第63炼-立体几何中的建系设点问题.docx

第63炼立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答卷中,有些题目可以使用空间向量解决问题.与其说是向量运算,不如说是点的坐标运能，所以笫个阶段：建系设点就显得更为H1.要，建立适宜的直角坐标系的原那么干j哪些？如何正确快逑写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。一、根底知识:I-）建立口,用坐标系的原版么：如何选取坐标轴I.Z轴的选取往往是比拟容易的,依据的是线面垂直.即Z与坐标平面.Qy垂直，在几何体中也是很H观的，垂宜底面向上的即是，而坐标原点即为Z轴与底面的交点2、,y轴的选取：此为坐标毡否易于写出的关惊，有这么原那么值得参考；（1）尽可能的让底而上更多的点位于My轴上（2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）我对称关系：寻找底面上的点能否存在轴时称特点3、常用的空间直角坐标系满足KyZ轴成右手系.所以在标Ky轴时要注意。4、同一个几何体可以有不同的建系方法,其坐标也会对应同.但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的.5、解答题中,在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用标轴为两两垂直（即一个线向垂直+底面两条线垂直）.这过程不能省略.6、与承包相关的定理与结论：（1）线面垂直：如果一条也跷与个平面上的两条相交宜践乖真，那么这条直跳与该平面垂出两条平行戏，如果其中一条与平面垂那么另外一条也与这个平面率H两个平面垂宜,那么其中一个平面上垂立交线的直线与另一个平面垂直向极柱：偏极与底面垂百（21线线垂直（相交垂直）：正方形，矩形，直角悌形等腰三角形底边上的中线与底边垂H（三统合一）菱形的触角跳相互垂直勾股定理逆定理：fi&AB2+AC2=BCz,那么ABJ.AC(J坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能绯R按写出坐标的点(1)坐标轴上的点.例如在正方体(长度为1)中的ACZr点,坐标特点如下：X轴：(,0.0),y:(0ty,O)Z轴:(0.0,z)规律：在啷个轴上,那个位置就有坐标,其余均为0(2)底面上的点：坐标均为(x,y(),即竖坐标z=0.由于底面在作立体图时往往失N，所以要快速正确写出坐标.强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考I以上图为例:那么可快速写出HJ点的坐标，位置关系清晰明了2、空间中在底面投影为特殊位置的点；如果A(.r1.,y1,z)在底面的投影为A(,q,%O)，那么1.=x,.y=>'2(即点与投影点的横纵坐标相同)由这条规律出发,在写空间中的点时,可看下在底面的标是否好巧。如果可以JE么直接确定了横侬坐标，而轻坐标底面的距离.例如：正方体中的8点，其投影为3而8(1JO)所以3(1,z),而其到底面的距温为I.故坐标为8(IJI)以上两个类鞭已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一线特殊点,那么就要用到第三个方法:3、衡要计算的点中点坐标公式:A(x1.,y1,z1),(x2,y2,z2).那么样中点M,T.宥).图中的H,E,F等中点坐标均可计算利用向最关系进行计算(先设再求)：向量坐标化后,向量的关系也可转化为坐标的关系,进而可以求出一些位也不好的点的坐标,方法通常是先设出所求点的坐标,再选取向盘,利用向过关系解出变及的值,例如：求A点的坐标，如果使用向计算.理么设(x,y,z),宜按写出4(1,0.0).5(1.1,0),5(1.1.1),观察向量AB=AB,而AS=(0.1.0).x=1.y=0.A(1.,0,1.)z=Ix-1.=OAB=(x-I,y-1.,z-1.).Jy-1=1=z-1.=0:、典型例JS；例1：在三梭锥P-ABC中,R4_1.平面ABC,NftAC=90,D凡尸分别是棱AB,SC,C。的中点,AB=AC=.PA=2,试建立适当的空间R角坐标系并确定各点坐标解：丹1_1_平面人8。，出_1八8.%_1八。B4C=90.E4,Afi,AC两两垂直以AP.AB.AC为轴建立宜角坐标系坐标轴上的点：(0.0.0),(1.0.0).C(0.1.0),P().0.2)中点SA6中点你。,。)£:BC中点(gg.O尸：PC中点(0,；,”综上所述：()J),C(0J,0),P(0,0,2),j,(),()1,e,O,F'0,1.小炼有话说：本科中为了表达某些点坐标的来历，在例运的过椽中进行详统书写。这些过秤在解密赵中例2I在长方体ABCD-A&GA中，E尸分别是校BC.CCt上的点，CF=AB=2CE.AB-.D.1.=.2：4,建立适当的直角坐标系并写出点的坐标此邈所给的么点的受标从而使得生Ii思路：隹系方式显而易见,长方体AA，八两两全近,是线段的比例，如果设A8=,八。=24八人=4。等，那都含有,不便于计算。时挣此类问遐可以通过设单位长足，好都为具体的敦。解：因为长方体ARCD-A,B1.C,Dt/.AB.ADAA两两垂直.以AB.AD.AAi为轴如图建系，设IA8为单位长度例3：如图，在等腰梯形八8C。中，入8C£>,A。=DC=C8=I.N8C=60.CF±平面A8CQ,itC的相其中一条以隹立坐IICF=I,建立适当的直角坐标系并确定各点坐标，思陪：比迪或接有一个线而垂直，所以只需在平面/VJCQ找互垂立的立我即可。由邀意，NBCD不足且余,所以可以以边为轴，在底面上作全伐即可构造出两两至五的条件,遴而可标系方案一：（选择8C为轴），连结八。可知/4。C=I2（），在.人力C中由IAq=3,5C=,ZABC=60可解料A1.i=2,ZACB=90：.AC1BC-CF1平面A3C。以AC',C凡AC为坐标轴如图建系：方案二（以CO为轴）过C作CO的垂线CM-CF1平面ABCD：.以CD,CF,CM为坐标轴如图建系：旧方案T计算可得：CM=今八8=2小妹有话说：虔立生标系的鼠更委的茶件就是理面叁近（即Z轴.计于x.y轴的选取,如果没有现我.可以以垂足所&的某一能直线为坐标轴.然后作达.条轴的垂找来附定另一条轴.此芯中的两个方案就是选过至星C的直找为轴迂立的坐标系。例4：四边形ABCO满足AD3C84=AD=DC=!8C=”,E是BC中点，将工84E翻折成2AECD.AB1.AE,使得平面B1AEJ1.平面AECD,F为BQ中思路：在处理劄折何延时，首先要确定在8折的过程中位更关系不变，这些都是作为条件使用的。此题在翻折是多边三角形，四边形AKCQ为60的菱形是不变的，全立时,极券平面8AEJ"平面AECZX结合,8AE角形，可取AK中点、M,那么可证SM1平面再在四边形AECD找一犯过M的安过即可建系平面8八£J.平面AKCO解：取AE中点M,连结8.M.BM±1.iAECD.连结>W.BM1.ME.BM.8M.MO.E两两重H四边形AECD为60的菱形.工人/泗为等边：角形如图建系,设IAB1.为单位长度(;尸为3。中点.尸0,.I44J例5：如图，四核键P-A8C。的底面是菱形，时角线AC3。交于点O.OA=4.O8=3.OP=4,且OPJ.平面A3CO,点M为PC的三等分点(思近P),建立适当的门角坐标系并求各戊坐标思跳：由OPJ平面A8CD,可得OP作为2轴,在底田上可利用菱彩对角我杷互至克的性质.选取0艮0。作为.匕)，轴。在所有点中只有M的坐坏相讨麻烦,对于三导分点可用PW=；PC,从而转化为向量关系即可求出A1.型标解：.OPi平面Aea)菱形ABCD.OB1.OCZ.V.OP,O8,OC两两垂直/以ORO%OC为坐标轴如图建系"j；2jO可卧P(0.0.4).(3.0.0).C(0.4.0),(0.-4.0).D(/二二二设M(X,>,z)由PM=-PC可得：PM=-PC33小苏有话说：(1)底而是芟8时要注意时用我相互里亢的性质2对十一条长段上的定点分我段成比例,可以利用向量关系将该点坐标计算出来例6：如下图的多面体中,正方形ABCD与互角梯形3。环所在的平面互相垂克，EF/BD,ED1BD,AD=2.EF=ED=I.试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标当酷：共日而而垂克，从而可以找到OE与底而叁直，再由底而是正方彩.可选人/>。C为七,我，图中产点型标相对就烦，可以用投品法和向量法计算拌到解：T1IfiiEbHD1TifiiABCD又因为直珀梯形HDEF:.EDI.DB平面A8C/).正方形A8CD.AO1.BDADC两两乖I1.以DE.DADC为轴也立ft角中标系坐标轴上的点:(2.O.O),C(O.2.O).E(O.O.I)底而上的点：(2,2,)尸点两种确定方式：可看其投影,落在双)中点处;孝,孝,0)且再度为1.所以F：号,专,1设F(,)，,Z).EF=(X.y.z-).DB=(2.2.)综上所述：(.0.0),c(0.2.0),E(0.0.1.),(2,0),AjV例7：如图，在一.极柱ABC-AB1.G中，H是正方形AASN的中心,C1=5,建立适当的坐标系并确定各点眼标C当)AA1=22,C1./_1.平面AA1B班,C1.思暗：G"i平而八人耳8.从而G”可作二轴,只AAiB1.B找到过的两条也也即可It系两种方案.只有C'生标相对焦的,但由GC=AA可以利用向量'、«'x客在平而>-O/Szz对于坐好AAi进行计算，解：方案一：(利用正方形相邻边垂H关系建系)如图建系：那么设C(X,y,z),那么C1.C=(X,y.z-/)AA=卜x=0x=0由C1C=可得：y=-22=Iy=-22z<5=0=>/5踪上所述：方案二：(利用正方形对用税相互垂直建系)如图建系：由AA=20计以可得A"=印=-2z/V,c(,-22,5)2设C(Ky,z),那么GC=(X,y.z-4)4=(-2,-2.0)x=-2a=-2由斤=AH可得：y=-2=>y=-2.c(-2,-2,5)-5=0=J5踪上所述：小炼有话说：此题虽然两种Ii系方法均可以，但从型标上可以发现，用方案二写出的生标相时两*,尤其是底而上的生标不仅在轴上，而n数比拟纪齐相信所给的AA=26日的也倾向使用方案二盛总因为在解决立体几何解答题时，足速写生标是根底，堂标是否史齐会决定计算过程是否更为简便，所以假谀赵目中或系有多特选择jf,不妨现票所给我段长度的材点，选择适宜的方法爱系,为后面的计算打好根底例8：如图，在四极柱ABa)-A趺GO中，仰极AA1.底面ABC。，八8_1.AC,AB=I,AC=AA=ZAD=CD=小,且点M和N分别为&C和。D的中点,建立适宜的空间直角坐标系并写出各点坐标过咯：由AAJ.底面共8CN>.A/J1.AC可得AA.八8.AC两两垂克.进而以它们为MIt互坐标系.此四中A，8,.G."均可通过投影科底面用到横瞅坐标,图中。点坐标相对麻烦,可作出底面的平面IB再根据平面几何知识进行计器.解：母梭AA1.底面4/?C。ABA.AC：.AB.AC.AA1两两承直以AB,AC,AAf为辅建立出角坐标系底面上的点：(0,1.,0),C(2,0,0)由A。=CO=不可将ADC为等膻三角形，假设P为DP1.AC可投影到底面上的点：A(0,0,2),4(O1,2),G(2O0,A(1,-22)因为M和N分别为8C和AD的中点域上所述：B(M,0),C(Zo,0)Q(1,0),A(t2),4(0,1,2),G(2Q2),D(1,-22)例9：如图：PO_1.平面A8CZ>,点。在A8匕EA/PO,四边形八8CQ为直角梯形.AD/BC.BCJ.A8.BC=CD=BO=PO=ZEA=AO=-CD,建立适当的坐标系并求出各点坐2标是路：的条件可得AAJ.人。,而POJ.中面ABCD,EAPO可样到E4_1.平面A8CD,从而EA.AB.AD为轴建系，旗点在于求底面帕格中Ii,OD的长度.可作出平而图利用平而几何知识处解：.'OJ.平面A8C7)KA/POA创_1.平面ABa).AE,AD,A两两垂直,如图建系：RaAOm储AB=SB2-OZ=5.BC=BOQBoC为等Q角形:./DoC=60.*'OQ为等边三角形P在底面ABCD投影为。且PO=2.,P(Q1.2)综上所述：tf(3.0.0)j>(0.1.0).D(0.X0).C(3.2,).P(0.1.2).£(0.0.1)例10：斜：.棱柱A8C-A4GN8CA=9().AC=8C=2.A在底面人SC上的射影恰为AC,的中点D.乂知8,J.八C；.建立适当的空间直加坐标系并确定各点坐标思路：此延或系方发比以用单，Ao1.平面A8C.逍而A。作2轴,再过。引AC叁线即可.难点有二：一是三技柱的高未知，进而无法写出上底而点的装坐标：二是用的投步不易在图中作出常娶犷展平面ABC).第一个问题可先将高设为力，再利用条件841_1.AG求第：第二个问题可以学忠利用向量计算得到。解：过。作AC的垂雄DM.A,O1.平面ABC.A。J.。CAOJ.DM,而。M1DC，以AOC,)M为轴建立直角坐标系那么A(OQ，力)，设G(XZ)4(0,T,0),C(OXO)I(N1.O).设高为“那么AC=(O20),AG=(M)',Z-4)由AC=AGF汨:x=0y=2=>z-=0.M±AC1=>AAG=O=>-3+A2=0,解母介=J设B1(x.y.J).AiBi=(KFO)而AB=(N2.0)且A始=A8.；二：踪上所述：A(O1.I,0),C(Oj,0),B(2,1,0),a(0,0,6),G(0,2,再(2,2,回)