2024年初中函数知识点总结.docx

由数知识点总结（掌握函数的定义、性质和BB像）（一）平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面宜向坐标系，筒称为H角坐标2、各个队限内点的特性:第一象限：（+,+）点P<x,y).则x>0,y>0;第二象限：（-,+）点P(X,y),则x<0.y>0:第三象限：（-,-）点P<x,y)>则XVO,y<0；WJx>O.y<O:3、坐标轴上点的坐标特性:X轴上的点,纵坐标为零:y轴上的点,横坐标为零：原点的坐标为（0,0）。两坐标轴的点不属F任何象限.4、点的对称特性：己知点P（三,n）,有关X轴的对称点坐标是（m,-r）,横坐标相似，双坐标反号有关y轴的对称点坐标是（-m.n）纵坐标相似，横坐标反号彳j关原点的对称点坐标是(-m,-n)横，板坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特性：平行于X轴的直线上的任电两点：纵坐标相等：平行于y轴的百.线上的任意两点：横坐标相等。6、各象限角平分线上的点的坐标特性：第一、三象双角平分戏上的点横、纵坐标相等，第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数“7,点P<x,y>的几何意义：点P<x,y>到X轴的距围为Iy1.点P(x,y>到,轴的距离为Ix1.点P(My)到坐标原点的距周为yx'+>,:8,两点之间的距离：X轴上两点为A(XI,0)、B(2,0)IabHx2-XiI丫轴上两点为C)'J、d("X)cd=IVz一已知A(,>1).B(.v2,y,)AB1.=-A)2+(,v2-y1)-9、中点坐标公式：已知A（XI,力）、B（m，%）M为AB的中点则：4中,中）2210、点的平移特性：在平面直用坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a,y：将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a,y：将点（x.y）向上平移b个单位长度,可以得到对应点（x,y+b）：将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x,y-b）.注意：时一种图形进行平移，这个图形上所有点的型标都要发生对应的变化：反过来,从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.（二）函数的蓄本知板，基本擂念1、三ft:在一种变化过程中可以取不一样数值的J鼠常在一种变化过程中只能取同一数值的优，2、函敷，一般的,在一种变化过程中,假如有两个变殷X和声并且对于X的每一种确定的色，y均有唯一确定的值与其对应，那么我们就把X称为臼变t,把y称为因变质,y是X的函数。，判断A与否为B的函数，只要看B取位确定的时候，A与否有唯确定的值与之对应3、定义城，般的.种函数的力变依容许取值的范围,叫做这个函数的定义域.4、确定函数定义就的措施：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数：（2）关系式具有分式时,分式的分母不等于零：（3）关系式具有二次根式时，被开放方数不小于等于零：（4）关系式中具有指数为零的式子时.帐数不等于零：（5）实际问遨中，函数定义域还要和实际状况相符合，使之故造义.5、函数的图像一般来说，对于一种函数.靛如把门变设与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点构成的图形就是这个函数的图象.6、的麴鼻析式，用具有表达自变量的字母的代数式衣达因变量的式子叫做解析式.7、也点法函敷图形的一般环节笫一我：列表（去中给出某些自变出的值及其对应的函数做）；第二步：描点（在直角坐标系中.以白变量的值为横坐标,对应的函数值为纵坐标，描出发格中数值对应的各点）:第三捧：连线（按照横坐标由小到大的次序把所描出的各点用平滑曲战连接起来）,8、函数的表达指篇列表法：一目了然，使用起来以便，但列出的对应值是有限的，不易而出自交出与函数之间的对应规律，解析式法：简朴明了,可以精确地反应整个变化过程中自变坡与函数之间的相依关系,但有些实际问应中的函数关系,不能用解析式表达.图象法：形象也观，但.只能近似地体现两个变量之间的函数关系.（三）正比例函敷和一次函敷1、正比例的数及性质一般地，形如y=kx（k是常数、k0）的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx（k不为零）k不为零X指数为Ib取零当k>0时，直线y=kx通过三、一象限，从左向右上升,即随X的增大y也增大；当k<0时.出线y=kx通过二、四取限.从左向右下降,即随X增大y反而减小.解析式：y=k（k是常数,k0）必过点：（0,0）、（1.k）（3）走向：k>0时,图像通过一、三象限：k<0时，图像通过二、四型限（1）性：k>Q,y1.X的增大而增大：k<0.y1.x增大而M小修制度:k越大越粕近y轴：k越小,越就近X轴2、一次函敷及性质一股地，形如y=kx+b（k,b是常数，k0）.那么y叫做X的一次函数.当b=0时，y=kx+b即y-kx,因此说正比例函数是一种特殊的次函数.注；一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）k不为等X指数为1b取任逾:实数一次函数y=kx+b的图象是通过（0,b）和0）两点的一条直线，我们称它为自k线y=kx+b,它可以看作由直践y=kx平移Ib个单位长度得到.（当b>0时，向上平移：当b<0时，向下平移）1解析式：y-kxb（kb是常数,k0）（2）必过点：（0.b）和（-y.0>K（3）走向，k>0.图象通过第一、三象限；k<0,图象通过第二、四象限b>o,图象通过第一、二象限：b<0,图象通过第V、四族双直线通过第一、二、三象限">°oii规通过第一、三、四象限A>0/»<0|,<()。11战通过笫一、：,四象限A<°O11战通过第二三、四象取b>0<0注；y=kx+b中的k,b的作用：】、k决定荷H线的变化趋势k>0直线从左向右是向上的k<0直筏从左向右是向下的2、b决定着直线与y轴的交点位置b>0直线与y轴的正半轴相交MO出线与y轴的负半轴相交(4)增派性：k>0,y的X的增大而增大；k<0,yIaX增大而诚小.(5)像斜度：k越大，图象魁狒近于y轴：k越小，图象越旅近于X粕.(6)图像的平移：当b>0时，将互线y=kx的图象向上平移b个单位：当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.3、一次函数ykx+b的图象的画法.根据几何知识：通过两点能画IBI条直战，并且只能画出一条直战，即两戊确定-条口线，因此亘一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成R线即可.一般状况M是先选用(4。)它与两坐标柏的交点：(0.b).k，.即横坐标或纵坐标为0的点.注：对于y=kx+b而言,图象共有如卜.四种状况:kk0,1.>>02、k>O.b<O3、k<O.b<O4、k<O,b>O4、直线y+b(kH0)与坐标轴的交点.(D宣线y=kx与X轴、y轴的交点都是(O,0)1.f-,1Mttyx+b与X轴交点坐标为上y轴交点坐标为(0,b).5、用栉定系数法确定的敷解析式的一般环节I(1)根据已知条件写出具有待定系数的函数关系式：(2)将X、)的几对值或图望上的几种点的坐标代入上述的数关系式中得到以待定系数为未知数的方程：(3)解方程得出未知系数的值；(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.6、两条宣线交点坐标的求法：措施：联立方程组求k、y例四：已知两直线y=x-6与y=2x-4交于点P,求P点的坐标?7,宣线y=k1.x+b1.与y=k2x+b2的位震关系（1）两条宜线平行：k1.=k2且b1.*b2（2）两直战相交:kfc（3）两直线切费:k产Ifc且EW平行干尸轴（或重登）的点线记作X=瓦尤其地,y轴记作宜线X=O8、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数厂kx+b的图&是一条直线,它可以看作是由直线y-kx平移Ib个单位长度而得到（当b>O时，向上平移：当MO时，向下平移）.9、一元一次方程与一次拒数的关系任何一元一次方程到可以转化为HX山-0（a.b为常数aW0）的形式因此解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为。时，求对应的自变豉的值.从图象上看，相称于已知直找y=ax+b确定它与X轴的交点的横坐标的值.10、一次函数与一元一次不等式的关系任何一种一元一次不等式都可以转化为ax+b>O或ax÷b<（）<a,b为常数a0）的形式，因此斛一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于。时，求自变量的取值范图.11、一次函数与二元一次方程蛆（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点构成的图象与一次函数y=-+二的bb图象相似.（2）二元一次方程组"'"+'V=G的解可以看作是两个一次函数产一"x+父和（,.v+2j=c2b1.b1.y=-,r+，的图象交点.b1b212、函数应用向题（理论应用实际应用）（1）运用图以蟀遨通过函数图象茯取信息，并运用所获取的佶息处理简朴的实际问SS.（2）经营决策问魄函数建模的关键是将实际同SS数学化，从而处理以佳方案，最佳方略等问题.建立一次函数模型处理实际问题，就是要从实际问遨中抽象出两个变相.再寻求出两个变奴之间的关系，构建函数模型，从而运用数学如胭.（四）反比例的数一般地，假如两个变量X、y之间的关系，以表达成y=kx（k为第数，k0）的形式，那么称y是X的反比例函数.取值范围：（DkW0：在一般的状况下.自变附X的取值范用可以是不等于0的任意实数:函数y的取色范围也是任意北室实数.反比例函数的图像属I-'以原点为时称中心的中心对称的双曲战反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限皴近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K0).反比例函数的性期，1 .当k>0时，图象分别位于第1、三象限，同一种象限内，y1.¾X的增大而M小；当k<0时，图象分别位于二、四象眼，同一种象限内，y随X的增大而增大.2 .k>0时.函数在x<0和x>0上同为减函数：k<0时.函数在x0和x>0上同为增函数.定义域为x0;做域为y0°3 .由于在y=kx(kW0)中,X不能为0,y也不能为。，因此反比例函数的图跳不也许与X轴相交，也不也许与y轴相交.4 .在一种反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作X轴，y轴的平行戏，与坐标轴图成的矩形面枳为SI,S2,W1.S1=S2=K5 .反比例函数的图象既是轮对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=xy=-x(即第一三，二四象双角平分线),对称中心必坐标区点.6 .若设正比例函数y=mx与反比例函数y=nx交于A、B两点(m、n同号，那么AB两点有关原点对称，7 .设在平面内有反比例函数y=kx和一次函数y-m,n,要使它们有公共交点.则n2+4k,(不不不小于)0。(kx=mx+n,即mx.2+n-小0)8 .反比例函数y=kx的渐近战；X轴与y轴。9 .反比例函数有关正比例函数y=x,y=-轴对林,并且有关原点中心对称.（第5点的同义不一样表述）1Q反比例上一点In向X、y轴分别做乖戏，交于Q、w,则矩形“q。（。为原点）的面积为Ik1.I1.k值相等的反比例函数理费,k值不相等的反比例函数永不相交.12.k越大，反比例函数的图思离坐标轴的距溪越远.五二次函数二次函数是指未知数的取高次数为二次的多项式函数，：次函数可以表达为f（x）=a-2÷bx÷c（a不为0）。其图像是一条主轴平行于y轴的微物战，一般式（己知图像上三点或三对X、y的值，一般选择一般式.）y=ax'2+bx+c（a01a»b、C为常数3顶点坐标为（-b2a,（4ac-b'24a）;II点式（己如图像的顶点或对称轴，股选择顶点式.）y=a（x+m）-2*k（a0,n,m,k为常数）或y=a（x-h）,2+k（aK0.a、h、k为常数），Ifi点坐标为（-,k）或（h,k）对称轴为x=-m或x=h,有时理目会指出让你用配措施把一般式化成顶点式;交点式(已如图像与X轴的交点坐标5、x2.一般选用交点式)y=a(x-x1.)(x-x2)仅限于与X轴有交点A(x1.,0)和B<x2,0)的抛物线:施物线的三襄索；开口方向、对称轴、顶点IX点弟物线有种顶点P,坐标为P-b2a,1ac-b24a),当-b2a=0时，P在y轴上；当A=1.2-4ac=0时，P在X轴上。开口二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时，效物般向上开口；当aVOBr,跄物线向下开1.I.a加大则拈物线的开U号小，决定对称轴位量的原因一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时<1.Pab>O).对称轴在y轴左；当a与b异号时(IWabVO),对称轴在y轴右。，左同右鼻)c的大小决定抛物线>=°/+以+c与尸轴交点的位置.当X=O时,>=c.二效物线>=x'+bx+c与y轴有且只有一种交点<0.O：GX=O,抛物税通过原点；c>0,与尸轴交于正半轴：c<0,与尸轴交于负半轴.直线与“物线的交点（1）丁轴与物物找丁=。/+6+得交点为（0,C）.（2）与轴平行的宜线X=A与抛物线尸=+bx+c有且只有一种交点（h.ahi+o.（3）跄物线与X轴的交点二次南数y=+bx+c的图像与X轴的两个交点的横坐标、X2,是对应一元二次方程4-+bx+c=。的两个实数根.抛物线与X轴的交点状况Ur以由时应的一元二次方程的根的胶别式胶定：有两个交点=A>O=微物线与X轮相交：有一种交点（顶点在X轴上）=A=O=附物线与X轴相切：没右交点OA<OO地物线与X轴相离."）平行于X轴的直线1.j抛物线的交点同（3）同样也许有。个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的板坐标相等，设纵坐标为此，则横坐标是/+bx+c=上的两个实数根.（5）次函数>=h+依Wo）的图像/与二次函数7=°/+bxc（W0）的图像G的交y=x+/点,由方程纲y=+'x+c的解的数目来确定：方程组有两组不一样的裤时O/与G有两个交点；方程组只有一组解时=/与G只有一种交点；方程级无解时=/与G没有交点.(6)拊物战与X轴两交点之间的距离：芥勉物设二°x'+bx+c与X轴两交点为4孙。)8(xa0),由于XhM是方程+Ax+c=O的两个根，故bcX】+*2=七勺=一aaab*kFJkif-他TJF'-J(Tq&4"春