=1.(K)+1.(k+>,它们的和是：222×(+c)=1554,所以a+Z>+c=1554+222=7,由于这三个数字互不相同J1.均不为0,所以这三个数中较小的两个教至少为1,2,而7-(1.+2)=4,所以最大的数最大为4：叉1.+2+3=6v7,所以技大的敦大于3,所以最大的数为4,其他两数分别是1,2.【观事(春杯决赛)有三个数字能1&成6个不同的三位萤，这6个三位数的和是2886,求全鹏这样的6个三位数中小的三位数.【解析】设三个数字分别为a、b、c,那么6个不同的三位致的和为：abc+acb+bac+bca+Cab+cba2(÷h+C)X1.OO+2(+Z>+c)×10+2(a+c)三222×(a+b+c)所以“+>+c=2886+222=I3,最小的三R教的百位数应为1.十住效应尽可能比小，由于十位敬与个位数之和肯定，故个位数友尽可能地大，版大为9,此时十位效为13-1-9=3,所以所有这样的6个三位数中*.小的三位数为139.【观事】用1,9,7三张数字卡片可以Ia或若干个不同的三位数，全部这强三位数的平均值是多少？【解析】卡片“9”倒过来看此"6”。作为卡片“9”，由第3电的结果可知,1,9.7可统成的六个不同的三住我之和是(1+9+7)×222:同理,作为卡片“6”.1.6.7可蛆成的六个数之和是(1+6+7)X222,这12个数的平均值是：(1+9+7)+(1+6+7)×222÷12=573.5,<从9九个数字中取出三个，用这三个数可Ia成六个不同的三位数.若这六个三位数之和是3330,则这六个三位数中小的可能是几？大的可能是几？【解析】议这三个数字分别为a、b,c.由于每个数字都分别有两次作百住、十住、个位,所以六个不同的三国致之和为222X(a÷b+c)=3330,抵知a+b+c=15.所以，当a、b、c«t1、5、9时，它与组成.的三位数最小为159,最大为951。<«a,b,c分别是。9中不同的数码，用a,b,c共Br1.a成六个三位数.假如其中五个三位数之和是2234,那么另一个三位数是几？【解析】由%>.r纽成的六个数的和是222x(+>+c).因为2234>222x10,所以+>+c>10.若“+C=I1,时所求数为2221.-2234=2O8,但2+0+8=10*11,不合遨意.若<j+b+c=12,则所求教为222x12-2234=430,但4+3+0=7h12,不合邀点.芳。+c=1.3.时所求咏为222x13-2234=652.6+5+2=13,杯台迎意.0+<=1.4.则所求疑为222x14-2234=874.但8+7+4=19=14,不合超点：.0+c1.5.则所求找2222x15-2234=1096,但所求数为三位数.不合荒鲂.所以，只有4+)+c=1.3时将合卷玄，所求的三位数为652.例4在两位自然数的十位与个位中间插入09中的一个数码,这个两位数就变成了三位数，有笠两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍.求出全部这样的三位数.tF¼1.因为原两i数与得#1的三住数之和北原两Ii数的10佶.所以原两住微的个住数只施,走0或5.假如个位数是0,郡么无论插入汁久敷，仔剂的三Ii数至少是原两位散的10倍,所以个住数是5.议乐两位数是7.'Jb=5.变成的三位数为ab5,由老急有100a+10b+5=(1.0a+5)×9.it3a+b=4.变成的三住数只能是405.315,225,135«观一辆汽车进入商建马路时，入口处里程律上是一个两位It汽车少速行使.一小时后才到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数.又短一小时后滑到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问，再行多少小时，可看到里程碑上的敷是面这个三位数末两个数字交换所得的三位数.【解析】设第一个21数为10a+b:其次个为10b+a：第三个为100a-：由恋奇：(1a+b)-(10b*a)=(10b÷a)-(10a-):化向可以推得b=6a,0a,b9,得a=1,b=6;即每小时走61-16=45;(601-106)÷45=11;住行11小时，可看到里程碑上的我是前面这个三位教首末两个数字交换所得的三位数。【虱】将四位数的敷字依次M排列后，可以得到一些新的四位敏.现有一个四位敷码互不相同，且没有。的四位数M,它比新效中量大的小3834,比新数中量小的大4338.求这个四位数.【解析】设组成这个四位数的四个皱码为叫b,c,d(,9a>b>c>d),则有两一福=3834+4338=8172,可得999(“-d)+90X-c)=8172=7992+180,则-d=8,b-c=2.«=9,J=I,M=丽+4338,J1.M的四1数字分别为1、c、b.9,由f8+9=17的个位数字为7,所以b,C中有一个为7,fS>-<=2,所以C不能为7,故/>=7,c=5,W=1579+4338=5917.例5已知abed+a1.×+<th+a=370.求R*d.【解析】原或：1111a+111b+11c+d=1370,所以a=1,)C111b+11c+d=1370-1111=259.推知b=2：进而非知c=3,d=4所以abed=1234。【观】(2008年清华附中考)已知一个四位段加上它的各位数字之和后等于2006,则全部这样的四位败之和为多少.【解析】该这样的四住数为而S1Iabed+a+b+c+<1=2(X)8.即KX)Ia+10协+11c+2rf=2008,B1.a=I2._("若=2.则10协+1.k+M=6.得/,=c=0.<1=3.标23:(21若=1.则IOV>+1.1.c+2<=1.7,由于I1.c+2<<11.×9+2×9=1.17,所以IO1>1007-117=890.所以Z>>8,故，为9,I1.c+2<=1.7-9()9=98.则C为偶数，J1.1.1.c98-29=8(>.c>7,由C为偶数知c=8.4=5.嬴7=1985：所以，这样的Dii数有2003和1985两个，典和为：23+1.985=3988.例6有一个两位数.假如无数码3加写在它的前面，则可，到一个三位数，假如把敷玛3加写在它的后面，Ie可得到一个三位数，假如在它后各加写一个数码3,则可得到一个四位数.将这两个三位数和一个四位数相加等于WX).求JK来的两位数._【解析】谟原来的两值妣足,对得利的两个三值数分别为正和行，四位数为砺,由起加市+亚+初=3600,即10xm+3+300+3003+10x=36«).21.x<i=294,=I4.【观事】假如把数码5和写在某自然数的右1%期该数增加AI1.1.1,这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A«#设这个微为X,)t10x÷5-x=川111,化简褐9x=A1()6,等号右边是9的倍数，火法可丹A=I,x=1234.【虱】某八位敷奉如2ab<deffi,它与3的集枳形如加力饮4,J1.I七位数R"d弥应是多少？【解析】议ahcdefgx.则Iabtdefg-2×10+,abcdefg4IoX+4,依48题急.布(2×IO,+.r)×3=!O.v+4,得7=6x10'-4=59999996,所以x=8571428.例7一个六位数不闲，假如潴=4焉丽=灰疝,则稼加7为“迎春数”(例如4x102564=41竺"=102664就是“迎春数”).请你求出全部“迎赫”奥与和.【解析】由于是把六位数而而r的末位/调到背位构成了新六位数向仪心，所以不妨杷丽而£成一个生体，设丽正=A,则依据位值原理可扣“理恭教”是(IoA+/),并满奇关系式：4×(10A+)=i(XXXX)+.对等式化简得：39×A=99996×/.所以：A=25M×f.因为八是五位我.，/是一位教，所以/可以为4,5,6,7,8,9.而“迎尊敬"abedef=1O+/=IOx25M×/+/=25641f,郎么.全部“迎冬敷”的总和是：25641x(4+5+6+7+8+9)=25641x39=999999.Kai(2008年,华弗宴.决委)设六位数而E1.1.a鬲记."%丽，请写出这样的六位数.【好折】令“灰心=X,则：fubcdc=/05+.r,abtdef=IOx+/,所以/x105+x=x(10x+/),可得/(O5-/)K=、，1.比时可将/=I.2.3.4.5.6.7.8.9一一代人进行捡脸,可/告/=I时.10/-IX=H1.ii1.:当/=4时，X=Io2564.只有这两个数满意条件.由于将工可能的依一一代人进行检胶有些麻烦，可以将其进行如下变册后再进行：xr)尸。了"+付u=所以.明必£,则IO-110/-1IO-110/-110/-1(IO加。+/=四空+/=*WMv=是生效.''I0/-110/-I10/-IP“4ms.10fc-10/,104-10+10-1.10,-I999999i1.h.v.n.1.i1攵其为,B1.IO+1-+!-是整数.所以IOf-I<I0/-110/-1IO/-!10/-I999999的妁效.=1.,2,3,4,5,6,7,8,9计，10/-1分别为9.19,29,39,49,59,69,79,89.由9W9%=3'x7x1.1.x3x37简洁M道其中只有9和39是999999的约式.此时,分别为1和4.这样的六住未有Im1.1.和102564.【例8】记四位数Hxd为X,由它的四个数字4b,C,d蛆成的小的四位数记为X”,假如X-X*=999,那么这样的四位数X共有个.1解析】X-X*=999MX=999+X=X+1O-1,所以假如“、c、</组成的四住数X.末位我手不是0.那么X等于杵X*的千0数半加1,个位数字直1.反过来X等于X的千位数斗湎,1,个侬数字加1.所以X，为(4-1.)b<(d+1.).与X比核.分和C住更没有换.交换的Ma和d.X'表示为d1.>ca,可以杼列等式a-1=1,即“=d+1.所以。和”的取值组合，只有2和1,3和2,9和8.共8种状况.对于其中时急一片纽令,由于痛是由旧个数字。、从C、df11成的最小的B位数,分别考虑、C中有0的状况(可能两个都为0：若只有一个0.S'>=0,(ca):以及，八C都不为。的状况(此计”"4c40).可知两钟伏况下各有3种可能.共6冲可能：酒K%.询.加嬴.砺.丽.石忆.比加以=4.4=3为例.而&可能的取依有3004.3034,3044.3334.3344.34444这6个敦.依据氽法原理.满意条件的四仇敦一共有8x6=48件.假加*、c、d组成的最小的四位数X，末位数字是0,明显X，的百住、十位都是0,此时。、b.C.d无法组成其它的四位ft.不合赳意.由于每一个X"对应一个X,所以漏意条件的四位数X共有48个.【例9】将4个不同的数字排在一起，可以坦成24个不同的四位数(4x3x21.=24).将这24个四位数按从小到大的依次排列的话，其次个是5的倍数；按从大到小排列的话，其次个是不能被4整除的Iwk1.按从小到大排列的第五个与其次十个的控在SoOO4000之间.求这24个四位数中大的那个.【解析】从运中可以看出，这4个妣都不为0.议这4个不同的我从小到大依次为a.b.c,d.它们如成的24个四住数中.宾次，卜的OM(,是5的倍数.S1.c不为0,所以¢=5.它们如成的24个四位ft中,K次大的是麻，是2的偌ft但不是4的俵妣.所以足例敦,而浦不是4的倍4，由b是偶数且)<c=5知b为4或2.若为2,那么“=|,但此时不=12是4的ttft.冲突.所以.又7不是4的倍数，所以“为1或3.它们俎成的24个四但敦中.第五小的为丽(最小的5个依次为而氤.7面.db,M1.1.x),若五大(其次十小)的为曲(力(敞大的5个依次为de机，dcab,<1.1.nv,<1.1.xtc,<kci>),所以石石-赤得到的四1皴的干1为3.由于"v",所以讪V痂，那么城,法算式中百侬要向千1件1,所以-1.-=3,故d=+4又4>f=5,所以4>1,/么a=3,4=7,它们组成的24个四住数中放大的为dd,即7543.模块二、敷的进修【例10】(IOI),×(IOI1),-(11011),=I(1100011D,-(I0I0Dj+(ID1=()j(302匕+(605),=()1.o1.(63121),.-(1247),-(16034),-(26531),-(1744)1.t=若(1030),=140,则”=.【解析】时于这种退位制计算,一般先将其转化成我们熟识的十遗制，再将结果转化取相应的进制：(IOI)jX(IOII)1-(I1.OI1)j=(5)10×(1.)1.0-(27)1.f1.=(28)1.=(1.1100)10:可传化成十进的未计算：(11(XX)111),-(10101),÷(1D1=(199),-(21.),÷(3)=(I92)u=(11(MJ(XXK)2：假如时边制的学问较熟识，可干“在二进制下对(IOIoD2+(I1.进行除法计算，只是每次借位都是2,可得(IK)OouDa-(IOIOI),÷(ID,=(I1.(MX>1.11),-(111),=(II(XKXX)O),:本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个送.制下.统一到十进制比较相宜：(3021)4+(605),=(3x4,+2×4+1.)w+(6×7,+5)10=(500)1.：十进配中，两个数的和是史十整百史千的话，我们爵为“互升教”,浜出“互补数”的这种方法叫“凝整法"，在”选制中也有“溪及法”，雯淇的就是及”.原式=(63121%-1(1247)«+(2653D11-(16034),+(1744|(6312%-(30000%-(200)t(13121)t:若(1030)“=140,JH+3«-140.及认险可料n=5.【观】567=(=(),=(),八进制中，1234-456-322=1.©ft九进制中，14438+3123-7120-11770+5766=.【解析】本题是边机的千腌种化：567=(1067),=(4232),=(IOIIOI11),:（三）¼-1234-(456+322)1234-10=234：原式=14438+(3123+5766)-(712()+11770)=14438+I(XXX)-2(XMX)=4438.【例11在几进制中有Ax3=I(X)?解析】利用是教分析来籽决这个问邀：由于(4)1.ox(33=021.o,由于式中为100,足数为0,也就是说已经将12全部迷到上一0.所以说过住制”为12的约数，也就是12,6,4,3,2中的一个.但是式子中出现了4,所以“奏比4大，不行能是4,3,2进制.另外，由于(4)“,X(13)2=(52%,因为52VIo0.也就是说不到10就已烧进住，才能是100,于是知道<10,那么“不能是12.所以，"只能是6.【式IU在几进制中有125x125=163247M¼(125)w×(125)1.1.>=(I5625)11,因为15625<16324,所以肯定是不到10就己投进位，才能样列16324,所以“<10.再留立比敦分析，(5),x(5)=(25%,而16324的末位为4,于是25-4=21选列上一位.所以说进位制”为21的约戮,又小于10,也机足可能为7或3.因为出卬了6.所以“只:½7.KHJ*式1534x25=43214是几进M敷的果法？ff¼1.留券到足效，在足够大的进位前中有乘机的个位数字为4x5=20,但是现在为4,说明进走20-4=16,所以边位制为16的为我，可能为16、8、4或.2.因为原式中有数字5,所以不行能为4、2进位,而在十进制中有15425=3835O<43214,所以在原式中不到10%有进(I.即进位制小于10.于是效式为8进制.【例12将二进制敷(11010.11)2化为十进制数为多少？【解析】依据二进制与十送.对之间的种化方法，(11010.11)2=1X24+1X23*)X22+1X21+0X20+1X2-1+1×2-2=16*8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。tH1.【解析】依据二进制与八逡制之用的转化方法找存出二八比他表：入进制效0123456z二进制裁OOO001010011100101110111【现日】将二进制敷11101001.1011转换为十六法制效.【解析】在转换为高于9边利的坡时，遇到大于9的坡用字母代替，;A代表10、B代表11、C代表12、D代衣13。依据取四合一法.二进制I1.IO1.OOI.1011转换为十六进制为E9.B。KM1.【解析】由于32=9.所以由三进制化为9道助须委取二合一.从后两个两个的取，取至最前成为12,用位他原理将其化为1X31+2X30=5,所以化为9进制效后第一位为5.【例13现有1克，2克，4克，8克，16克的硅码各1枚，在天平上传弊多少种不同的物体？【解析】因为&玛的克数恰好是1.2.4.8.16.而二进住制数从右往左做各位数字分别表示：1.2.22=4.23=8,24=16,在破码也上放1克注玛认为是二迂位利裁第一位(从右数)是1,放2克&玛认为是二进位的我其次位是1.,放16克&玛认为是二进位利裁第五位是1,不放跌码就认为相应位我是本，这样所表示的教中找小的是1,最大的是(Im1.)2=24+23+22+21+20=(31)10,这就龙说1至31的每个终数(J1.)均能检出。所以其可以价出31科不冏丈量的物体【例14在6进制中有三位数血，化为9进制为;而，求这个三位数在十进制中为多少？Iff#(abc)6=a×62+b×6+c=36a+6b*c:(cba)9=c×92+b×9+a=81c*9b+a:所以36a+6b+c=81c*9b+a:于是35a=3b+80c:因为35a是5的倍数.80c也是5的倍数.所以3b也必有丈5的倍数.又(3.5)=1,所以，b=0A.5.当b=0,)f35a=80c:«i7a=16c:(7,16)=1.并丑、c0,所以a=16.c=7,但是在6,9道制，不行以有一个我字为16.当b=5,J!i35a=3X5+80c:划7a=3+16c:mod7后，3+2c三0所以c=2或者2+7k(k为生效).因为有6进制,所以不行能有9A.者9以上的数，于是。=2:35=15+80乂2.副=5。所以1")6=(552)6=5X62+5X6+2=2124这,个三位数在十进制中为212.【叉网】在7进制中有三位敷石，化为9进制为砺，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】首先还原为十道断：(11c)10×72+×7+c=49+7h+c:<cftn)9c×91+b×9«三8k,+9t+«.于是49+7,+c=81.c+9+“：将列48=80c+2,即24=40c+Z>.因为24«是8的倍.致，妆他是8的倍数，所以Z>也应当是8的倍数,于是b=O.,8.但是在7造判下，不行能行8这个数字.于是b=0,24<=40c,划3w=5t.所以“为5的倍数，C为3的倍数.所以.rt=05,但是，首位不行以是0.于是=5,c=3:所以(<tbc1=(5O3)=5X49+3=248.于是，这个三位数在十选制中为248.一个人的年*用十进制数和三进制敷表示，若在十进制数末尾潘个-0"就是三进制数，求此人的年【解析】谀这个人为“岁.耕4刈=匹，义不="x3'+OxJ0=M1.th,解得。=0,不合迎意,所以这个人的年龄不行能是一(1数.设这个人此益岁，由黑友:用：砥=西;.H=K)+.<rfX),h=c×3i+×3,+0×3"=+36.所以10«+=9"+，即。=2Z>.义因为痴是三进制数，a,b郡小于3,所以a=2,b1.所以，这个人为21岁.设这.个人为ObC岁，由题意有，ubc,n,=(1.x,y,因为wft,1.=100<+1.(V>+c,<=。*3'+。*32+。)<3=27。+9/>+文，所以100«+1(¥>+。=27“+9/>+女.即7k+b=2c.又a、b、，都小于3,所以上述等式不成立.所以这个人的年龄不行能是三位我.综上可知这个人的年静是21岁.<f1.NSft,它的b进表示是777,求量小的正制ftb,使得N是十进制整数的四次方.【解析】,b是所求的裁小正整敦.7b2+7/>+7=.r4(.reV),因为质数7他空除+7占+7,所以也能些除×,不妨设x=7"i,m是大于。的自然数。财：1.b+7+7=(7n)4,化简得：b:+1>+=7'>h,易知，b的值瓯m的增大而增大，当m=1时，b=18【例15】鼠求(2,ET)除以992的余效是多少？【解析】我们通江左式的短床法，.改者干脆运用通过2次米来表达为2迂制：(992)w=(1111100000)2,(25w-1)2=111U1.I我们知道在2进初中11：10()000|肯定能整除I>X*+1Jj5÷5ti<ui0/(1111100000)2.于是我们曲:到1I1.1OO(K).所以i111.)I=III.100O.O÷IIIIIIII9¾111.10()0.0I能整除(II1.1.1.OoOo0)2,所以余IwSTj2I京HFrJ213SnTFr人数为(111111)2=2'+24+23+22+21+1=63,所以板式的余数为63.【式】计算(3'»'-I)除以26的余数.【解析】题中有3的次基，令人球想到将题中的我转化成3道制下的教再进行计算.3jm,-1=(IpOO7XO)a-(I)1=(222.2)j,26=(222),.3»S5t«2«i5t2所以，(3x-1.)÷26=(2222),+(222),.-5S7由于(222)、然除(222),2003+3=6672,所以(些？),+(222),余(22),=8.30t2所以(3x-I)除以26的余数为8.【观】计算(2加-D除以7的余数.【解析】由于2'=8除以7余1,而2003÷3=6672.所以2xw-I除以7的余数为22-1=3.本型也可以转化为2进制进行计算：22-1.=(mj)j,7-<1.1.1.),t3uiit1.所以(2M-I)+7(1111.),0(1.1.1.),.xi而2003+3=6672,所以(U11),。(111),余(11),3aai,MOW1.所以(23XeI)除以7的余数为3.【观】(2001年人大附中分减考试题)在8进制中，一个多位象的数字和为十进M中的68,求除以7的余数为多少？【解析】吴似于十进制中的“齐九法二8强制中也有“弃7法二也就此说8进制中一个数除以7的余数筝于这个数的各位敦字之和除以7的余数.本题中.这个毂的各数字之和在十进制中为68.而68除以7的余数为5.所以这个数除以7的余数也为5.例16(2009年清华附中小升初入学I1.haD已知正整数V的八进制表示为N=(12X5654321),那么在十进制下，N除以7的余数与N除以9的余数之和是多少？【解析】与十进制相美似.:(12345654321),-(1.1.1.1.1.1.依相8进制的弃7法.(111111)«裁7除的余敦等于其各位ft字之和,为6,而636除以7的余数为1,所以(II1.UI)i4的牛方被7除余1,即(12345654321)«除以7的余数为1：另外.9=(1.1.)t,明显(111110能破(U)II磬除.所以其平方也能攻(11),终除,即(12345654321%除以9的余数为0.因此两个余数之和为1+0=1.