二次函数图像性质知识点总结以与习题集锦.docx

二次函数图像及性质学问总结二次函数概念一般地,形如y+尿+c山。是常数,0)的函数.叫做二次函数.定义域是全体实数，图像是拊物践解析式bC为O时yr2b为。时y三÷cb、C不为。时yax)+fev+c图像的性质4>0开口向上.向上向上<0JF向下向下向下对称轴y轴轴x=-A2«项点坐标(0.0)(0c)(b4a<-fr-I2«,4«；«>0时y有最小值X=O.时y投小值等于OX=O1时Y最小(ft等于C当X=-包时,y有最小值但金.2，4<j<?<()时y有最大值X=O.时y以大值等于。X=O,时Y域大值等于c当X=-3时,y有最大值”互.2a4t0>0时开口向上x>0时，y1.K的增大而增大：XVO时.加X的增大而减小；X=O时，),有最小值0当<-2时，F随X的增大而微小：2a当k>-=时,y随X的增大而增大OVo时开口向下.r>0时y随N的增大而减小；NVo时.yMi的增大而增大：x=OBj,)，有最大值0当x<-=时，y随X的增大而增大：当K>-=时，y随X的增大而减小2c图像画法利用配方法*坐标.然后Z顶点、£与X轴O画草图"$二次函数)，0+班+。化为原点式y-a(x-h)i+k,确定其开口方向、对林轴及顶点E对林轴两侧,左右对称地描点台图.一般我们选取的五点为：j)轴的交点(O,C),以及(O,C)关于对称轴对称的点(2从()、白交点H0),(x2,0)(若与X轴没有交点，期取两如关于对称轴对称的点.f应抓住以下几点：开口方向,对称轴.原点，与N轴的交点，与y轴的交点.解析式的表示及图像平移1.i股式：y=ax2+v+c2.顶点式：y=(.v-/+3.两根式：y=0(x-x1)(x-x2)2.平移将她物线裤析式传化成顶点式)，(x-+K,确定其顶点坐标(从行：在原有函数的基础上“力值正右移,负左移;女值正上移.负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”)，=/+6+c沿y轴平移:向上(下)平移，个单位，y=0+"+c变成y=ax'+bx+c+m(或y="2+bx+c-m)y=d+b.r+c沿轴平移：向左(右)平移阳个单位，y=+Zn+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c(y=a(x-m)2+b(x-m)+c)二次函数,y=炉及其图象一、填空题1.形如的函数叫做二次南数，其中是目变量，“.从。是且0.2,函数F=F的图象叫做.对称轴是.J1.S点是.3 .他物线y=0v2的顶点是.对称轴是.当。>0时，1物税的开11向：当“VO时，搬物践的开口向.4 .当>0时,在抛物戕y=11的时称轴的左侧，y随X的增大而,而在时称轴的右恻,y随X的增大而;函数>'当X=时的值最.5 .当。<0时,在她物税y=«?的对称轴的左侧.随X的增大而,而在对称轴的右(W，1的X的增大而;函数)当K=时的伯坡.6 .写出下列二次函数的,b,c.()y=<3x-x2a=.b=,c=.(2)y=n,ra=.b=.C=.(3)>=.v2+5,r-IOu=.b=，C=-7,抛物线y=F,Ia1.越大则拊物线的开口就.I“I越小则抛物戏的开口就8 .二次函数>=-d的图象大致如下,请将图中衲物线字母的序号填入括号内.(1.)y=2如图()：y=#如图().(3)y=-2如图()；(4)>=/如图()；3y=2如图()：>=如图().9 .已知函数F=-1/,不j图象,回答下列各跑.(1)开口方向J(2)对称轴:(3)顶点坐标；(4)当KHO时，F随K的增大而：<5j'1jx时.产0：(6)当X时,函数y的最伯毡10 .画出y=-2r2的图象,并回答出他物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值.11 .在下列函数中)，=-2xj;(Dy=-Zr+1;y=x；y=V,回答：1 1)的图象是出城,的图象是枪物战.(2)函数y随着X的增大而增大.函数V随着X的增大而然小.(3)函数的图煞关于y轴对称.函数的图象关于原点对称.(4)函数有最大值为.函数有最小值为.12 .已知函数.=+Z>+c(",Z>,c是常数).(1)若它是二次函数，则系数应满意条件.(2)若它是一次函数,则系数应满意条件.(3)若它是正比例函数，则系数应满意条件.13 .已知函数y=(”F3n)-z的图象是他物线.则函数的解析式为,恤物纹的顶点坐标为.对称轴方程为.开口.14 .已知函数F=WX"'"*""+(m-2>x.(1)若它是二次函数，则，"=,函数的解析式是,其图象是一条.位于第象限.(2)若它是一次函数,则，”=,函数的解析式是.其图象是一条.位于第象限.15 .已知函数)=，”/",则当，”=时它的图象是她物线：当机=时，施物税的开门向上：当m=时抛物跳的开11向下.、边界JS16 .下列函数中属于一次函数的是(),属于反比例函数的是().属于二次函数的足()A.y=Mx+1.)B.Xy=IC.y=2r-2U+1.)2D.=J1.x2+117 .在二次函数.v=3f:)，=/：y=*/中，图象在同一水平线上的井口大小依次用题号表示应当为()A.>>B.>>C.>>D.>(£)>18 .对于她物线,V=",下列说法中正确的是()A.“越大，她物税开11越大B.4越小,她物跳开11越大C.1“1趟大，拊物规开口越大DI“I越小，抛物线开口越大19 .下列说法中锚误的是()A.在函数F=-T中,当x=0时Iy有最大值0B.在函数y=2中，当x>0时y随X的增大而增大C.弛物线y=2,y=-2.y=-1.2,附物纹y=2的开口最小.她物线)，=一个的开口最大D.不论。是正数还是负数，抛物税y=的顶点播是坐标原点20 .函数y=(掰-3)Xm为二次函数.(1)若其图象开口向上.求函数关系式：(2)若当x>0时,FBSx的增大而减小,求函数的关系式,并画出函数的图能.21 .抛物线y=a?与直线y=2r-3交于点A(1.b).(1)求小的伯：求搬物&y=cxi与H战.v=-2的两个交点B.C的坐标(B点在C戊右蒯)：(3)求a08C的面枳.22 .己知抛物线F=ar经过点A(2,1).(1)求这个函数的解析式：(2)写出Iti物线上点A关于y轴的对称点B的坐标：(3)求A0A8的面积；(4)枪物找上是否存在点C,使八8C的面枳等于AOS面积的一半，若存在，求出C点的坐标:若不存在,请说明理由.1.j=r÷2>x+c<A0).x.常数.a.2,附物线y轴.(O.O).3.(O.O),y轴.上，下.4.减小，增大，x=O,小.5. 增大，减小，x=0.大.6. (1)-1.73.0.(2>11.0.0.,5,-10,(4)-,0,6.7. 越小，越火.8. (I)D.(2)C.(3)A.(4)B.(5)E.(6)E.9. 向下，(2)轴.(3X0.0).(4)战小.(5)=0(6)=0,大，0.10. 略.11. (ig),：、.(2)；,(3百、；.(4)，0；，0.12. (1MO.(2)=()11Z>0.(3)=c=0且bW0.13. y=4r：(0.0)：.r=0:向上.14. (1)2；y=2x2t她物缥一、.，(2)0；y=-2v;H城；二、四.15. -25I：I：-2.16. C、B、A.17.C.18.D.19.C.20. (i)n=4,y=.r；(2)wr=-I.>=4.r.21. (k=-.&=-h(2)(2.-2),C(-2,-2);(3)S.,oc=2.22. (I)V=-X1;(2)(-2,1);(36g=2;4(4)设C点的坐标为)，则1.X4xI1.r-Ii=IX2.则得，”=±611Rm=±2.4242-C点的坐标为(W*),(J2.),(2,二次函数产心一/炉+人及其图像一、填空JB1 .已知。关0,(I)拊狗城y=0的顶点坐标为，对称轴为.(2槐物城y=cvr+c的原点坐标为.对林轴为.(3)附物线y=«(x-”?F的顶点坐标为.对称轴为.2 .若函数.y=(m-g)/"“是二次函数.则tn=.3 .抛物城y=2a-的顶点,坐标为,对称轴是.当X时,.¥随X增大而然小：当X时,)，随X增大而增大：当*=时,y有最值是.4 .抛物线y=-2的开口方向是，它的形态与y=2的形态,它的顶点坐标地，对称轴是.5 .枪物线y=2F+3的顶点坐标为,对称轴为.当X时,y随X的增大而减小：-"I.t=时，y有量值是.它可以由效物线f=2x2向平移个单位得二.6 .附物纹y=3(-2)2的开口方向是.顶点坐标为.对称轴是.当X时,F以1X的增大而增大：当X=时，有最但是.它可以由拊物线y=3x2向平移个单位得到.二、选7 .要得到附物线y=g(x-%2.可将枪物线.y=g().向上平移4个单位B.向下平移4个单位C.向右平移4个的位D.向左平移4个单位8 .下列各组拗物城中能助相互平移而彼此得到对方的是()A.y=2与y=3.v.,=：/+2与y=2+；C.y=Zr2与y=f+2D.y=xj与y=2-29 .顶点为(-5.0),且开口方向、形态与函数y=-g/的图象相同的抛物线是().y-(x-5)2B.y=-g.r2-SC.y=-1.(+5)2D.y=1.(x+5)1三、解答J1.10 .在同一坐标系中亘出函数."=；/+3.治=；/-3和此1=：/的图象，并说明的图象与函数),=;./的图轨的关系.11 .在同一坐标系中,画出函数A=2E*=2(X-2P与"=2(x+2"的图思.并说明义.”的图象与a=2/的图象的关系.填空JB12 .二次函数.v="(1.02+A(a0)的顶点坐标是.对称轴是，当X=时,y有最值；当”>O时，若X时，y的人刷大而减小.13 .填表.解析式开口方向顶点坐标对称轴y=(x-2)2-3y=-(x+3)2+2y=-1.(-+5)2-5>=(-+iy=3(-2)2y=-3+214.抛物线)=-1(X+3/-1有最点,其坐标是.当X=时.F的最值是：当X时，y1.½增大而增大.15 .将抛物线y=gi向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为.16 .一弛物线和附物线>=-2的形态、开口方向完全相同.J更点坐标是(-1.3),则该他物线的假析式为()A.>=-2(.r-1.):+3B.>=-2(x+1.)2+3C.>=-(2+I)2+3D.y=-(Zv-)2+317 .要得到y=-2(+25一3的图望.需将他物纹y=作如下平移()A.向右平移2个单位,再向上平移3个单位B.向右平移2个单位，再向下平移3个单位C,向左平移2个单位，再向上平移3个单位D.向左平移2个电位,再向下平移3个单位AmK18 .将下列函数配成.v=gf户+4的形式，并求顶点坐标、对称轴及减除(1.)y=2+6r+10(2)y=-Zr-5.r+7(3)j=3-+2(4)y=-3.r+6.r-2(5)>=1()0-52(6)y=(-2Zr+1.)19 .把二次函数y=d(-+的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数¥=；仕+1尸-1的图象.(1)试确定小儿人的值；(2)指出二次函数y=H-1.)2+Jt的开口方向、对称轴和痍点坐标.1. (M0.0).)轴：(2>().c).y轴:(3)(nt,0).直线X=M2. Mi=-I3. (0,0),),轴，XW0,x>0.0.小，0.4. 向下,相同，(0,0),y轴.5. (0.3).y1.XW0.0.小.3.上.3.6. 向上，(2,0).直规x=2,x2,2.小，0，右，2.7. C.8.D.9.C.10.图略y,”的图象是y=g的图象分别向上和向下平移3个单位.I1.图略.”，然的图象是把力的图望分别向右和向左平移2个通位.12.(.*),f1.x=;h,k,.开口方向顶点坐标对称轴y=(-2)23向上(2-3)HfaiX=2.y=-(x+3)2+2向下(-3.2)H线K=-3y=-1.(x+5)2-5向下(-5,-5)直线N=Ty=*-#+i向上弓，D直线X=Jy=3(x-2)j向上(2,0)直线;x=2y=-3x2+2向下(0.2)直线X=Oi®.3.-1).-3.大.一I.-3.),=-(x-3)2+2=-x:-2x+5.B.17.D.(1.)y=(x+3)2+1.顶点(一3.I),直域Jr=-3.最小值为1.y=-2(x+1/+空,顶点("粤).直线X=-I,最大值为黑484848(3)y-3(.v+I)?-1.顶点(一!1.1.),自战X-1.最小值为-1.333333<4y=-3(-1.)2+.预点I),“线X=1.最大仅为1.(5)y=-5+1.顶点(0,100),出戏K=0,最大值为100.y=2(-3)2-纪,顶点(3.匚最小伯为-竺.484848(1)«=,A=1.=-5：2(2)开口向上,直线x=1.,顶点坐标(1.-5).二次函数y=x2+加+c及其图象填空题1 .把二次函数y=d+版+d“W0）配方成y=w（.1.）2+/;形式为,顶点坐标是.对称轴是直线当X=时，y最值=：当<0时.X时,F随X增大而减小：X时，N随X增大而增大.2 .搬物跷y=2-3-5的顶点坐标为.当X=时，）有最侑是,与X釉的交点是.与3轴的交点是.当X时，y随X增大而减小，当K时，F随X增大而增大.3 .他物线=3一级小的顶点坐标是.它与X轴的交点坐标是.与轴的交点坐标是4,把二次函数）=f-4+5配方成p=（->F+/的形式，得.这个函数的图象有鼠点，这个点的坐标为.5 .已知二次函数y=f+4x-3,当X=时，函数y有最（ft.当X时，函数.v随X的增大而增大，当X=时，.v=0.6 .撤物绞产加+加+£'与，=3一"的形态完全相同,只是位置不同.则=.7 .他物我y=2先向平移个单位就得到抛物爱.v=2(x3)2,再向平移个单位就得到拊物战)=%1.3y+4.二、选»8 .下列函数中y=3+hy=4f-3x;勒=+/;丫=5-2，是二次函数的有()A.B.®C.(1X3>D.9 .他物纹F=-3.1一4的开口方向和顶点坐标分别是()A,向下，(0,4)B.向下，(0.-4)C.向上，(0,4)D.向上，(0,-4)10 .抛物线V=-x2-X的顶点坐标足()A.(1-)B.(-1.1)C.(,-1)D.(I.0)11 .二次函数y=r+x+1.的图象必过点()A.(0.a)B.(-1.-o)1 .(-1.a)D.(0,-a)三、解答题12 .已知二次函数f=2v2+4n-6.将其化成y=a(x-hf+k的形式：(2)写出开门方向，对称轴方程，顶点坐标：(3)求图象与两坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象：(5)说明其图象与抛物线>=-的关系：S)当X取何值时.K1.xttt大而战小：(7)当X取何值时，y>0,y=0,y<0；(8)当X取何值时，My有呆值其破值是多少(9)当y取何(ft时.-4<x<0:(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的Jft形面枳.填空AI13 .已知她物筏y=+Z>x+daO).(1)若施物战的顶点是原点，则；(2)若他物我经过晚点,则；(3)若枪物线的顶点在y轴上,则：(4)若他物税的顶点在X轴上，则.14 .1¾y=ax2+bx必过点.15 .若二次函数)，=2版+2m一小的图象经过原点,则m=,这个函数的解析式是.16 .若抛物线y=x2-4x+c的顶点在X轴上，则c的值是.17 .若二次函数y="+4x+的最大值是3,则。=.18 .由数y=-4.t+3的图象的顶点及它和X轴的两个交点为顶点所构成的三角形面枳为平方单位.19 .附物线y=t2+11S>0,b>0)的图象经过第象限.选界题2().函数F=f+m-2(mV()的图象是(21.拊物级y=（1+fer+Zo0）的图象如下图所示，则（A. "V0b>0,c>0B. “VO,fr<0.r>0C. VO,b>0.c<QD. VO<O.c<O22.已知二次函数.V="+加+c的图象如右图所示，则(A.4>0c>0.2-411r<0fr2-4c>0fr2-4<jc<0r-4c>0.fr>O.B.ft<O.C.Z><0.Q0,=0c>0.=0c<0.A=OD./>>0.C>O,>0B. 0>0,c<0.C. <<0tc>0D. «<0.c<0.23 .已知二次函数y=+bx+。的图象如下图所示.则（）24 .二次函数y=m+2（3一5）的图象如下图所示，则股的取值范困是（）A.Wi>0B.m>3C.w<0D.OVMV325.在同一坐标系内，函数F=小和产收一2伏0)的图象大致如图()解指R27.已知抛物戏.=-3k+”+4.(1火为何值时,她物线关于F轴对称;(2火为何值时,她物线经过原点.28.画出)=-：/+x+；的图象，并求:(1)顶点坐标与时林轴方程：(2W取何值时,yKix增大而减小X取何值时，y随X增大而增大(3)当K为何伯时，函数有坦大值或皎小做，其他是多少(4取何值时，y>0,y<0.F=O(5)当y取何值时,-2r229.已知函数.v=r2+fer+t<W0)和力=mx+”的图象交于(-2,-5)点和(1,4)点,并且=ar2+/"+<的图默与y轴交于点(0,3).(I)求函数H和”的解析式，并画出函数示意图:(2)X为何值时,>>V2;y=”;V>30.如图是：次函数.v=P+瓜+c的图象的一部分：图象过点4-3,0),对称轴为工=-1,给出四个结论：&2>40c;2+b=0:。-Z>+r=O;0)50<fr.其中正确的是.序号)三-I.s4C-b2f("五)+F-,b4ac-b'.a-A,x<.AIabb4ae-b'"一五.'二一五F3493495R32. (.-).,b.(.0)»(1,0),(0.5).x-,x>-48482443. (-1.4),(-3，0)、(I,0).(0.3).4. y=Cr-2)z+1.低，(2,1).5. 2>-7.J?-2.v三-2±T7.6. ±2.7.右，3,上，4.8.D.9.B.10.B.11.C.12. (1.)y=2(x+1.)2-8:(2)开口向上,直线X=-I.J更点(-1.8)：(3)与X轴交点(-3,0)(1.0),与F轴交点(0.-6)：(4)图略；(三)籽撇物城y=f向左平移I个单位，向下平移8个单位：得到y=2+4-6的图象:(6>v-1：(7)当x<-3或x>1.时，y>0:当X=-3或x=1.时,y=0：当一3V<1.时，><0；<8)v=-W.vm=-8：(9)-8y<10:(IO)Sa=12.13. (1.)fr=r=0;(2)c=0;(3)=0;(4)fr2-4<=0.14. 原.15.2.y=2x23x.16.4.17.-I.18.1.19.一、二、三.20.C.21.B.22.D.23.B.24.C.25.B.26.C.27 .(1)=O;(2U=-2.28 .、=一，(*一1)2+2.顶点(1,2),£1线X=I：x»1.x<1.:X=1.>'三<i=2:-<<3R.y>0:XV-I或.03时yV0：K=-I或x=3时，.v=0；(D-y2.29 .(1.),y=-x2+Zr+3.>=3x+1.(2)当一2VV1.时，y1.>.当x=-2或X=I时，y=V2.当Ay-2或x>1时>Vy2.30 .，.二次函(的图像和性顺习E选1 .二次函数y=的图像开口向对称轴是.顶点坐标是_，图像有最点,X时,y1.的增大而增大,X时,yRfix的增大而减小。2,关于y=:/,)，=/,y=3f的图像，下列说法中不正确的是()A.JS点相同B.对称轴相同C.图像形态相同D,最低点相同3.两条拗物战y=F与F=-*?在同一坐标系内，下列说法中不正确的是()A.顶点相同B,对称轴相同C,开口方向相反D.都有呆小值1 .在拗物规)，=-/上，当yVQ时，X的取值范憎应为()A.x>0B.XVOC.x0D.XeO5 .而于她初线y=f与y=-下列命题中播误的是().两条抛物线关于X轴对称B.两条拊物线关于原点对称C.两条拗物战各自关于Iy轴对称D.两条拊物战没有公共点6 .她物线y=-b+3的对称轴是.顶点是.7 .抛物线y=-1.x+2)2-4的开口向,顶点坐标,对称轴,X-一时.yRSx的增大而增大,X时y随X的增大而减小.8 .附物线y=2(x+1)?-3的顶点坐标是()A.(1.3)B.(-U3>C.(1,-3)D.(-1,-3)9 .已知他物段的顶点为(一1,-2),且通过(1.10),则这条抛沏城的表达式为()A.y=3(x-1.)2-2B.y=3(x+1.)2+2C.y=3(x+1.)2-2I).y=-3(+1.)2-210 .次函数v=0的图像向左平移2个单位，向下平移3个总位，所得新函数表达式为()A.y=a(x-2)2+3B.y=a(x-2)23C.y(.v+2)2+3D.ya(.r+2-一311 .枪物战y=d-4x-4的顶点坐标是().(2.0)B,(2.-2)C.(2.-8)D.(-2.-8)12 .对枪物线y=2(-2/-3与y=-2(x-2尸+4的说法不正确的是().附物线的形态相同B.抛物线的原点相同C.拊初战对称轴相同D,拗物战的开口方向相反13 .函数y=a+c与y=ax+c(a0)在同一坐标系内的图像是图中的(>14 .化y=Y+4x+3为y=x2+4x+3为y=a(x-A)2+k的形式是J图像的开口向.顶点是.对称轴是.15 .枪物战y=V+4-1.的顶点是，对称轴是_。16 .函数y=-xi+2-5的图像的对称轴心()2A.立规x=2B.t1.ia=-2C.11y=2D.直战x=417.次函数y=-V-2x+1.图像的顶点在<A.第一象限B.其次象限C.第二象限D.第四象限18 .假如撤物线y=Y+6+c的顶点在X轴上，则C的值为（>A.OB.6C,3D.919 .他物我丫=/一2，心+，+2的顶点在第三象限,试确定m的取值范用足（）.mV1或m>2B.m<0或m>一】C.-1.<m<0D.m<-120 .己知二次函数y=V+b+<,©如u>O,bVO,cVO,则这个函数图像的顶点必）A.第一象限B.其次软限C.第三象限P.第四象限21 .如图所示，满意a>O,b<O的函数y=d+n的图像是（）22 .而出y=g-4.r+1.的图像,由图像你能发觉这个函数具有什么性质？23 .通过无方变形,说出函数丫=-2/+8*-8的图像的开门方向,对称轴顶点坐标.这个函数行最大值还是最小值？这个值是多少？24 .依据下列条件,分别求出对应的二次函数关系式.已知他物城的顶点是(一1.2).且过点(1,10).25 .已知一个二次函数的图像过点(0.1),它的顶点坐标是(8.9).求这个二次函数的关系式.参考答案1.上y轴(0,0>低>0VO3.D4.C5.D6.y轴(0.3)7. 下(一2,-4)x=-2<-2>-28. D9.C10.D11.C12.B13,B14.y=(x+2)2-1.上(-2,-1)X=-215.(2,5)16. A17.B18.D19.D20.D21.C22.图像略,性质:(1)图像开口向上,对称轴是直线x=%顶点(4.2).（2）x>4时yfigx增大而增大，xV4时,y随x增大而减小.x=4时,),h=2.23 .y=-2+8,r-8=-2(x-2)2,；.开口向下，对称轴x=2.IS点(2,O),x=2时，小=O24 .设拈物线是y=”(x+1.)2-2,将x=1.,y=1.代入上式得a=3,南救关系式是y=3(x+1.)2-2=3x1+6x+1.25 .解法1：设y=a(x-8-+9,将x=0,y=1.代入上式得a=-,Oy=-(x-8)2+9=-x2+2x+1.88解法2：y=+>+c,由时意得斐=8,2a4ac-b2.=9,4a解之b=2,y=.r2+2+18