二次函数分类知识点考点典型例题与练习.docx

二次函数分类学问点、考点、典型例题及对应练习«9I二次函数的低念例1（基础）.二次函数y=-3/-6x+5的图像的顶点坐标是（）A.（-1,8）B.<1,8）C（-1,2）D<1,-4>点拨：本网主要考察：次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年武汉市中考感，12）下列命题中正确的是若4-4ac>0.则二次函数y=ax*+bx+c的图轨与坐标轴的公共点的个数是2或3若1.-4aC=0,则二次函数y=a2+bxr的图象与X轴只有一个交点，且这个交点就是抛物纹顶点。当C=一5时，不论b为何（ft,他物纹y=ax?+bx+c肯定过y轴上肯定点.G）若抛初纹y=a-+bx+c与X轴有唯一公共点，则方程axbx+c=。有两个相等的实数根>若抛物线y=axbx+c与X轴。两个交点A、B,与y轴交于C点，c=4,Sabc=6,则施物线解析式为y=x2-5x+4t,若抛物线y=a-+bx+c<a0）的顶点在X轴下方.则一元二次方程a+bx+c=O有两个不相等的实数根.若拗物战y=ax*bx+c（a关0）羟过原点，则一元：次方程a（+bx+c=O必有一根为0.若ab+c=2则他物线y=a2+bg（a0）必过肯定点.若1.V3ac,则拗物线y=ax2+bx+c与X轴肯定没有交点.若元二次方程a-+bx+c=O有两个不桁等的实数根,则函数y=c-+bx+a的图象与X轴必有两个交点，若b=0,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。点拨：本超主要考查二次函数图象及其件侦,一元二次方程根与系数的关系.及二次函数和一元二次方程二者之间的联系.攵习时，抵住系数a、h、C对图形的影响的基本特点,提升学生的数形结合实力，抓住拗物线的四点,轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。2二次函数的性旗例3若二次函数y=0+力x-4的图像开口向上，与X轴的交点为（4,0）,32,0）知，此拊物践的对称轴为出线x=1.此时X1=一1.q=2时,对应的y,与）-2的大小关系是（>A.y1<yB.y=y1C.y>yjD.不确定点拨：本遨可用两种解法解法I：利用：次函数的劝称性以及拗物线上函数值y随*的改变规律确定；a>0时，撇物观上越远离对称轴的点对应的函数侑越大：a<0时，拊物线上越张近对称轴的点对应的函数侑越大解法2：求值法B将已知两点代入函数解析式,求出a.b的值一把一坐标值代入求出力与它的位.进而比较它们的大小【举一反三】变式I：已知（2.功）.（3.%）二次函数y=-X1+2.x+m上两点.试比较%与生的大小变式2：己知（O,t7i）.（3.<7,）二次函数V=-X2+2x+H1.Jt两点,试比较彷与生的大小变式3：已知二次函数y=+极+，”的图像与y=-X2+2+11的图像关于y轴对称，（-2.qJ.（-3.%）是前者图像上的两点.试比较q与电的大小题型3二次函数的图像例4如图所示，正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，H.它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直，若小正方形的边长为X,R（Xx10.阴彤部分的面积为y.则能反映y与X之间的函数关系的大致图像时（>«94二次函数图像性朋（共存问、符号问）例5、（2009湖北省荆门市）函数产公+1,y=W-+fex+1.<0）的图象可能是（）点拨：本题考查函数图象与性质，当>0时,H找从，丫向右是上升的抛物线开”向上.D足惜的,南数yraxe11.j=r÷hx÷I（>>的图象必过<01）.所以C是正确的.故选C.例6已知=次函数y=a2+bx+c的图象如图.则下列5个代数式：ac.4a-2b+c.2a+b,2a-b中，其值大于O的个数为（）a+b+c.A.2B3C、4D、5点按：本题考查二次函数图像性质.a的符号例开口方向确定,b的符号由对林轴和a共同确定,C看其与y轴的交点坐标,a-b÷c,4a-2b÷c存x取某个特别值时y的值可从图像中直观发觉«95二次函数的平移例74抛物税），=2.V向下平移I个单位，得到的拈物税地<>A.y=2（x+1.）2B.y=2（x-1.）2C,y=2x2+1D.y=2x2-«96二次函数亶用«1售利滔类问题例8某商品的进价每件为50元,现在的售价为每件60元,每星期可卖出70件,市场调查反映：假如何件的竹价每涨IO元（售价每ft不能高于140元），则每星期少卖5件，设每件涨价X元（X为IO的正整数倍），好冏销售IR为y件。<1>求y与X的函数关系式及自变量X的取值范用。<2）如何定价才能使每周的利涧最大且每周的量较大？秘周的最大利润是多少？点拨：销售总利润=销归量X（仰价进价）本类遨主要考杏学生用二次函数学问解决实际问题中的最值问题如最大利润'Ai大面枳、材料景值、时间最少，效率最高势间即），及函数门变量取值对最低的约束等学问。习时用意，白变量的取值限制条件：如正格数倍，节项恪数倍.自然数倍，2的整数倍等条件的限制.JKSt7二次函数与几何图形瀛合（面枳、动点I例9已知二次函数y=0+6+c（w）的图象经过点A（1.,0）,BQQ）,C（0.-2）,直线x=，（n>2）与X轴交于点。.（I）求：次函数的解析式：（2）在直城.r="?（加>2）上有一点£（点£在笫四象限）,使得E8为顶点的三角形与以4O、C为顶点的三角形相像,求E点坐标（用含团的代数式发示）：（3>在（2）成立的条件下，拊物戏上是否存在一点F,使得四边形AeE户为平行四边形？若存在，息求出，"的值及四边形A跳尸的面枳；若不存在，请说明理由.点拨：本关胭主要考察：次函数发达式的求法，：次函数与几何学问的运用。面广，学问综合性强.女习时要荷日深汽点、段、面中所包含的脱含条件,要用运动、发展、全面的观点去分析图形.井价彦到图形运动过程中的特别位置.【基础达标训练】一、选择遨1.（2009年四川省内江TIj）枪物纹S=（X-2）2+3的顶点坐标是（>A.（2,3）B.（-2.3）C.（2.-3）D-<-2,一32. （2009年桂林市、百色市）二次函数y=（.r+1）2+2的最小值是（）.A.2B.1C.-3D.-33. （2009年上海市）购物城£=2（x+加f+”（，小”是常数）的顶点坐标是）A.（m,）B.（T）C.（1-）D.（一,）4. （2009年陕西省）依据下衣中的二次函数y=+尿+c的白变量X与函数,r的对应依，可推断二次函数的图像，X轴-2-.只有一个交点B.有两个交点,且它们分别在y轴两O1.C.有两个交点，且它们均在y轴同IW5. 已知二次函数y=+6+c（"/0）的图象如图所示，则下列结论:方程“/+5r+c=0的两根之和大于0：yfix的增大而增大：a-b+c<O,其中正确的个数CA.4个B.3个C2个D.1个6. 二次函数y=f1.+bx+c的图象如图2所示，若点A（I.义）、B（2,是它图象上的两点，则y与力的大小关系是<A.y<y2B.v三yjC.y>y2D.不能确定7. （2009烟台市）二次函数y=b+u+c的图象如图所示,则一次函数为y=bx+b2-4ac与反比例函数y="丝S在同一坐标系内的图象大致X8. (2009年台湾)向上放射一枚炮邨，经X秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=a+Zu,若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再卜列哪一个时间的高度是最高的？（八）第8秒(B)第10秒(C)第12秒(D)第15秒。9. (2009年南充胧物线y=f1.(+IXa-3)(«0)的对称轴是出线<)A.X=IB.=-IC.X=-3D.x=310.(2009年遂宁)把二次函数y=-1.r+3用配方法化成y=d"M'A的形式4Ay=-1.(.r-2)1+2Bv=-(-2)j+444Cy=-；(x+2F+4>'=(；*-；)二、填空题11. (2009年甘肉庆阳)图6(1)是一个横断而为她物税形态的拱桥，当水面在/时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图6(2)建立平面直角坐标系，期拗物战的关系式是图6")图6(2)12. (2009年上海Ttn把附物线y=a2+bx+c的图象先向右平移3个单位.再向下平移2个单位,所得的图象的解析式是y=2-3x+5,13. 2009年淄睥市)请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式.过点(3,1)：当x>0时.y随X的增大而减小：当自变量的值为2时，函数值小于2.14. (2(X)9年娄底如图7,。的半径为2,G是函数产1.r的图奴.Q是函数产-1x2的图象，则阴22影部分的谕积是.15. （2009白候布）抛物线V=-X1+b+c的部分图象如图8所示.与其关系式'图象相关的2个正确结论：.（对称轴方程，图象与X轴、轴交点坐标例外）图8.请写出正半16. （2009年包头）将一条长为20Cm的铁丝附成两段，并以每一段帙丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的城小值是cm*.17. <2009年黄石市）若搬物税>=rt+版+3与y=-+3x+2的两交点关于晚点时称，则.、。分别为.v=2v，I8N2009年兰州二次函数.-3的图象如图12所示，点人原点，点A,4,&,，4侬在y轴的正半轴上，点岗，,=2风,）在二次函数,5'位于第一象限的图象匕若%层&,A,BfAfttAywjBe（4"都为等边三角形，则aA7'1三A>1.i的边长=.三、解答题19 .（2009年内蒙占包头I某商场试第一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销件单价不低于成本单价，I1.获利不得高于4S%,经试销发觉，梢售量.¥（件）与销件单价工（元）符合一次函数,，=心+,JIK=65时，y=55：X=75Bt-y=45.（1）求一次函数y=kr+力的表达式；（2）若该商场兼得利润为W元，试写出利润W与销售单价X之间的关系式：销伊单价定为多少元时,商场可投得最大利润，最大利洞是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元,试3定销售单价X的范因.20 .(安徽省)心理学家发觉，学生对概念的接受实力y与提出慨含所用的时间x(单位：分)之间满意函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30),yffi.表示接受实力越强。(I)X在什么越国内，学生的接受实力逐步增加？X化什么范围内，学生的接受实力逐步降低？(2)第IO分时，学生的接受实力是什么？(3)第几分时，学生的接受实力最强？22 .岫物线>=/然-3与、轴交八、B两点(A点在B点左侧)，直线？与抛物线交于A、C两点.其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及出线AC的函数表达式：2P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值：(3)点C是抛物税上的动点，在X轴上毡否存在点F,使A、C,F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？假如存在，求出全部满感条件的F点坐标；贵如不存在，请说明理由.【实力提高训练】23 .如图,在平面宜向坐标系中放置始终角三角板,其顶点为A(T，0).(03).O(OO),将此三角板绕原点。收时针加轧90°,得到4KHO.第23题图(1)如图,一附物线经过点八、B、牙,求该效物线解析式:(2)i殳点P是在第一软限内他物税上一动点，求使四边形PQUT的面积达到蚣大时点P的坐标及面积的最大值.21.（12分）如图I,在平面f1.角坐标系Xoy中，二次函数y=a+bx+c（a>Q）的图象顶点为D,与y轴交于点C,与X轴交于点A、B,点A在原点的左侧，点B的坐标为（3,0）,OB=OC,tan/AeO=；.（1）求这个二次函数的解析式：（2）若平行于X轴的直城与该抛物成交于点M、N,且以MN为直径的即与X轴相切，求该网的半径长度；（3）如图2,若点G（2,y）是该拊物线上一点.点P是直.线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时,AAGP的而枳最大？求此时点P的坐标和AAGP的最大面积.25 .（2009年湖南长沙为了扶持高校生自主创业，市政府供应了80万元无息贷款，用于某高校生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利制逐步借还无息贷款1.1.知该产品的生产成本为俗件4（）元.员工每人每月的工资为25«）元,公司每月备支付其它费用15万元.该产品每月的竹麻（万件）与销售单价“（元）之间的函数关系如图所示.（I）求月销售玳y（万件）与销件单价X（元）之间的函数关系式：（2）当销售单价定为SO元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额一半.产成本一员工工资一其它费用）,该公司可支配员工多少人？（3）若该公司有80名员一匚则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？26 .如图.豆角梯形ABQ）中,ADBC.ZAUC=OO0,已知AD=AB=3,BC=I.动点P从B点动身，沿线段Be向点。作匀速运动；动点Q从点D动身，沿线段I）A向点A作匀速运动.过Q点垂直于RD的射城交AC于点M,交BC于点N.P,Q两点同时动身,速度都为短杪1个单位长度.当Q点运动到A点,P.Q两点同时杵止运动.设点Q运动的时间为t秒.求NC.XC的长（用t的代数式表示）：(2)当t为何值时.四边形PCDQ构成平行四边形?(3)砧否存在某一时刻，(史射线G恰好将AABC的面枳和周长同时平分？若存在，求出此时t的位:若不存在，访说明理由：(4)探究：I为何值时，为等腰三角形？保25ISff1.)专题一：二次函数的图象与性质本专遨涉及二次函数概念，：次函数的图象性质,她物线平移后的我达式等.试时多以填空遨、选择时为主，也有少瞅的解答题出现.考点1.二次西数图跳的对称轴和点坐标二次函数的图象是一条拗物线，它的对称轴是直&X=-2，顶点坐标是33，4qcz").2a2a4例I已知，在同始终角坐标系中，反比例函数>=与：次函数A=-F+2x+c的图像交于点X(-1.nt).(1)求5、C的(ft：(2)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2%物线与a、b、C的关系她物线y=axbx+c«|>,当a>0时，开口向上，在对称轴=-5的左施y随X的增大而减小，在对称轴的右侧.y1.x的增大而增大：当”0时,开口向下.在对称轮的右例,y随X的增大而增大,在对称轴的右侧，y1.x的增大而减小.v例2已知Iy=?+以的图飘如图1所示，则y=r-b的图象肯定过(A.第一、二、三象限B.第一、二、四改限C.其次、三、四象限D.第一、三、四象限考点3.二次困败的平移当kX）（k<0）时,抛物线y=a1.k<a0）的图望可由他物税y=ax?向上（或向下）平移Ik1.个单位得到:当hM）（h<0）时，拊物线y=a（x-h）2<a0）的图象可由抛物线y=a2向右（或向左）平移Ih1.个单位得到.例3把抛物线y=32向上平移2个埴位，得到的他物线是（）A.y=3（x+2）2B.y=3（x-2）2C.y=3x2+2D.y=3x2-2专题练习一1 .对于抛物现尸X*X-号,下列说法正确的是（）A.开口向下,顶点坐标为（5.3氏开口向上,顶点坐标为（5.3）C开口向下，顶点坐标为<5.3>D,开口向上，顶点坐标为（-5.3）2 .若抛物线y=J2x+c与y轴的交点为（0,-3）,则下列说法不正常的是（）A.他物线开口向上B.拗物线的对称轴是X=IC.当x=1.时,y的最大值为-4D.拈物线与X轴交点为（-1,0）,<3,（»3 .将二次函数y=2的图象向左平移1个单位长度，再向卜平移2个单.位长度后,所得图能的函数表达式是.4 .小明从图2所示的二次函数>=+bx+c的图象中，觇察得出了下面五条侑息：CV0：c>0：-0+c>（）:加一外=0；c-4>0,你认为其中正确信息的个数有.堪序号专题复习二，二次函数表达式的确定本专题主要涉及：次函数的三种表示方法以及依据题目的特点旅提选用方法确定：次函数的表达式.造型多以解答题为主.图I考点I.依据实际向模型确定二次函敷表达式例1如图I,用一段长为30米的篱笆围成一个一边用培（墙的长度不限的矩形菜园A8C/）,设A3边长为X米，则菜园的面积），（单位：米2）与K（单位：米）的南教关系式为（不要求写出自变JftX的取值范围考点2.依据触物线上点的坐标确定二次函数表达式1 .若1.1.知抛物线上三点的眠标，则可用一般式：y=aC+bx+c(a0>s2 .若已知抛物税的顶点坐标或最大(小)也及她物税上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a<x-h)2+k(a0);3 .若已知地物线与X轮的两个交点坐标及另一个点.则可用交点式：>=a(x-x1><x-x2)(a0).例2已知弛物税的图象以A(-1.4)为顶点,且过点B(2.-5),求该她物税的友达式.例3已知-抛物线与X粕的交点是A(-2.0)、B(I.0),且经过点C(2.8).(I)求该搬物的解析式；(2)求该附物线的顶点坐标.专项练习二I,由于世界金融危机的不断犷散，世界羟济受到严岐冲击,为了盘活资佥，削减损失，某电器商场确定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是X.降价后的价格为y元,原价为a元,则y与X之间的函数表达式为()A.y=2a(!)B.y=2a(1.-x>C.y=a(1.x2)D.y=a(1-x)22.如图2.在平而直角坐标系Xoy中.跄物线y=x'bx+c与X轴交于A、B两点.点A在X轴倒半轴，点B在X轴正半轴,与y轴交于点C.且anZACO=,CO=BO.yAB=3.则这条她物戏的函数解析式是.图23对称轴平行于y轴的她物税与y轴交于点(0,-2),Rx=I时，y=3：X=T时y=1.求此抛勒线的关系式.4.推理运算：次函数的图象经过点A(0,3)，(2,-3),C(-1.O).(I)求此二次函数的关系式：(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)地空：把二次函数的图型沿坐标轴方向殁少平移个单位，使得该图象的顶点在原点.专JB三，二次函数与一元二次方程的关系本专建主要涉及依据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象推断一元二次方程根的状况，由一元二次方程根的状况推断拊物线与X轴的交点个数等.题型主要填空跑、选择题和解答起.考点1.依据二次函数的自支鱼与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程a+b+v=o就是二次函数y=ax=b*+c当函数y的值为0时的状况.例I依掘下列表格中二次函数y=a2+bx+c的自变量X与函数值)，的对应值推断方程aC+b+c=O(aO,a,b,c,为常数)的一个解X的范围是<)X6.176.186.196.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.(MA.6<<6.I7B.6.17<<6.I8C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.20考点2.依据二次南敷的BBiI确定所对应的一元二次方程的根.:次函数y=ax2÷bx+c的图象与X轴的交点有三种状况：有两个交点、一个交戊、没有交点；当二次函数y=a+bx+c的图象与X轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变IftX的伯，即一元二次方程ax2+bx*c=O的根.例2己知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示，则关于x的一元：次方程-x43x+m=0的解为.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的状况当二次函数y=a+bx+c的图象与X轴行两个交点时,则一元二次方程a+bx+c=()有两个不相等的实数根；当二次函数y=aby的图象与X轴有一个交点时，则一元二次方程a+by=0有两个相等的实数根：当二次函数y=a+bx+t的图象与X轴没有交点时,则一元二次方程aC+bx+c=O没有实数根.反之亦然.例3在平面直角坐标系中,枪物纹S=F-I与X轴的交点的个数足()A.3B.2C.1.D.0专项蜂习三1 .抛物城y=kxj-7x-7的图象和X轴有交点.则k的取值范恸是.2 .已如二次函数y=-X2+2x+11的部分图象如图2所示，W1.关于X的一元二次方程一丁+2x+m=O的解为.3 .已知函数,=+版+c的图象如图3所示，则关于K的方程axi+bx+c+2=0的根的状况於()A.无实数根B有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.在两个问号不等实数根4 .:次函fty=av+bx+c(a0)的图象加图4所示.依据图象解答下列问题：(1)写出方程OX2+加+c=0的两个根.<2)写出不等式a+m+c>0的解他(3) EJIBy随X的增大而减小的自变量X的取值范阻.(4)若方程+,x+c=A有两个不相等的实数极，求J1.的取值范围.专J四，利用二次函数解决实际问题本专时主要涉及从实际何区中建立二次函数模型，依据二次函数的最值解决实际向S能依据图象学习建立：次函数模型解决实际问题.解决实际问遨的基本思路：(1)理解问起：(2)分析问题中的变珏和常狂：(3)用函数表达式表示出它们之间的关系：(4)利用二次函数的有关性质进行求解：(5)检验结果的合理性，对向应加以拓展等.例某商场将进价为2000元的冰箱以2400元西出，平均母犬能售出8台，为了协作国家“家电卜乡”政策的实施.商场确定实行适当的降价措施.彻查表明：这种冰箱的售价每降低50元.平均每天就能多传出4台.(1)假设诲台冰箱降价*元，商场每火销售这种冰箱的利润是y元,请写出F与N之间的陶数衣达式;(不要求写臼变信的取位范围)(2)商场要想在这种冰箱销件中加天溢利4800元，同时乂要使百姓得到实惠，好台冰箱应降价多少元？（3）年台冰箱降价笠少元时，曲场每天销售这种冰箝的利润最高？最高利润是多少？专题调炼四1.小车想用篱笆围成一个周长为60米的雄形场地.矩形面积S（单位：平方米）随掂形一边长X（单位：米）的改变而改变.（1）求S与X之间的函数关系式，并写出自变IftX的取俄范附：<2）当X是多少时,矩形场地面积S最大？最大面枳是多少？2 .某旅行社有客房120间.每间客房的H租金为50元.每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调我发觉，假如林间客房的I1.租金年增加5元时，则齐房每天出租数就会削减6间，不考虑其他因素，旅社将枢向客房的H租金提高到多少元时,客房H租金的总收入最高？3 .一座拱桥的轮廊是抛物线型（如图1所示）,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱的的距离均为5m.（I）将岫物规放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求1物线的解析式：（2）求支柱EE的长度：（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带）,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的：.辆汽车（汽车间的间隔忽视不计）?请说明你的理由.