A. Mie米散射理论基础.docx

米散射();又称,粗粒散射粒子尺度接近或大于入射光波长的粒子散射现象。德国物理学家米(.18681957)指出，其散射光强在各方向是不对称的,顺入射方向上的前向散射最强。粒子愈大，前向散射愈强。米散射当球形粒子的尺度及波长可比拟时，必需考虑散射粒子体内电荷的三维分布。此散射状况下，散射粒子应考虑为由很多聚集在一起的困难分子构成，它们在入射电磁场的作用下,形成振荡的多极子，多极子辐射的电磁波相叠加，就构成散射波。乂因为粒子尺度可及波长相比拟，所以入射波的相位在粒子上是不匀称的，造成了各子波在空间和时间上的相位差。在子波组合产生散射波的地方，将出现相位差造成的干涉。这些干涉取决r入射光的波长、粒子的大小、折射率及散射角。当粒子增大时，造成散射强度改变的干涉也增大。因此，散射光强及这些参数的关系，不象瑞利散射那样简洁,而用困难的级数表达，该级数的收敛相当缓慢。这个关系首先由德国科学家G.米得出，故称这类散射为米散射。它具有如下特点：散射强度比瑞利散射大得多，散射强度随波氏的改变不如瑞利散射那样猛烈。随着尺度参数增大，散射的总能量很快增加，并最终以振动的形式趋于肯定值。散射光强随角度改变出现很多极大值和微小值，当尺度参数增大时，极值的个数也增加。当尺度参数增大时，前向散射及后向散射之比增大，使粒子前半球散射增大。当尺度参数很小时，米散射结果可以简化为瑞利散射；当尺度参数很大时，它的结果乂及几何光学结果一样；而在尺度参数比较适中的范围内，只有用米散射才能得到唯一正确的结果。所以米散射计算模式能广泛地描述任何尺度参数匀称球状粒子的散射同时,上式中：i=s(m,a)×5i*(m,a)»2=s(m,8,a)X$2(m,01a)il、i2为散射光的强度函数；si、s2称为散射光的振幅函数：a为粒子的尺寸参数(a=11)；m=ml2为粒子相对四周介质的折射率，当虚部不为零时,表示粒子有汲取。对于散射光的振幅函数,有：OO)_口:小+D'3"+%加)”1$2=,/1j(ann+bnn)"n(n+式中、为米散射系数,其表达式为：6n（八）3'n(ma)-"id'rs（八）ma)Zn（八）,n(ma)-m/n（八）n(ma)_)3't,(小M-6'n（八）Kma)mZn（八）(ma)-（八）<f>n(ma)其中：内=Gr户/2JTZ)Q=(jf)v2(l)dPJcosfb"=d()n=吸(s)是半奇阶的第一类贝塞尔函数；必常'”是其次类汉克尔函数；(0)是第一类勒让德函数；P(Dn(O)是第类缔合勒让德函数。M散射理论M散射理论是麦克斯韦方程对处在匀称介质中的匀称颗粒在平面单通过以上分析可知，M散射计算的核心是求解和，我们编制程序也是围绕它进行编写。在和的表达式中G(),n（八）,j()和%()满意下列递推关系：(C=2h-l)(«)-皿式(X)W；(X)=-W(而+WlSdVv7w-1G(0()=；G】(X)-G2(X)£：(X)=-G(C0+Gi(X)这些函数的初始值为；Wl(X)=CoS0(W(X)=s11(XGI(M=CoS(X-ISin(X6()=SniOt-IcoS(X及散射角有关的心()和j()满意下列递推公式：Ti=11s-TTS11l2曾-1nTh=1R-ICOSU-11151-2n-1M-1TTu=I)TTi.1+TTn2Th=0侏=0TTo=TTi=0有了这些递推公式可以很便利地通过计匏机程序求解。但是对JX的大小，因为计算机不行能计算无穷个数据，所以n在计算之前就要被确定。散射理论基础及实现若散射体为匀称球体,如图1所示,照耀光为线偏振平面波,振幅为E,_a)'Jma)-")Wj"nmn（八）,h(ma)-（八）n(ma)P?'(cos8)心=Sinen=尚尸?'&OS勿以上式中：/、71/2WH(Z)=；JnTl/21W-1/2EO=个,)-/*Yn2(z),n(z)=n.(z)-un(Z),n(z)=M-IG)-aEll(Z)J1/2(Z)lY1/2(Z)分别为半整数阶的第一类,其次类贝塞尔函数。P,"n()为一阶n次第一类缔合勒让德函数；(O)为第一类勒让德函数。在数值模拟过程中选取初始卜N(z)=十，SinZ+icosz)-<cos-zsinz><(z)=+sinz-8sz1=COSp71=1微粒子对光的散射和汲取是电磁波及微粒子相互作用的重要特征,而微粒对电磁辐射的汲取及散射及粒子的线度有亲密关系,对于不同线度的粒子必需应用不同的散射理论。散射理论主要用于从亚微米至微米的尺寸段；在微米以下至纳米的光散射则近似为形式更明晰简洁的瑞利散射定律,散射光猛烈依靠于光波长入(');而对大于微米至亮米的大粒子则近似为意义明确的夫朗和费衍射规律广。散射理论给出了球型粒子在远场条件Z的散射场振幅、以及粒子内部电磁场振幅、的计算表达式,通常称为散射系数*j<mx);xjKX)-AjX)mjt,fmx)1""jn(fnx)xhfn'(x)-Aih'n'(x)nxjn(mx)，“1i”(mx)x/”(x，】-/x/!/"/.Bnjn(mx)xh,y(x)-h：，(x)mxjn(?nx)_NIjtI(x)x1(x)-方?/x)【Xjtt/X，'"tjn(mx)xh(x)-h'i'(x)mxjn(mx)_mit,(x)fX卜?'(x)-I八mh?(x)fxi，x)dnm2jn(mx)xh(x)-UIhT(X)fmxjt,(mx)，式中m表示微粒子外部介质的相对折射率=Ka为球的半径，K=2n/K称为波数，口为相对磁导率，即球的磁导率及介质磁导率的比值n(x)和h叱6)分别为第类虚宗量球函数和函数。散射系数,消光系数及偏振状态下散射相位函数：OO%。=j+1"an2+1bn2)OOkexl=-yj<2n+)Re(an+bjP(O)=S(J)I2÷Sj()I2算2+1"nI2+bn2)散射截面。（散射率人汲取截面。（汲取率）、消光截面。（消光率）、后向散射截面。K后向散射率）以及辐射压力。（辐射压力效率）.其表达式如下：其中i为、分别表示散射、汲取、消光、辐射压力。依据能量守恒定律有：Ccvr=+。疝，或<rr=+（辐射压力效率的计算公式）：,。黄7贝同Qpr=Qat-Qxa<s>Rc（%。；-1+三-U+（后向散射系数）：8Qb=-IllYf2n+1）（-）n（an-bn）I这些都是无穷级数求和，在实际计算过程中必需取有限项和给出了级数项最大值取舍的标准：nna=X+413+2对单位振幅入射波经微粒散射后,其散射场振幅的大小及散射角有关,在球坐标系下,远场散射振幅的大小为:krEa-esS2fs)-krikr=+sin。Scos/kr其中Sl和S2为散射羯射电场在垂直及平行于散射面的两个偏振重量。徽球内部场振幅计算公式颗粒内部电场强度为:EI三¥；)GIMT-dnN'n)其中M(I)OIn和N(DeIn为矢量波球谐函数,在球坐标系中定义如下:0CoS6*TjCOS为jn(rmx)、-SInett(cQs)j(rw>n(n+Dcos3,sn<Pn(cos)汲取截面rmX/x/小/rmxj"rmx)cos0n(cos(f)rmX.小/EXir,(rmX)1-snCOS切rmX具有损耗介质颗粒的汲取故面为：rabc=kdV其中£”是粒子相对介电常数的虚部,经整理可得:式中、为:Wn=2(2+)jn(z)V”=2/2÷1A(n+)'+刁W事实上由散射理论可知,上式中的积分项为电场强度的平方对角度O、全空间积分的平均值，即：于是汲取效率为：。心=学PEHx'd,式中x'=11u当Xn1时即瑞利散射状况,颗粒的内部平均场强为常数,其值为：计算存在的问题就是如何敢有效地构造计算，同时保证精确性和避开数值的不稳定性和病态。计算以耗时著称，首先无穷项级数N的求和，例如：100M?的水滴在0.52的可见光散射状况下，大约第1260项求和。其次，典型的计算都希望能对一系列半径(如对尺寸分布求积分)、一系列波长(如对太阳光谱求积分)及系列折射率求和(如通过散射参量反2NQmiw(211+DRe(n+b11)tffl1Qc4-(2n+l)(np+fcnpXan-I44n(n+2)c,、g-Re(nJ+1+bnbi)x(mn-lI11+1+年WRe,n(11+DJN2n+1S()-1.anrn()+6nTn()l,n-n(n+1)N211+1S2S)=-an7n()+fl11n(),n-n(n+1)Anmx)=(,mx)/n(mx),当折射率虚部很大时，用向后循环法求很不稳定.而向前递推总是稳定的(但向后递推平安时，总是优先选择，因为其计算速度很快)。得出允许向后递推的阅历标准：m11nX/(WR*)用正确的向前地推及相对应的向后地推做比较，当发觉对QeXt,QMa和g的相对误差超过10”时，认为计算失败。对于对确定的O,我们采纳向后递推找寻第一个循环失败的m探讨表明：对于确定的小取，mim工的值随着X的增加很快趋向于一个确定值。xmia>min(xmn)三(m11).(miu)三-8+26.22m-O.4474m对Qext>QSCa+0.00204m-0.000175n,24CO假如在随意角度下Sl、S2的实部和虚部的相对误差超过10时，认为对Sl和S2的向后递推失败。（而此时，Q,cQ”并不受影响，因为当S1,S2的相对误差达到1（T'时，QuaQexl的相对误差总维持在1。"°以下。）2（mR）-13.78m,-10.8mRe+3.9.对和Sr3(mR)-1635m+8.42mRe-15.04,对散射强度吗门+岛门和偏正度(S2f2-Sl2)(S2p+s1F)连分式算法总结：散射计算的核心是计算和_八（八）ma)-也J幻九(ma)ann（八）n(Wa)-mn（八）n(na),m'>n（八）n(r)ia)-n（八）w(ma)wn（八）以(n向-n（八）n(na)其中n（八）=jn（八）,n（八）=Jn（八）+a（八）11和分别是第一和二类贝塞耳函数，0称为当量直径，。=2兀1./是球形颗粒的真实半径，1是入射光的波长，m为折射率Wfl(Z)=(112)ziJn+l/2(z)M=(W2叫JM(Z)+(T)以E(Z)式中0为函数任一自变量。贝塞耳函数递推关系式：n()=n.l（八）-;Wn（八）=n.（八）/D,、(IIloj/#一/%IX/夕)小“(%)Dn(n)/m+n/an（八）-n.（八）mD”(汹)+/aaj-九1（八）mDn(”】a)+n/an（八）-n-（八）散射计算中Jn、的计算是关键和难点。对匕我们采纳的是的连分式的算法：证明有如下关系:J”-i，ng_/41S/T等m/Jn(ma)a2,fak'''a2其中，ak(-l)k12(n+k-O.5人我们留意到当k8时，S'''ai'S-772所以可以利用上式累积相乘直到满意精度耍求。(可依据精度要求例如IO:来确定所要达到的k值)对于J、的生成本文也采纳连分式的算法。详细方案如下：令-1（八）Jn（八）,依据贝塞耳差积公式：Jn（八）n,l（八）-Jn.1（八）n（八）=a'2由以上二式整理得：门/Gf幻IYn.1(«)-4一Y"J上式中的计算是采纳类似于的连分式的形式,计算中可调用同一函数计算。若已知初值：Jo=si11«/a；J（八）=sinacr-CoS夕/oxc；Yb=-cosa;Y（八）=8s2-Sin/axx；这样就可计算出各级Jn和。关于连分式的文章：WlI(Z)=Gz2)位Jfwz)"Z)=(ITZ/2叫JM(Z)+(-1)做皿丸4(z)=W+W1.心(W)"Wn(Z)ZJsV2(Z)其中11+%=",Z=TnX以An(Z)为基础，采纳贝塞尔函数比值的连分式表示法：J'(Z)J"T(2),用此法可产生全部的A“(2),尽管耗时，但能削减存储需求。同时可通过计算高阶JJz)-(z)值，运用卜面的递推公式，从后往前算出其他值。j*z)=_型、jg(z)Z几(Z)不像一般的函数，贝塞尔函数的比值一旦超过可限制的边界，就不再增长,初始的高阶An(Z)值确定了全部低阶值的精确性，因此，采纳新方法计算精确的初始比值是必要的。+的+3)27+.处于分母位置的4号表示分母上加上个特别的连分式。类似于上式/中的表示形式。定义种新的符号：11(x)=%得，)=%+晨+给出了n阶部分收敛值为:例如：实变量X=1.0,虚数"=9.5:计算过程：a=(-l)n*,2(v+n-I)XTn=1,2,3,.a1=192=-212>l="2+=-20.94736842Jv.1_(19)(-20.94736842)22.95226131)!-24.95643131)06.95993017)Jv=(=21)(22.95238095)(-24.95643154)(26.95993017=18.95228198.米散射学习目前所遇到的困难：究竟怎样的计算结果才算正确，如何能找到一个米散射计算结果精确乂有效的数据库，来验证白己算法及程序的正确性,倒退式算法的总结:由于Mie级数的收效速度随特征值X的增大而减慢，因此不同的X值即使在相同的计算精度要求下所普级数项数M也不一样.1979年关同学者WlwSbe在大量计算的基础上,叁考前人的工作总结出一个NX的经验计算公式.利用该公式蛉出的项数可以使叁个计算误差小于10'.U,ia>mbe公式是NX=X+4”？+I0.02X<8X+4.05x3+18<X<4200X+4x3+24200z20000当>小于0.02时,可以利用Rayleigh公式计算,而当X比2«»0更大时,几何光学即可适用.的计算采纳的倒推式："-"n，a，mGn/ms+Dn（m时由于函数有很强的收敛性,对于的倒推计算的初值的选取有很强的随意性。因为WInT8时（m）-0,所以可以取O作为初值。倒推起点选取大些，可以保证函数的收敛完全,但是同时却增加了计尊时间。所以必需选取一个最佳的选择标准。通过试算,作者认为最佳的上限为NStOP=I514+10这里ml是巨折射率的实部.同样,对于贝塞耳函数Jn的计算也可以用倒推的方法计算产生：*,91.Jn.2（八）=J.1（八）-Jn（八）上式是一个一般的Jn的递推式,知道了Jn和Jn-1,可以顺当地计算出全部的Jn序列值。为了避开汁算Jn的繁琐而又能发挥递推式的快速的优点,采纳卜面的方法:假设N-8时,取某一个递推初始值为:JN()=0,J+()=e,其中£是一个很小的数,如可取IOJ将初值代入上式,就可以算出全部的J*。视察同一自变量的J*和J序列,发觉它们对应项之间有固定的倍数关系。如定义这个倍数为B,那么J”®=BKJ(矽由于J()的计算是特别便利的(工=QlQ1.),所以B=JJJN计算出J“*(。)可以算出Jn()和的计算样n的倒推起始点的公式为：ATstop=l5a+10关于贝塞尔函数的倒退过程在另文献中的描述：Xl函数的计算厉来被视为数值计算的Jt题,用其两项递推公式从低阶往往得不出所需正确的席阶值.经Jfc表明，当阶数”大于X时,从零阶与一阶函数向上通推出褂八完全不可察.此时我们说递报时产生了所谓的循环谀捷，因比对虚宗量的球Bw铺函数只能用逆推法或级数展开法来计算.计算iS的随起始高阶函数的阶数的增大而减少.文献7蛤出了计算超蛤阶数的的脸公式f2.5x+131.4x+251.Ix+401.03x+65x<1010<x<4545x<250250x此时起始高阶函数近似值选为A.»O-IO-12用两项递推公式"=啊=-A.,得出之后,再以下列公式簿出名阱的BMI函数.：sin%;SinX/0/o>.(«)=.八CMn"*7三XBinx=U-其中/1NMl.M-2.f-3.1.O利用初始值J,/sina