模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型（解析版）.docx

勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型模型介绍1.平面展开-最短座径问慝（1）平面展开-最短路径同时.先根掘遨意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径.一股情况是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决何麴.（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问SS中抽象出数学模型.例.如图所示，有，正方体纸盒，在点。处有，只小虫，它要瞠到点A吃食物.应该沿着怎样的路浅才能解：如图,把侧面或上面展开与正面组成矩形，连接ACi,则Aa就是行程最短的路线.我国著名的数学家赵炎,早在公元3世纪.就把一个矩形分成四个全等的直角三角形.用四个全等的直角三箱形拼成了一个大的正方形(如图1).这个正方形称为赵爽弦图,验证了一个非常重要的结论：在出角三瓶形中两直角边“、与斜边C满足关系式/+/=/.称为勾股定埋.把这四个全等的直.角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2，也能蛤证这个站论图I图2证明：中图2得,大正方形面枳=4Xjab+c2=(a+b)2整理得2+r+2=2wH-r,.,.c2=<r+A2.即K角三角形两百角边的平方和等于斜边的平方.考点一：行程最短问题【例1.如图，有一个圆柱，它的尚等于16cm,底面半径等于4cm,在圆柱下底面的A点有只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，衢要腿行的爆短路程是<11JU3)解:将圆柱体展开连接A、If.根据两点之间城段最短.根据烟造可汨：AC是留周的一半，4C=×2×411=l2.2：.AR=yj122+162-n,A变式训练【变式17.如图,回椎的底面硼的半径为IoC孙母线长为)”，C为母线用的中点,一只蚂蚁欲从点8处沿阳粮的(M面爬到点C处.则它里行的最短南肉是2(J5-22cm.秘：由题意知，底面圆的宜径A8=20,故底面周长等于2011设BlI锥的侧面展开后的扇形切心角为，“：根则底面周长等于展开后后厂得2°n=空照,解得n=90'二展开图中岫形上心角=90“，作C1£,CE-PE102.BE=40l(2.；二柳勾IR定理求得它IS行的最短距离是Jec2+eb2=2(N5-2<i>i：.蚂蚁爬行的豪也型自为2(5-22cm【变式1-2,如图，一只蚂蚊从长为7cm、货为Se,我是9”的长方体纸箱的八点沿纸箱爬到8点，那么它所走的最短路线的长是当展开IH而和面时,小W路找长足：(7+5)2+92V22515(Cn)：',li-,J.fi.M,；,:：72+(9+5)224575<»»)；WEWGM.：52+(9+7)2281<<11>:v5<75<281.只蚂蚊从长为7cm、宽为5m.高是9e“的反方体纸箱的A点沿纸箝和到R点,那么它所走的发短路段的长足15c”.故答案为：IS.【变式1-3.如图是个三级台阶，它的每一级长、宽、尚分别是2米、03米、0.2米，A,8是这个台阶上两个相对的那点，A点有一只蚂蚊，出到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到8点松短路程解：三级台阶平面展开图为长方形,长为2,宽为(O.2+O.3)×3.则蚂蚁沿台阶而您行到B点见知用神是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面虐行到B点外知路程为X.由勾股定理得:2-22+<0.2*0.3)×3J2=25j.解得x=2.5.考点二：弦IB模型的应用【例2】.如图.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EKiH拼成的大正方形ABCD.若AE=S,八8=13,则中间小正方形EFG的面枳是49.：.RF=AE=5.6RtA-,<4-AB2+BF212二小正方形的边长EF=12-5=7,二小正方形EFGH的曲枳为7X7=49.故答案为：49.”变式训练【变式2-1.如图1是我国古代著名的“赵代弦图”的示.隹图它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的口角边BC=2.5,将四个直角三角形中较长的直.角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车，着CC的屏长是15,则这个风车的外闰周长是38解：依时意，设“数学风车”中的四个直角一角形的斜边长为&AC=y,则2=4+2.52.'8CTJ的欣氏是15.+2+2.5=15MJx=6.5.>=3.这个风年的外圉周长是：4（x+y>=4X9.5=38.故答案是：38.【变式2-2.如图.在弦图中，正方形A8C7）的对角税AC与正方形"7/的时角线交于点K.对角线AC交正方形£77于G.J两点，记AGK”面枳为Si,（?面枳为S，若A£=12,CD=410.则Sl+S2的值为16.解：由题意可得,AF=ChZAFG=ZCIJ=iH)1.FH/EhVZAGh-ZH(iK.ZIJC-NKJE.,：FH*Ehlnhgk=nkje,:.ZAGF=/JG在44FG和ZiC中，NAGF=NlJCNAFG=NClJ=90°.AF=CI4GSC<AA.S).IFG=I1.四边形£/7为正方形.El-IJ=FH-FG，即HG=EJ,GMKUEr'p.ZHGK=ZejkZgkh=Zjke.HG=EJ.GHK,JFK<4A5),：.HK=EK.即点K为正方形EFHI的中心.如图,过点K作KM1.FH干点M.W=12,A/)=WlO.在RI八。£中，Ih勾隈定Ji('de=Vad2-AE24.,.AF=DE=4,EF=AEF=2-4=8.则FH=8.KM=4,设G=“，FG=b.则“+>=F"=8,-S1=<HMK=ya×4=2aS2=S2fg=fGAF=b×4=2.,S,+52=2z1+2Z>=2(a+b)=16.故答案为：16.实战演练1 .如图所示，一只小蚂蚁从校长为1的正方体的顶点A出发，经过行个面的中心点后，又回到A点，妈蚊B.6<S7C.7<58D.8<S9解：正方体展开图形为:叫叫蚊爬1.H短I'：S5+12+i2=5÷2.即6<S¾7.故选：B.2 .如图是我国汉代数学家赵爽在注解E周醒我经时给出的“赵爽弦图”,图中的四个巨角-：角形是全等的,如果大正方形AHCD的面积是小正方形aG”而枳的13倍,那么tanA%的值为（）解：设小正方形EFGHlf5l½J,则欠正方形ABCD的面枳是I32.二小正方形EFGH边长是/则大正方形ABCD的边K½V13.；图中的四个直用三角形是全等的.设八£=。=心在RAAED中，ADi=AE1DE2,11JI3u2=x2+（.t+«>2解得:xi=2.。=-3«（含去）.AE=2<i,DE=M,.UuiNAOE=鳗哈DE3故选：C.3 .如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直用三角形拼接而成，记图中正方形A8C。、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为ShS2、S?.若$+8+8=60,则S2的值是<）A.12B.15C.20D.30解：设每个小直胸：.角形的面积为，”,则Sl=4w+3,S3=0-4m.因为Sl+52+53=60.所以4，”+.$2+$2+&-4，”=60.即352=60.籍得S2=2O.故选：C.4 .四个全等的五角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）.如果小正方形面枳为4大正方形面积为74,H角三角形中较小的锐角为风那么IanO科：Ill已妞条件可知.小正方形的边长为3大正方形的边长为旧.设五角三角形中较小边长为X,则（+2）¼2=<74>2.解机V=5.则较长边的边长为.t+2=5+2=7,故tan=-ji-=-.故选：B.三a华b妙C哈D-4解；如图，连接DG,；赵爽弦图由四个全等的H角三角形所组成,形成一个大正方形，中间是IAE=BF=CG=DH,AF=BG=CH=DE,CH1.DE.'：DI=2.Cl=hCD-Dt+CI=2+1=3.；大正方形A8C7）的面枳为S2.,.S=c2-32=9.又；小正方形EFGH的面积为Si.S2=5S.ASi=,IEF=FG=GH=HE=；将£6延长交。于点/,；./HGE=45：在RlACffGM由勾股定理行：/（；=4£1124«62=8设AE=BF=CG=DH=x.则AF=B6=CH=DE=*,在Rl0!中,由勾股定理得:CU=DHCH-.I9=2+i'3个小正方形,/Io5.赵爽弦图由四个全等的直角三角形所祖成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示.某次课后服务拓展学习上，小词绘制了一幅赵爽弦图，她将EG廷长交CC于点/.记小正方形EFG/的面枳为S，文正方形八8C。的面枳为S2，若。/=2,Cl=,S2=5S.则G/的值是（）噜=噜（不合燃意，舍去,0：.DHEHCH垂Ii平分ED,.v.,r.3函.IXi-ECt-3ZDGW=ZMGE=45.工J)GE=45'+45°=90°，/。5=90°.在RlZSDG/中，由勾股定理汨:Gf=而荷=河”=粤.故选：A.6 .如图，一只妈蚊沿若图示的将战从圆柱高½的端点A到达4,若Iffl柱底面半径为与，尚为5,则蚂蚊曜行的最短矩离为13.样因为阚柱底阙列的周长为'X亲=高为5.所以将仰面展开为-长为12,宽为5的矩形，urr.<11jt952+122l'故蚂蚁您行的最短距偌为13.7 .如图,底面半产为1，母线长为4的脚惟,一只小蚪蚁若从A点出发.绕侧面一周又到A点,它爬行的域短路战长是42.P解：由题.益知，底面BS的直径为2,故底面周长等于2n.设圆推的侧面展开后的扇形即心角为,根樨底限：工杉筒弧K得,2*竺3180解褥”=<)O',所以展开图中园心角为90'.根加勾艾定利求得到匚A的炭川的路KK足：16+16-322.8 .将四个全等的宜角三角形分别拼成正方形(如图I,2),边长分别为6和2.若以一个口角三角形的两耨:设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为Gb(a>b).根据图I得：+>=6,根据图2得：。-名=2,联立解得:(a=4b=2S-16.WlSi-52=12.故答案为：12.9 .如图1.四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是一个小正方形.这个图形是我国汉代赵爽在注解周1»算经时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.连接四条线段得到如图2的新的图案.加果图1中的直角三角形的长H角边为5.短直角边为3,图2中阴影部分的面枳为5.那么S的值为WAC34BD2.AHCD.ZiABQ是门用二角形.则大正方形面枳=AC2=34.A/JC面枳=W（5X3-2X3）4.5.2阴影部分的面枳S=347X4.5=S故答案为：16.10 .如图所示一校长为3“”的正方体.把所有的面均分成3X3个小正方形.其边长都为ICm.假设一只蚂蚁好秒爬行2cm,则它从卜底面点A沿表面爬行至仰面的8点，最少要用25秒钟.Xl.lg/，/A解：囚为咫行路径不唁，故分情况分别计算,进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.<1>淡开（li!illll2Fr“Ali（2+3）2+（2）229cm：<2）展开底向立面由勾收定理得AB=32+（2+2）2=5"”:所以爆短路径长为Xm,用时最少；S÷2=2.5杪.11 .如图，所有的四边形林是正方形.所有的三角形都是直角：角形，其中最大的正方形E的边长为7c”,则图中五个正方形A、8、C、D、E的面积和为98cnr.解：设正方形A、8、C、。的边长分别是小氏c、乩则正方形A的面枳=J.正方形8的面积=A正方形C的面积=J,正方形/>的面枳=/.又.02+b2=/.c2+r2=j,正方形4、B、C.D,£的面枳和=<a2+2>+（J+心）+72=r+72=72+72=98（t-m2）.即正方形A,B.C,D.E的面板的和为98CTn2.故答案为：98.12.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制/一曲弦图,后人称其为赵爽弦图（如图1）.图2为小明同学根据弦图思路设计的,在正方形八比。中,以点8为I网心.A8为半径作血.再以CQ为直径作半圆交ACr点半若边氏AB=10,则ACOE的面积为20.8F是EC的乖宜平分找，；.NFBC+NBCE=90°,TN8CD=90”,：.ZJCE+ZHCE=90,：.ZFBC=NDCE,又：NBCF=ZCED=<X)'.：.ABCFsACED.BCCF=BF"CEDECD",:BC=CD=AB=IO,CF=5.ZBCF=W.=VbCcP=V102+52=际'.105_55CEDE1解得：CE=45D=25=-×Cf×DE=-×45×25=20.故答案为：20.,图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注湎两个小正方形.王老师有一个内长为“寸，内宽为9寸的木侦盒子（如图2）.现要自制一个这样的教具（由：个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保妒和携带（如图3所示,A,B.C,D,E五点均紧贴盒子边缘教具的厚度等于木盆的内高.此时盆子的空间利用率为9-解；如图，过点A作AMlEG的箍长战于点M,过点F作FR1.GHF点R,过点B作BNIGH,过点F作FNffGH.廷长G”交CKK.；四边形AG",、DEGH.BCHF均为正方形,：.AG-K；.HiFHCH.EGGH.ZAG/-=ZtfH=90=NAMG；NFKGNBNFZCKH.：./八GW+FGW=NFGR+NFGM.：.ZAGM=NFGR,：.aagmbafgr<aas>.：.AM=FR,GM=GR,lif!.MFN2HFRg8CHK<5>：.FR=FN-HK-AM.UN-HR.tAM=x.BN=y,AM=FR=S.则FR=FN=HK=AM=x,BN=HR=y、Il肉股定理得：FW2=2+.HJ2=+r.GH=”二.根据题意.得:FH1+FGi=GH2.T+?+x2+/=<>+).,.2=ys.：AW-GK+K"+"K=9.BN+FR+EG=II.2x+>s-r=9g).x+2y+z="，.得：x-y-2,即y=+2.X2-，汨：3x+2=7,即：=7-3，将代人，得：X2=<x+2>(7-3*),解得1j=2.Xi=-4y=4.2=1.GH=5,FG2=5.Fff2=20.“演小也具心向枳为：S=25+5+2U×5×25=55.教具的厚收等于木盒的内商，:糕广的空间利用率为；¾=,11X99故答案为：卷.14.我国古代数学家赵爽在注解周健算经时给出的“赵爽弦图”,它是由4个全等的出角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形,如图,若拼成的大正方形为正方形A8C”面积为9,中间的小正方形为正方形MG，.面积为2,连接AC,交8G于点P,交DE于点M,4CG尸出AAEM,SsFP-Skgp.（填写序号）=.。H+HC=4,”C=24卷,以上说法正确的是解：.RttfCGRtDE.：.CG-Ah：.ZCGP=Z.AEM.VCHF.ZGCP=ZMAE,二ZiCGPSAEAf(ASA),*SCCiPSz.AA-./»CP-ME/.SP-SCG>-SSMEFP:HE=GF.：HM=PF,'S'»f/s!HGP=Stf(lH=l.,.SiA-S-CGP=I.VD2+C-=DC2=9,：.(DIhCH)2=DH2+CH1+2DHCH=9+2DHCH.,：CH-DH=HG.：.(CH-DH)2=HG2=2,.CH2+>H-2DHCH=2.,.2DHCH=7,<DlhCH)2=<>+7=l6.ZW*CW=4,VC/D-2.故答案为，.15.一个长方体盒子.它的长足12曲?,宽是44”.高是3dm.<1>请何：长为12.54”的秩郴能放进去叫？<i>如果有一只蚂蚊要想从D处延到C处，求爬行的报短路程.解；（I）如图1,连接8。,VAD=12.48=4,HIJii=AIJr+AB2=12：+42=160.CD=bd2+bc2=160+32=13”加)VlM11>l2.5<w.:氏为2.5h的铁柞能放进去:<2)如图2所示.CD=y(12+4)2+32=7265d,n如图3所示,CC=J(3+4)2+122=7193加,如图4所示,CD=y(12+3)2+42=72411M,.265>241>193.爬行MJirm路程足Ig血.D12A3图4图1如图,美丽的弦图.前含着四个全等的直角三角形.(I如图弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知豺个出角三角形较长的直角边为较短的百角边为乩斜边长为C可以验证勾股定理；<2)如图，将八个全等的宜角三角形紧诙地拼接，记图中正方形A8CC，正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为Si、S，S?.若S+S2+S3=16.则$2=_学_.1'1;-i,ii,1=(a-b)2=a2-2ab+b2另方面S小正方股=c2-4xab=c2-2ab即J-2+>2=c2-2ah.则J*ft2=C2:<2)册：设正方形MNNr的面积为X.八个全等的直角:角形的Si枳均为AV5i+52+S3=I6.S=8v+.v.fc=4>t+.S3=4Si+52+=12>m3x=16.4v+x=孕.3.S2=4v+x=-3故答案为：-y.17.如图I是著名的赵爽弦图,由四个全等的百角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面枳有两种求法,一种是等干?.另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面枳之和印yab×4+(b-a)2从而得到等式J=abX4+(b-aV，化简便掰结论/+扇=上这里用两种求法来去示同一个收从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法二现在，访你用“双求法”解决下面两个问题<1)如图2,在RtZiAZiC中./ACB=90°,CO是AB边上的.AC=3,BC=A.求C。的长度.<2>如图3.在AABC中,AD是BC边上的高.AB=4,AC=5,BC=6,设,BD=x,求K的值.A如图I如图2解：（1）（f.Rl八SC中AB=32+42=5，山面积泊两吨立法可他-X3×4=y×5×CD解得：CD=普.<2)1RtD'I'AP2=42-?=16-x2,在RtAWC中AD2=S=(6.x)2=.+i2-.所以16-J?=-11+lZr-x2.”×=¾=