【难点突破】指数复合型函数的对称性（教师版）.docx

指数复合型函数的对称性核心结论，*)=-r(a>0且w1.,仅0点网称中心为(og,Z>,)证明思路：设处)的对称中心为<®n)则的*-x)+"n+x)=2n.e.xtfxccc("'+",)+2c.fn-x)*jn+j)三,2nIJI,a,r,+ba"t+ba1,+bia,+a','',)+b:.2nb(aM-1+a"-4)+2(<j,"+Z>2)=c(a'+/”')+2反包成立(2,1.hc=，”=1。&1勿"2n(a1.n+b1)2b/=Zrz记忆方法：横下对.纵半分(横坐标是使分理取对数的值,纵坐标是分母.分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半r例1】函数/(/)=丁的时称中心为.【解析】观察解析式，利用站出可知函数图软关于(2)中心时称，½i三Ov(2+)+(2-)=4_2，+4_2：.=4-4.2*+4.2*-4=4“关于<2,1)中心对称0衍生结论1：s><m“八次,0)的对称中心为(IogJfe1.-)a+2b推导思路：先分内常数,/()=-=I+-则y=-7的对称中心为(1.oga+b2然后利用图象的平移关系,得到X)=，=|+1.的对称中心为(Iogrtft11>a,/，b2【例2】已如/(n)=4)则”0.01)+/(0.02)+,+/(0.99)=.1解析】观察解析式，可知函数图改关于02中心对称,则/(x)+(Ir)=4,注意到/(0.50)=2,由此即可进步求解.因为")+"iGH)/=4,又"卜,所以0.01)(0.02H+/(0.99)=(O.O1)+/(0.99)+.+/(049)+/(0.51)+/(0.5()=4×49+2=19X.衍生结论2：/（八）=1.1.J_-(11>OF1.aHJ>n-cm0/J对称中心为(Iog/，”.三)ma÷2bm2nb则5=2!_/的对称中心为<oguIA(IZI1.-I)然后利用图象的平移变换关系,得到/(x)=g±E的对称中心为<1.ogu1.-4(-+)>ma+fem2mb【例3】已如(X)="芟二竺，X【-“，“】的最大值、最小(ft分别为乂、N,期忤20201【解析】观察解析式,市结论可知函数图象关于(2,等)中心对称.所以M+N=4039跟踪训练1.已知函数/(n)=F+J-,若实数满足W)+(W-3)=2,则“11官的最大一1值为()A. 30B.42C.巫D.'O444【答案】C【详解】一方面1题意有3+(T"+芸+卜+/卜芸+岛,姜加，另一方面若有f()+(y)=2成立，结合以上两方面有/(一)=/(),且注意到“加/+岑器1=4/+2所以由红合函数单调性可得/()在R上严格单调递增.若/(T)=/(¥)，则只能=>',因此/()+/(y)=2当且仅当-X=y：又己知/(/)+，(附-3)=2,所以/+2-3=O即/+2Z=3由必本不等式知,iTg272+步jJ+2+2Z552访1m=T当H仅当等号成立,所以<iy-b2的最大Ift为-j.故选：C.2.(多选)已知函数f(x)=3E,则下列结论正确的为()2-aA.若/(x)为奇函数，则G=TB. <OHr./(x)在R单调递增.且值域为(-U)C.无论。取何值,/(x)均有对称中心D.已知(K)=(x-1.)=2时,/CO和MX)交于A(XQJ.8(x;圮),则M+马=2【答案】BCD【分析】对于A：举例说明即可：对于B：整理得/(x)=1.+d-,根据单询性的性质结合不等式性防分析判断：对于C：分类讨论”的符号,根据对称件的定义分析判断：对于D：左。=2,由选项C可知/U)的定义域为U1.XH,且(1.0)为/(*)的对称中心，令S(X)=f(x)-(x)可知/和Mo交点桢坐标即为y=g()的零点,根据的数班调性结合零点存在性定理分析判断.【详解】对于选项A：例如I.则的定义域为xxw.2-I口上、M2,+2+1.2a+I2a+I且/+/(F=FZi+E=ft+匚F=°,所以/(K)为奇函数,故A的误：对于选项B：因为/(X)=1+4.2-a2-若0vO.则2'-a>-a>0,可知*)的定义域为r.因为尸2，。在R单调递增，则>="在R*iHj递减.所以/(x)在R单网递增：2-ci由2,-<J>-rt>040<-,2-a2a<0,则-2<-vO,可汨T<1+-<h综上所述：/(x)在R单调递增，且值域为(TI),故8正确：对于选项G11a=().f(x)=1.的定义域为R,则S1.)(,wR)为MO的对称中心：若</>0,则/U)的定义域为.rAIo".11、，、2to三-,+2+且/(1.og,a+x)+/(1.og:«-.r)=2a-2,+aa-2,+a2,+1.2,+1.C(-2,-aa-2,-u2'-I1-2'可知：(1.og0.0)为/5)的对称中心：若<0,则八X)的定义域为R,i1.(08j-4)+x)+(0g,")-x)=2',i)"+"2H'+"a2,(->uHi*山上n岂二+U0-a-2'-a-a-2'-a2,+1.2,+1.可知：(叫式-“卜。)为"x)的对称中心:综上所述：无论。取何值，“X)均有对称中心，故C正确：对于选项0：因为HO的定义域为R.,1(1.*x)+¼1.X)(1+1)'+(1xD,.0,可知(1.O)为(x)的对称中心，若“=2,由选项CUr知/的定义域为W"I，且(1.O)为/的对称中心.2、24Z-Z，一Ur知的定义域为kxhi.且(1.0)为以刈的对称中心，不妨设王<公，可知，U)和MO交点横坐标即为y=g()的零点，当x>1.时，可知y=1.+彳工.y=-(-1.)'在(1.止动内单调递减，则y=g()在内单调递减,且g=2>g(3)=T<o,可知y=g卜)在(1.y)内存在唯一零点七e(23),根据对称性可知：y=g()在()内存在唯一零点与£(T0),且占+"2,故D正确:故选：BCD.3.我们知道函数/(6的图象关于坐标原点成中心对林的充要条件是函数"x)为奇函数,由此可以推广得到：函数/U)的图象关于点Pg成中心对称的充要条件是函数y="x+o)-为奇函数.利用题目中的推广结论,若函数外"=U蔡的图象关于点0.-g)成中心对称，财-"=.【答案】±2【详解】由应急.、=/(')+；为奇函数，所以f()+T=T")+今,则F十-六由1n2,n11111(22,+2r2'+1.)+(1.+w2,)(2'+m)_1.÷w2,2'÷w(1.+n212,÷m)所以5+M2"+（加+2，”+1）2+”+”?=0怛成立.11n=0/十2rnn4IO,所以"i-n=±2.故答案为：士24,己知函数/(x)=K7,g(x)Ig(GTir),则尸(x)=(x)+s(x)在区f叫3.3上的最大值与最小值之和为.【答案】O【详解】因为F(X)=/(x)+g()所以尸(X)=U+Ig(GTT-X).在卜工3上函数F(X)涧足：1.J1.F(-x)=；二：<+IgM-X)'+-(T)=-A1.g(Srr7+X)1+51+5,S*_1I_<x/，=-j4+1.g-TT-=-(z植+D)=-F(X)奇函数尸(x)在区间卜出3上的眼大俏与Ai小值互为相反数，其和为O.5 .已知定义在R上的函数)=ei-e+(x-4+x,湎足不等式/(2x-4)+(2-3a-)2,则K的取值范阚是.【答案】(FT【详解】易知函数=e'',=Y'",.V=Ce-IRF=X在R上为单调性递增.即可得/(x)=eAT-ei+(x-D'+x是R上的增函数,令MX)=/T=CZYI+(XT)S+-则MX)是R上的增函数.易知(2-x)=e"A-ei+(I-X)'+I-X=-Mx),可汨(2-切+力(»=0,即MX)的图象关于点(1.O)成中心对称.由/(2v-4)+(2-3x)2.Jff/(2x-4)-1.-(2-3x)-1.,1J(2a-4)-(2-3).(2-)+(.r)=Oift)(3)=-(2-3)：所以M2x-4)*(3x).利用MX)是R上的增函数可得2-423.解得y.即X的取值范围是(f,T6 .已知函数/(X)=Q7=(KfR).求证/(r)+/(Jx)为定能(2)若数列q的通项公式为4卜，”为正整数.”1.2.1.»«).求数列",的前m项和Se：【洋解】(1)证明：由于函数f(x)="(xeR).,八、14*4*4*则"T)=E1.=可广可=IZF=河闰，所以/(x)+/(-r)三-+-T-4Tg-0以I/I/4'+22(4)+2)2(4,+2)2'(2)III<1)可知./(x)+(1.-x)=1.则.；/；)=：，其中"为正整数，w-.即，停Mf且%"1.)所以+4m=；，其中人为正整数，4A4m-,且，尼卜/4，Sn=a,+a,+4,变化前m-1项顺序后，可得：S.=a-+4+。”.+得：2Sv=(rT)"=1.J,23263“r.II3m-1S.=n-=.