概率论与数理统计（第2版）试卷及答案.docx

柢率论与数理统计期末试卷(基础梃念答案)判断()事件是样本空间的子集.判断(×)设随机事件4与8是对立事件，则随机事件4与B瓦斥，反之，亦成立.单选题(D)设是随机事件,且48互斥,P（八）=O.6,P(B)=0.2,则P(AU8)=A.0.6B.O.12C.0.68D.0.8判断(×)互斥不独立，独立不互斥.判断(X)所有随机试验的随机变气都可以一列出.判断(X)对随机变量的分布函数尸(X),若X1.VX2,贝加(XI)VF(X2)单选题（八）设随机变量X的分布为XO123P0.2k0.30.4则k=A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4单选题(B)连续独立上抛一枚硬币三次，其中两次正面朝上的概率为：A.-B.三C.-D.-8842判断()连续型随机变量的分布函数F(X)=J"二(t)dt的几何意义是位于区间(-8,X)上密度曲线y=(x)之下的曲边梯形面积.判断()若XN(0,1.),楸(-x)=1-(x),P(X)=2()-1.单选题(D)设随机变SiX的密度函数为f(x)=X1,则常数C=1.X1A.-1.B.-0.5C.0.5D.1判断()对任意固定的y,当*1v*2,有尸a,y)F(M,y)单选题A设两个离散型随机变量X,Y独立同分布，都仅取-1和1两个取值，JIP(X=1)=P(Y=-1)=0.5,则下列成立的是：A.P(X=Y)=0.5B.P(X=V)=1C.P(X+Y=O)=0.25D.P(XY=1)=0.2S判断()对于二维连续型连续变量(Xy)的密度函数a,y)有:J二Ox)dxdy=1.判断()设(Xd)在区域G上满足均匀分布，。是区域G内的个区域,记它们的面积分别为Sg,Sd,则P(X,Y)0)=单选题(D)设二维连续量随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=ke.r)0X>0,y>0其他4断断断断dudududuA*×<*rB.0.5C.8D.2×)若XNQ,d),则2XN(24,2).×)若X3,02),则X+iN(+1.,2+1).×)若X/同分布，都服从于B(n,p),则X+Y8(2n,p).×>若X1独立同分布于NaM2),则x+yn(2m2).判断(×)XB(2,0.7).YB(3,0.7),则X+Y8(5,0.7).判断()XPoisson(3),Y-PoissontX与Y相比独立，则X+YPoisson(三)判断(×)设X1是两个随机变量，则E(X±Y)=E(X)+E(Y).判断(×)设x,v是两个随机变量，则o(x±y)=D(X)±。(丫).判断()E(Xy)=E(X)E(Y)的充要条件为X,Y不相关.判断(×)D(aX+&)=aD(X)+b.判断()若PXy=0,则称X,y不相关.判断()设防机变量X的期里与方差均存在，则对任意£>0有：PX-E(X)I。警单选题(C)设随机事件X满足E(X)=2,D(X)=:试用切比雪夫不等式估计P(O<X<4):AWBWCTD.1481612判断(J)简单随机样本X】,Xz/要求入，的Xn相互独立且与总体X同分布,判断(×)若总体方差D(X)=。2,则E(S2)=Fo2.判断(×)设卡方分布随机变8tX2>2Q),E(Zz)=n,D(2)=n2.判断(×)设总体XNQ,M),X,.是来自总体的样本，样本均值为片样本方差为S?,则有："N（,2）.判断（）设总体XN3,d）,X,X2Xn是来自总体的样本，样本均值为父，样本方差为52,则有q与S?相互独立，且批等1.%2（n-i）判断（）极大似然估计必须知道总体的分布律或密度函数.判断（）设。=氏多，Xn）是未知参数6的估计量，若对于任诲也有Ee）=仇则称。是6的无偏估计量.判断（）样本方差S2是总体方差小的无偏估计量.判断（）置信水平1.-反映可靠;性，越大越好.判断（置信区间（4,&）的长度d一&反映精确度，越小越好.判断（×）在样本量相同的情况下，置信水平越高，区间长度越窄.判断（）在置信水平相同的情况下，样本量越多，区间长度越窄.判断（×）假设检验中能使两类错误的概率同时达到最小.判断（×）第一类错误是指事件HO不成立而错误地接受凡.判断（×）个正态总体NQ,1）参数的假设检验，/已知，关于的检验，设“0："o<“0，统计量为：U=jjH券，则拒绝域为：U>"-判断（X）美于正态总体NQqZ）参数的假设检验，4未知，关于小的检验，设加IH1:2>而,统计量为：/=如更,拒绝域为：犬>必（n-Do概率论与数理统计期末试卷(基础概念)判断()事件是样本空间的子集.判断()设随机事件4与B是对立事件，则随机事件4与8瓦斥，反之，亦成立.单选题()设48是随机事件，口儿8互斥,P(1.)=0.6,P(B)=0.2,则P(1.U8)=A.0.6B.0.12C.0.68D.0.8判断()互斥不独立，独立不互斥.判断()所有随机试脸的随机变量都可以一一列出.判断()对于随机变量的分布函数户(X),若必V孙，则F(M)VF。2)单选题()设随机变量X的分布为X0123P0.2k0.30.4WJk=A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4单选题()连续独立上抛一枚俊币三次，其中两次正面朝上的概率为：A.-B.-C.-D.-6842判断()迂续型随机变量的分布函数F(X)=。戊的几何意义是位于区间(-8,幻上密度曲线y=f()之卜的曲边梯形面积.判断()若XN(0,1.),她S(-x)=1-(x),P(X)=2（八）-1.单选题()设随机变量X的密度函数为/(N)=停”51.则常数C=(0x1.A.-1.B.-0.5C.0.5D.1判断()对任意固定的”当与<不，有F(XIj)F(X2,y)单选感C)设两个离散型随机变量X,y独立同分布，都仅取1和1两个取值,且P(X=I)=P(V=-1)=05则下列成立的是：A.P(X=Y)=0.5B.P(X=X)=1UP(X+X=0)=0.25D.P(XY=1)=0.2S判断()对于二维连续型连续变量(X.Y)的密度函数/(x,y)有：亡亡7(x,y)dxdy=1.判断()设(Xy)在区域G上满足均匀分布,。是区域G内的个区域，记它们的面积分别为汽3,则P(X,Y)D=g.单选题()设二维连续型随机变量(X,y)的联合概率密度为/(x,y)=fe-(2x+y)0X>0,y>0其他4断断断断d11*d11*dud11wA声来及为B.0.5C.8D.2)若XN(4,02),则2XN(24,2o2).)若XN(,o2),则X+N(+1.,2+1).)若若丫同分布,都服从于8(n,p),则X+Y8(2n,p).)若X,V独立同分布JW(pe2),则X+yN(2p,M).判断()X-B2,0.7),yB(3,07),则X+Y8(5,0.7).判断()X-Poisson(3).YPoisson(2X与丫相互独立,则X+YPOiSSon(三)判断()设X,y是两个随机变量,则£(x±y)=E(X)+E(y).判断()设XJ是两个随机变用，则D(X±Y)=O(X)±D(r).判断()E(Xy)=E(X)Ew)的充要条件为x,y不相关.判断()D(aX+b)=aD(X)+b.判断()若PXy=O,则称X,Y不相关.判断()设随机变量X的期望与方差均存在，则对任意E>0W:P(x-E(X)I6誓单选题()设随机事件X满足E(X)=2,D(X)=:试用切比雪夫不等式估计P(0<X<4):A3C7ISCIIAGBGC.-O11判断()简单随机样本片,XzXn要求Xn相互独立且与总体X同分布判断()若总体方差O(X)=,则E(SZ)=21.2.判断()设卡方分布随机变量212(n),EO2)=n,O(2)=n2.判断()设总体XN(",02),X,2Xn是来自总体的样本，样本均值为N,样本方差为S2,则有:SO2)判断()设总体XN(4,d),X,X2Xn是来自总体的样本，样本均值为丸样本方差为$2,则有N与S2相互独立，且21誓*2（n-i）判断（）极大似然估计必须知道总体的分布律或密度函数.判断（）设。=。（均久X”）是未知参数6的估计量，若对于任意也有ES）=,则称。是6的无偏估计员.判断（）样本方差S2是总体方差。2的无偏估计量.判断（）置信水平1口反映可林性，越大越好.判断（）置信区间（4,灰）的长度a-&反映精确度，越小越好.判断（）在样本量相同的情况卜.，置信水平越高，区间长度越窄.判断（）在置信水平相同的情况下，样本量越多，区间长度越窄.判断（）假设检验中能使两类钳误的概率同时达到最小.判断（）第类错误是指事件HO不成立而错误地接受为.判断（）一个正态总体N3,d）参数的假设检5佥，M己知，关1%的检验，设H0,0÷÷H1.t<0,统计量为：U=吊，则拒绝域为：U>".判断（）关于正态总体N3,02）参数的假设检瞪，”未知，关于“2的检验，设Ho：OZW就eHi:2>就,统计量为：2=<n"V拒绝域为：A?>Za（n-1）.一、一空题(14分)1,(4分)设48为两个随机事件,P（八）=0.7,P(B)=0.4,P(-B)=0.4,则P(AU8)=O.P(AB=.().2.2、<4分)设曲机变址X服从(0,1)区间上的均匀分布，则V=I-X的微率南度函数r(y)V的数学期里E(Y)=1/2.3、(6分)设x,电，”均是取自正态总体N(OH2)的简单地机样本,则当非零常数C=_2：)时,统计盘济版从自由度为(1,2)的F分布.二、(12分)设甲、乙、丙三人各用高射炮向同一飞机发射一枚炮弹,他们是否射中飞机是相互独立的.己知甲、乙、丙三人射中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7.如果他的中只有一人射中飞机,则飞机雕毁的概率为0.2；如果他们中有二人射中飞机,则飞机我的概率为0.6：如果他们都射中飞机.则飞机必坠毁求飞机必毁的概率；已知飞机坠毁,求飞机险毁前只被他们中一人射中的概率.(结果请保留三位小数)«：记A=<有i个人击中飞机>,记B=(飞机外毁.则P(AO)=0.09,PSI)=0.36,P(X2)=0.41.P(1.3)=0.14.(I)P(B)=Pa)P4)=0.458：(2)所求即为P(¼8)=，吗罂沙=0.157.三、(10分)设Ia机变MX分布函数为r0,x0,F(X)=,0<x3,.1.,x>3.(I)求X的概率率度x(x):(2)求X的数学期里£(X)和X的分布的中位数5(ZX0VX<3解：(D求导即得"幻=9''(0.久金E(X)=GXqXdX=2;由CXdX="y°s=5=212四、(14分)从1123中任瓯取出一正整数.记这数为X,科从(1.,",X中任意取出一正整数.记为Y.(1)求(X,Y)的联合概率函数(要求结果用列表形式表示)；(2)求z=x+y的概率函数：(3)求数学期里E(X),E(V)和协方差Gw(X,Y).解：<1>t1.1.P(X=i,Y=)=P(X=i)P(Y=X=I),i,j=1,2,3.Z=X+田上即得(2)人2345611_s_11367599(3)E(X)=2,E(Y)=1.5,E(XY)=y,Cov(X1V)=E(XY)-E(X)E(K)=五、(16分)设：维地U1.变ht(X,Y)的联合密度函数为ZUy)=x2y,2y1Q.其它解：(I)f(x)=J：/(x,y)dy=f(y)=广“,y)d=J-b7o<y<i,to.其余.(1)分别求X和丫的边缘密度函数：(2)问：X和丫是否相互独立?请说明理由:(3)求条件密度函数m(y0.5):(4)求条件概率P(Y0.75X=0.5).-1.<x<1.,x2(1.-x4),-1.<x<1.=(0.7?.计算如g=Y)=2故”艮)XGa故不独立:A(05)=>0,/(5,y)=包:"bA305)=F去"(0.其余.(0,其余.计算得P(Y0.75W=0.S)=J；7sgydy=%六、(10分)设某厂生产新品的对于治疗某种疾病的治愈率为0.8.现在峪床上让也有这种疾病的100个病人去用这个厂生产的这种药品.求在这100个病人中至少有75人治愈的概率的近似值.(要求用中心极限定埋解超.W：由题量，治愈人数X-8(100,0.8),由中心极限定珅X；N(80J6),因此所求概率即为75-80P(X75)1-(-r-)=(1.25)=0.8944.七、(10分)假设某种油漆的干燥时间X眼从正态分布Nge2),现从中随机抽取容Ift为9的样本.测定其干燥时间得到X”X2,x)(单位：小时，并由此贪出*=IX1.=S4，E?=1x?=356.试分别求均值”和方差的置伯水平O9。的双侧置信区间.(答案保留小数点后两位有效数字)解：计算得£=6/2=4=S=2,故C)-ro,5(3x+t95()1.=14.76,7,24：<2)2(g1.=2.06,11.71.八.(14分)设M，X”“，Xn是取自IE态总体N(20,1.)的简单随机样本,匕,七,匕是取自正态总体2(仇1)的简尔随机样本，且合样本Xi，X2J”，X«彳12，”，匕相互独立.(D求(X,X",XttM,",)的联合密度函数:(2)求基于(为,X2.-,Xn,Yi,Y2,-,%)的参数。的鼠大似然估计(3)H：(2)中求得的参数。的最大似然估计。是否为6的无偏估计？请说明理由.解：(1)(X,X2,Xn,K,&,匕)的联合密度函数为(3,XnJ",为)=()2nexp(-扛区-2。产+(y,-)i×i,yiR,i=1.,-,n.1.()=岛严exp-i1(x1-20)2+(y4-e)2),In1.(O)=n()2n-=J(x1-20)2+仪一0月，=-R1.b岭,一2。)-2G-O)D全0解出。=jx+1%55(3)囚E(8)=WE(X)+gE(Y)=e.故跪8的无偏估计.概率论与数理统计期末试卷(综合卷1)二、埴空题(M分)3、(4分)设48为两个随机事件,P（八）=0.7,P(B)=0.4,P(1.-B)=0.4,则P(AUB)=i,P(AR)=.4、4分)设1.机变计X眼从(0,1)区间上的均匀分布，则V=I-X的概率需度函数片。)=.丫的数学期望E(V)=.3、(6分)设X”*2,凡是取自正态总体N(OM2)的简单随机样本.则当非零常数c-时，统计量C曳苧料服从自由度为的F分布.三、(12分)设甲、乙、丙三人各用高射炮向同一飞机发射一枚炮弹,他们是否射中飞机毡相互独立的.已知甲、乙、丙三人射中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7.如果他In中只有一人射中飞机，则飞机险毁的概率为0.2：如果他们中有.人射中飞机，则飞机&毁的格率为0.6：如果他们都射中飞机,则飞机必坠毁(D.求飞机坠毁的概率：(2)已知E机坠毁.求飞机必毁前只被他们中一人射中的概率.(结果请保留三位小数四、(10分)设陋机变眉X分布脸数为(2)求X的概率密度&(X):求X的数学期型£(X)和X的分布的中位数V1.)s.五、(M分)从1,2,3中任意取出一正蝌数，记这数为X。再从口,X)中任意取出一正整数，记为y.(I)求(Xy)的联合概率函数(要求结果用列表形式表示)：2求Z=X+丫的概率函数：(3)求数学期里£3),£(丫)和协方差。(%丫).六、(16分)设二维随机变量(无丫)的联合密度函数为f(×.y)=2y.2<y<10,我营(2)分别求X和丫的边缘密度南数；(2)问：X和丫是否相互独立?请说明理由;求条件密度函数加(y05):(4)求条件概率P(yN0.75X=0S).七、(10分)设某厂生产药品的对于治疗某种疾病的治愈率为08.现在临床上让患有这种疾病的100个病人IM用这个厂生产的这种药品.求在这100个病人中至少有75人治愈的概率的近似值.（要求用中心极限定埋解区.八、（10分）假设某种油漆的干燥时间X眼从正态分布N3,广）,现从中随机抽取容地为9的样本.测定其干燥时间得到勺户2,，*9（单位：小时>，并H1.此徵出*=IXi=54,1.x1.z=3S6.试分别求均值和方差小的置信水平0.9。的双侧词信区间.（答案保留小数点后两位有效数字）八.（M分）财,必，XM是取自正志总体N（2&1）的简单随机样本，八一,“,匕是取自正态总体W（dD的简单随机样本,且合样本X,Xz,Xn,4力,。相互独立.<1）求（XhX2,Xn,K,b的联合密度函数：<2）求基于（%,Xz,4，匕,取,4）的参数8的最大似然估计。：（3）问：（2）中求得的参数。的最人似然估计。是否为&的无的估计？请说明理由.概率论与数理统计期末试卷(综合卷2答案)三、填空J(14分)5、(6分)设-B,C为三个随机中件,P（八）=P(B)=P(C)=O,10,P(A8)=0,PSC)=P(BC)=蔻,则P(BUC)=P'6.PG1.U8UG=7.30,PMee)=23/30.2、(4分)议X服从参数为1的泊松分布，Y服从参数为2的指数分布，且相关系数PXy=%则E(Xy)=3/1.D(X+Y)=7/4.3、(4分设X,Xz，X3、X«是取自正态总体NJ/)的样本,%是样本均建.5?这样本方整，ftJP(X>1)=1.2.P(X>1.,S2>2.08382)=0.05.二、(12分)设电甲、乙二袋，甲袋中装有5只白球6只红球，乙袋中装有9只白球8只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，(1)问从乙袋中取到白球的概率是多少？2如果现在从乙袋中取到的是白球，求从甲袋中也取到白球的概率,(答案用分数表示)解；记A=从甲中取到白球放入乙中)，&=从甲中取到红球放入乙中，则P(Aj=输,P(A2)=。(1)记B=H再从乙中任取一球取刎白球)MP=£P(A1)P(BIA1)=×+11×=i三1.(2)所求即为P(418)='9喀<)=产9J8三、(10分)设两两独立的三事件46和C酒足条件：13C=6P（八）=跃Bi=N1/2.且P(/RJSUG=9/16.求心和PaU8):2)问:三事件.4、AC相互独立吗？请说明理由.解：令Ps)=<,则V=P(AUBUC)=P（八）+P(8)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3x-3x2=>X=j即P（八）=；：而P(AUB)=2x-X，=5(2)因为(/1抬)=0*：打4)P(8"(?)=1.故事件48.。井不相互独立.四、(14分)设随机变fit/和y相互独立.下表列出了二维随机变瞅(Xr)的联合概率函数及关于/和y的边缘概率函数中的部分数值.(1)试将其余数值划入表中的空白处.0I2PX=p.0I1/81/8/(片j)=m1/61(2)何X与Y是否相关？为什么？(3)求概率P(2X<Y).XYO12O一W：<1),2I4!731-884422.2623(2)因为*和相互独立，所以它们一定不相关；(3) P(2X<Y)=1-P(X.y)=(1,0),(1,1)=i五、(16分)随机变址(其Y)的联合概率密度函数为/(x,y)=(6-X-y),0<X<2.2<y<40,其它(1)确定常数4:(2)分别求X和y的边缘密度函数;(3)求PGK1.5):(4)求PCPKi).解：1=dr/(6-X-y)dy=8fc=>fc=;(2)f(x)/51厂彳y,"(2,4),0,其余.WA(6-x-y)dy,x(02).=,-.e(0,2),1。,用余"(o.一、)k(6-x-y)dx,yC(2,4),r,)=<(0.真余P(X<1,5)=X；S(2-Jx)dx=g:(4) P(X+r4)=CdXerX6-X-y)dy=.六、(10分)假设在一条生产线上生产的单个产品是合格品的概率是08.要使一批产品的合格品率达到在76%与8侏之间的概率不小于90%,何这批产品中产品的数肤至少要达到多大？(要求用中心极限定理解题).解：设产品数量至少要达到n个,(0,第I个户皿是小U格则X18(1O8)而E%X,8gO.8),由中心极限定理£&2；N(0.8n,016办故；E1.1.M：2(0.&誉),由题总2(0.76;X,0.84)0.9,1.!2(0.1n)-1>0.9=*0.1n>1.645=n=271.七、（10分设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：小时）分别为6.0,5,7,5.8.6.5,7.0,6.3,5.6,6.1.5.0.已知这种清漆的干燥时间（单位：小时）版从正态分布,<P,若由以往经验知“=0.6（小时），求”的置佶水平为0.95的双侧置信区间；<2）若。为未知，求P的汽信水平为0.95的双侧双信区间.（答案保留两位小数）解：计以可存£=（EtXf=6,s2=-f）2=o.33,s=0.S74.故“Sx-w097siUftwsJ=5.61,6.391；（2）-tft975（8）,x+75（8）=S.56,6.44.八.（M分）设（X”，Xn）是取自总体X的一个样本，X的密度函数为/(x,9)=(c0-,x0,其它其中#0为已知常数.”1.为未知参数.求&的矩估计所;解：<I>E(X)=°,c9-1.dx=0=.故铲=£：(2)1.(Oy)=ncn(xix2xa)""1WIn1.(0)三nb+110nc-(+1)1.n(xtx2xn)fIn1.()ntc食n=e+n1.nc-1.nx2Xn)=。Sn(x2JW-概率论与数理统计期末试卷(综合卷2)四、填空JB(14分)6、(6分)设4,B,C为三个随机中件,P（八）=P(B)=P(C)=OO,P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=M则P(BuC)=.P(AU8UC)=.PaeG=.2、(4分)议X服从参数为1的泊松分布，Y服从参数为2的指数分布，且相关系数PXy=%则£(Xy)=.D(X+Y)=.3、(4分设X,Xz,*3,X.是取自正态总体NO。2)的样本，彳是样本均值，S2是样本方基，则PGf>1)=,P(X>1,S2>2.08382)=.二、(12分)设有甲、乙二袋,甲袋中装有5只白球6只红球,乙袋中装有9只白球8只红球，今从甲袋中任取-球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，(1)问从乙袋中取到白球的概率是多少？2如果现在从乙袋中取到的是白球,求从甲袋中也取到白理的概率.(答案用分数表示)三、(10分)设两两独立的三1"件比6和C满足条件：ABC=,PU)=P()=O<1/2,RPUUUO=9/16.求P(To和PaUB):问;三事件AB、C相互独立吗?请说明理由.五、(M分)设班机变砥*和y相互独立，下表列出了二维随机变软(Xn的联合概率函数及关于和的边绿概率函数中的部分数值.(1)试将其余数值填入表中的空白处.0120I1/81/8P(Jj)=p,1/61(2)何X与丫是否相关？为什么?(3)求概率P(2XY).五、(16分)W1.机变盘(MY)的联合概率容度函数为“x,y)=(6-x-y)rOVx<2,2<y<4I0,其它(i>确定常.数m；(2)分别求X和y的边缘密度函数；(3求(/1.5)；(4)求尸(J*r4).六、(10分)假设在一条生产税上生产的单个产M是合格品的概率是0.8.要使一批产品的合格品率达到在76%与84%之间的柢率不小于90%,问这批产品中产品的数盘至少要达到多大？（要求用中心极限定理解四.七、（10分）设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位I小时）分别为6.0,5,7,5.8.6.5,7.0,6.3,5.6.6.1.5.0.已知这种消漆的干燥时间（单位：小时）般从正态分布,<P,.<1>若由以往羟验知“=0.6（小时）,求，的置信水平为0.95的双侧置信区间；（2）若。为未知，求，的明信水平为0.95的双侧祝信区间.（答案保留两位小数）八.（M分）设（3，Xn）是取自总体X的一个样本，X的密度函数为.0)=m;7>，'其中为己知常数,0>,6为未知为数.求6的矩估计声:（2）求0的极大似然估计在