(完整版)实变函数(复习资料-带答案).docx

二填空题（3分X5=15分）1、（CADC,8）C（ATA-B）=2、设£是0上有理点全体，则E=_IE=,E-3、设E是川中点集，如果对任一点中了都.则称E是1.可测的4、/*）可测的条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设/"）为“回上的有限函数，如果对于”.句的一切分划,使,则称/（x）为a.以上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.（5分X4=20分）1、设Eu*,若少是稠密集，则CE是无处稠密集。2、若mE=O,则E一定是可数集.实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是()（八）IinIAM=UCA；(B)Ii1.iIA.=c<jA；-*jc*-1.kNrrt-1.t-(C)Iinv,=cjA;(D)IiuJA"=cc4；1.>上£J1.Q+C<-1.三2、设P为CantOr集，则下列各式不成立的是()<A)P=c(B)wP=()(C)P=P(D)P=P3、下列说法不正确的是()（八）凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何了集都可测(C)开集和闭集都是波宙耳集(D)波雷耳集都可测4、设/；(#是E上的有限的可测函数列，则下面不成立的是()（八）若r(x)=>"x),则Z1.(K)->/CO(B)sup/*)是可测函数(C)inf是可测函数；(D)若nn，.6=/*),则/*)可测5、设f(x)是”力上有界变差函数，则下面不成立的是()()在向上有界/“)在m,加上几乎处处存在导数(C)/(X)在上1.可积Cfx)dx=f(b)-f（八）J«12',8分求呼则普叫必五、证明题（6分X4+1O=34分）.1、（6分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为C3、若(*)是可测函数，则必是可测函数4.设/5)在可测集E上可积分，若VXWEj()>0,则Jj(K)>0四、解答题(8分X2=16分).1、(8分)设/*)=已，；：；数，则X)在0上是否R-*rir*vA可枳，是否1.-11J积，若可积，求出积分值。4、(6分)设史<8j(x)在E上可积，G=E(I则1.im，WW=0.5、(10分)设f()是上上ae有限的函数，若对任意b>0,存在闭子集FttuE,使f(x)在方上连续，且巩E-5)<,证明：/(X)是E上的可测函数.(鲁津定理的逆定理2、(6分)设/是(>,÷=c)上的实值连续函数，则对于任意常数4.E=xf(x)a是闭集。3、(6分)在4句上的任一有界变差函数/都可以表示为两个增函数之差.连续,即不连续点为正测度集.3分因为是有界可测函数，/(X)在0上是1.-可积的6分因为/(r)与Y相等，进一步，./(.v)dv='.=1.8IJ，分2.解：设，(X)=幽辿e-c0sr,则易知当fs时，n，(X)2分又因(牛卜土券<0,(r3),所以当“23,工之。时，1.n(x+11)"+Tn(x+")_”+X1.n3n3、，八=(1+)4TTnnx+nn33从而使爵Z,WI母(+x)e-*6分*但是不等式右边的函数，在()、”)上是1.可积的，故有Iiin1(>Zt=I1.in(.t)dv=08分五、1.设E=K)J.A=EcQ.8=E(EcQ).8是无限集.三可数子集MUB2分.3A是可数集AjMM.分试卷一(参考答案及评分标准)一、1.C2D3.B4.5.D二、1.02、0,1；0:0,13、m'T=m(Tr,E)+m'(TryCE)1、充要5、£|八Kj-5)|1成一有界数集。MJ1.错误2分例如：设E是()内上有理点全体，则E和CE都在0中稠密5分2 .错误2分例如：设E是。7川”集，O1.iJwf=O,但彳=C,故其为不可数集5分3 .错误例如：设上.是上的不可测集，.V,'E-,r.1-.V,.VG«./?-£：则I/（八）I是a可上的可测函数，但/（八）不是M句上的可测函数4 .错误，E=OHt对E上任意的实函数/")都有J(M=O四、1./(K)在0上不是?-可积的，因为/*)仅在X=I处所以V()S1,从而V()Sm,因此，/(X)是“向上的有界变差函数.6分4、f(x)在E上可积n1.imzzE(fR)=mE(f=+0>)=02分据积分的绝对连续性，f>0,3>()yecE,me<,有(,v)rfr<r.4分对上述>0,3.Vn>k,mE(fn)<,从而it-me<f(x)dv<f.即Iimrue=O6分n5.VnN,存在闭集FUEjn(E-F)<7,()在£连续2分令广=OC5，则VXGF=弘,XGE,=(x)在户连续4分又对任意k,w(E-FnAE-Fn)|=*u(£-A；)j-A,nk力/«(£-1；)<：.6分o-2.8分故“KE-F)=0.(-)在FUfi1连续-.-B=Mj(BM),E=A>B=A<uMkJ(BM),5J)且(AUM)C(8M)=e,MC(5f)=/：.EB.:.B=c.6分2.以wE',则存在£中的互异点列xj,使IimX(I=X2分VxnE./(xn)a3分/(x)点连续,，/(X)=Iimf(x)a.XGE5分；.£是闭集.6分3. 对£=1,3力0,使对任意互不相交的有限个(a；E)U(Qb)当名他一q)<5时，有f(b)1.-/(«()|<12分«=1将。的m等分，使tk,-&J<6，对I-ITzX,.i=,i<1.<-<k=X,有S(2j-(2,)<1.,所以»-1/(.V)在K-.xJ上是有界变差函数5分的(A) f(*)在0,bA-可积=I1.AX)I在0回1.-可积:(B) f(X)在,bR-可积Ufa)I在bR-可积(C) /(.r庶a,(-可积U/(刈在问犬-可积：(D) /(x)在(+)A-广义可积=/(.0在(a,收)1.-可积二.填空题(3分X5=15分)1、设AAI=P,2-口.=1,2.则瓯儿=。nn2、设户为CantOr集,则P=,mP=_方=_«3、设£是一列可测集，则，”&5,m514、一津定理:5、设尸(X)为4句上的有限函数，如果则称尸为M以上的绝对连续函数。三下列命题是否成立法成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分X4=20分)1、由于0.1-(0,1)=0,1,故不存在使(0,1)和0J之间IT对应的映射。又ME-F)=O,所以/(x)是E-户上的可测函数，从而是E上的可测函数.10分实变函数试卷二一.单项选择题(3分X5=I5分)1 .设M,N是两集合，则-(-)=()（八）M(B)N(C)MCN(D)02 .下列说法不正确的是()（八）凡的任一领域内都有E中无穷多个点，则a是E的聚点(B)尾的任一领域内至少有一个E中异于冷的点,则乙是E的聚点(C)存在E中点列匕,使”,%,则月是E的聚点(D)内点必是聚点3 .下列断言()是正确的。（八）任意个开集的交是开集：(B)任意个闭集的交是闭集：(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；4 .卜.列断言中()是错误的。<A)零测集是可测集：(B)可数个零测集的并是冬测集：(C)任意个零测集的并是零测集：(D)零测集的任意子集是可测集：5.若/(X)是可测函数，则下列断言()是正确五.证明JS（6分x3+8x2=34分）1 .（6分）1、设f（X）是（7O.+8）上的实值连续函数,则对任意常数c,E=（-v（.v）c是一开集.2 .（6分）设£0日开集GnE使"G-£）£,则E是可测集。2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、。£收敛的函数列必依测度收敛.1、连续函数一定是有界变差函数。四.解答题18分X2=16分)雷然：,则GM上是否人可积，是否1.-可积，若可积，求出积分值。2、求极限1.f,fix.1.Inn-sinztrav.J(q+V5.(8分)设f(x)在E=0以上可枳，则对任何£>0,必存在E上的连续函数vXv),使，I/(x)-dr)I山y£.3. <6分)在,力上的任一有界变差函数/(x)都可以表示为两个增函数之差.4. (8分)设函数列人(X)5=1,2,.)在有界集E上“基本上一致收敛于.r)，证明：Z1.(X)e.收敛于/()。“"(JE)=O因此，Ug是零测度集。5分r-1./-I3.错误。例如：取E=(O,+>),作函数列:IyOH“=0.vg(j.+)显然Zi(X)->I.当xg£。但当0<。<时,I-1.=(11,4)且?(",+<»)=+«>这说明£(.6不测度收敛到1.5分4.错误2分例如：/(X)=XCC啥,0<E,显然是的0w.v=0.连续函数。如果对0,1取分划7:0<上<一!r<<J<1.<1,则容易证22"Im1.32明次U(M-/(5)I=力!，从而得到Js=85分Z-II-I10四、I./(x)在0上不是/?一可枳的，因为/(x)仅在X=I处连续，即不连续点为正测度集3分因为/(K)是有界可测函数，所以/(X)在0.1上是1.-可积（答案及评分标准）X1.C2,C3,B4,C5.A二、1,(0.2)2,c；0；03,<4,设/(x)是E上有限的可测函数.则对任意6>0,存在闭子桀与uE,使得/(.6在Ea上是连续函数，且m(EEv)<3。5.对任意e>03S>0,使对,/中互不相交的任意有限个开区间(*),i=1.,2只要名(.-)<5,就有SIFS)-Rq)IVeI-I三、1.错误记(OJ)中有理数全体奴0>=CJ(I)=A'以G=%"=1.2一力=JGX为(OJ冲无理数,显然0是0,1到(0,1)上的I-I映射。5分2.正确设E,为零测度集，0S(jE,)sf加E=O,所以,r-1.m(G11-E)<-I分令G=CG“，则G是可测集3分o=1.又因W(G-E)W(G,-£)<1对一切正整数”成立，因而nW(G-E)=O,即M=G-E是一零测度集，所以也可测.5分由E=G-(G-E)知，E可测。6分3、易知g(x)=*()是力上的增函数2分令(.v)=g(x)-/(x),则对于阳<x2b有(x1)-()=g(2)-g(1.)-f(2)-/(X1)=&/)T(¾)-/()/(x,)-(.v1)H/(x2)-/(X1)>0i所以Mx)是。冏上的增函数4分因此f(x)=g(x)-h(x),其中g(x)与h(x)均为0.b上的有限增函数6分4、因为。(X)在上上“基本上''一致收敛于/(),所以对于任意的AwZ，,存在可测集Ekc1.,fn(x)在Et上一致收敛于的6分因为“目与Xae相等，进一步，公=C必=g8分2设。(*)=Trsin'nxdx,则易知当->三o时，I+nx'o2分又f(x)产=4分1 +n'x'但是不等式右边的函数，在O,÷3o)上是1.可积的6分故有Iim/Z,(kZt=J'1.im,()v=08分五、1.Vxe£./（八）>c分/()在X点连续，对&=/()-c>OJU(M<.当yGU(.b)时，有(y)-/(刈<£3分-/(-»)+<,</(,y)-/(.V)</（八）-C/(.y)>c,:.y&E-5分因此U(x,6)uK,从而E为开集.6分2.对任何正整数，由条件存在开集Gs=>E,使J(X)-?H.v)|dxI/()-(x)Idx+£(x)Y(X)Idx(x)k+|yXA)|dv+£f(,v)-v>(.v)/ZrJ-+Nrnev+2N-+-+-=4N4iV442.8分f(x),且KEE)<二3分k令/二。/，则ZIeo在£'上处处收敛到工)5分m(EE')=n(EJEa)tEEi)<-,k=1.,2Xk所以=08分5、证明：设e“=E/|>|,由于/(*)在七上,“e.有限，故me110.(oo)2分由积分的绝对连续性，对任何V£>OJN,使Nme1.i<I/(x)dv<4分j*a4令BN=Ee,在上利用鲁津定理，存在闭集FNc人和在”上的连续函数网工)使(1)/M(v.)<-；(2)XW乙时,4NJXX)=(x)且SUP1.>(-)I=supIf(X)KN6分J1.Sa所以（八）/(*)在t例上的一致连续函数(B)/(X)在S向上处处可导(C)/(x)在S向上1.可积(D)/(x)是有界变差函数二填空题(3分X5=15分)1、设集合NUM,则M-(Af-N)=N2、设户为CantOr集，则P=C,户=0,P=-0°3、设E是“中点集，如果对任一点集了都有mT=n*(Tn£)+(TCE),则称E是1.可测的4、叶果洛夫定理：设/n(E)8,J是E上一列e收敛于个ae有限的函数f的可测函数，则对任意0.存在了集Ei1.UE使£,在乙上致收敛I1.w(££*)鼠5、设/(X)在E上可测,则/0)在上上可积的一充要条件是f(x)在E上可积.(填“充分”,“必要”，“充要”)三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分X1.二20分)1、任意多个开集之交集仍为开集。实变函数试卷三(参考答案及评分标准),则(B)一、单项选择题(3分X5=15分)1、设A,=,2+(T)"e=12n（八）Iin)AI=0.1(C)IimA1.=(0.3)rt-X)2、设上是0上有理点全体.(B)IimA11=(0.1-X(D)IimA1=(0.3)rt->则下列各式不成立的(D)（八）£=0.1.(B)£=0(C)E=0,1(D)mE=13、下列说法不正确的是(C)（八）若Au8,则/AM"i*8(B)有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集(0可测集的任何子集都可测(D)凡开集、闭集皆可测4、设En是一列可测集,E1=>E,=>oEn=>,且（八）NQEJ=Hm"E1.1.(B)/MYE(IISIiinnE11-(C)可n<IimmEn：(D)X以上都不对mEi<4>,则有(A5、设Nx)是口向上绝对连续函数，则下面不成立的(B)明次1.AGH&GI=力!，从而得到/=oo5分/-IJ1.,0四、解答题(8分X2=16分).1、(8分)设Xw刊:数，则/在网上是否R-0.X为有理数可枳，是否1.-可积,若可积,求出枳分值。解：/Cr)在0上不是A-可积的，因为.“R仅在x=0处连续，即不连续点为正测度集.3分因为/(X)是有界可测函数，/(*)在0.1上是1.-可积的6分因为/(*)与相等，进一步，Jj心，了心8分£2、求极限Iimr'"、，sin,i1.u1.x一工Jo1.解：记f(x)=/a,sin'Iix1.+n*'则，(X)在0,1上连续,因而在0,1上(R)可积和(1.)可积.2分又Ii1.ni1(x)=0.(0.14分r-*jt-解：不成立2分反例：设G,=(-1-1+-),n=1.,2,每个G,.为开集nn但CG=不是开集.5分n1.2、若正=0,则E一定是可数集.解：不成立反例：设E是Cantor,则归=0,但豆=C,故其为不可数集.5分3、收敛的函数列必依测度收敛。解：不成立2分例如：取E=(0.+功.作函数列：/；(.t)=I，-Ve(0-/，1”=1,2.0.xe(j,+x>)显然，(0,当xw但当OVerV1.时，E1.4-1.=(.+)且见,谡)=”这说明不测度收敛到1-5分4、连续函数定是有界变差函数。解：不成立2分例如：f(x)=<XCOS*OC1.,显然是M的连续函数。0.v=0.如果对。取分划r：o<(</,则容易证32证明：Vx0E.1.(-1.,)>C.S(X)连续，故>().V.rEU(Ka.6)H寸，有/()>c.4分即U(Xo)U£.所以4是E的内点.由.V0的任意性,E的每一个点都是内点,从而E为开集.6分3、(6分)设/(x)是可测集E的非负可积函数,g(x)是E的可测函数，且Ig(K)I(x),则以*)也是七上的可枳函数。证明：.g(r)(x),.gYX)/(x).gU)/(x)1分I,(x)<Zv1.r(X)1.drf(x)dx国"&E/(X)是可测集E的非负可积函数.*.IimJg“(X)dr()<+«>，/")是£Jt的可积函数.4分同理，月(X)也是七上的可枳函数.g")是E上的可积函数。.f,.1.,n-3g>tx'/IIZ1COI=I-sinnx1-I+n-1+tx2.vg0.1./=1,2,6分且x1在0,1.上非负可积,故由''；gue控制收敛定理得!吧J；W"x=1.nT7si,&=Io0dt=°,8分五、证明题(6分X4+10=34分).1、(6分)试证(0.1)|0川考证明：记(0.1)中有理数全体Q=，,令双°)="生,、奴1)=与奴K)=(C展)=*m=,2.奴x)=x.为(0.1冲无理数，答显然*是K)川到(O,1)上的1-1映射5分所以(0,1)IO,1®6分2、(6分)设f(x)是(-8,+力上的£续函数，则对任意常不数c,E=(X1.ZCr)X)是一开集对任意6>0,由于E1.Ig(I-f司UcJ邑)1.E11Z,-fRRH-I从而有,11fI.-<11(Ec)+w(fI-)=11(fI-1.)又因为在E上，(x)n/(x),故Iimw(E-/1)=O8分n->所以OIirnw(£I-)Iim/n(11-)=()n->a于是:Iim»K£Ign-f)=O故在E上有gn(X)=/（八）10分4、(6分)设f(*)在E上积分确定，且/()=g(x)a,e于E，则g(x)在E上也积分确定，且f(.v)dv=J,fixdx证明：./(x)=R(K)&c于E:.mEfg=O二心/”=。.Jj(x)dt=*./*)杰+*)烝=JggM"JM种MS"小/(x)在E上枳分确定，二g()在七上也积分确定，且JJaMr=J*(x)dr5、(10分)设在E上Xt(X)=>"x),而Xt(X)=8“(*)。£成立，=12，则有g<x)nf()证明:记j=££gJ由题意知mE1.1.=0由11(E,)S=0知MUE«)=02分M=IE(D)（八）/（八）在a,b1.1.可积/(x)在a.切上R可积(C)/(x)在a.b.E1.可积(D)/(.V)在«用上绝对连续二,货空题(3分X5=15分)1、设A)=山2-4.=12.则幽儿=_(0,2)。Iinx2、设£uR,若£'u£,则片是_闭集：若EUQ则E是五集：若E=E,则E是一完备集.3、设$是一列可测集，则，GSj.-*吗4、鲁津定理：设/*)是E上&e.有限的可测函数.则对任意6>0,存在闭子集&u£,使得/(x)在/上是连续函数，且KEEQV8,则称/3为回上的有界变差函数5、设/*)为上的有限函数，如果对于的一切划分,使库1/(Xj-/(.*川成有界数集,则称工)为,肉上的有界变差函数。实变函数试卷四(参考答案及评分标准)一.单项选择题(3分X5=15分)1 .设P为CantOr集，则_C(A) P=$.(B)wP=1.(C)P=P(D)P=P2.下列说法不正确的是(C)（八）的任一领域内都有上中无穷多个点,则凡是E的聚点(B) Pa的任一领域内至少有一个E中异T-",的点，则不是E的聚点(C)存在E中点列巴,使匕，则？是E的聚(D)内点必是聚点3.设f(x)在E上A可积,则下面不成立的是(C)（八）/()在E上可测/（八）在七上a.e.有限(C) /(K)在E上有界(D)(*)在E上1.可积4.设£“是一列可测集，E,f,En.则有(B),心可逸叫，*引=呜(C);jfr»Ev1=IimmE;(D)以上都不对IIt=I*JIH5.设为5向上的有界变差函数，则下面不成立的-Ifa)I是a,b上的可.测函数，但")不是“肉上的可测函数5分4.设/(x)在可测集E上可积分，若BrGEJ(X)>0,则JJ(X)>0解：不成立.2分店=(附.对E上任意的实函数/()都有J/(.t>Zt=。5分四.解答题8分X2=16分)1、(8分)设“r)=H*"f,则/3在0上是否R-1,X为有理数可积，是否1.-可积，若可积，求出积分值。解：/(*)在0.1上不是R-可枳的，因为/(*)仅在r=1处连续，即不连续点为正测度集.3分因为/(r)是0上的有界可测函数，/(.V)在0,1上是A-可积的6分因为/(*)与X相等，进一步，ii1()="x<Zv=8分2、(8分)求Iimfn(i+“,coswvnJ"n解：设Z,()=""1'"e'cosA,则易知当,1f8时，(-v)->2分三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.（5分X4=20分）I、A为可数集，B为至多可数集，则AJB是可数集.解：成立2分因可数,所以可设A=a,a：,又B至多可数,设B=（b,%,b,（B有限时）,或B=（b1,b,.（当B可数时）当B有限时，AD8=包./."工小外,4.当B可数时，AU"=”,"也、叫也"%所以AUA可数.5分（注：可分Ar>B=和4ni论,没讨论不扣分,主要考察排序方法）.2、若mf=O,则近=0.解：不成立.2分反例：E为2.U中的全体有理点奥，则有=0而mE=15分注：其余例只要正确即可。3、若（M是可测函数，则八用必是可测函数解：不成立.2分例如：没E是S向上的不可测集,=X,xeE-x,xeatb-Em(G1.t-E)<-I分n令G=rG,则G是可测集3分又因W(G-E)W(G,-£)<1对一切正整数”成立，因而nm,(G-E)=O,即M=G-E是一零测度集，所以也可测.5分由E=G-(G-E)知，E可测。6分3. (6分)设,(x)为E上可积函数列，1.imJ(X)=f(x)a£.于E,.tfx)dx<k,k为常数，则/3在E上可机由=F(X)3于E得IimJ.t)H/(x)Ia£于E.1分nn再由Fa1.oU引理£|/Idx=£IimfdxIim£fadxk<.4分所以if(x)可积.又f(x)可测，因此f(x)可积.6分4. (6分)设函数列£*)(H=1.2.)在有界集E上“基本上”一致收敛(x),证明：，(XMe.收敛于幻.证明：因为工,(X)在E上“基本上”一致收敛于f(x),所以又因禁)=上券<0,(r3),所以当"3,xN0时,nx+tIi3I(x+)n+x1.n(.v+11)+.vIn3I113z,=(1+x)nnx+n33从而使得If(X)K母(1.+x)g7J但是不等式右边的函数，在0.+a)上是1.可枳的，故有in£Z1(xkZr=1.in1(x)<Zv=O8分五.证明题(6分X3+8×2=34分)1、(6分)设f(.r)是(f,÷x)上的实值连续函数，则对于任意常数.E=x(x)是闭集。证明：Vxw£,则存在E中的互异点列区,使IimK1.I=X.2分<rVJE,:./(ajp)a3分/(x)在X点连续,二f(*)=Iiinf(xn)a.E5分.E是闭集.6分2.(6分)设£>0.3开集G£.使m(；-£)</?.则E是可测集。证明：对任何正整数,由条件存在开集G1.nE.使由(*、(*)两式即证Iini,1(x)dv=f(x)dx.10分对于任意的keZ,存在可测集EkcE,，(x)在七上一致收敛于/3，且NEEJ<1.2分k令f=。£,则£(x)在/上处处收敛到f(x)4分A-Im(EE')=zn(E(JEa)m(EEt)<-,k=1.,2./k所以j(EE)=O6分5.(10分)试用Fatou引理证明1.eVi定理.证明：设£,为可.测集EuZT上的一列非负可测函数，且在E上有/"O)A*(*),n=1.2,.令/(x)=1.imU)2分n由，为单调可测函数列知，/(X)可测，且力()()于是J,<(KMxJJ(x)dc从而IirnJJ；(XmJJ()4t,(*)6分另一方面，因S为可测集Eu/T上的一列非负可测函数，由FatOU引理知f(x)dx=Iimfn(x)dvIimf,(x')t1.x(*)8分