第1讲-实数的有关概念.docx

第1讲实数的有关概念一、【知识要点】1.实效的有关IK念(1)实数分类按符号分类按M性分类解遨中需考虑数的取信范阳时，常常用到这种分类方法，特别要注遨O是自然教.练习：(I)把以下各数填在相应的大括号：-0.142857正数集合(整数集合(2)在数M,.3.14.0,而,70.303030，0.010010001773-18.,3.1116.0,2001,135,负数集合,分数集合V-64,sin60".ta11,15".2-41»中，无理数共有个，2 .数轴I规定了原点、正方向和单位长度的真战叫技效轴。数轴的三要素：原点、正方向和单.位长度.实数与数轴上的点是一一对陶的.这种1对应关系是数学中把数和形结合起来的1R要根底，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.练习：下面图中，表示数轴的是()a-F,kYi-c-2-10i1.d.；.203 .相反数：只有符号不同的两个数称更为相反数.零的相反数是零.假设a和。互为相反数，那么"，。=0：反之，假设a+b=%那么a和。互为相反数数釉上,无为相反数的两个数所对应的点关原点对称。练习：(D12的相反数是：(2-22的相反数是；(3)0的相反数是；(4)假设m+1与阳-3互为相反数，那么用=：(5)在数轴上表示：用点A表示3,用点B表示它的相反数.4 .值：在数轴上表示数a的&j%i*f储一做IaM绝1寸启iAAA'正数的绝对伯是它本身；位数的绝对做是它的相反数；零的绝对值是零，(>0)绝对他的代数意义；！*1.=0(=0)-a(<0)绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离.练习：(1)3=：(2)-N=:(3)0=：(D绝对值等于4的数有个，它们是和，在数轴上分别用点A和点B表示出来：5 .倒数：乘枳是的两个数互为仇盥W八身：生以当卷尊IJj31.i5假设a和b互为倒数，加么ab=1；反之，假设ab=1,那么a和b互为倒数，相反数以及倒数都是成时出现的,零的相反数是缪，零没有倒数.”任旗一对相反效的和是零”和互为倒数的两个数的积是1的特性常作为计蚌与变形的技巧.练习：(1)4的倒数是：(2)工的倒数是：(3)-1的倒数是：3(4)假设出与瓦为倒数，那么刖=.6 .近似数，一个近似数，四舍五入到某一位,就说这个近似数精确到那一位.7 .有JMk字I从左边第一个不是。的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.练习：(1)近似收0057精确到位.它有个有效数字.(2)近似数2.10万精确到位，它有个布效数字”8 .科学记数法，把一个数可成"O”(IWMVIO,为整数)的形式，叫做科学记数法.练习：(1)(20Q6年山西省临汾市)2006年5月2。11,世界上规模最大的混凝土流力坝三快大坝浇筑完成，建成后，三峡水库辉容总吊为39300000000立方米，用科学记数法表示为立方米.(2) (2006年河南省)蜂房的巢壁厚约为0.000073米，用科学记数法表示为米。(3) (2006年长沙市)2006年4月21日,胡锦涔总书记在美国耶鲁大学演讲时谈到,我国国内生产总值从1978年的1473亿美元增长到2005年的22257亿美元.般设将2005年的国内生产总值用四舍五入保存三个有效数字,其近似Ift用科学记数法表示为亿美元，9 .实敷的大小比拟：在规定向右为正方向的数轴上,右边的点对应的数大于左边的点对应的效。做差比拟：假设a-b>0,那么a>加假设a0=0,那么a=/>：板设a-4V0,那么a<b.练习：比拟大小：2-10；(2)-2-1：(3)0-3(4)假设X-,r>0.那么Xx(5)假设-n<0,那么m；10 .三种非负数：b、鼠石(碓形式的数都衣示非负数.“几个年负数的和(积)仍是非负数”与“几个非负数的和等于零，那么必定每个非负数郴同时为零”的结论常用于化简求值.11 .平方根、算术平方根、立方根的最念【知识要点答案】1.(1)正数2,3.1416,2001),负数-18,-0.142857),整135数-18,0,2001),774分数(21,3.1416,-0.142857(2)52.C1353 .(1)-12(2)22(3)0(4)1(5) .,jr4 .3M(寸2Z-i(金()i2545(4)之个，_±和二1,E%、-54-3-2-1012345""I7. (D干分位,N_个8. (1)3.93X10,*9. (1)>(2)<5.(1)(3)-1直位,*个(2) 7.3×IO-5(3) >(4)>(4) 12.23X10'(5) <二例选讲例KDa的相反数是-g,那么a的倒数是实数.、b在数轴上对应点的位置如下图：bOa那么化简Ib-aI+J(-6>=(2006年泉州市)去年泉州市林业用地面枳约为10200000由，用科学记数法表示为均.【点评】本大超旨在通过几个简通的填空，让学生加强而实数钉关概念的理悌.例2以下实数,、sin60o,p(2：°,3.14159、-9,(-7)6中无理数有()个A.1B.2C.3D,4【点评】对实数进行分类不能只存外表形式应先化简,再根据结果去判断.例3(2006年成都市)计知-G)+(-2)iX(-1)4-2I.【点评】按照运算顺序进行乘方与开方运算.例53aa5和-2m+3互为相反数，求麻的值.解：因为3MS和-243互为相反数.所以-(3w-5)=-2研3.即(3»-5)+(-2h-3)=0.解这个方程，得m=2.说明：时于具体的数要会求相反数和倒数，对于一个代数式也要会求它的相反数和倒数.解答时应注意从概念中箍浦的数学关系式入手.例6求绝对假小于2的整数.简析：设符合条件的整数为"那么R<2.从数釉上看，表示这些数的点到原点的矩璃小于2,借助数轴，就可以求出这些数，绝对值小于2的数彳!无数个，其中他数只有3个.解：符合题意的整数T,J说明：借助数轴可以荷对都反捌)绝片值概2&的理解.而H.还可以使有关绝对位的利SS转化为数轴上有关距离同即：反之,有关数轴上的距离同时也可以转化为绝对值同SS这种相互转化,在解决某些向即时可以带来方便.例7八y是实数，且满足CrT"+JT口=0,求*2的值.解：因为(4)20,yy-=O,又(4)sy1.-0.所以(/4):=O.Qy-I=0.所以x=4,JU1.所以X2,=42x1=6.说明：这是一个条件求值问题，利用非负数的性桢可求出人尸的值，从而向题得解.例5求证：对任何实数小外代数式F4757的值恒为正数.证明：Axy5/7=(*2.02/7.因为(2y)7O.O.所以CV2y)277>O.所以对任何实数八y,代数式f4即5/7的值恒为正数.例8在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所.青少年宫在学校东30Om处，商场在学校西20Om处,医院在学校东50Om处，假设将马路近似地方作一条直线,以学校为原点,向东方向为正方向.用1个单位长度表示100m.(1)在数轴上表示出四家公共场所的位置；(2)列式计算青少年宫与商场之间的距离.解：(D如下图：商场学校青少年宫医院IiiiiiiiiiTOO-300-200-100O100200300400500(2)300(200)=500(或200300=500：或300I200=500).答：青少年宫与商场之间的距窗是500«.说明：此时运用数轴及数轴上两点之间挺国的知识,建立数学模型，解决身边的实际同胞.三、【近两年真嵬例题】例I：(2008常州)-3的相反数是的绝对值是2T=.例2：（2007永州）2006年9月在长沙市举行的“中国中部投资贸易博览会'中，永州市的外贸成交总额达31264万元人民币，用科学记数法（保存三个有效数字）表示这个数据（单位：万元）,正确的选项是（）A：3.12×10'B:3.KiX10,Cs31.2×10,D：31.3X101解：B例3：（2007怀化）2008年8月笫29届奥运会将在北京开修.5个城巾的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如下图，那么北京时间2008年8月81120时应是（）.伦敦时间2008年8月8日11时B.巴黎时间2008年8月8日13时C.纽约时间2008年8月8日5时D.汉城时间2008年8月8日19时解：B妞妁伦敦巴黎北京汉光一7例4：（2008株洲$计算：-1.+加-ZrF-WPS解：原式=1+1-2=0例5（2007江苏盐城）根据如下图的程序计算.假设输入X的值为1.那么输出，的值为.解：4例6：（2007贵阳）如图,平面内有公共端点的六条射城OA.OB-OC.OD,OE.OF,从射线QA开始按逆时针方向依次在射战上写出数字1,2,3,4,5.6.7,（I）“17”在射线上.（2）请任Je写出三条射城上数字的排列规律.（3）-2007"在噫条射线上？解：'17"在射线。七上.（2）射线QA上数字的排列规律：6n-5射规08上数字的排列规律：6一4射城OC上数字的排列规律：6/1-3射线。力上数字的排列规律：6-2射城OE上数字的排列规律：61-1.射级。尸上数字的排列规律:6”（3）在六条射戏上的数字规律中，只有611-3=2007有整数解.解为=335-2007"在射线OC上.四、【能力提点训修】I、实数a、b在数轴上的位捏如下图:化简7+1.a-b=。2、假设“！”是一种数学运算符号，并且I!=1.2!=2×1=2,3!=3×2×1=6.H=1X3X2XI,，那么剪的值为()98!A.B.99!C.9900D.2!493、设a、b为实数,以下四个命题中正确的有(添代号):假设a+b=0,JE么Ia1.=W假设时+网=0,那么a=b=O假设£+/=0,那么a=b=0假设|“十月=0.那么a=b=0k你能求(.V-IX'w+x'*+x"+X+1)的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一卜.，从简单的情况开始解决.分别计算以下各式的值。、(x-1.)(x+1.)、(x-X.v2+x+1.)=、(x-.r'+.r2+x+I)=由此我们可以得到5、如图是由16个边长为1的正方形排成的，任意连结这些小正方形的线设千个顶点,可得到一些线段.试分别加出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的戏段，并说出它们的长度是几。6、m=+y2.n=-41,(7w2-14w+X3-6/-7)=8.那么。的但等于()（八）-5(B)5(C)-9(D)97、(2006年泰州市)如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三的形点阵,根据图中提供的信息,用含的等式表示第"个正方形点阵中的规律.五、【近两年实战演练】ff1.1 .(2007邵阳)一1一3等于(.2B.-2C.4D.-42 .（2008青岛）-二的相反数等于（）4A.-B.-C.4D.-4443. （2008资阳）如图,在数轴上表示到原点的距离为3个胞位的点有（）才BCD.-4-3-2-101234XA,点B.4点C.月点和。点D.3点和。点4. （2007邵K1.）图中是一台计宛机D盆展性图的一局部,从中可以看出该硬盘容出的大小，谛用科学记数法将该硬盘容加衣示为字节.（保存3位有效数字）A.2.01XIOhiB.2.02×10'0C.2.02x10"D.2.O18xOK1.5.（2的步里6.（2运圣”100米上海也度为A.-5S可用S1.W10,0M,n6,tM科10,093,173.145TW94009.41««1X1IIO1OOO,OOO字节ItsiaM4RI引山顶攀登.F5月8JJR机器人在平地药中所示会征“和1向前走I卷向左转307. 12008梅州）以下各组数中，互为相反数的是（A.2和1b.-2和一,c.2和-21D.、历和一J=2228. （2008湘潭）如图，数轴上小6两点所表示的两数的（）A.和为正数B.,aB._和为负数C.积为正数D积为负数-3O9. （2007贵阳）比拟大小：一23（填“>,<或="符号）10. （2007长沙）如图，点A8在数轴上对应的实效分别为加，.承么48间的胎肉是.（用含m，的式子表示）11. （2008南通:苹果的进价是每千克3.8元，销竹中估计有冰的苹果正将损耗.为防止号本，商家把14价应该至少定为姆千克元.12. （2008桂林）如果向东走3米记作+3米,那么向西走5米记作米.13. （2008湛江改编）某市某天的最高气温是9C最低气温是一2C那么当天的品差是"C.M（2008鄂州）以下给出的一申数：2,5.10.17,26,?,50.仔细观察后答我：缺少的数？是.15. （20的扬州）200H年5月26日下午,奥运圣火扬州站的传递在一路“中国加油”出中胜利结束,全程11.8千米,11.8千米用科学记数法，,：小，I米16. (2008泉州)计算：-1+200夕一2?17. (2008益阳)计算：P2+(ff-3)o-2+(-1.)2uc18. (2007湖南邵阳)观察以下等式1111111111×222×3233×434将以上三个等式两边分别相加得：I1I1I1I111I31×22×33×42233444直接写出以下各式的计算结果:+1×22×33x42006x20072006X28六、1近两年应用探究】1. 12008绍兴)以下计算结果等于1的是().(-2)+(-2)B.(-2)-(-2)C.-2×(-2)I).(-2)÷(-2)2. (2008佛山)以下运算正确的选项是().A.(-3)"=-1.B.3-2=-6C.(-3)2=-9D.-32=-93. (2008孝感)在算式4一卜305|中的口所在位置,填入以下哪种运算符号.计尊出束的值最小()A.+B.-C.XD.+4. (2008仙桃】2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地薇，国内外社会各界纷纷向灾区捐款捐物,抗廉救灾.截止6月4日12B.全国共接收捐款约为43681OOOOOO元人民ifi.这第款额用科学记数法表示(保存三个有效数字)正确的选项是(A.().437×10',B.4.4XK)10C.4.37×10,uD.43.7×1095. (2008赤峥)如果卜4=一。，以卜成立的是(A.<0B.“WOC.a>OD.a6. （2008聊城）如图是某广场用地板铺设的局部图案，中央是一块正六边形的地板诺,周闱是正三角形和正方形的地板fi.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形.第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（）A.54个B.90个C.102个DIM个,"?一；'、/13-z*FVsk、将在物体外表的三个微的生长为二，产生新的微生O4-7&7,6,7,8,9）,X7-*1.s接下去每天都按照这样瓜、成新的微生物（i果S一弹个微生物一分为!叼，缶下图的图形进行形h踪4.物会出现在（）（第7SS）二,形象的记录）.那么标号为IC1.01?附生物会出现在（）A.第3天B.第4夭C.第5天D.第6天8.（2008济南）数学的美无处不在.数学家们研究发现，用拨琴弦发出声音的音调上下，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦,如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比拟和谐.例如，三根弦长度之比是15:12:10,把它们绷得一样紧，用河样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声du、mi、so.研究15、12、10这三个数的倒数发现：我们称15、12.10这三个数为一组词和数.现有一1510127. （2008台州）生物（课题小f情况进行观察I如睇iuOOOC>组调和数：X.5、3（>5）.那么"的值足.9. 12007无锡）图1是由假设干个小圆网堆成的一个形如正三角形的图案，斑上面一层有一个圈圈，以下各层均比上一层多一个曙肥，一共堆了”层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有阚圈的个数为U）我力自上往下,在卷个圆圈中都按图3的方式以上一串连续的正整数1,234,那么最底层最左边这个国圈中的数是：（2!我的自上往下,在每个阳阳中都技图4的方式填上一串连续的整数-23.-22.-21.,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.10.在数学活动中，小明为了求!-+1.+4+-1.的侑(结果用n表示)，设22"2'T2*计如图(1)所示的几何图形.(1)请你利用这个几何图形求g*+*+313的值为_(幻请你利用图(2)再设计一个能求g+崇+/+gI泉的值的几何图形.,(1)(2)参考答案实战演练：题号12345678答案DACBCACD10. n-m11.412. -513. 1114. 3715. 1.18×10416. -217. ft?：原式=2+1-9+1二-518.解：(1)n71+1些2007C1.-1,1I1.11,11,1I2(X)8(3)原式=-1-FH412244668200620081100340?6应用探究：题号1234567答案DDCCBB8.159.解：67.(2)RH中所有圆圈中共有1+2+3+12=""2-"=78个数,其中23个负数，1个O,54个正数，图4中所有圆悭中各数的绝对值之和=j-23+-22+-1.+1.+2+.+54=(1.+2+3+-+23)+(1+2+3+.+54)=276+1485=1761.