2023年初三一模分类汇编：解直角三角形的应用（解答题22题）-答案.docx

2023年上海市15区中有数学一模汇专题08解直角三角形的应用（解答题22题）一.解答JB（共15小题）1.（2022秋竹浦区校级期末）如图，在港口A的南儡东37°方向的海面上，有一巡逻艇8,A、8相距20海里，这时在巡送艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有涧船C发生故障.得知这一情况后,巡逻艇以25海里卜时的速度前往救援，问巡逻艇能否在I小时内到达渔铅C处？(参考数据：$in3T0,60.cos370.80.tan37,195=0.75.sin67,=-三.cos67,-.tan67,1313【分析】由已知可知AABC中C=67°,/8=37°且A8=20海里.要求BC的长.可以过A作A。.BC于。，先求出CD和RD的长，就可转化为运用一:角函数好直知二角形.【解答】解：过点A作八1.8C垂足为点H小题意.得NAC4=67。.N8=37。.AH=2().在R1.八ZW/中，Vsinfi=-.=4sinZB=20×sin37o%12,ABVcosB=-.W=cosZ=20×cos376g16,AB在R1.ZMCw中,.tanZCW=tanZACH=771.nv11.rt._AH12tanZACHtan67：BC=BH+CH,：.BCN16+5=21.V21÷25<1.所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船。处.【点评】本也考查了解直为:.角形的应用，解答本遨的关犍是将一般三角形的何腮般可以转化为好点角三角形的问跑.解决的方法就是作高线.2.（2022秋身定区校级期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，时地卜车库作了改进,如图4.这小区腰地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i=h2.4,B1.BC,为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为17°,即ACC=17°（此时点8、C、。在同一面戏上）.求斜坡改进后的起点。与原起点C的距离（结果粘确到01米）.（参考数据：sin17-0.29,cos17o=0.96.tan17°*0.31）【分析】根据坡度的概念.设A8=5x米,则8C=12x米,根据勾股定理列出方程,解方程求解,然后根据余切的定义列出算式，求出Oc【解答】解：由题意，得；NABC=90。，/=Is2.4,在RtZSABC中，»=.BC12设八3=Sx米，则8C=12t米，.,.H2+BC2=C2.,.AC=1.3.'JAC=13.x=1.118=5米，8C=12米，在RtAABD中，anAOC=,BD,;ZADC=W.B=5,ID031,CDs=4.1（米），答：斜坡改进后的起点。与原起点C的距尚为41米.【点评】本麴考查的是解宜痢三角形的应用-坡衣坡角问起.常握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解电的关键.3. （2022秋杨浦区校级期末）湖中小岛上码头。处一名讷客突发疾病，需要救援.位于湖面。点处的快艇和湖岸八处的救援船接到通知后立刻同时H1.发前往救援.计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶,与救援船相遇后将该游客转运到救援.铅上.已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偕东60方向上.且在C的正南方向Iuoo米处.（I）求湖岸A与码头C的距离（结果相确到I米，公考数据：31.732）（2）救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为320米/分，在接到通知后,快艇能否在6分钟内将该游客送上救援明？请说明理由,（接送源客上下船的时间忽略不计）【分析】（1）廷KC8到点&,使CCJ_A。于C,设8C=x,则A8=2,AD=3.C0=9（XRr,在R1.ACC中，tanZCAD即可求出x=450,根据R1.AACC中，SinNCAD型即可求出湖岸人与码头C的距离：2设快艇将游客送上救援船时间为，分钟，根据等景关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程=BC+AC,列出方程，求出时间，,再和5分钟进行比较即可求解.【解答】好：（I延长CB到点D.使CDAD于D.Ih题易知：空=tan60°=3CD=43AD.却an30°4BD*'BC=CD-BD-AD=1000（米）D=5<K）3.：.AC=2AD=00031732（米）,则18OS+32O（，-嘤9）=1732.320SOO,=2732,吟嗡6.6m加内Ur以将该谢客送上救援船.【点过】本卷主要考查了解百用三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题,含3(角的宜角三角形的三边关系等知识点，找到等疑关系式，构建直角三角形是解答本册的关键.4. (2022秋青浦区校微期末如图,在距某输电铁塔GH(CH垂直地面的底部点，左侧水平距离45米的点8处右一个山坡，山坡A8的坡度i=1.5,山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于30米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为前"(帙塔GH与山坡AH在同一平面内).1求山坡的高度:2求铁塔的高度G.结果保剧根号Bt分析】过点A作AD±HB,交HB的延长线于点。.由坡度的定义计算出BD与AD的关系,根据勾股定理求出AD即可得到答案：<2)过点A作于点,则四边形八。£是矩形，解宜角三角形即可得到结论.【解答】解：(1>如图，过点八作八f1."8,交8的延长战于点O.Z4D=90j.；山坡A8的坡度i=1.:3,A8=30米.BD=3AD:BD3.A2=D2+BDi,j302=AD2+(3AD)2."O=15米，山坡的商度为15米：<2>过点A作A反1.G，于点”，则四边形八/)HE是矩形,由题意可知：ZGA£=30.84=45米.,：BD=3AD=153*./.AE=DH=(45+15正)米，在R1.A½GE中，tanZGAE-又.'£=Ao=IS米，/.GH=GE+EH=(30+15。米，答：铁塔的高度GH为(30+153)米.【点评】本区考查了解直痢三角形的应用，矩形的性质与判定，掌提脱角：角函数、坡度的意义是好时的关便.5.2022秋静安区期末)有一把长为6米的梯子Ab.将它的上端A靠着墙面,下端8放在地面上,梯子与地面所成的角记为.地面与墙面互相胤I（如图1所示一般满足50°SaW75°时,人才能安全地使用这架梯子.（1）当梯子底端5距离墙面2.5米时，求的度数（结果取照数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端/!离开地面报高时，梯子开始下滑,如果梯子顶端A沿着墙面下滑15米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由.【分析】（I）由的余弦求出的度数，即可解决问题:2用NOK。的正弦求出N）E。即可解决问超.解答解：（1>Vcosa三三0417,AB6.a=65'.V50*£65°75o.此时人能安全地使用这架梯子；<2>此时人不能安全使用这架悌子，理由如下：悌子顶端A离开地面最高时，NA8O=75°,sinA80=AB4O=sin75*=6×sin75*s5.82（米），梯子顶附A沿若墙面下滑1.5米到墙面上的D点，OD=AO-AD5.2-1.5=4.32（米）.VsinZDEO=-21=0.72.DE6：.NDEo=46：V46'<50".此时人不能安全使用这架梯子.【点评】本施考筐解宜角三角形的应用,关犍是由锐角的三角函数定义求出梯子与比面的夹角.6.（2022秋黄浦区校级期夔如图,某地下车库的入口处有埋坡河,它的坡度为i=h2,斜坡A5的长为6石米，车库的海度为A”（A1.8C）,为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14"（图中的NACB=I4">><1>求车库的高度A，：<2>求点8与点C1之间的距理（结果精确到I米）.（参考数据：sin1.4°=0.24.cos1.4=0.97.Ian1.4c=0.25.c<M14=4.01）【分析】（1）利用坡度为i=h2.thAH-.BH=I:2,进而利用勾股定理求出A”的长:<2）利用tan1.4'=-.求出8C的长即可.BC+12【解答】解：（1>也题就可料：AH：BH=1.2.SAH=x.MJHH=2x.故/+<2v）2=（65）2.解得：x=6,答：车庠的高度AH为6m：<2).,4H=6.：.RH=2AH=2.CH=BC+BH=BC72,iRtWC,NAHC=90',故tanZ.ACB=>CH又：NAC8=14°,Atan14*BC+12O.25=6BC+12解褥：BC=I2.答：点B与点。之间的冲离是12m.【点评】本即考查了解直角：.角形的应用,坡度坡为时遨，注意：坡度等于坡角的正切t7.（2022我徐汇区校线期末）某地一居民的窗户朝南.窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为.若你足一名设计师,请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD,要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暧的阳光射入室内,根据测量测得Na=30"./0=60',八8=1.5米.若同时涌足下面两个条件：<1>当太阳光与地面的夹角是。时，太阳光刚好射入室内.<2>当太阳光与地面的夹用是R时,太阳光刚好不射入室内.讲你求出直角形遮阳蓬RCDVCO的长、CD离地面的高度.【分析】在直角三角形ABCC和AACb利用相应的三角函数用8C分别表示H1.e、AC长，而AC-8C=48,由此即可求汨8C长，进而求得CD长.【解答】解：设BC=X米.VZa=305,Z=M，.NCOB=30°.NCOA=6()°,在RtZiBCO中.tanNCO8:毁=tan30。=±=近.CDCD3CD=3x.R1.ACDt1.1.anZCD=ta>60'=-=3.CDCDcd=,3×J-=3x.3解得X=W4.CD=.-（米），4CD面地面的高度0.8+1.5遂=3.05（米）.4有：口角形遮阳蓬BCD中CD的Id巨米，CD离地面的腐度3.05米.4【点评】本题考杳了解直珀三角形的应用，在解百m三知形的题目中，应先找到和所求戏段相关的城段所在的XI角三角形，然后确定利用什么形式的三角两数，最后就口角三角形即可求出结果.此胭还需注意太阳光战是平行的.8.（2022秋浦东新区期末）某地一段长为50米的混泥土堤坝.堤坝的横断面八伙力是等校梯形（如图所示），坝顶AO宽为8米，坝高为4米，斜坡A8的坡度为I：1.5.<1）求横断向A8C/）的面积：<2>为了挑高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按斜坡八8的坡度竖克加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混泥土？（堤坝的体积=横断面的面积×堤坝的长变）【分析】（I）作分别过A.。作AEHC于E,作尸18C于尸.可得四边形AEF"为矩形，得到EF=AD.根据八8的坡度可求得BE（f）长.证得Rt4ERt'F可褥到CF的长，根据梯形的面积公式即可求得结果:（2根据堀坝的上下底不变,高八£增加1米，求出梯形BC。上面底,即可求得增高后离要求泥土的【解答解：<I）分别过A,D作AE±BC于E.作DF1BCTF,堤坝的横断面八伙7）是等腰梯形,.,.AE=DI-.AK1.AD.二四边形A£77）是矩形.八。=E尸=8米.：八8的坡度为I：1.5.AE=4米,.AE工1"BE1.5,；.8E=6米,在R1.八8E和R1.aOCF中，AB=DCIAE=DF'.R1.ABERtDCF(H1.).：.1.)C-AE+EF-CF-20米.<2）斜坡八8的坡度竖直加高1米.8C的长不变.<8+20)×4=56（平方米）：横断面的窝=5,：.AD=BC-2×.S×5=S,，横断面A8C/）的面枳=1（AD+RC）AE=-（5+20）×5=-（平方米）,222<1.1.-56）×50=325（立方米）.答：加高堤现需要325立方米的混症土.【点评】本时考送了坡度坡角的求解，正确作出辅助战，根据坡度求出8E的长度是解屈的关键.9.（2022秋佥山区校级期末）无人机在实际生活中应用广泛.如图所示，小明利用无人机测肤大楼的高度，无人机在空中P处，冽得楼C/）楼顶。处的俯角为45°,刈解楼A8楼顶A处的他角为60'.已知楼AB和楼CO之间的冲离BC为100米.楼AH的高度为10米.从楼AB的A处测得楼CD的。处的仰角为30。（点A、B、C、D、P在同一平面内.（I）埴空：NMD=75度，4f>C=60度;<2）求楼的高度（结果保留根号）：<3）求此时无人机距离地面BC的高度.【分析】（1）由平角的性质可得NA0/）：过点4作八£_1.C。于点£则N0AE=3O",根捌三角形内角和定理可得NAoG2出趣总可得A£=8C=100米，EC=八8=10米，在R1.AtED中，Un30'=I1.=1.x1,解得AE1003DE=1。,结合CD=O£+*可得出答案.33过点P作PG1.8C于点G,交AE于点A证明八PrWZsGIG可得PF=AK=100米，再根据>G=PP+FG可得出答案.【解答】解：（1.>.Z¾=60t,NNPC=45',：.ZAPD=180'-ZMPA-NNPD=I5".则NDA£=3(F.ZADC=IWf-90,-30°=60°.故答案为：75：60.(2)由题总可得AE=SC=100米.EC=AB=XQ在R1.ZSAED中，ZDE=30*.tan30t_DE_DE.3AEx100解得pg.1003i3；.CD=DE+EC=1O>米.3.楼CC的高度为（驷返+10）米.3<3>过点P作PGJ_8C干点G，交AE于点F.ft"VX=AED=90",尸G=AB=IO米,.MN/AE.：./PAF=ZMPA=Wo,VZADE=Uf.：.ZPAF=ZADE.VZDE=Z30.二/两。=30°,VZ4PD=75i.ZADP=15t.J.ZADP=ZAPD,则AP=AD.,.APFDE<S),二W=AE=100米，PG=PF+FG=100+10=110米).,此时无人机矩离地而8C的高度为I1.O米.：.用函数的定义是解答本时的关【点评】本四考查解直为一:角形的应用-仰角藉角向遨，熟练掌握脱角健.10.（2022秋闵行区期末,2022年I1.月12日10时03分,搭救天舟五号货运飞船的长征七号遥六运战火ffi.在海南文昌航天发射场成功发射,天舟五号货运飞船重为13.6吨长度BZ）=IO.6米,货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货勒运输能力加大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥二己知飞船发射塔垂立于地面，某人在地面A处测得E船底部。处的仰角，顶部8处的仰角为53',求此时观测点A到发射塔CC的水平距离（结果精确到0.1米.（参考数据：sin53o%0.80,Cos53°加0.60,an53°-1.33）【分析】根据即意可得：A（7）=90°,然后在RtZSACO和RIAAHC中，分别利用豌角一：角函数的定义求出8C.C。的长,最后根据80=10.6米,列出关于AC的方程,进行计算即可解答.【解答】解：由1意得ZZACD=OO'.在R1.4CD中,ZDC=45,.J.DC=ACan45i=AC.在Rt八8C中，NMC=53',C=4Can53o如I.33AC,；80=10.6米，：.BC-CD=10.6.33C-C=10.6.AC32,I米,.此时观测点A到发射塔CD的水平距离约为32.1米.【点评】本题专直了解且知三角形的应用-仰角的角何烟，熟练掌握锐角三角函数的定义是斛题的关键.I1.ao22秋徐汇区期末）如图,C地在A地的正东方向,因在大山阻隔,由A地到C地需要绕行8地.已知8地位于A地的北偏东67,方向.距离A地520%,C地位于B地南偏东30°方向,若要打逋穿山隧道,建成两地直达高帙.求A地到C地之间高铁线路的长（用进一法.结果保曲将数）（参考数据:sin67,-,cos67"7.（a1167"K当，3=«1.73）【分析】过点B作W）1.AC于点。，利用钱角三用函数的定义求出A。及C"的长，进而可得出结论.【解答】解：过点8作8。，AC于点D.VB地位于A地北偏东67”方向,距离八地520km,：.ZABD=6r.,.AD=ABsin6T=52O×-=-=480n,1313BD=ABcos6T=520×-=2Avn.13,：C地位于B地南偏东30"方向，INeBD=30°.,.CD=BDVdnW=20OX近，3C=AEh-CD=48(H-116=596(.bit).3【点过】本期考查的是解H角三角形的应用方向地问题，斛趣的关键是学会添加常用辅助戏，构造立角三角形解决同时，需要熟记软用三角函数的定义.12.（2022秋黄浦区期末）圭/如图1是我国古代度末日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“我”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）.当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上.我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来泅算二十四节气，并以此作为指导农事活动的重要依据.例如.我国古代历法将一年中白处最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至：白昼最长的那一天（当H正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至.某地发现一个圭表遗迹（如图2）,但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的咫至或与冬至线间的距离（即A8的长为11.3米.现己知该地冬至正午太阳高度角（即NC8。）为35°34',夏至正午太阳高度用（即/6。）为82°26',请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即CD的长）约为多少米？（参考数据见表，结果精确到个位）aSinaCoSatana35t34,0.580.810.7282026,0.990.137.5（注：表中三角比的值是近似值）【分析】设C。=X米，由NC八0，NC8。的正切定义表示出。A,8。的长，列出关于X的方程，即可斜决问题.【解答】解：设CO=X米，VtanZDAC=-AD：.AD=（米）,tanZDACtan82o26'7.5.tanZC）=.DB：.BD=?I-W（米）tanZCBDtan35°34'0.72；DA+AB=DB.-i.3=7.50.72.,.x=9.答：损坏的“表”原来的高度（即CO的长）均为9米.【点评】本即考筐解直角三角形的应用,关犍是由锐角的正切定义列出关于CD的方程.13.（2022秋杨浦区期末如图，高压电线杆八8垂直地面，测得电戏杆A8的底部八到科城C的水平距禹C长为1S.2米，落在斜坡上的电线杆的影长CD为S.2米，在。点处测得电戏杆顶B的仰角为37°.已知斜坡CD的坡比i=I：2.4.求该电戌杆A8的面.费考数据：sin37*=0.6>【分析】过点。作/）£垂直AC的延长线于点£。户垂直于点匕根据斜坡C”的坡比i=1.：2.4.C）=52米，求出CE、。斤的尺度,然后求出AE和。尸的长度,在8/）尸中.求出BF的尺度,即可求出A8的长度.【解答】解：过点。作。£.垂直AC的延长纹于点£/）尸垂直48于点匕则四边形AEC为矩形，八尸=D£E=DF.；斜坡CC的坡比i=h2.4,CZ）=5.2米，二设。E=MCE=2Ax,cd=VcE2*DE2=2At=5.2米，解得:=2.则DE=AF=I米，CE=4.8米，.,.Af-=DF=ACCE=15.2+4.8=20（米,在8。尸中，VZDF=37,。尸=20米，Sin37”=0.6,cos37°=y卜（0.6）2=o.8,f=DMan37'=Dfsin1.=20×=15（米），cos370.8.,.AH=A1.-+BF=2+15=17（米）.答:该电城杆A8的高为17米.B1【点评】本区考查了解五角一角形的应刖解答本飕的关犍是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用;角的数的知识求解.难度一般.14. （2022秋徐汇区期末）如图，在大楼八8的正前方有一斜坡CO,。=26米，坡度i=1.：2.4.小明在舒坡卜端C处测得楼顶点8的仰角为60',在斜坡上的点。处溯得楼顶。的仰角为3（T,与地面底出，垂足为&其中点4、CE在同一直线上.（I）求的值：<2）求大楼AB的面度（结果保留根号.【分析】（I）设CE=Sr米，则C£=121米，根据勾股定理得到结论；<2）根据勾股定理解到CE=cd2.de2=442,过点。作DF1.AR于点F.根据矩形的性粒得到DE=4F=2米，Z）F=4E,解II角三角形即可得到结论.【解答】解：（1）斜坡CO的坡度为i=1.:2.4,.DE_5CE12设。E=5x米，则CE=I2x米,RtCDE'',(7)=26米,由勾股定理得(5)2+(12v)2=<I3)2=262.解得x=2.斜坡CD的高度OE为10米:<2)在Rt¢?£)£中,"/)=26米.DE=104；.Cf=CD2-E2=24米，过点。作DF1.AH于点K则。E=AF=IO米，DF=AE,在R1480F中，ZBDF=30i,：.BF=DF.设8F=4米.则。尸=“a米.NJAB=HF+AP(KHa)米.(i.RtA(?'P.NAa=60°.1.an60'=铁=1岁=炳,ACAC解褥AC=返<1.(>+>.3.,.AE=AC+CE=J-(IOM)+24=3解得a=5+12i=10+5+1.23=(15+123)米.大楼A8的高度为(15+12)米.B【点评】本SS考查好直的二.角形的应用-仰角的角问题、坡度坡角问应.熟练掌握饯角三角函数的定义是解答本时的关雄.15. （2022秋浦东新区校级期末）如图.栋居民楼AB的高为16米,远处有一栋商务楼CD,小明在居民楼的楼底处测得商务楼顶。处的仰角为60”,又在商务楂的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45”.其中八、C两点分别位于昆。两点的正卜方，且小C两点在同一水平线上，求商务楼CC的海度.参考数据：21.414.31.732.结果精确到0.1米）【分析】过点8作8瓦1.CQ与点£解直用三角形得出方程,求出方程的情即可.【斛答】解：过点B作CC与点E,由版以UJ知NO跖=45”.ZDAC=60,CE=AS=16,设AC-X.则CD=aX.BE=AC=X.：DE=CD-CE=3v-16.；NBED=W.NQBE=45'.JBE=DE.x=3x-16.x=83*8.CD=3x=24+8337.9（米），答：商务搂C。的高度为379米.if本即考查蟀直角：.角形的应用,能正确解之角：.角形是解此区的关键.