A.-Mie米散射理论基础.docx

米散射(MiCSCattCring):又称“粗粒敌射，粒子尺度接近或大于入射光波长的粒子散射现象。德国物理学家米(GUStaYMieJ8681957)指出，其散射光强在各方向是不对称的.顺入射方向上的前向散射最强。粒子愈大,前向散射愈强。米散射当球形粒子的尺度与波长可比拟时，必需考虑散射粒子体内电荷的三维分布。此散射状况下，散射粒子应考虑为由很多聚集在一起的困难分子构成，它们在入射电陂场的作用下,形成振荡的多极了,要极了辎射的电磁波相叠加，就构成散射波。又因为粒子尺度可与波长相比拟，所以入肘波的相位布粒子上是小匀称的，造成了各波在空间和时间上的相位差。在子波组合产生散射波的地方，将出现相位差造成的干涉。这些干涉取决于入射光的波长、粒了的大小、折射率及散射角。当粒子增大时，造成散射强度改变的干涉也增大。因此，散射光强与这些参数的关系,不象瑞利散射那样简洁,而用困难的级数表达，该级数的收敛相当缓慢.这个关系首先由福国科学家G米得出.故称这类散射为米散射.它具有如下特点：敢射强度比瑞利散射大得多，散射强度随波长的改变不如瑞利散射那样猛烈。随着尺度参数增大，散射的总能量很快增加,并最终以振动的形式趋T肯定值.散射光强随角度改变出现很多极大值和微小值，当尺度参数增大时，极值的个数也增加。当尺度参数增大时，前向散射与后向散射之比增大,使粒f前半球散射增大。当尺度参数很小时，米散射结果可以简化为瑞利散射：当尺度参数很大时，它的结果又与几何光学结果一样；而在尺度参数比较适中的葩围内，只有用米散射才能得到唯一正确的结果。所以米散射计算模式能广泛地描述任何尺度参数匀称球状粒子的散射特点。19世纪末，英国科学家瑞利首先说明了天空的篮色：在清洁大气中，起主要散射作用的是大气气体分子的密度涨落。分子散射的光强度和入射波长四次方成反比，因此在发生大气分子散射的日光中，紫、蓝和音色调光比绿、黄、橙和红色调光为强，显终综合效果使天穹呈现蓝色。从而建立了瑞利散射理论。20世纪初，德国科学家米从电磁理论动身，乂称粗进步解决了匀称球形粒子的放射问题，建立了米敢射理论，粒散射理论。质点半径与波长接近时的放射，特点：粗粒散射Ij波长无关，对各波K的散射实力相同，大气较混浊时，大气中悬浮较多的的尘粒与水滴时，天空呈灰白色.米散射理论是由麦克斯韦方程级推导出来的均质球形粒子在电磁场中对平面波放射的精确解.一般把粒子直径与入射光波长相当的微粒子所造成的散射称为米敢射。米放射适合于任何粒子尺度.只是当粒子直径相对于波长而言很小时利用瑞利敢射、很大时利用夫琅和费衍射理论就可以很便利的近似解决问题。米散射理论最早是由GlMIe在探讨胶体金属粒子的散射时建立的。1908年,米氏通过电磁波的麦克斯韦方程,解出了一个关于光散射的严格解.得出了随意直径、随意成分的匀称粒子的散射规律.这就是闻名的米氏理论4-6|.依据米散射理论,当入射光强为1(),粒子四周介质中波长为人的自然光平行入射到直径为D的各向同性其球形粒子上时，在散射角为。,距齿粒子r处的散射光和敢射系数分别为:/=n7。"="，K（八）=A#2+U(a2+bn2)从上式中可以看到,因为是各向同性的粒子,散射光强的分布和角无关.同时，上式中：h-s(m,O,a)×5i*(m,a)；2=s>(m,a)×5>*(m,tafil、i2为散射光的强度函数:si、s2称为散射光的振幅函数:a为粒子的尺寸参数(a=11D/)；m=ml+im2为粒子相对四周介质的折射率,当虚部不为零时,表示粒子有汲取。对于散射光的振幅函数,有：511H"+%"8O+52=z.11(nnbnTn)n(n+V式中an、bn为米散射系数.其表达式为：_d/a)SYma)-"21（八）储(ma)°"Zn（八）,n(ma)-m,n（八）n(ma)_mdtt(jJ'J-6'n（八）6tt(ma)nn（八）<(ma)-Cn（八）<f>n(ma)其中:n=(zf)1z2+(2)Q=(.”2叫._dPl,(8sfb"二d(s)r=%吸，cos例,i(=,是半奇阶的第一类贝塞尔函数；Hfle'U是其次类汉克尔函数；Pn(cos0)是第一类勒让德函数；P(l)n(cos。)是第一类缔合勒让德函数.Mie散射理论Mic散射理论是麦克斯韦方程对处在匀称介质中的匀称颗粒住工向单色波照嫌下的严格数学解。由Mie散射知道.距离散射体!处P点的散射光强为/-=iog*(QU/(Rw=S()2shr-s2()2s2式中：义为光波波长:IO为入射光强:1SCa为散射光强：。为散射用：0为偏振光的偏振角。OOSMe)=Sw(w+1)fl"11t+&不8S2(®=m»"式中:S|(。)和S式夕)是振幅函数:an和bn是与贝塞尔函数和汉克尔函数有关的函数；和乙是连带初让得函数的函数，仅与散射角有关.其中_W(MWtGWl()36"ManG(X)5:(m(X)加e；()卯佃)=？3(M36a)3；（八）W6ha)1.mCn(«)P'n(jn(X)-e(CX)Ww(X)式中:e,()和£“（八）分别是贝塞尔函数和第一类汉克尔函数；,l（八）和%()是O,()和j()的导数；为无因次宜径，a=11I).D为颗粒的实际直径；2是入射光的波长;m是散射颗粒相对于四周介质的折射率，它是一个到数，虚部是颗粒对光的汲取的量化“由以上公式可见,Mie散射计算的关键是振幅函数A(O)和$2(仍，它们是一个无穷求和的过程,理论上无法计算“求解振幅函数的关键是计算an和bn.所以Mie散射的计算难点是求解an和bn。Mie散射理论的数值计算通过以上分析可知,Mie散射计算的核心是求解an和bn.我们编制程序也是困绕它进行编写。在an和bn的表达式中GKa).电;（八）,£“（八）和£；(0)满意下列递推关系：W(X)=%lW式0)-2(X)叭=-(o+W(G(O=2WaIG-I(Cd-G-2(od昌(Od=-卷G(X)+GI(Cd这些函数的初始值为；WI(O)=CoS(XW(O)=s11(XGI(O)=COS(X-ISm(XG(O)=s11OTICoSa与散射角有关的ll（八）和(。)满意下列递推公式:E=rtC0s-TTnSU12幺一.IanT5?=1丘.1CoSa1r&-2n-1n-1=(2w-1)11;.+11.2TR=o¾=oTTo=Trl=O有这些递推公式可以很便利地通过计算机程序求解.但是对丁n的大小，因为计算机不行能计算无穷个数据,所以n在计算之前就要被确定。散射理论基础与Mauab实现若被射体为匀称球体,如图1所示,照雄光为线偏振平面波,振幅为E,光强IO,沿Z轴传播,其电场矢量沿X轴振动。散射体位于坐标原点O.P为观测点。散射光方向(OP方向)与照端光方向(Z轴)所组成的平面称为散射面.照嫌光方向至散射光方向之间的夹角。称为散射角,而X轴至OP在Xy平面上投影线(OP')之间的夹角6称为极化角。观测点与微射体相距r.依据经典的Mie散射理论.散射粒子的尺度参数为=2naA,其中a为球形粒子的半径,散射粒子相对四周介质的折射率为m=ml+i*m2。则散射光垂直于散射面和平行于散射面的两个重量的振幅函数为:OOSTZ1)，7"b11Pfl)n(n+1>(2)=_(SinZ+ZCoSZ)-/cos-sinz><(z)=+sinz-sz1=8sJ仃=1、微粒子对光的散肘和汲取是电磁波与微粒子相互作用的重要特征,而微粒对电磁辐射的汲取与散射与粒子的线度有亲密关系,对于不同线度的粒子必需应用不同的散射理论。Mie散射理论Ii要用于从亚微米至微米的尺寸段;在微米以下至纳米的光放射则近似为形式更明晰简洁的瑞利放射定律.放射光猛烈依靠丁光波长MI-人,):而对大于微米至塞米的大粒子则近似为意义明确的夫朗和仍衍射规律了。MiC散射理论给出了球型粒子在远场条件下的散射场振幅an、bn以及粒子内部电磁场振幅Cn、dn的计算表达式.通常称为MiC散射系数)，n-jr,(mx)fxjt,(x)l-mxjmx)10nn2jn(tnx)xh,n,(x)-HlhF(X)Inxjn(mx)，_fhi”(xtx)-/,Jx)Mx7”，mxJ”jn(rnx)xh,y(x)-h'(x)mxjn(mx)_Ihj"(x)X6:(x)_?/*Xjtt/X，'"jn(mx)xh,y(X)-h'n'(x)mxjn(mx)_!八mi，x)fxh；(X)I-UImh?'(x)xi"x)dnm2jn(mx)xh(y(x)-UlhT(X)mxj“(mx)'式中m表示微粒子外部介质的相对折射率,x=a,a为球的半径,=2M称为波数,为相对感导率,即球的磁导率与介质磁导率的比值Jn(x)和hn(X)分别为第类虚宗量球BesSel函数和HankeH函数。散射系数,消光系数及偏振状态下散射相位函数：2n+d册I2+1bn2)knt=jj,2n+VRc(an÷bn).Is()2+Si(8)JP(O)=FJ,1算2+1"an2+1bn2)散射截面。心（散射率Q,Q、汲取截面。面（汲取率Q3）、消光截面。cx（消光率Qcu）、后向敌射截面。0（后向微射率Qb）以及辐射压力of辐射压力效率QF）.其表达式如下:%OY其中i为SCa、abs,exi、Pr分别表示散射、汲取、消光、辐射压力.依据能量守恒定律有：QE=Qzca+。疝，或<xr=+<teQpr（辎射压力效率的计算公式）：Qpr=Qat-OSJVCOS&>_1痴，。Rn-I-W-l>+2rnfn+>Rt,<abfQh（后向散射系数）：OOQb=h7?2«+UJl）n（an-bn）IXnk这些都是无穷级数求和,在实际注嵬过程中必需取有限项,Bohrcn和HUffman给出了级数项最大值取舍的标准：nmax=X÷4x13+2对于单位振幅入射波经微粒散射后,其散射场振幅的大小与散射角有关.在球坐标系下.远场散射振帕的大小为:krsS2fs)-krikr7sinS(cos8)kr其中Sl和S2为散射辐射电场在垂直及平行丁散射面的两个偏振重量.微球内部场振幅计算公式颗粒内部电场强度为：OOEI三¥:；)Gx匕-dnN,n)其中Mi和Ni为矢量波球谐函数.在球坐标系中定义如下：0=COS6,Trn(COS8)jn(rmx)-sinrn(cos)jn(rmx)jtt，dAjrmxCOS6TJCoSe)rnixi?"j1rmx-Sin力n(s)/rmir,(?7Wx，1rmxn(n+l>cos,sin,n(cos)汲取检面Qltb'具有损耗介质颗粒的汲取截面为:<7c=k'JEil2dV其中"是粒子相对介电常数的虚部,经整理可得：式中mn、n11为:nt,=2(2+)jn(z)I2、，.J,in二)2zin()12w=2(2+"+1，_+Z事实上由M沁散射理论可知,上式中的积分项为电场强度的平方对角度。、小全空间积分的平均值,即:<1E2>=4-lj22+nndn于是汲取效率为:。此=WrEHXdx,式中x'=rk=zm。当Xnl时即瑞利散射状况.颗粒的内部平均场强为常数,其值9为：I-+2口ImprovedMiescatteringalgorithmsWJAVisconibeMie计第存在的问即就是如何最有效地构造Mie计算，同时保证精确性和避开数值的不桎定性和病态。Mie计算以耗时著称，首先无穷项级数N的求和，例如:100M的水滴在0.5M的可见光散射状况3大约需1260项求和。其次，典型的计算都希望能对一系列半径(如对尺寸分布求枳分)、一系列波长(如对太阳光谱求积分)及系列折射率求和(如通过散射参量反推折射率)。Qeitw(211+l)Re(n+bn),Xin«1Qc4-(2n+l)(anp+fcnpkXin-I4Nrn(n+2)-,t、g-Re(a11a+1+bnbi)XzQncan三lIH+1+年廿RMa闻，n(n+1)JN2n+1Si3anrn()+6nTn()bn-n(n+1)N211+1S2S)=-(ann()+n11n(),n«in(11+1)An(mx)三n(mx)n(mx),当折射率虚部11很大时，用向后循环法求An很不稔定,而向前通推总是稳定的（但向后递推平安时，总是优先选择,因为其计算速度很快）得出允许向后递推的阅历标准ImimX/（11*R）用正确的向前施推1.J相对应的向后地推做比较,当发觉对Qexl,QSCafl的相对误差超过106时,认为计算失败，对于一对确定的出加即），我的采纳向后递推找济第一个循环失效的mia探讨表明：对于确定的mR。.Tnim工的（fiff的加加很快趋向于个前定值。XmiIn>min(xmn)三(mRe),(mR.)三-8+26.22m以-0.4474me对QexbQsca+0.00204m%-0.000175m,24CO22CO2000o41200100OOOO600«0卜a×>r假如在随意角度卜$、s2的实部和虚部的相对误差超过io,时，认为对Sl和S2的向后递推失败。（而此时，2“Qm并不受影响，因为当S,$2的相对误差达到io-时，2的2“的相劝误差总维持在1°"°以卜。）对Sl和S2，2(mRe)，13.78mt-10.9mRe+3.9.1200/3(叫蜀=16.35mZ+&42mRe-15.04,对敌射强度S2+S22和偏正度(522-S12)(S22+s1F)连分式算法总结1Mie散射计算的核心是计兑an和bn（八）W"ma)-鬲J幻，nE11（八）W/ma)n正t,（八）九(ma).2n1”/向-九：夕，九(ma)6“=V，nn（八）n(ma)-n（八）n(na)其中Wn()uJ"(dj,f11(qojd"j+iY),J“和Y”分别是第一和二类贝塞耳函数称为当量直径.=2许八.，是球形颗粒的真实半径./足入射光的波长,m为折射率Wlt(Z)=(万2/2)地4“A(Z)取Z)=(1TZ/2网JflM(Z)+(T)也E(Z)/_d_,/k(P)Dn(P)=dplnMp)=九(P)式中为函数任一自变S1.贝塞耳函数递推关系式：n（八）=n.x（八）-a；n（八）=n.x（八）-。，D,J1格)/m一/"GJ)-&iD,t(“汹)/7M+n/cn（八）-n-（八）bnmD”(maj+/aOH（八）mDn(n)+n/cjn（八）Mie散射计算中Jn、Yn、Dn的计算是关键和难点。对于Dn.我们采纳的是1.emZ的连分式的算法：,J”-1(ma)Dn(ma)=-+/maJn(ma)tz证明有如下关系：Jn-1/_1-24"7偿m/JJna)a2fak''a2其中，ak(l"12fn+k-0.5)我们留意到当上78时，"F'”。卜72。所以可以利用上式累积相乘直到满意精度要求。(可依据精度要求例如10'来确定所要达到的k值)对于J0、丫“的生成本文也采纳连分式的算法。详细方案如下：令G=JiI"a"J“八依据贝塞耳差积公此JJRYn-JR5n.（八）n（八）三-2由以上二式整理得：Yn（八）=。（八）/C”(夕，IYn-（八）Jn.I®上式中Cn的计算是采纳类似于Dn的连分式的形式,计筑中可调用同一函数计算。若已知初值：Jo=Si11«/(X；h（八）=Gnaor-cos«/a;Yo=-8sa;Yi(cc)-CoS/-sin/ca;这样就可计算出各级JnfYn。WilliamJ.1.entZ关于连分式的文章：*.U)=Uz2)iJ114iU)公(Z)=(W2)皿Iyig)+jdmjs)AM=T÷共”+%=“，Z=ZnX.以An(Z)为基础，采纳贝寒尔函数比值的连分式表示法：U)-1U),利用此法可产生全都的An(Z),尽管耗时,但能削减存储需求。同时可通过计算高阶Jy(Z)值，运用卜面的递推公式，从后往前算出其他值。jn-(z)Z儿(Z)不像一般的函数，贝寒尔函数的比值一旦超过可限制的边界，就不再增长，初始的高阶An(Z)值确定/全部低阶值的精确性，因此.采纳新方法计算精确的初始比值是必要的。处于分母位巴的+号表示分母上加上一个特别的连分式。类似于上式/中的表示形式。定义种新的符号：x)=。1，%+j_j_2.2+%+%+11(x)=1,¾,.«J=%+F+也1.entZ给出J'n阶部分收敛值为：例如：实变量工=1.0,虚数"=9.5：计算过程:a二(-l),*t2(v+n-I)XTn=1,2,3,.=192J=-2102,ta2+20.94736842Jtz.1_(19)(-20.94736842)122.95226131)卜24.95643131)(26.95993017)Jv=(=21)(22.95238095)(-24.95643154)(26.95993017)=18.95228198.米敢射学习目前所遇到的困难：究竟怎样的计钵结果才钵正确，如何能找到一个米散射计算结果精酶又有效的数据库，来验证自己算法及程序的正确性。倒退式算法的总结：由于Mie级数的收敛速度睛特征值X的增大而减慢,因此不同的X值即使在相同的计算精度要求下所落级数项数M也不一样.1979年美国学者WJwEk在大Iit计算的基础上，参考前人的工作总结出一个凡的经验计算公式.利用该公式给出的项数可以使整个计算误是小于10'.Wieeombe公式是+43+I0.02<X<8NX=，X+4.053+18<X<4200X+4J+242X20000当X小于0.02时,可以利用RayIeigh公式计算,而当X比20000更大时,几何光学即可适用.Dn的计算采纳DaVe的倒推式：Dn.(ma)=+-1nZ/ma+On(ma)J由于Dn函数有很强的收敛性用于Dn的倒推计算的初值的选取有很强的随意性。因为当n-8时Dn(mq)-O.所以可以取O作为初值。例推起点选取大-些,可以保证Dn函数的收敛完全.但是同时却增加了计算时间。所以必需选取一个最佳的选择标准。通过试算.作者认为最佳的上限为NStOP=15/W1+10这里ml是更折射率的实部.同样,对于贝塞耳函数J11的计算也可以用倒推的方法计算产生：J11.2（八）=Jn-I（八）-Jn（八）ZZ上式是个般的Jn的递推式,知道了Jn和Jn-I,可以顺当地计算出全部的Jn序列值。为了避开计第Jn的繁琐而又能发挥递推式的快速的优点,采纳下面的方法:假设N-8时.取某一个递推初始值为:八：(。)=0v+1)=£,其中是一个很小的数如可取()6。将初值代入上式，就可以算出全部的产。视察同一自变量的J和J序列,发觉它们对应项之间有固定的倍数关系。如定义这个倍数为B,那么Jn®=SK由于JI(«)的计算是特别便利的(JI=Sina2-cos),所以B=J/J1*,计算出JJ()可以算出Jn(U)。和Dn的计算一样Jn的倒推起始点的公式为：NsteP=15+10关于贝塞尔函数的倒退过程在另一文献中的描述：BeMI函数的计算厉来被视为数值计算的斌题,用其两项递推公式从低阶往往得不出所需正确的高阶伯.依疆表明，当阶数|»大于XHJ.从零阶与一阶函数向上递推出得完全不可靠此时我们说速报时产生了所谓的循环误控，因此对虚宗信的球Zl函数只能用逆推法或级数展开法来计算.计算课苏除起始克阶函数的阶数的熠大而减少.文献7给出了计算起始阶数的经脸公式f2.5X+13X<101.4x+251.Ix+401.03x+6510<X<4545%<250250<X此时起始高阶函数近似值选为>w.=OJm=10'用两项递推公式。T=XfJA-.i得出。之后,再出下列公式阳出雪前的Xel函数Jncoax其中n=.W-1.W-2.M-3.1.0利用初始值J'SinaSina0Sina=0/（；J*COSaa