第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页).docx

第4章多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型受加法确定多自由度系统的振动响应时.必须先求得系统的囚有频率和主振型.当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作最很大，必须利用计经机来完成，在.工程中，经行采用,些简单的近似方法计能系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的更杂结构振动问电简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动何题的近似分析结果。本章将介绢工程上常用的几种近似解法适当地选用、掌握这类实用方法,无论对设计研究或一般工程应用椰将是十分有益的.§4.1瑞利能量法瑞利（Ray1.eigh）能量法又称瑞利法，是估算多门由系统振动基频的一种近似方法.该方法的特点是:需要假定一个比拟合埋的主振型：基频的估号结果总是大于实际值.由于要假设主振型，因此,该方法的精度取决于所假设振型的精度，§第一瑞利商设一个自由度振动系统其质成矩阵为M'刚度雄阵为K.多自由度系统的动能和势能一般表达式为(4.1.1)T=xMjc2UxKx2当系统作案一阶主振动时，设其解为x=Asin(d+a)1.t=4<ycos(<r+cr)将上式代入式（）,那么系统在作主振动时其动能最大值，“、和势能最大（ftUmjx分别为(4.1.3)TtArMA2Ug=ArKA2根据机械能守恒定律，（M=U1.mX,即可求得疗=WiK1.其中，K（八）称为第一瑞利商当假设的位移幅值列向城A取为系统的各阶主振里A时，第-珊利商就给出各阶固有频率？的平方值,即荷=r%mo=,2.«)(4.1.5)(AwA在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主报里A,只能以假设的振型A代入式()，从而求出的相应固布频率q的估计位.从理设上讲，可用式(4.1.4)近似求解各阶固彳I1领率，但由于对系统的高阶主振鞭很难作出合理的假设，所以,该式-殷只用来估总系统的基领叼。§第二瑞利商瑞利能Ift法也可以应用于内柔度城际团建立的位移运动方程.这时育田振动方程=4<JfU(4.1.6)代入式()，注入到同、Mf是对称矩阵,以及司K=那么系统的势能为1.=)rfr<J1.jWJ.t)2(4.1.7)由式()可得=-ftAsin(w+)(4.1.8)判上式代入式()，系统势能的最大f为UM=IWWHH1.A门/2(4.1.9)由A=UZ可得,4r1.W1.A'=-1.1.-1.J1.J=R1()(4.1.10)MMA&（八）称为第二瑞利商.可以证明，假设所选假设振型A很接近于第一阶主振鞭A，那么由第一瑞利商和第二瑞利商计究出的2便确实接近于3而且比实际梢大（所谓上限估计）.对于同一假设振型A,第二册利商比第-瑞利商史接近真实值0；,但其精确程度主要取决于假设振赞A接近于笫一阶主振型A的程度.瓯!企图所示三自出度系统中,试用瑞利能量法估算系统的第一阶固有频率。，%=吗=，=，”,k1.=k2=ky=k.图4.1.1«*系统的旗盘矩阵为刚度矩阵为柔度矩阵为粗略地假设振型为八=1.I,从而得AA=3"iAKA=kArjMA式（I）、（2）代入式U得式、代入式（）得系统的第一阶固彳!"频率的精确值为回2=0.198-.显然第二瑞利商的结果较接近精确值,但误差nt还较大,这是因为假设振型与笫一阶精确振型A=°350.802Ir相差较远的缘故。如果在图的每一个版址上畋坐桁方向分别作用一单位力，搦么以该静变形的税作为假设娠型，即取那么有由式（）得由式（）得1/成+1/次+I1.at=41.m1.+演加2"+BZmtt(4.2.3)对等式()作如下处理：等式左边.由于即故近似地只保存一项1/痴.5zt等式右边，令D=p(4.2.4)D称为动力矩阵(dynumicma(rix),那么式O灯边为动力矩阵的迹，记为。,因为(=1.2.,“)是第，个质疑处作用埴位力时系统在该处的柔度系数.设想系统只有一个质量/«,存在，那么系统成为单自由度系统，这时系统的刚度人=1/2，固有频率Q为j=k,m,=1.n1,即名町=*,于是有3Na叫=Z*=川川=/r(rfM)0.2.5)媒上所述，式O可写为即系统的最低阶固有频率平方值的倒数，近似等于各质瑶也单独存在时固有频率平方值Cj的倒数之和。由于式O的左边台去了一些正数值，从而所得的出；值比也做小。式(4.2.6)称为邓克莱公式，计算出的结果为最低阶囿有领率的下限估位.由于等式右边为动力矩阵D的HrD,故邓克莱法又称为流法，它只适用于M为对角矩阵的系统.邓克莱法在准确度上一般不如刷利能Jft法，但由于它的计算较简总.旦易考虑各质敏或刚度的变化对减低阶固有频率的影响，故工程上仍经常应用它。朝用邓克莱法计例4中系统的基频.【解】由例4/可知，系统的质后矩阵和柔度矩阵分别为差比拟大。因此，假设想求前S个固有频率及主振型的近似解，缩减的自由度数目加好不小于2s个，这样就能得到较精确的斛，留所示为一等直杆，杆长为/,截面面枳为A,密度为人试用聚缩质量的方法将其国散为行限门由度系统，并用李弦法求杆纵向振动炉第阶同行频率和主振型的近似解,【解】将直杆等分为八段，短段的质埴机=yA5g等分为西半,各集中于林段的两蛤，然后将五段合并聚缩为5个质量町=吗=m1.=M4=n.m,=m2,各聚缩质量之间由刚度为人的5个弹宽相连接，如图(b)所示。好段杆的拉压刚度确定为A=5EA"这样，我们就得到五自由度的离放系统。系统的版城地阵和刚度矩阵分别为1.OOOO-2-10O0O100O-I2-IOOf=mOO100K=A0-12-10OOO1OOO-I2-IOOOO0.5OOO-1I系统的柔酸地阵为因为只要求第一阶固有领率和主振型，故缩减为两个力圉度处理，选取两个假设模态.由式O.有广义质量矩阵AT和广义刚度矩阵1分别为Mb网MM=：；3.5.KNMIKMH：；'JQOQ-15由式0得特征方程为=0.1013-.<=1.012-"1m故q=0.3183#TU=(1.592)f/,叱=1.(X)6疯U=(5.O3)/时应的CJ、CJ为G=10.512C-1.1194由式()，求各阶主振型的近似值0.3370.551().5600.476A=4.4880.783A=1.5970.4010.891-4).299I1假设用武（）求解可由特征方程解得3；=0.0980&,ty=0.8841-mm故对应的Cj、IG1.为0.4928G=近似主振型为0.330.5540.5530.480A=4.50720.775，A=1.5905().4600.887-0.2971I此时精确好为=(1.571)z,0)2=().309'-0.809'0.588-0.951A=0.809，&=-0.3090.951-0.588II（归一化模态振型）比照之下.按式（）或式（43.8）求耨,第一阶固有颇率和主振型都接近于其值.第二阶固有频率及主振型的误差较大.而用式（4.3.8）求基顿及其主振型那么更接近于我位.§4.4矩阵迭代法矩阵迭代法也称振型迭代法，它采用逐步遍近的方法来稀定系统的主振型和频率，§求第一阶固有频率和主振型求系统的舰频时，矩阵迭代法用的根本方程是位移方程，即或KTMA=N74(4.4.1)令D=K,f(4.4.2)矩阵。称为系统的动力矩阵，如果将随意假定的振堂向量代入上式，等式并不成立，但是通过不断的迭代却可以逐步逼近所要求解的固有痂率和振型向Ji1.迭代过程如下：（八）选取某个经过归一化的假设振型4“，用动力矩阵。前乘以假设振型4“，然后归一化，可行A1,即将得到的A和Ay相比拟，如果A14,就再以A为假设振型进行迭代，并且归-化得到A,即(C)如果4KA,.那么继续曳复上述迭代过程，得直至A=AT时停止.此时q=,而相应的特征矢量Ai即为第一阶主振型.A")=Ai.可以证明上述过程一定收敛于最低同行频率及第一阶主振型.由于振动系统的”个主振型ASa=I,2,)是线性无关的，因此，任意的假设照里可以表示为各阶主振型的战性组合，即A,=ctA'1.t+c2A,2i+.+<A,11'(4.4.3)得：即OA1.=A(4.4.4)由于固有领率的排序，上式中的系数J4,，Cg分别小于A相应的系数C”，Ca.因电；纥此,A1.比4“更接近A"'.第二次迭代：即OAI=-7A,(4.4.5)重卫上述过程，笫/次迭代后，得即OAr=AqAA'"(因为!呵q：%)“叫(4.4.6)可见.经过一次迭代.第一阶主振型的成分得到比其他主振型更大的加强.反亚的迭代下去.当迭代次数足够大时,。&T与A只相差系数一?,，。&T即为所求的第一阶振型向爵，将其归一化后为4,4即为所求的第一阶主振型向显，呻所以归化因子即为a.=7(4.4.7)明从以上的讨论可以行出：尽管开始假设的振型不理想，它包含了各阶的主阵型，而且第一阶主振型在其中所占的分量不是很大.但在迭代过程中.高阶振型的分址逐渐衰破,低阶振型的分量逐渐增强.最终收敛于第一阶主振型,假设振型越接近A1.那么迭代过程越快；假设振型与4”相差较大，那么迭代过程收敛得慢,但呆终仍然得到域频和第一阶主振型.如果在整个迭代过程中,第一阶主振型的分址始终为零.那么收敛于第二阶主振型：如果前S阶主振型的分崎为零，那么收敛于第s+1阶主振型.IW46原3自由度振动系统的第阶固仃频率和振型向僦(精确值为4=5.()49-.kzI1A=1.1.0822.247f).K'M=-I22«任取初始振型向优A=UIr.然后依顺序迭代计算.各次计算结果见表。&振型向Irt迭代过程及就果呜J迭代向4AAz441I22J23)I111.OOO1.6672.(1001.0001.7862.2H1.0001.8002.2431.0001.8022.2471.0001.8022.2471.0001.8022.247嗯3.0004.6675.0005.0135.0485.049aiqH2为«4%«6由此得到：4=5.049(.<=0.1981j.41.=11.0822247、§求解高阶固有频率及主振型当需要用矩阵迭代法求第：阶、第三阶等商阶频率及振型时，其关键步骤是要在所设振型中消去较低阶主振鞭的成分。如由展开定理11.p_(a,0),'WA(i>j'MN"如果要在4中消去A'"一(AS)”屋成分,那么只需取假设振型为(A''t'MA40,(A,1.,yM1.-c1.,h=/1-/V"-_1.=11.-A=QiA(4.4.8)M1.1.其中。1.Z-A'b(A"')rfw(4.4.9),(AS(A)'M'=j,MA=0加4.4.10)其中O.一仪中称为去除矩阵.用Q1.A进行迭代,那么可求得第二阶固有频率和主振型.如果在假设振型中消去前P阶主振型成分，咫么需取新的蜴设振型S二(A)yMAA-Zw=A-Ay一/-IJ-I*w称为前产阶去除矩阵“应用QrA作为假设振生将得到第P+I阶固有领率和主振型。运算中不可防止地存在舍入误差,即在迭代过程中难免会引入一些低阶主振型分1所以在每一次迭代前椰必须重.新进行去除运算.实际上，可以把迭代运完和去除低阶振型运算合并在起,即将去除矩阵并入动力矩阵D中去,并入原理如下:因为所以OAE=4A",DAE=JTA">可;DA=A1.d,+A'2,+A,°,纣;从D4中去除A"),即4o,(4d,)rfD=Di_,-(4.1.11)f1.ry1.-称之为已含去除矩阵的新动力矩阵，用o.进行迭代将得到第：阶主振型和固有频率。因此，包含前P阶去除矩阵的动力知阵为(4.4.12)r=J7IHJ矩阵迭代法求图所示三自由度招杼系统的第二阶固有频率及振型。：It=I2=I3=Ikt=k2=k3=k,第一阶固有频率及主振型分别为：=0.1980.AE=1.0001.80192.2470r.图【解】第一阶固存频率和主振型，于是，可计算出：由式()得到含去除矩阵的动力矩阵选取初始假设娠型A产=。I-i)r现经过十二次迭代后，如到届=1.55521,Am=1.(XX)0.4452-0.8020'§4.5子空间迭代法子空间迭代法是矩阵迭代法和李兹法相结合的一种近似计算方法,它将矩阵迭代法每次迭代一个假设的振型改为同时迭代前S阶假设想里，这样时于一次性求解大型振动系统中的前S阶固有频率和主振型就比拟方便。对个自由度系统，侦M矩阵1和刚度矩阵K均为“X阶矩阵，设系统的前S阶振理为所有”阶振型张成的战性空间的一个子空间，取前S阶假设振型进行迭代，即选取初始的迭代矩阵“，=(建-4-)(4.5.1)由式().系统的动力矩阵O=K1.M.作矩阵迭代Ai=DAiy(4.5.2)再用李兹法计.算，先计算自由度缩M后的顺求矩阵和刚度矩阵M'=A1.'MAt,K'=A>rKA,(4.5.3)计算自由度缩减后的特征假问题(K-W)M=0(4.5.4)求出S个特征fi/=2,5)和特征向量Mi=12,s),将特征值与特征向量表示为可H=".A=AH曲Mb105.5)、*第一次迭代完成后，如果各特征值0,2满足精度要求，就么取1.=,1=/1*(4.5.6)如果各特征伯©:不涧足精度要求，那么取A2=DA'(4.5.7)将上式作为初始迭代矩阵进行第二次迭代，即重生()到(4.5.5)的步骤，得到迭代后的S个特征侑房和特征向量处，重纪iS行迭代过程，直到湎足精度要求为止，子空间迭代法具有明显优势,尤其当系统的特征值具有申报或者几个特征值比拟接近时，矩阵迭代法计©特征值时收敛速度很慢,而干空间迭代法具有李兹法的优点可以解决这个问遨.对于大型亚杂结构，具有较多的自由度,而实际研究只需要前十几阶或前几十阶固有瓠率和主振型就可以满足工程精度要求了，所以可以利用子空间迭代法求系统的固有频率和主振型.剧&利用子空间迭代法求图所示振动系统的第一阶固有颇率和主振型.图多自由度振动系统【解】系统的质双矩阵为系统的刚度矩阵为任意取初始模态矩阵进行第一次迭代如下:103()1119591.91.96672684'-"72.62.830I(X)3.()3.3333（归一化）计算自由度缩减后的广义质温矩阵和刚度矩阵得到代入方程（一序"'）伊=0求特征值问即.解出对应的振盘地阵为进行第二次迭代1.87912.53163.87901.03660.0414-1.0623（归一化）讦算自由度缩减后的质眼矩阵和刚度矩阵代入方程（K一，）M=0求特征值问职得到裤出(=(10.(XXX)',<J=(-0.(XX)31.相应的振里为：由此得到第一阶1有频率为<=0.1206-Ht主振型为1.OO(X)1.87912.53162.879OY与恬确你(o'=0.1206与，主振型1.00(X)1.87952.53222.879bf非常.接近。/H习题4-1跑11图示弹费质证系统作垂出振动.弹黄刚&人=&=*.质址见=4=加.求此系统的固有频率和主城型（画组主振型图）.4-2如运4-2图示两个城址町和加2，固结于拉紧的软绳上，绳的质量不计.巳知，研=，=加.当侦量沿着垂出于绳的方向作做抿动时.绳的拉力7保持不变。试列出振动的微分方程，并求出系统的同行频率和主振型（育出主振型图）.4-1HK4-2图题4-3图4-3一汽车重17640N.拉着一个近15092N的拖车.他设挂构的弹簧常数为&=171500Nm.求此系统的固有频率和主振型（画出主振型图.4-4如题44图所示.不计质量的刚杆/可绕水平轴。转动,杆的右端附有质量同时用弹簧悬挂另一质母叫，杆的中点支以舛筑，使杆成水平。，=，%=，"，ki=kz=k.试求系统的固有频率和主振型.题4-4图髭4-S图4-5如包45图示两个相同的单接用弹黄&相连.当两授在铅垂位世时,弹簧不受力.求此系统在船直面内作微振动时的固有扬率和主振型.4在题41中.设运动的初始条件为：，=0时.初位移Xm=Xa1.=5，加.初始速度KHI=&=0,求此系统的响应.4-7试对题1-7图示三自由度系数，确定柔度系数，建立柔度矩阵，并按矩阵形式写出位移方程。题4-7图4-8如卜图.3个互不相等的质量等距禹地固结在张力大小均为T的弦上。试求系统的固有频率,巳知,m、=2m,n,="i,mt=3m。js-Wrasa4.9m4T计算图示系统的固有频率,当探处于铅直位置时为静平衡状态.4-10试用瑞利法求题48系统的基频.以假设报型A=0.7685,1.0505,1、4-11如下图的筒支梁的抗弯刚度为E/.本身质量不计.假设S=叱=吗=m.试用瑞利法求系统的基频.JB411-4-12用里拔法求题4-11系统的第一、二阶固有频率.4.13用郑克莱法求Sfi4-11系统的基频.4-14用矩阵迭代法求即4-11系统的固有领率和主振里.