1.1 数列的概念4种常见考法归类（解析版）公开课教案教学设计课件资料.docx

1.1数列的概念4种常见考法归类学习目标课程标准学习目标I.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法（列表,图象、通项公式）.2.了解数列是一种特殊函数.】了解数列的相关概念.（数学抽象）2 .了解数列的函数特性、数列的通项公式.（数学抽象）3 .能根据数列的前几项写出数列的通项公式.（逻辑推理、数学建模）思维导图数列的收念数列的有关概念及表示方法1.知识清单-数列的分类I数列的表示法s-数列的被念与分英（一）根据规律填写数列中的某项«fi-s判断或者写出数列的项（X）根据通项公文写出项常是疗法<=）判断某数值是否为该数列的项«5=.根据数列的好几项写出通项公式f1.fii9:由建推公式求数列的指定项知识清单知识点O1.数列的有关概念及表示方法1 .数列的有关概念（1）数列：按一定次序排列的一列数叫作数列.（2）ft列的项：数列中的每一个敏叫作这个数列的墓.2 .数列的表示方法数列的一般形式可以写成0,«：,6,，或简记为数列其中R是数列的第也叫救列的1T三:4是数列的第/1项,也叫数列的注：（1数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关，而口还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于埃合中元索的无序性.因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列,数列中的数Ur以重更出现，而集合中的元泰不能重复出现,这也是数列与数集的区别.如：数列I.2.3.4,5和数列5.3,2,4,I为两个不同的数列，因为二者的元素项序不同，而集合（I,2.3.4,5）与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性.1）数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值,也就是相当于/V0,而项数是指这个数在数列中的位盥序号，它是自变量的值，相当于贝”）中的”.【卬学即练I】现有下列说法：元本有三个以上的数集就是一个数列：数列I.1.1.1.是无穷数列：每个数列都彳1通项公式：根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通攻公式；数列UJ以看看是一个定义在正整数集上的场数.其中正确的有（）.A.O个B.1个C.2个D.3个【情析】对于，数列是按一定次序排成的一列数.ifi数Ut的元素无顺序性，不正确：对于，由无穷数列的感义知，数列1,1,I，I,是无穷数列,正确；对1'：'.,不"3个坟列都有通项,如夜按精确度为0.1,0.01,0.001.0.0001.得到的不足近似限依次排成例得到的数列没有通项公式,不正确；对J匕前4项为1.I,I,1的数列通项公式可以为4=1.neNH=CoS2e”N'等，即根据一个数列的前若干项.写出的通项公式可以不唯一.不正确：财于，行此数列是行力数列，不可以看着是个定义在正整数堤上的函数，不正确，所以说法正确的个数是I.故选：B【叩学叩薛2】下列说法：数列I，0,-I,-2与一2,-1,0,1是相同数列：数列1，3,5,7可表示为1.357；数列0,I,2,3.的一个通项公式为4=”：数列0,1,0,I,是常数列；数列2”+1是严格递增数列，其中正确的是.（以编号）【解析】对于,射!中的项是有序的,I.0,-1,-21.）-2.-1.0,I项的排序不同,不是相同数列.错误:对于,1A5J表示集合，1Uk数列1.3.5,7.各项是有即的.不可暝用1.35t7来表示,错误：对：；."?=1时.4，1，0,，“，数列的个;、公N错误：时于,常数列是指各项均为同一常数的数列，然误；Mr,若(-2”+1.则见“2+3.an,1.-a2>0,二数列211+1.是严格递增数列，正题故答案为：.知识点02败列的分类分类标准类型含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的递增数列从第2项起,每项都大于它的前项的数列，即恒有r>01(nN)变化趋递减数列从第2项起，每一项都小于它的解一项的数列，即忸有OITJ“(“GN.)势常数列各项都相等的数列.即恒有%,=%("GN)按其他同期数列,慑地，对于数列/I，若存在,个固定的正整数丁，使得,r=,恒成立，则称标准(“小是周期为7的周期数列按其他有界(无界)任一项的绝对值挪小于某-正数的数列称为有界数列.即mMR.kM否则称标准数列为无界数列摆动数列从第2项起，有些限大于它的前一项，有线项小于它的前一项的数列注：有穷数列与无穷数列的表示方法：(I所穷数列股表示为S，6,6.，%:无穷数列一般表示为6,6小.(2)对于有力数列,要把末项(即最后一项写出来，对于无力数列，不存在最后一项,要用“”结尾.【卬学卬练3】下列有关数列的说法正确的是()A.同一数列的任意两项均不可能相同B.数列-I.O.I与数列1,0,-I是同一个数列C.数列I,3,5,7可表示为1.357)D.数列2.5.2.52.5,是无穷数列【解析】例如无力个3构成的常数列3,3,3,的各项都是3,故A错误；舱T.0,1与数列01.-IP同.表示不同的耐故B错误t1.37是一个集合,故C错误：根糖数列的分%数列2,5,2.5.2,5,中的项有无穷多个,所以是无穷数列.D正确.故选:D.知识点03数列的表示法I.列表法列出表格来表示数列(”的第"项与序号”之间的关系.见下表:序号”123-n项Gth032 .图象法在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(，an).3 .通项公式法如果数列为的第n项%与它的序号”之间的对应关系可以用一个式子束表示,承么这个式子叫做这个数列的通项公式.即q=/(”).不是每一个数列都有通项公式,也不是母一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数佻N或它的有限了噪(123为定义域的函数的表达式.4 ：(1)数列的通项公式必须适合数列中的任意一项.(2)己知通项公式11=Hn),那么只需依次用1.2,3,代普公式中的n,就可以求出这个数列的各项.(3)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如小=(-1)可以写成11=(-iy,还可以写成«.=1'*1=2k-1.(keN.这些通项公式虽然形式上不同,但都表示同一数列.I1,n=2k科)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样.5 5)通顶公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变IN通常是连续变化的，而数列是日变业为恩敌的数的函数.6 .递推公式法如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项外与它的前一项小(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，延么这个公式就叫做这个数列的递推公式.7 .常见数列的通项(1)1.2.3.4,的一个通项公式为=".(2)2.4.6.8,的一个通项公式为=2.(3)3.5,7,9,的一个通项公式为=2+1.(4)2.4,8,16,的一个通项公式为。“=2".(5)-1.I.-1.1.的一个通项公式为%=(1W(6)1.O.I.O,的一个通项公式为Ot=I+batb,的一个通项公式为依(+Z>)+<-1.>11",(-h)(8)9.99.999,的一个通项公式为a=IO"T.【即学叩练4】数列;，-，2'-1，的第H项是.【解析】不妨设数列为q,则4=；.¾=-7«.=7.u*=i'24D8由此归纳得到%的个通项公式为4=(TrX铝a-*小|兄/H152x14-127所以心(FXwTr五：放拧案为：2o【即学即练5】一定数目的点在等即肉的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形数.如图,根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵衣示的三角形数是(>t解析】根据姬冲可知，绛四个点阵丧示的不形数为：1+2+3+4=10.故选：C【叩学叩酷61已知数列4的通项公式4=-2/+9”+3.<1)2(选填“是”或“不是")数列为中的项：<2)这个数列第项起各项都为负数.【解析】令4=-2+9"+3=2.t!Jdr=-2w,+9n+1.=(),所以,=21叵N.-4所以2不是较列4中的第由数列«*函数/性可知，a,<a2,ai>t4><f>>a11(n>3).因为q1°%13.勺三12.at7.0s三-2,所以，这个数列第S项起各项都为例数.故答案为:不是：5.【卬学卬练7数列9；与的一个通项公式为4=;(2)数列二,白，的一个通IS公式为q=;369123)数列1,11.Ii1.III1,的一个通项公式为g=.【解析】m所给数列的前4项中,每一项的分子比分琲少I,且分母依次为2'2,2，2'(分式中应分别考虑分广、分母的特征),所以数列的个通项公式为4R=1.(2)所给数列可写成(T)'x/i，(-1)7白.(-1)鼠白.(-i)4×-,所以数列的个迪双公式为q=(7)"x-1.=d''3乂3(3)所给数列可写成g(o-),(100-1),1000-1.),(10000-1)所以线列的，加D:为q(*1).故答案为：U:1.i£：(o-i).【叩学即练X】已知数列q的苜项为4=1,且满足仆“=%”+2则此数列的第3项是()A.4B.12C.24D.32【解析】由题.敢.i=2,+2,=4.%2%+2'12故选：B题型精讲题型一，数列的播念与分类例I.【多选】(2023下高二课时缥习下列说法正确的是)A.数列可以用图象来表示B.数列的通项公式不唯一C数列中的项不能相等D数列可以用群孤立的点衣示1答案】ABD【分析】根据数列相关的微含逐项分析即可.【详解】对于A,由数列定义知，数列是以项数为自变此，项为因变7的特殊函数，故可以用图象来衣示.AIE确；对于B,若数列有遍项公式,则该数列的通项公式不一定唯一，例如:数列TJ-IJ-IJ的通项公式可以为“n=（-D,“SB2K1也可以为q=I、；wN.B正确：对于C,数列中的项可以相等，如常数列，C不正确；对于D.由数列是特殊的函数且“eN知,数列可以用一群孤立的点表示,D正确.故选：ABD变式1.【多选】2024匕陕西宝鸡高二校考期末）卜列结论中正痂的是（）A.数列的项数是无限的B.数列通项公式的表达式不是唯一的C.数列1.3.5,7可表示为,3,5,7D.数列1.3.5.7与数列7,5,3,1不是同一数列【答案】BD分析根抠数列的定义可依次判断各选项.【详解】改列按项数分类可分为有穷数列与无穷数列，即数列的项数M以足行限的,也可以是无限的，故A错误:数列通项公式的衣达式不是唯的，例如.依列1,-1,UT?的通:可以是4=（-1广，也可以是4-CosS-1）n.故B正确：构成数列的数是有顺序的,而集合中的元素是无序的.故Ctft误：根据数列定义两数列的数绯列次序不相同,不是相同的数列，故D正确.故选：BD.变式2.（2023下黑龙江鸡西高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中.正确的足（）A.数列Ur以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子梁1.23.»）上的函数B.数列的底数一定是无限的C.数列的通项公式的形式是唯一的D.数列1.3,2,6,3.9.4.12.5.15,不存在通项公式【答案】A【分析】利用数列的定义判断A：举例说明判断BC：写出数列通项公式判断D作答.【详解】对于A,由数列定义如.A正确:MJB,数列1.2.3.4.5只行5项,该数列项数有限.B借误:对于C数列TJTJTJ的通项公式可以为q=(T),也可以为例=尸''：1人N,该数列通项公式不睢,C错误:1.,n=2A”+1MI对于D.该数列的通项公式可以为J.AeN,D错误.3/1一.n=2k2故选：A变式3.(2023下,高二课时练习)下列说法中,正确的足()A.数列1.3,5,7可表示为集合13.5.7B.数列I，O,-I.-2与数列-Z-I61是相同的数列C.数列卓的第为I+：口.数列0.1.234.,可记为”【答案】C【分析】河用数列定义即可逐个选项判断.【徉解】由数列定义知A错:B中推列次序不同,错误:C中第Jt顼为一=1+；,正确：dPhen.WiX.kk故选：C例2.(2023下岛二课时练习数列。力的通项公式是q+1,wN,则它的图象是<)A.直线B,直线上孤立的点C.抛物线D.他物线上孤立的点【答案】B【分析】根据数列的知识确定JE确答案.(if?数列4对成点为(,2),(23),(34),所以图象是我.线y=+上蒸叱的点.故选：B例3.(2023全国图二专即练习下列各式哪些是数列？若是数列.哪些是有先数列？哪些是无穷数列？< 1.)(0.I.2.3.4|：< 2)0,1,2,3.4：< 3)所有无理教：(4)1-1191,I,-19.：<5)6,6,6,6.6容案】答案见解析（分析】按数列定义判断足有为数列：按数列中攻数是否打未判断足仃穷数列还是无力数列.【详解】数列是按照定次序排列的列效.（I）是集合,不是数列.（3）不能构成数列，因为无法把所有的无理数按定顺序排列起来.（2）（4）<5）是数列,其中（4）中顶数有无穷多，故是无穷数列，（2）（5）中顶数是有限的,故是有力数列.变式1.（2023高二课时练习）下列有关数列的说法正确的是<>A.同一数列的任意两项均不可能相同B.数列-I,o.I与数列I.0.-I是同一个数列C.数列I,3,5.7可表示为1.357D.数列2.5.2.5.,2,S,是无穷数列【答案】D【分析】根据数列的微念，逐项判1即可.【详解】例如无穷个3构成的常数列3,3.3,的各项都是3.故A格误：数列T,0,1与数列0.1.T中项的顺序不同，即表示不同的数列,故B犯：1.357是一个窠合，故C错误：根据数列的分类，数列2,5.2,52,5,中的项行Ak4个.所以於无力数列,D正鼬.故选:D.【方法技巧与总结】正秫理解数列及相关蜒念,注意以下几点：（I）数列与敬某不同，敷臬具有互异性和无序性，而数列中各项可以相同，但与啕序有关；（2）数列«2,.%,可以记为爆,但不能记作0,a：,.题型二，判断或者写出败开的项（一）根据规裤填写数列中的某事例4.（2024上山西长治高二统考期末在数列J,.5.2.不中，根据前5项的规律写出的第12个数为（）A.22B.iC.iTD.23【答案】D【分析】观察总站凝中，直接可写出第12个敢.【侔解】观察可行.数列的第"个数可以埼为五.所以第12个数为：I2=23.故选：D变式1.（2023上湖南长沙S6-长沙市南雅中学校学开学考试）按一定规律排列的数据依次为1，辛,按此燃律排列,则第30个数是.r*彳M1.1,1<X）1分析根据规律写出通项公式即可求得结果.r.I1.+3×041.+3×1.71+3x2IO1.+3×3而=E"'17=7¼T故答案为：箫变式2.（2023上高：课前顶习）斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以免子繁殖为例子而引入，故又称为“处子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1,I,2,3,5,8,13.21,.则该数列的第10项为（>A.34B.55C.68D.89【答案】B【分析】先观察数列，可利用发现的规律求出第10项.【详解】观察数列：1.123.5813.21,，发现从13项起,每一项均为其葡2项的数之和,则第9项：13+21=34.第IO项:21+34=55.故该数列的第IO项为55.故选：B.例5.（2023上湖北武汉高二武汉外国语学校（武汉实院外国语学校）校考阶段练习根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数（）A.32B.35C.36D.42【答案】B【分析】根抠所给致加，找出规律即可行蚱.【详解】由题意，=1,¾=5,=12.=22,所以4.11j-f1.,-7.o4-510,根生；规律.<¾-0413.所以他=13+22=35,故选：B变式I.(2023下,湖北武汉高二校联考期中根据下列S个图形及相应点的个数的变化规律,可以得出第8个图有个点.(1)(2)(3)(4)(5)【答案】57【分析】根据题弑，也先观察题H所给的丘个图像,找出母个图形之间有什么联系,燃行通过每个图形之间的联系得出通项公式,得出结论.【详解】根据题意，图1)中只有I个点，无分支：图(2)除中间一个点外，有两个分支，好个分支由I个点：图(3)除中间一个点外，有三个分支，埒个分支由2个点：图(4)除中间一个点外，有四个分支,每个分支由3个点.叫第"个图形小I；加I一个点外,打”个分支，每个分支有n个点，第“个图形Q01+忒.1个点,故第8个图形中"1+8x7=57个点.故答案为：57.(二)根据通项公式写出项例6(2023下高二课时练习)已知数列的通项公式是4=2”-1,则%=.【答案J15【分析】根抠小项公式求得4.【详解】由于%=2n-1,所以“*=2x8-1=15故答案为：15变式1.(2023全国i：珈堂练习)根据下面数列的通顶公式，分别说出各数列的前5项.()<<=211-1.以Hn【答案】4=1，«=3.4=5，4=7,OS=9(2)4=2.as-2.0,=g4=.,=j【分析】根据通项公式写出数列的前5攻即可.【详解】(D因为4,=2T,所以q=21.-1.=1.,11,=2×2-1.=3,< ,=2×3-1.=5.4=2×4-1=7.5=2×5-1.=9.< 2)因为凡=3+(T)”,H所以=±!£=2,=2=I2÷1.=,3-iy=21233'455变式2.(2023上江疗南曲岛二统考期末在数列«,中,若q=比'：22数.则3%的值为(2.11Ji*<A.17B.23C.25D.41【咎案】A【分析】根据给定的通项公式，宜接计算即可.【详解】依即意，a4+a,=2)+(2x5-1.)=17.故选：A变式3.(2023全国高二随堂练习)写出数列入的前5项.并作出它的图象:()=2n+3;43：4g(2"-):为奇数(M=I2-1.为闻ftI,<1.)1.=5,111-7,03-9,4-1.1.%13,图象见解析：(2)4=3,%=3,«,=3,«4=3,。,=3,图象见解析：(3)4=；,a,1,«5=p«4三5.%=g,图象见解析：4)1=1,。：=3,4=1.at=7,6=1,图象见解析.【分析】根据数列的通项公式，写出该数列的前5限.【徉解】由。2”+3：.1-5,«,=7,d,=9,<J4=II.4=13：< 2)aJ3：.a1.=3,色=3,f1.,=3,114=3,0s=3；<3)01,=(2-1.):=(1.n为奇数=12-1,”为偶数.OI23456变式4.(2023.匕甘肃涧泉高二敦煌中学校联考期中已知数列n的一个通项公式为q=(-1.)"2"+".且0,=-5,则实数“等于()C.-1D.-3【答案】B分析结合通】公式,利用g-5列方程求解即可.【i节解】因为巴=（-1）"2"+”,-5.所以-2'+“=-5,解得=3.故选：B.（三）判断某敷值是否为该QI的项例7.（2023上河北张家口高三河北省尚义县第,中学校岷考阶段练习）已如数列1.66J7aJiT.则后是这个数列的（）A.第21项B.第22项C.第23项D.第24项【答案】B【分析】根据娓律可知数列的通沏公式为q=标=T，计算可得历是这个数列的第22项.（详解】中IS意可得数列的遛项公式为4=标二1.X43=S11.耨得“22.所以历足这个故外的花22.故选：B.变式1.【多选*2023上河北秘二校联考阶段练习）已知数列1，0+.小+6,2+6.分+g.则下列说法正确的是（）A.3+2是它的第3项B.44后是它的第4项C.3+2?是它的第9项D.4+iJ是它的第16项【答案】CD【分析）在接计辕“9和”=16时的结果来判麻【注解】当“-9时.«+而T=3+6C正确.AHHk:"i"=16时，Td=4+15故D正确.BtSW.故选：CD.变式2.（2023下高：课时练习）已知数列,的通项公式是4=2/一“，那么（）A. 30是数列”“的一项B. 45是数列风的一项C. 66是数列4的一项D. 90是数列“的一项【答案】BC【分析】根据划项公式解方程结合”£N.即得【惇解】分别令2n1”的值为30.45.66.9（）.可知只仃“i2r-rr=45时.或"=-?(含去)：'i2-"=66%”=6或,I=*(舍去)，故45.66是数列加的项.故选：BC变式3.(2023上,河北高二校联考阶段练习已知数列q("21EeN)的通项公式是4=师1.则7是该数列中的第【答案】25【分析：'：接根抠在一F7求好即11.【详解】根据题意，得病二T=7,解得”=25,所以7是该数列中的虎25国.故答案为：25变式4.(2023上高二课时练习)根据通项公式=2(1+3”)"口耳下表：【分析】根招给定的辿项公式，求出对应的项或项数完善龙格作答.【详解】数列SiJ中，"11=2(1.+3n),则4=8,%=14.%=20,%=68.由4=128,f2(1.+3n)=128,解得”=21,Ihq=602,得2<1+3h)=6O2,解得”=100,所以填写表格如下：nI23I1.21I(M)8142068.128602【方法技巧与总结】(I)利用散列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第项与它的位置序号”之间的关系，只委用序号代替公式中的”，就可以求出数列的相应项.(2)刘断某敦伍先否为该数列的用的方法先假定它是数列中的第”项.然后列出关于”的方程.若方租解为正终效则是数列的一项：若方程无,解或解不是正将数，则不是谑数列的一项.KS=,根据数列的前几项写出通项公式例8.(2024上演州铜仁,高二统考期末)若数列的前五项分别为、7I-'则下列最有可/4bIoJZ能是其通项公式的是()2n+1.C2n-C2n-门2r-1.AB-%=在-°-rt"=-D-4=k【答案】C【分析】利用观法求解.【详解】数岭：,言*2×1.-1.2x2-12×3-1.2×4-1.2×5-1."f'zs,T-'T-,所以数列q的个通项公式是4=竽.故选：C.变式1.(2023下高二课时练习)数列0,-*,-H的通项公式为()【答案】C【分析】根据规律求得数列的一个通项公式.从而确定正确答案.【详解】数列o,-1g,-,.,I-I2-13-14-15-1T+T,-2+T,3+T,-Th,5+T,所以数列的加页公式可以为4-(-.故选：C变式2.(2023上高二课前预习)写出数列的一个通项公式使它的前几项分别是下列各数:(IW,b,ab.：1.22-T-I42-1.52-!,1»2345(3)1.-36,-79：I1116记，石，-而，石：(6)-3.33-3333333、,÷fe/.v.-5B,为奇数÷(-1.)-N(4=(为偶数)-W1.Ii71+1(3)=(-r,(2w-1.).nN*(5)11rt,EwN'”!2n【分析】<1)根据奇偶项的特征即可写出谣项公式:(2)根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通顶公式：(3)根据布偶项的符号与序号之间的关系即可写出通项公式;< 4)根据分子分母的特征与序号之间的关系即UJ写出通项公式；< 5)Hi加分子分母的特征与序号Z间的关系即可写出通顶公式：(6)根据前4项的结构特征即可”由通项公式；【详解】(1数列的奇数项为小偶数项为儿因此通项公式UJ用分段形式来表示，记为/丁“为偶数也可记为+(T-< 2)这个数列的前4项为与1.F.土二,二，2345其分母都是序号，r加上I.分子都是分母的平方减去1.k(/1+1)2-1=-.11N+1<3)数列各项的绝对值为1.357.9,.是连续的奇数，且奇数项为正偶数项为负.故q(T广Y2-1.)nN'.(4)这个数列的前4项为-J-i-.工.1×22×3344×5它们的绝财值药等尸序!；与序号加I的乘枳的倒数，且奇数项为黄，偶数项为正，数列的项有的是分鲂e再现吗.2,翡.其分母都是2分子都是序号的平方.故OK=B."wN;< 6)W-3=(-)1.×(0-1.),33=(-1.)2×()-1.),-333=(-1.),(KX10-1.)所以一1臀UN,变式3.(2023下,高二课时练习)写出下列数列的一个通项公式.(1)0.3.8,15.24,;(2)1.-3.5.-7.9,;2：-23'-34;-4(38'1W(4)1.11,111.1I1.1.【答案】(1.).=n,-1q=(T)-(2"T;o=11iq=g(d)【分析】(1>将给定的5项都加1即为项数的平方.即可写出个通项：< 2)所给5项正负相间，其绝对值力前5个正奇数,由此即可写出个通项：< 3)分母为项数的平方加I,观察即可写出一个通项:(4)把所给4项变形.并用K)的链数次嘉减去的形式衰示出来,观察即可写出一个通项.【详解】(I)观察数列中的数，可以看到O=IT,3=4-1,8=9-1.15=16-1.24=25-1,.所以它的个通项公式是q“'-:(2)数列各项的绝对价为1.3.5.7.9.是连续的正有数，井”数列的奇数项为上,偶数项为负，所以它的个通项公式为“1,=(-r'(2"-1.):(3)因为5=22+110=32+117=艇+1.所以数列的一个通项公式为4=3甘：4原数列的各1.1.×9,199.1×999.×9999.易比城列9,99.999,9999.的个通项公式为<r-.所以原数列的个通项公式为q=T(IO"-)变式4.(2023上高二课时练习)写出下面数列的一个通项公式：(3)6,66.666,6666»66666,.；(4)2,O.2.O.2【答案】(1.)"1,=-y-；(3也I(KrT=I(Kr-4(4I=(-),'+1;【分析】(I)根据分子分母的特征分析数列的解析式即可：(2)结合iE负支招的数列特征增加符号解析式：(3)根据9,99,999的必项公式求解：(4)根据数列】.-】，1,“，I,.的通项公式求解即可;【详解】(1)该数列的分子成公差为2的等差数列，分母或公比为2的等比数列.< 2)该数列是正负交错的接动数列,破开方次数依次递师.故< 3)9,99,999的个卸负公式为以=IO'-1;则6.66.666.的个通项公式为O=S(Io'-1)=:(10-1);< 4)1.-1.1,-1.I的个通项公式为。“=(-1广112.0.2.0,2的一个通项公式为H=(-1.)""+1.例9.2023下高二课时练习)如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”我示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第“个图有化学键个.(用含”的代数式表示)Om(2) (3)(w)【咨案】5+1.1.+5n【分析】由图分别得到第1个图.第2个图.第3个图中化学雄的个数.由数的国律找到第“个图中化学犍的个虬【详解】由图,第I个图中有6个化学键;第2个图中有11个化学城：第3个图中有16个化学犍.观察可得,后，个图比前个图多5个化学键，则第"个图16+5(-1)=5”+1个化学进.故笄案为:5m+1变武I.(2023全国,诙二随堂练习根据下面图形排列的规律,继埃Ai下去,在括号里以上对的的点数并写出点数的一个通项公式.("J.99。333333JJJ(1) (4)(7)0090SQOO。0(3) (8)(15)【答案】(I)图形见解析,=3-2(2)图形见解析.0,=+2”【分析】根出每一个图形与项数”的关系进行仔细观察,发现规律.列出前几项.IP可猜想出每个图形对应的通项公式.【详解】(I)(13)ai=3×1-2=1,>=3×2-2=4,ai=3×3-2=7.故a”=3xm-2=3jj-2：3G3390。00。OoQOOOOGO(24)OOOOQO004=31.=3.2三4×2-8,ay三5×3三15,r=(n-2)×n=n2+2ji.变式2.(2024全国模拟预冽公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子用它们进行各式各样的排列和分类,叫作“形数用3颗石子可以撰成一个正三角形,同样用6颗石子或齐IO颗石子UJ以找成更大的三角形,毕达哥拉斯学派把I,3,6,10等叫作“三地数”或“二三角形数”.同时他们还挑出了正方形数、五边形数.六边形数和其他多边形数.如图所示即翔出的六边形数,那么第2Q个六边形数为（）A.778B.779C.780D.781【答案】C【分析】根据给定图形信恩,利用归纳法求出六边形数形成数列的通项公式.即可求出要求的项.【详解】六边形数从小到大佛成列，形成数列S1.J.依题意.a1.=I=IXIM=6=2×3,j=I5=3x5,t=28=4x7,«,=45=5×9,Ifi纳得”.=m（2w-1）,所以的）=780.故选：C【方法技巧与总结】（1）据所恭数列的访儿项术其通项公式时.常住加现察分析,抓住以下几方面的材征：分式中分子、分母的特征：加邻项的变化价征；纳项后的计征：各项行号特征等,并对此进行归纳、联也.（2）理玄、分析数列中各项的特点是鼓点要的.戏.杂出项与序号之间的关系、规律,利用我们袅加的一些基本教列（如白照敬列、偶数列学）传换而使何恋得到解决.对于正货符号变化，可用（一Ir或（一I）-”未调纪.J型四：由递推公式求数并的指定项例10.（2024上河南开势高二统考期末）已知数列n的首项为6=1,递推公式为4=1+J-（“2,"WN）,a>-则=.【答案】:【分析】利用递推公式逐项计算可得出出的值.【详解】rti三¾-1.+-,+7-2>aj-1+-"1÷T-i.4-1.+-1.+-.OIOi22q33故答案为：变式1.12024上.天津宁河.商二统考期末）已如数列q湎足q=:，%="；，（112,neN）,则【答案】21分析】由递推式写出项即可.详解由题设="1.=T，a,=1-=21<4=1.-=1,=i-=-,<=1-=2.a1.a.ai2a,as故答案为：2变式2.（2024上.福建泉州.高三统考期末数列叫中，OI=IMz=4+2“,则/=,【答案】15【分析】根据递推关系求即可.【详解】由q1.%1.4,+2".“J£；%4+23,=,+2j=3+4=7,a4=<j1+2=7+8=1.5.故答案为，15变式3.（2024：广东广州高二统考期末）已知数列3满足q=,.-2u<wN"）则<>A.2B.4C.8D.16【答案】B【分析】荏接根据递推公式计算即可.【详解】因为=1A,1.-2"<rteN'>.2-4,8416所以。、=2.3=-=2.114=4.5=4.4%4a故选：B.变式4.（2024上.重庆.商二统考期末）设"wN,数列4满足，*=f""t为f若”,=2,则+21”为偶数«!".【答案】2【分析】由题总结合新定义的数列逐步往前迭代即可列方程求解.【详解】«4=2«,=2（«,+2）=2（2i+2）=4<1+4=12.所以q=2.故答案为：2.【方法技巧与总结】递推公式反映的是相郁两项（或项）之间的关乐.时于通项公式，已如的值即可存到相应的项，而递收公式时要已知首项（或前几项）.才可依次求将其他的项.若项敦很大.则应考虑数列是否具有观律性.强化训练一、单选J"1（2023上!H龙江佳木斯1ft二校考期末）已知数列q满足：QJ1.T、则为等于（）