二次函数与一元二次方程【六大题型】（人教版）（教师版）.docx

专题22.4二次函数与一元二次方程【六大题型】AWSft1.【典型1抛物雄与N轴的交点情况】1【即型2附物线与X轴交点上的四点问题】3【题型3由次函数解元:次方程】6即型4由二次函数的图般求一元二次方程的近似解】9【帔型5由二次函数的图象解不等式】I1.四型6由二次函数与一次函数交点个数求范围】13【知次点I二次函数图象与X轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】根的判别式二次函数的图象二次函数与X轮的交点坐标元;次方程根的情况>0a>0效物线y=ax2+bx+c(a0),jX轴交于U1.0).(j,0)(x1.<.0)两点，且生鱼二，Ia此时称她物戌与X轴相交一元二次方程ax2+bx+c=0(t0)有两个不相等的实数根-b±yb2-4ac心BS12aa<0fAt=0a>0*她物找y=<a*+bx+c(aWo)与X轴交切于(-/.o)这一点，此时称效物线与X轮相切一元二次方程ax'+Zu+c=0(0)有两个相等的实数根b二一五a<0皆<oa>0拗物线y=<a'+加r+&)与X轴无交点,此时称抛物线与X轴相离一元二次方程r2+Zu+c=O(O)在实数范附内无解(或称无实效根)(f1.三抛物战与、轴的交点情况】【例I】(2022春西湖区校欲期末>抛物线y=<x-x)(X-X2)+，”必”与X轴只有一个交点(x.0).下列式子中正确的是(>A.Xi-X2=mB.X2-Xi=ntC.m(X1.-X2)=nD.nt<x+x)-n【分析】由抛物线与*轴只有一个交点(1.0)可得抛物般顶点式.从而Ur得X“&与，”的关系.【解答】解：.抛物线经过(Xi.0).且抛物战与X轴只有一个交点，拊物线顶点坐标为(.v.0),y=(X-Xt)2.".X1-2xx÷x,=<x-Xi)(X-X2)+n.r+rt=x2-(x+xj-n>)x+xg+”.*.x+X2-n>=2x.即Xj-x=m,故选：B.【变武1-1<2022春渔县校级月考她物线y=-+Zv-3与坐标轴的交点个数有()A.0个B,1个C.2个D.3个【分析】由步-4<rt的大小可判断拊物线与轴交点个数，由c的大小可判断抛物饯与y轴的交点，退而求解.【解答】帽.y=f+2r-3,1.b=2.C=-3>.,.2r-4rtt=22+12=16>0.二帼物段与X轴有2个交点.Vc=-3,，拊物就与)轴交点为0.-3),，附物线与坐标他行3个交点，故选：D.【变式1-2(2022广阳区一模)已知抛物线y=-笈2+辰+c与X轴只有一个交点,且过点451.2.”).B(«r+4.n),则"的值为()A.-9B.-16C.-18D.-27【分析】根据点A、8的坐标易求该抛物线的对称粒是IIaU=，n+I.故设抛物线解析式为y=-3*-，"-I>2.直接将A(«-2,“)代入,通过解方程来求”的值.【解答】裤：；弛物税y=-t2+bx+c过点A(刖-2,)、R(w+4,n)f二对称轴是直线x=m+1.又V附物线y=xhv+c与X轴只有一个交点.顶点为(«r+1.0).设抛物线解析大为,V=-3(x-M-D%把A(m-2.)代入，得：“=-3(m-2-in-1>2=-27.即”="27.故选：D.【变式1-3(2022春汉滨区期中)已知抛物线y=F+E+c与X轴的两个交点之间的距离为6,对称轴为x=3,则他物线的顶点。关于X轴对称的点产的坐标是<>A.(3.9)B.<3.-9)C.(-3.9)D.(-3.-9)分析根据帔物段y-r+bx+c与X轴机外交点M的跑离为6.对称粕为衽线x=3,可以得到b、C的值，然后即UI得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点。的坐标,然后根据关于X轴时称的点的特点横坐标不受，纵坐标互为相反数,即可得到点夕关于K轴的对称戊的坐标.【解答】解：设抛物线y=V+",与K轴两个交点坐标为(x1.0),5,0).Y1物跳y=+fer+e与X轴两个交点间的矩离为6,对称轴为直线x=3,：<x-XI)2=(x*j>2-4xX1=36.-=3,*1：.<->)2-4×c=36.b=-6.解得：c=0.，衲物线的解析式为y=x2-6x=(x-3)2-9.；.顶点P的坐标为(3,-9),二点?关于X辕的对称点的坐标是<3,9>,故选：A.IKS2物线与'轴交点上的四点问题】【例2】(2022武汉模拟)二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问应有时可以转化为二次函数问跑.请你根据这句话所提供的网患方法解决如下问题：若s./(s<,)是关于X的方程1.+<x-m)(xn)=0的两根，.nt<n>则，”.小s.f的大小关系是()A.s<m<n<B.m<s<n<C.m<s<<nD.s<m<t<n【分析】由y=<-11)(,r-r>可得抛物戏与X轴交点坐标为("，0),(/,0>,开口向上，则地物线),=(-m)(x-n)与直线y=-I的交点坐标为<.-i>»(，-I).从而可得tn.n.s,t的大小关系.【解答】解：由1+(X-，")(X-H)=O可得(x-而(.v-n>=-1.Ihy=<x-wj)(x-h)可褥施物线),=(-n)<x-n)与X轴交点坐标为<»«.0).(”，0).抛物线开IJ向匕则帕物段y=(x-m)(x")与出我尸7的交点在X轴下方，坐标为(s,-1).5-I).,.m<s<t<n.故选：C.【变式2-1<2022定远县模拟)二次函数y=rt+E+c(0关0)的部分图象如图所示，图飘过点(-I.Q)，对林轴为直线x=2,方程(x+1.)(x-5)=-3的两极为乃和X2,1.1.xt<x2,则下列结论正确的是()A.Xi<-I<5<2B.x<-1<x2<5C.-1.<x1<5<.D.-IVx1.VMV5【分析】方程(*+”(X7)=-3的两极即为衲物线y=“(x+1.)<x-5)与直统,T=-3交点的横坐标.据此可判断选项.【解答】解：令y=(x+1.)<x-5).则抛物线产“Cr+1.)(x-5)与产+阮+<形状相同、开口方向相同,且与*轴的交点为(7.0)、<5.0).函数图象如图所示，由函数图«1可知方程“rd(x-5>=-3的两极即为她物税.v=(.r+1.)(x-5)与直境=-3交点的横坐标.x<-I<5<j11.故选：A.变式2-2(2022张店区期末)已知二次函数,v=(X-I)2-r(，是常数，B.,0>,方程(-1尸-P-I=O的两根分别为"(rn<n).方程Cr-I)？_p_3=O的两根分别为p.q(.p<q),判断，”.n,p.q的大小关系是<A.p<q<m<nB.p<m<n<qC.m<p<q<nD.m<n<p<q【分析】在平面直地坐标系中亘出二次的数y=（x-1.>2r2C是常数，RfO）的图象,再作出直喊,y=1.y=3,它们与它物与交于A,8和C,D,分别过交点作X轴的垂燃则垂足对应的数值为题干中方程的根,利用数形结合的方法即可得出站论.【解答】解：在平面直知坐标系中理出二次函数>=（X-”2-Fa是常数，且，o）的图象如下图:X=I作出线y=1.与她物线y=<-I）2-r（，是常效,且，Wo）交于A.B.分别经过A,。作.r轴的垂线,垂足对应的数值分别为，小小是力理<x-I）2-r-I=O的两根：作总规=3与拗物线y=<x-I）i-j（/是常数，且/W0）交于C.D,分别经过AC,“作X轴的垂线.垂足对应的数值分别为小q，：.p，g是方程（X-I）2_人3=。的两根.Ih图象可如/«.n.p,g的大小关系是：p<m<n<q.故选：B.【变式2-3】2022河东区期末）已如效初线y=f+加+。的图象与工轴的两交点的横坐标分别,（<>,而F+ftv<-2=0的两根为M、N（W<V>,W1.as,M、"的大小顺序为（）A.aV。VMVNB.W<a<<C.a<M<<,D.W<a<N<【分析】依SS也i出函数y=<x-a>（x-1.>和y=2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解.【解答】解：依题意.施出的F=<x-a）（x->的图象.如图所示.*2函数图象为抛物线，开口向上,与X轴两个交点的横坐标分别为.（a<>.方程x2+bx+c-2=0的两根是拊物线>=（-a）（X-）与真雄>=2的两个交点.由MVM可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为M由图象可知,M<a<B<N,故选：B.【题型3由二次函数解一元二次方程】【例3】（2022登底一模）已知二次函数y=aF+阮+c的图象经过（7,0）与（3,0）两点，关于K的方程ar2+bx+c+,n=0（m>0）有两个根，其中一个根是S.则关于X'的方程arj+6+c+"=0（O<n<11）有两个整数根，这两个整数根是（）A.-2或4B.-2或OC.OijJ1.4D.-2或5【分析】根据二次函数y=a+M<的图望经过（-1.0）与<3,0>两点未对称轴，后面两个方程二次项、一次项系数没变.所以两根的和也不变还是2.【解答】解；二次函数y=G+hr+，的图象经过（3.0）与（-1.0）两点.：.当）=0时，O=a+fcx+c的两个根为3和-1.函数y=ar+fev+c的对称轴是自找X=1.又关于K的方程a1.+加+e+w=0（n>0）有两个根，其中一个根是5.二方程加+6+e+”,=0（m>0）的为一个根为-3,函数y=ad+版M的图象开口向下，如图.-m>-.关干X的方程a2+w+c+"=0<O<n<n）有两个拓数根.,虫段V="与y=ajr+bx+c的交点的根坐标为-2.4.'这关于X的方程r.v+c+"=O<O<n<n）有两个整数根,是-2或4.故选：A.【变式£1】（2022湘南区模拟）已知.次函数y=-2x+c（。关Q）的图象与X轴的一个交点为<-I,0）,则关于X的一元二次方程r-2ar+c=0的根是XI=-1.*?=3.【分析】利用二次函数y=ar-2ar+t的解析式求存他物纹的顶点坐标,利用抛物线的对称性求得附物线与X轴的另一个交点，再利用抛物线与轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系得出结论.【解答】解：F=aE-2av+c.拊物观的时称轴为出货A=-不=1.2a：二次函数y=af-2ax+c<a0>的图象与X釉的一个交点为（-1.0）.该瓶物线与K轴的另一个交点为（3.0）.二关于X的一元：次方程ar2-2t+c=O的根是：M=-I,刈=3.故答案为：x=-1.vj=3【变式3-2】2022成宇一模）已知二次函数y=ar2+u±（、'c为常数,且aH0）的F与X的部分对应值如下表:X-5-4-202y60-6-46则关于X的一元二次方程w2+v+c=O的根是XI=-4,.口=1.【分析】由购物线羟过点（-5.6>.（2,6）可得Itt物线对称$也根据抛物线对衿性及他物线跷过<-4. 0）求解.【解答】解：内抛物线经过点（-5.6）.<2,6）可得地物线附物线对称轴为宜线后菖”=-；.Y附物线经过（-%0>.对称轴为出城X=吟二附物线经过（I.0.二一元二次方程wx2+fer+c=0的根是X1.=-4.X2-1.故谷案为：X1.=-4.T2=I.变式3-3】（2022永环县校级模拟）己知：次函数.、=-./+W+c的图象经过（-I,0）与（5,0）两点,且关于X的方程-2+bc+d=O有两个根，其中一个根是6,则d的值为（）A.5B.7C-12D.-7【分析】先由二次函数=-F+fem的图象经过（-1,0）与（5.0）两点,求出从c再把AC代入方程-.r+v÷c+a=0后他方程的根是6求指d.【解答】解：；二次函数F=-F+rc的图象经过（7,0）与（5,0）两点，.r-1.-b+c=O*1.-25+5b+c=0'耨得：=二将b=4.c=5代入方程-.r÷v+c+J-0.可得：-x2÷4.r+5÷J=O又Y关于4的方程x2÷4÷5÷=O有两个根.其中一个根是6.把x=6代入方程-.-44r+5+<=0,褥：-36+4X6+5+4=0.解得：4/=7.经验证d=7时.>0.符合超速，：.d=7.故选：B.【知织点2求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数I（2）由图跳与y=h的交点位JM定交点横坐标的瓶围I（3）观察图象求得方程的根由于作图或观察存在谈差，由图象求将的根一般是近似的）.r三4由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2022平度市期末）如表给出了二次函数>=F+21.10中X.），的一些对应（ft.则可以估计一元二次方程+2x-10=0的一个近似解为（）X-2.12.22.32.42.5y-1.39-0.76-0.110.561.25.2.2B.2.3C.2.4D.2.5【分析】根据函数值，可汨元：次方程的近似根.=23.>=-0.11,x=2.4,y=0.56,221.1.O=O的-个近似根是2.3.故选：B.【变式4-1（2022盘云县期末已知二次函数y=+>Mc中，函数y与自变质X的部分对应值如表则方程ax2+bx+c=0的个解的范阚是6.18OY6.19.X6.176.186.196.20）-0.03-0.010.020.04【分析】根据表格中自变地、函数的值的变化情况,得出当3=0时，相应的白变小的取值越困即可.【解答】解：由表格数据可得,当x=6J8时，y=0.01.当x=6.1.9时.y=0.02,于是可汨，当）=0时，相应的自变x的取值范例为6.18VV6.1.9,故答案为：6J8<x<6,1.9.【变式4-2（2022条县一模如图,是二次函数y=t2+hr-C的部分图象，由图象可知关于X的一元二次方程a.v+bx=c的两个根可能是K1.=O.8.8=3.2理即可.（精确到0.1）（分析】直接利用她物线与轴交点的位置估葬出两根的大小.【解答】解：由图象可知关于N的一元：次方程u+n=c的两个根可能是：M=O.8,闷=3.2合理即可.故答案为：X1.=O.8,刈=3.2合理即可.【变式4-3（2022秋海乡期末）代数式2+fer+c（aW0,«,是常数）中，X与0r2+v+c的对应值如下表:X-I_AO2122!32222-2_>II2I1_»-24444axi+bx+c请判断一元二次方程f1.+fer+c=OQWdmb.C是常数的两个根x.&的取（ft范用是下列选项中的<）A.-<r<O.<r2<2B.-1.<x<-,2<2C.-<r<0<2<x2<D.-1.<.v<-pI<x2<2【分析】观察表格可知,在x<1.时,随X值的悯大.代数式心+加+r的值逐渐增大X的值在4（）之间.代数式小+如+c的值由负到正.故可判断r+Ar+c=O时,对应的X的值在一>。之间,在XA1.时，H1.x的值增大，代数式+v+c逐渐减小，X的值在2：之间，代数式储+加+c的值由正到负，故可判惭r+fet+c=O时，时应的X的值在2冶之间，【解答】解：根据表格可知，代数式ti÷fer+<=O时，对应的X的伯在一，0和2:之间，即：一元二次方程加+加+c=0（0,a,h,<是行数）的两个根X”内的取tf1.惹眼是-3<V0,2<X2<1.故选：C.Kf1.fiS由二次函数的图象i不等式】【例5】(2022秋里利区期末如图.她物线y=+r与直线y=,nx+"交于八(-1.p),(3.<1.)两点，则不等式«A-,nt+c<11的解集为<)A.>-IB.x<3C.-1.<x<3D.xV-3或x>1.【分析】由抛物线与直线交点横坐标轴定点线在抛物线上方时X的取值范围.【解答】解：VA(-1,p).(3.q),：.-1.<x<30.H线在帕物线上方.即-1.V<3时,ar+c<三+n.J.不等式“r2-mt+c<n的斛集为-IVJrV3.故选：C.变式54(2022定远县：模Itt物&y=d+W+c(0)上部分点的横坐标M飒坐标F的对应值如下表:X-2-IO12VO4664请求出当y<0肘*的取值范围/<-2或.。3.【分析】把点(06)代入求出c,把点(-1.4)和(I.6)代入柚物纹的解析式列方程组,解出可ia.b,即可将她物找的解析式，进而可列不等式求出FVO时X的取值范困.【解答】解：由丧得，她物戏.=&P+bx+c(0)过点<0,6).c=6,'；岫物跳y=r2+v+6过点(-I,4)和(1,6)，.0-fe+6=4"1.+b+6=6解得：忆，Ib=I.：次函数的表达式为：Y=-÷X*6,所以令-x2+x+6<0.耨卷：Av-2或x>3.故答案为：xV2或>3.【变式S-2(2022工业园区校级模拟)若二次函数y=+W+c(a、b、C为常数的图象如图所示，则关于X的不等式”(.r+2)2+<x+2)+cV0的解集为KV-I或>1.【分析】根据图里可得XV1.或x>3时ad+加+rV0.则“<x+2)2+b(.+2)+r<0时x+2V1.或x+2>3,进而求解.【解答】解：由图象可得.yI或Q3时0+fctcVO,二当。(+2>2+b(x+2)+c<0时，rf2<1.或x+2>3,解得x<-I或x>1.,故答案为：x<-1或x>1.【变式5-3(2022驿城区校级期末)如图,二次的数y=r-4/”?的图象与>轴交于点C点B是点C关于该二次因数图象的对称轮对称的点.已知一次函数.v=*+b的图象经过该二次函数图象上点八(1.0)及点8.则满足小+£>注.F-4r+,n的X的取值范附是<)A.xW1.或衣4B.1.x4CxW1.或x£5D.IWxW5【分析】由二次圉数解析式可得枪物及时称轴为直线=2.从而可得点8横坐标.进而求解.【解答】解：.)=F-4n+m二拊物线对称轴为直线x=2,点8和点C关于直线x=2对称.二点8横坐标为明.点A横坐标为I,1r4时.fcr+>-4.t+m.故选：B.【题型6由二次函数与一次函数交点个数求范围】1例6】2022虞城县三模）已如她物线y="（.r-2>2+c（«>0）.<1>若她物税与直线y=，M+"交于（I,0）,（5.8）两点.求岫物爱和直线的函数蜂析式：宜接写出当“（X-2）”>皿+"时自变成X的取值范围.<2）若=c,线段A8的两个端点坐标分别为A（0.3）,B（3.3）,当弛物线与线段A8段唯一公共点时，直接写出a的取值蕊图.【分析】（1）利用特定系数法求解析式即可，郎物线开口向上，数形结合H接写出答案；< 2）结仝她物我和戌段八8,分例况讨论求“的取慎范眼.【解答】<1）.1物绞产“（x-2）½与直线），=»«+交于（1,0>,（5,8）两点，.÷c=01m+n=0"1.9a+c=8'ISm+n=8'附物线和直线的函数解析式分别为>=<x-2>j-1.Y=Zi-2.a>0,岫物筏开门向上，施物税与克线>=mr+”交于（I,0）,<5.8）两点，二当a（*-2）2+c）m+”时自变ISX的取值范闱为XVI或x>5.< 2）若Q=c.则他物线y=a<x-2）2+a（a>0）.二开口向上,对称轴为=2,以点坐标为<2.a）.当拊物规顶点在成段AB上时有唯一公共点，JftM«=3,当微物设顶点在战段AB下方时，当羟过打3）时,a+a=3,解得a=g,当羟过A（0.3）时,4*=3.解得。=不二当搬物线与理段A8行唯公共点时，。的取信范国为g4“V：或“=3.变式6-1】（2022余姚市一模）已知：一次函数=2.2,二次函数”=M+辰+，c为常数）-< 1>如图，两函数图象交于点（3,”，），5,-6）.求二次函数的表达式，并写出当WVX时X的取值范1.(2请写出一组从c的值,使两函数图能只有一个公共点,并说明理田.【分析】(I)4<3.M1.).<n.-6)代入H线解析式求出点坐标,然后通过待定系数法求解.根据图象UJ得”Vx时X的取值范Iit< 2>-.r+fet+c=2x-2.由A=O求斛.【解答】解：(I)将3,m)代入”=版-2得s=6-2=4,将-6)代入y=2t-2得-6=2“-2,解得”=-2,二跄物线经过点3,4，(-2.-6).将<3.4).(-2.-6)代入J=-*2*+c>得伫)二)解叱著.,.y=-+3X*4,由图象可可-2<x<3W,抛物线在可线上方,"V>时K的取值范围是-2<x<3.< 2>令-+bx+<=2x-2,整理得/+(2-b)x(.2+c)=0.当A=<2>2+4(2+e)=0时，两函数图象只有一个公接点，：.b=2.C=-2.涓足SSjft变式6-2(2022河南模拟小新对函数y=f1.U'+>+c(a()的图象和性质进行了探究.已知当自变量X的值为。或4时,函数值都为-3：当门变fitx的值为1或3时.函数值都为0.探咒过程如下，请补充完整.< 1>这个函数的表达式为y=>-4x1-3:< 2）在给出的平面直胸坐标系中，酉出这个函数的图©并写H1.这个函数的条性质：函数关于直线X=2对称：< 3）进一步探究函数图象并解决问题：出战Y=K与函数y=N+M+c有三个交点,则k=1；已知函数、=3的图象如图所示，结合你所画的函数图歆，写出不等式Rt2+MyWN-3的解集：X=Q或3yW5.【分析】(I)将X=O.>'=-3:x=4.y=-3：X=1.y=0RA,v=4r2+1.*('<0>.得到：C=-3.b=-4.=1.即可求解析式为y=x2-4x-3,< 2)描点法M出函数图象，函数关于*=2对称:(3从图象可知：当x=2时，y=1,K=I时直线y=«与函数y=-4x3有三个交点：F=K-3>=r-4x-3的交点为X=O或x=5,结合图象，y=1.r-4-3r-3的解集为3x5.【解答】裤：<I)4x=0.),=-3:x=4.y=-3：x=1.)=0代入y=<x2+A+cQ=0),得到：C=-3,b=-4.a=,.,.y=U2-4N-3,故答案为：产M7#3；< 2>如图：函数关于古城x=2对称.故答案为：函数关于在成*=2对称：<3>当x=2时.F=1.AA=I时直设y=k与函数V=Ir1-4-3有三个交点，故答案为I；F=X-3与y=r-4M-3的交点为x=0或x=3.结合图象.F=X-M-3r-3的解集为X=O或3SxW5.故答案为：X=O或3WxW5.【变式6-3】（2022海珠区一模）令。、从,三个数中G大数记作h.t）.真战产夕+/与南散F=三r-.r+4,x-2.-x-2）的图象有此只有3个公共点，则t的俏为I或3.【分析】只需的出函数产mu-f+4.X-2,-x-2）的图象.然后结合图门并运用分类讨论的思想.就可解决问题.【解答】解：在直角坐标系中亘出两数y=mrF+4,x-2,7-2|的图象，如图所示.当出绞产）+，经过<-2.0）或，她物线产-1+4相切时直线V=夕+，与函数y=nu,x1-x2+4,X-2.-X-2的图象有且只有3个公共点.若宜线产夕+，经过<-2,0>,则有0=gx<-2>+/.解得，=1:若直绞尸3+，与抛物线y=-*4411W.则关于X的方程*+/=-+4即-4=0行两个相等的头数根，W1.=<）2-4×1.×（,1-4）=0,解得，=今JO琮上所述一=1或言故答案为I或H