《数值计算方法》试题集及答案(1-6)-2...docx

计算方法期中复习试题一、堞空题：I、已知f=1.O./=1.2./(3)=1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得。小.用三点式求得/。答案：2.367,0.252、/()=-,/(2)=2,/(3)=1,则过这三点的二次括值多项式中/的系数为拉格朗日插值多项式为.1.(x)=a-2)(X-3)-2(x-I)(.v-3)-(.v-I)(-2)答案：-1,223、近似值父=。231关于再值.'=0.229有(2)位有效教字：4,设“X)可微，求方程X=八处的牛顿迭代格式是()：X=./-/)人网lnIrz、答案”/(J)5、对."r)=/+x+1差商/10.1.2,31=(),/0,1,2.3,4=(0);6、计算方法主要探讨(奴斯)误差和(合入)误差：7、用二分法求非线性方程/(x)=0在区间色内的根时，二分n次后的误差F艮为b-a(k)：8、已知川)=2,2)=3,.A4)=5.9,则二次NeWlOn插值多项式中小系数为(0.15):n,两点式高斯型求枳公式J>k.j3'kW62翳"八符H),代数精度为(5);y=IO+J12、为了使计算x-1"-1)(XT)的乘除法次数尽爰地少，应将该表y=IO+(3+(4-6)r)r,/=达式改写为工-1_,为了削减舍入误差，应将表达式22O-1999改写为2(X)1+I99913、用二分法求方置=X+*=°在区间0.1)内的根.进行一步后根的所在区间为05I.进行两步后根的所在区间为0.5,0.7514、计算积分1.s"d二取4便有效数字。用悌形公式计算求得的近似值为0.4268.用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309.禅彩公式的代数新度为，辛卜生公式的代数相度为3.15、谈/(0)=0./(1)=16./(2)=46lj1I1(x)=_1（八）=一X(X-2)_,f(x)的二次牛顿插值多项式为_O)=l6,v+7x(x-l)广/()(k=SMXA)16、求积公式“*-o的代教精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2+1)次代数精度。17、 已知/(1)=1/(3)=5/(5)=3用半普生求积公式求"，"(12).18、 i5t(l)=l,y(2)=2,/(3)=0,用三点式求/'*(2.5).19、假如用二分法求方程x'+"4=°在区间2内的根精确到三位小数，需对分(IO)次。xj0XISa)-1.(XT)'+*T)'+仇XT)+c.r320、已知12是三次样条函数，则«=(3),'=(3),c=(I).21、UX)4("),JK*)是以整数点XqEu，&为节点的1.agrange插值基函数，则4U)=xxi)=(l),(，)，当”之2时£(x：+.r；+3此(X)=*-"(X+X+3)o22、区间上的三次样条插值函数S(X)在鼠”上具有直到2阶的连续导数。23、变更函数/O)=HR-&(X»1)的形式，使计算结果较精确W=7=Trx+l+.v。24、若用二分法求方程/(6=°在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则须要对分IO次。S()三f2f*-v25、设U+r+x+Gx2是3次样条函数，则a=3.b=-3c=1c.26、若用夏化梯形公式计算1.'”,要求误差不超过I。”,利用余项公式估计，至少用也个求积节点。27、若/(x)=3x"2x+1,则差商/12,4,8,16,32=3ff(x)dx*¾(-D+8(0)+/»(1)28、数值积分公式JT9的代数精度为2。选择题I,三点的高斯求积公式的代数达度为(B)。A.2B.5C.3D.42、舍人误差是（八）产生的误差。A.只取有限位数B.模型精确值与用数值方法求得的抬确值C.视察与测量D.数学模型精确值与实际值3、3.141580是n的有(B)住有效数字的近似伍。A.6B.5C.4D.74、用Itx近似表示C1所产生的误差是(C)误差。A.模型B.观测C.板断D.舍人X5、用1+3近似表示中行三所产生的误差是(D)误差。A.舍入B.观测C.模型D.我斯6、-324.7500是舍人得到的近似色，它有(C)位有效数字。A.5B.6C.7D.87、设/(-1)=1/(0)=3/(2)=4,财挺物括值多取式中.1的系数为(AA.-0.5B.0.5C.2D.-28、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A.3B.4C.5D.29、(D)W3位有效数字是0.236×102.（八）0.0023549×103(B)2354.82×IO-2(C)235.418(D)235.54×IO-110、用简洁迭代法求方标f(x)=O的实根，把方程f(x)=O表示成x=(x),则f(x)=O的根是(B)。（八）y=(x)与X轴交点的横坐标(B)y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与X粒的交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点II、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿牯值多项式的余项是(C)O（八）f(x,xO,xl2.xn)(xxl)(-x2).(-xnIXx-xn),u,h()+)!(C)Rx,xO,xl,x2,.,xn)(x-x)(x-xl)(x-x2).(-xnl11-xn),(D)R.g-f<V-P)-JS2%U)wIJ，),则它的解数列xnn=0,l,2,12、用牛顿切线,法解方杼f(x)=O,选初始值x()满意(肯定收敛到方程f(x)=O的根.（八）(.vo),(-v)>O(B)(xo)'(x)>0(C)/(.r(1)/"(x)<0(D)/(x0),f(x)<013、为求方程x3-2I=O在区间1.31.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭咒公式，迭代公式不收敛的是（八）.一=工,迭代公式;K=TJ=(A) XTQX=1+，.迭代公式iui=+-y(B) X先(C)X'=l+x'迭代公式：XhI=(I+X；)"'X：+i+1X，-1=x迭代公式:X“I=I+(D)f(.r)J.v-)Cr(x1.)14、在牛顿-柯特斯求积公式:"合中，当系数C,是负值时公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不运用。X00.511.522.5f(x)2-1.75-10.2524.25“26.23、有下列数表所确定的插值多项式的次数是(),(I)二次；(2)三次：(3)四次；(4)五次15、取6-1.732计算*=(6-)、下列方法中哪种最好？()(I)8,“7,<3)”之10,<4)1616(AW-1/：(B)(4-23).©(4+23.(D)(J3+)4c50H2S(X)=J26、已知2(x-l)+a(x-2)+b"*4是三次样条函数，则&的值为（八）6,6；(B)6,8；(C)8,6；(D)8,8。16、由下列数表进行NeWtOn插值，所确定的插值多项式的报高次数是(II-I-I_-I-I-A.11.522.533.5flx,1-10.5265.08.011.5（八）5;(B)4;(C)3：(D)2。17.形如f""Mx"AJs+W)的高斯(Gauss)里求积公式的代数精度为()（八）9;(B)7;(C)5：(D)3。K计算出的NCWtOn迭代格式为()xk3X1a3xta2xt3Xaai三+X.,三+7X1.1三+Xt.,三+（八）'：(B)1.K：(C)lXk：(D)J。6=X10*'19、用二分法求方程r'+42-l=。在区间U,2J内的实根，要求误差限为2则对分次数至少为()（八）IOs(B)12:(C)Si(D)9。20、设1.(X)是以怎=W=OJ1.为节点的1.agnmge插值基函数，则'()（八）x：(B)A：(C)i；(D)Io33、5个节点的牛顿-柯特斯求枳公式，至少具有()次代数精度（八）5；(BH:(C)6：(D)3。°,、fr'0x2S(x)21、已知2(x-l)+(x-2)+2x<4是三次样条函数，则，方的值为()（八）6,6；(B)6,8；(08,6：(D)8,8。35、已知方程x'-2x-5=O在x=2旁边有根,下列迭代格式中在4=2不收敛的是)22、由下列数据XO234/3II243-5确定的唯一插值多项式的次数为()（八）4：(B)2：(C)l:(D)3。23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()（八）8；(B)9；(C)IO;(D)IK三、是非题(认为正确的在后面的括抽中打，否则打x)1、已知观察伍""yJO=o12，用最小二来法求n次拟合多项式时,PKx)的次数可以随意取。2、JflI-近似表示COsx产生舍入误差.()(丁一*0)(*-*2)3、(X1.fXx1.必)表示在节点H的二次(拉格朗日)怙值度函数。()4.牛领插值多项式的优点是在计算时，商一级的插值多工页式可利用前一次插值的结果。()'311'-2535、矩阵A=I125/具有严格对角占优。()四、计算题:/fxdxAf(-l)+f()+B<(-)+/(一)I、求A、3使求积公式JT.2，2I的代数精度尽量高,并求其代数希度：利用此公式求:衿保留四位小姒答案：/()=i/是精确成立,即2A+2B=21 22A+-B=-2 3求权公式为j'tf(x)dx=(-1)+d)+()+)2当"x)=x时，公式明显新硝成立：当/(X)=K'时，左=3,=3所以代i731数精度为3.JiJ-r+39-1+31+39-1/2+397=0.692861402,已知/(XJ2654分别用拉格朗日插依法和牛顿插依法求/*)的三次插依多项式PKX),并东人2)的近似俵(保留四位小数)。,/、0(-3)(a-4)(a-5),(-1X.v-4X.v-5)1.,(.r)=2+6答案：(1-3X1-4X-5)(3-1X3-4X3-5)*$(X-I)(X-3Xx-5)+4(x-1Xx-3X-4)(4-1X4-3X4-5)(5-1X5-3)(5-4)爰商表为为力一阶均差-FfrBjl三阶均爰1236245-I-154-I04PI(X)-/V1(X)=2+2(X-1)-(x-l)(,r-3)+(.v-l)(x-3)(x-4)/=八=5.55、已知JT1-2-1012/(Vl)42135求x）的二次拟合曲线P式幻，并求/（°）的近似值。答案：解：iX,yiW×iyi<yl0-244-816-816I-121-Ii-22201000003I31I1334254816IO2001510034341正规方棍组为5q>+l()z=15Kkz1=3IOu0+340,=41103Il07'10-14，,、3Ilp(X)=+X*IO7八OhPKO)=K6、已知SinX区间(J.%0,8的函数表×i0.40.50.60.70.8Vi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求Sino63891的近似值，如何选寻节点才能使误差最小？并求该近似他。答案：解：应选三个节点，使误差e2(x)yiw1(x)尽量小，即应使I式外1尽量小，最靠近插值点的三个节点满意上述要求.即取节点(0.5.0.6.0.7)超好，实际计算片果sin0.638910.596274,旦S1110.63891-0.596274|-1(0.63891-0.5)(0.63891-9-0.6X0.63891-0.7)3!0.55032047、构造求解方程b+°x-2=0的根的迭代格式Xe=WxJ"=°J2，探讨其收效性，弁将根求出来,IJr*1°一二答案：解：令/(x)=ex+10-2./(O)=-2<0./(l)=10+e>0且八幻=小+10>°对BrG(-8,+8),故f(x)=°在(),)内有唯一实根.将方程")=°变形为则当XG(Oj)叶()=-(2-e*)“外卜故迭代格式收效。取%=°5,计算结果列表如下:n0I23Xe0.50.0351278720.0964247850.089877325H4567品0.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且满意I必一K00(XX)95<106所以X*0.09052500810、已知下列试验数据Xi1.361.952.1616.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：O<r<lBt,/V)=etf则f"(r)We,且ISdA有位整虬要求近似值有5位有效数字，只须误差WeSlSgXM4即可，解得=67.30877-所以"=68.因此至少需将也68等份。12、取节点=°54=1.求函数"X)=°'在区间0,1上的二次插位多项式B(X),并估计误差。ft(x)=e0×"""+gUsX解：-(0-0.5X0-l)(O.5-O)(O.5-1)T(x-0)(x-0.5)+eX(1-0)(1-0.5)=2(x-0.5)(x-l)-4e-05(x-l)+2e-,x(x-O.5)f(x)=e-f,(x)=-e-,M3=mixI广(X)I=I又»40.«II/?2(X)I=Ie-(X)11x(X-0.5XX-1)I故板断误差3.。14、给定方程X)=(XT)/T=OI)分析该方程存在几个根：2)用途咒法求出这些根，精确到5位有放数字：3)说明所用的迭代格式是收敛的。解：I)将方程(x-l)e*-l=()(I)改写为XT=e-(2)作函数A*)=*，2(x)=c-'的图彩(略)知(2)有唯一根w(l,2).2)将方募(2)改写为x=+e-x构造选代格式配=5(=0,l,2,)计算结果列表如下：k123456789Xk1.223131.294311.274(«1.279691.278121.278561.278441.278471.278463)(r)=l+e',(x)=-e'当XCu,2时d,r)eW(2)M)ul,2J,且"(x)eT<1所以迭代格式%尸05*）（k=°J2）对随意ql,2均收数。15、用牛顿（切线）法求百的近似值。取X（I=1.7,计算三次，保留五位小教。解：6是/（幻=-3=°的正根，f'M=2xt牛顿迭代公式为Mi=会+(=0,12)取.m=1.7,列表如下:n123Xn1.732351.732051.7320516、已知GD=2,/=3,/=4求拉格朗日特值多项式4及/（I,5）的近似值,取五位小教。解：颉=2XHe小号哥符然234=-(x-l)(x-2)-(x+l)(x-2)-(x+l)(x-l)/(1.5)1.2(I.5)=0.0416717、"=3.用复合梯形公式求1.C小的近似依（取四位小数）.并求误差估计。e3)+elI1.7342解'evd叫=界e0+2(e+Hca-T,/(x)=c,*(x)=cjft04XWl时，I1T(X)ReT=0.0250.0512×32108至少有两&有效数字。20、（8分）用最小二乘法求形如F="+"的阅历公式拟合以卜.数据:X，19253038yi19.032.349.073.3解：=5p”l.x'r_111I"I9225i31238,解方程组,AC=A,yy=19.032.349.073.3其中解得:r43391A1A=33913529603173.6179980.70.92555771C=0.0501025J所以«=().9255577,/?=0.05()I()2521、（15分）用=8的复化梯形公式（或复化SimPSOn公式）计算小时，试用余项估计其误差。用=8的豆化梯形公式（或豆化SimPSOn公式计算出该积分的近似值。解:R,fl=-h2f,(-×-1.×e"=O.OOI3O21，八1211282768(8)=()+2(xt)+(2A-I=和+2x(0.8824969+0.7788008+0.60653066+0.5352614+0.47236655+0.41686207)+0.367Jf7*M7=0.632943422、（15分）方程FTT=O在X=I5旁边有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）X=VTTT对应迭代格式A"7=NXn+1:（2/=61对应迭代格式Ml；（3）X=F一1对应迭代格式/“=*：T。推断迭代格式在x>=5的收敛性，选一种收敛格式计算“=1.5旁边的根，精幽到小数点后第三位。解："*）=F+1帆，（=OI8J故收敛:(2)(3),()=12xV,+7f,5)三o,i7<ij故收敛;d(x)=3,M'U5)=3x15>1,故发散.选杼(1)：%=15,r,=13572,X2=).3309,G=I.3259,=1.3249,As=1.32476.v6=1.3247225、数值积分公式形如CAXM*S(x)=4”0)+第+试确定参数ABC。使公式代数精度尽fi(2)设/9。叫推导余项公式外M=IMXM一")，并估计误差。r,.23A=Ii=,/?/)=解：将/(")=1.xx，r分布代入公式得：20203020"j(x,)=()构造Hennite插值多项式场满意HKXJ="xJ/=OJ其中X(I=O,x,=1则保C*"=S(x),R(x)=(x/（八）-S(x)dx='/(x)-Wl(x)=(x-l)24!4;(X-I)1.a=空XkFa-)4!×60144027、(10分)已知数值积分公式为：Cf(x)dx-f(O)+/()+yrl(O)-()J,12,试确定积分公式中的参数/，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f()=明显精确成立：仙h.«,、fyZv=-=-0+/(x)=x时，品22:.2fxdlr=0+'J+2/r0-2=2h=>=-/(X)=时，J"32212.,.aX'Ja=-0+,+/r(0-32/(x)=a时，J<14212:,4f,'xlx=-10+41+Zr(0-4j=f(x)=x时，52126：所以，其代数精确度为3。28、(8分)已知求Gm>°)的迭代公式为:*h=t<*+)>=0.l,2-2XA证明：对一切太=12，心之、反，且序列x<是单调递减的,从而迭代过程收敛。Xlt,i=(x<+)×2×l.vx×=«A=O.1.2证明：2X,2V怎故对一切A=1.2,&之C。%i=；。+g)4J(+)=(»又X*2汇2所以X-S，即序列出；是维调递减有卜界，从而迭代过程收敛。/(l)+(2)29、(9分)数值求积公式J?是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？C、P(X)=X/(1)+X/(2)解：是。因为八此在基点1、2处的插值多项式为1-22-1g'M/+,其代数精度为1.30、(6分)写出求方程4x=cos(x)+l在区间0,的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性.g八、J)=；卜+CoR)(6分)4,n=0,1,2,I,(1=sin(.vl-<1rnlI*''4''4.对随意的初值w°1.迭代公式都收敛。31、(12分)以100j21,144为插值节点,用插值法计算师的近似值,并利用余项估计误差。用NCWton插值方法：差分表：100100.047619012111-0.00009111360.043478314412JU510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555k)=1TOR=y(H5-IOXl5-l2X15-144)1 3-1002×I56×290.001636832、(10分)用复化Simpson公式计算积分O.5×IOs.的近似值，要求误差限为/=皿UJOA-Sl=/（0）+嗯）+刖卜0.94614588S2=p(0)+4+2.唱卜4噌卜/(1)1=0.94608693,flsj5,=°393x10'a三52=0.94608693或利用余项:r,=-X，IX，7×2!9x4!网=郊(小而My:“N233、（10分）用GaUSS列主元消去法解方程组:.tl+4.r2+2x；=243X+2+5aj=342 .r+6x2+j=2734.000012.66673.00001.00005.00000.00003.66670.33330.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.33330.000001.93759.6875=(2.(XXX).3.(XXX).5.(XXX)36、（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:'a（VvA，/（；!+AM）取f（x）=l,x,令公式精确成立，得：,.Il4iI4I4IA+A=彳-A>+A=A=A=72,233,6f（x）=x?时,公式左右=1/4;f（x）=x'时,公式左=1/5,公式右=5/24公式的代数精度-240、（10分）已知下列函数表:X0123(X)I3927写出相应的三次1.agrange插值多期式：（2）作均差表，写出相应的三次NeWton插值多项式，并计算/比5）的近似值。解：,(x-l)(x-211x-3)(X-0)(x-2)(x-3)(x-0Kx-1Xx-3)(x-0)(x-l)(x-2)1.i(x)b+(O-l)(O-2)(O-3)(l-0)(i-2)(l-3)(2-O)(2-l)(2-3)(3-0X3-l)(3-2)2618O11329(2)均差表：3274(r)三l+2x+2x(x-l)+-x(x-l)(x-2)/(1.5),(1.5)=542、（10分）取5个等距节点，分别用复化梯形公式和发化辛普生.公式计算枳分1+2-的近似值（保留4位小数）,/（x）三T解：5个点对应的函数值+2FXiO0.511.5210.6666670.3333330.1818180.111111一一一/分)发化梯形公式n=4.h=2/4=0.5)：T1«(I+2x(0.666667+0.333333+0.I818I8)+0.111111=0.868687(2)复化梯形公式(n=2,h=22=l):S、=-(1+4x(0.666667+0.181818)+2x0.333333+0.111111-6=0.861953