模型10 加权逆等线最值模型（解析版）.docx

加权逆等线最值模型模型介绍【模型感结】回在求形为“QB+kPAn(k#l)的式子聂位问题时，关键是要通过相似三角彬构造出与相等的税段(即421=Q0,将Q6+Mjl”型问题转化为t,QB+QC,型将军饮马问题,当k=l时，加权逆等线就变成了逆等或拼接最优模型，此种情况属于权为1的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等或段即可，然后将问题变为畲见的将军饮马问题求解即可.回需要注意的是这里的QB、H4两旃线茂的廷犬费方向必须要有爻义，方能通过相似或全等三角形得到kP的等线段.【解题方法】回利用比例线段构造相似三角形转化段段，杷双动点问题转化为单动点将军饮马问题,利用“两点之间级段最短”从而解出答案.例题精讲才点一:直角三角形中的加权逆等线模型【例1.如图，已知BC±AB,liC=B=3,E为BC边上一动点，连接AE,D点在AB延长线上，且CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少？解:作CIuCB,且使得CF-6,连接EF过点AiftAG1.CF,交FC延长线于点G.竺=竺=2.CBRDFCE<CBD,EFUCDAE+2CD=AE+EF当A、E、F:点一线时,AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF易知：四边形ABCG为正方形AG=3,CG=3FG=9在RIAG中，由勾股定理得F=310AE2CD的嵌小值为3网A变式训防.【变式17.如图，等腰直角AABC中，斜边BC=2,点1）、E分别为线段AB和BC上的动点,BE=Bad,求AE+0CD的最小值.解:作BF_1.BC并且使得BF=2,连接EFV-2BEF<×*DCADAC2EF=2CDE÷2CD=AE+EF当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值,此时AE+EF=RF反向延长BF.过点A作AH±BF于点H在RtZSAHFB,由勾股定理易得：AF-J五E+2CD的最小值为11BzF【变式1-2】.如图，在RIZSABC中，C=6,BC=8,ZCB=90,点E、F分别是AB、BC边上的动点，且人月=2b,求共E+AF的最小值.解:过点A作M1.1.AB,并且使得AD=I2,连接DE,CD过点C作CH±B于点I1.CG1.U）延长线与点G噂噂=2.ZDE=ZCF.,.DAECF.DE-2F,CE+2AF=CE+DE当C、E、D三点共线时,取到坡小值,此时CE+2AF=CE+DE=CD由等面积法可得：CHT四边形AGCH为矩形，AG-CH-DGTD+AG£在RtZkCAH中由勾股定理得：AHT>>CG=AHTiRtDCG,由勾股定理得：CD=6&砺CE+F=(CE2I);*E+AF的最小值为3廊5考点二:野球平行四边给中舔加权逆等线模型【例2.如图，在正方形ABCD中,B=bE、F分别为CB、的最小值.D'QBEC解：如图,延长BA至点。.使得AOf：作点D关于BC的对称点D连接Dl,DE易知BD=2W=DV.BlyBE2TB=而=1ABOgADAFW.DE=2AI.DE=DE.DE+2.AF=DE+。E"ID'.E.D-i-.DE+01：取到最小值.此时zy+>E-i.1)E+2AIVJ,lyJTDC上的动点,且BE=2DF,求DE+2AFDID'A史式制绻【变式27】.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=45,点E、F分别是BD,BC上的一动点，且BF=2DE，则AF+2AE的最小值为多少？蟀：连接DF,延长DC至点G.使OG=QC.连接八弧易证皿=240,.4用呼。川-/.DF=2AE.tAF+2AE=AF+DF=AF+FG.AG./.AF+2AE的最小值是AG=JAD2+DG2=4I3【变式2-2.如图.在菱形力比中，N区仍=120°,加4,从.Y分别是边心汕的动点,满足和=v,连接CN,是边。/上的动点，尸是CV上电近。的四等分点，连接/1£、BE、B当V面积最小时，技的川?的最小值为.解：如图，连接G'、AC,；四边形/1及力是菱形，/用Q=120°,：.AB=AI)=CD,MC=DC=/.ADC=a,.业-和C为等边三角形，：.AC=DC,/。=60°,./1.lf=«V；：.zuwn电YSAS).：.Cif=CN,DCN=Z/ICV.：.M忆/,W/dG三%MHC3/月浙60°,.&V为等边三角形.;也广是a上靠近点C的四等分点，.s,、,一2.4Oft'的面积最小时,的面积也最小.：SAg=普c/,.当CV和A/长度最短时，房小的面积最小，即CV1.也。/1./时的面枳最小,取应的中点为点G,连接.除Y/双'为等边三角形，CM1.阴，点时是熊的中点,IAE=BE.J.MG=AEBE,眄MqAaAE=亳肥,'：点Zf是。/上的动点，ZAlfE=90,AE的最小值即为加的长度，'：CD-,.小占我=2,-弓BE+AE)w.n=2×2=3,扎M3.1 .如图，等腰AABCNBAC-IJOAB-ACrl，D、E分别是AB、BC边上的动点，Jl满足BE=6AD,求AE+&D的最小值.解：首先雨要构建出辰D,其次需要超'JfHc。放力同一直线上.如图所示，构建a4X)E".H.相似比为1：、厂3,则EF=辰D1r,fAE+3CD=AE+EFAF即最小值为MN：如图所示，当A、E、F三点共线时，取得最小值为AF;接下来,我们求解AF的长度.AG=-AB=BG=/2 22Bb=3AC=3AF=FG2+AG2=7ae+J(d的最小值为近.2 .如图，V为矩形力四中力边中点，E、F分别为8C、CD上的动点，凫BE=2M,若Aff=1.BC=2,则峪+2"的最小值为_技_.方法-解：如图，过点"作MA1.成于设卯=x,则应'=2x.:四边形/点是矩形，.N胡P=NQNP=90",'：MH1.BC.,：.ZW=9Qt,.四边形,仍侑，是矩形，：.Alf=Mf=ff=,AB=MlI=：.EH=-2x,:四+2"÷q+(b2x)2+=12+(1-2x)2+42+(2x)2.欲求.*21的最小值，相当于在“抽上找一点。(2筋0),使得点。到J(0,4),和求(1,1)的距离之和最小(如下图)，VJ.K作点./关于X轴的对称点/.连接A/交X轴于0，连接,/0，此时、/伊加的值最小,最小值=7'，'：f(0,-4),(hI),:KJ=52+12=26l：.吻+2/火的最小值为亚，故答案726.方法二延长AB至点G,使得BG=4,连接GE作点G关F直线BC的对称点N,连接EN,MNAGE=NE易证ABGEsDAF,.GE=2AF故ME+2AF=ME+GE=ME+NE当M、E、N三点共线时,MEME取到最小值此时ME+NE=MN在RtAMNA中，由勾股定理可得：M=263 .如图，在正方形Zi四中，尸为仞上一点，且装=(E、尸分别为3弦上的动点，且BF3DE.若力场3求/43/族的最小值.解：延长BA到点G,使得BGJAD-9,作点G关于直线IiC的对称点H连接GF,FH,由对称原理可知:FH=GF易证4GBFsZDEAGF-3AE故PF+3E=PF+GF=PF+FH当P、F、H三点共线时，PF+FH取到最小值此时PF-I-H=PH在RtAABP中,由勾股定理可得：PH=237PI+3AE最小值为2历4 .如图，在RlN4=90°,Zf=30o,C=yf3,点在线段/历上，点£在线段.，加的延长线上，且跖=月则，刀的最小值是V7_.D解：如图所示，作点C关于，纷的对称点G，连接8DG,AG.则S=6ZAC=AG.NaG=2N018=60°.CG1.AB,./1G；是等边三角形，ICG=AC=M,如图，以应；发为边作平行四边形夕伤，则%=£7/,K/DE,：.EH=CD,CGlG乩：.C»CE=HE+CE,.当£E在同直线上时，连接OA的最小值等于。/的长,YRl力3中，M=90°./力=30",AC=>3,Z>tan30o×AC,AB=2BC=2,-JDA=Hf-,J.AR=DE=2,.平行四边形座加1中，IKi=2,中，6>A-CG2+HG2-(3)2+227.,净，力的最小值等于7故答案为：7.5 .如图，在矩形中，/1=4,JP=6,点，在边/1上，点。在边伙:'上，且")。，连接CP,该，则Q如的最小值等于10.解：如图，连接BP,在矩形力成刀中，/&；/IP=改=6,YAP=CQ,：.AD-AP=BC-CQ,KDP=QB,DP/BQ,.四边形力冽是平行四边形，：.PB/I)Q,PB=DQ'则POQl)=PeTPB,啦PG。的最小值转化为/>/力的最小值,在阴的延长线上截取AE=AB=A,连接PE,则BE=2AB=8,：PA1.BE,川是陇的垂直平分线，MPB=PE,：.PC：PB=PC+PE,连接CE,则POQD=iyptf=PC+P历CE=BE¼C2=82+62=10，.凡二力的戢小值为10,即小。的最小值为10,故答案为：10.6 .如图，平行四边形/加S>AD,AD=A,/ADff=60：点从/为对角线/步上的动点,DE=2BF,连接力&CF,则I母2。的最小值为.解：如图，在直线如的上方作NZW=60°,且使得=2及：过点7'作TZZl初交力。的延长线于/.；四边形力皮是平行四边膨，：.BC/AD,Alf=BC=A,：.NADB=NDC=60","CBF=NTDE,.生=丝=J1.DTDE2.6>7三,.竺=竺=1.ETDT2J.ET=2CF,:NnW=I80。-60°-60*=60°,N490°,DT=2BC=3,.而奶cos6(=4,HT=32V=43.：.AH=A6Dlt=8,/.AT=yAH2+HT2=J2+(43)2=47,:A2CF=EET,EETT,：.AE-ZCFANi.二432力的最小值为47.故答案为：477 .问题提出:（I）如图，在正方形4O中，C为边/仍上一点（点不与点月、重合），连接。匹，过点力作"二配；交伙:'于点八则应.与/的数量关系是：DE=AFi问题探究：（2）如图，在矩形.伯必中，扪=4,扪=6,点尺/分别在边/8、面上，点”为线段仔'上动点，过点”作断的垂线分别交边/久欧十点6、点若线段以恰好平分矩形/历Q?的面积，且加*=1,求6的长:问题解决：<3）如图，在正方形/发为中，"为月。上点，且瞿=,E、/分别为84Q?上的动点.ND1RBE=22若Aff=4,求J令2/的最小值.DE=AF,理由如下:在正方形,仍中，NABC=NAg驮°,AD=Mi,：./SA科/AFS=90°,：AFX.DE,.N力0E=9O°.N班6/4浙90°,：NAFB=/AED,ffFUAS),：.DE=AF,故答案是“二”：<2）如图2,连接交即于，.线段M恰好平分矩形力位的面积.。是矩形的对称中心，.座,=毋=1,作W田AJaGH,Y四边形AliCD是矩形，DF/IE,二四边形"尸是平行四边形，J.ll=Df=,IAI=AB-BE-EI=Z'同理可得，AJ=Gih,：EF1.GH,.1.J,由(1)得.ZJZP=4AJB,：AADlSABAJ、.耳=胃，-I=,.B=,ABAD463在Rt/1/中由勾股定理得，Aj-VaB2*BJ2-u42+(y)2V104I：(3)如图3,D2aEv图3作用1.w卜£V1.J.,AD=,：.AM=3,KD1设为a,KJBE=2a.：.G!J=AM-AG=3-2a,住Rt4W中./1=DF2+AD2=7a2+16,Rtv,陟二GM2-KJE2-(3-2a)2+16.÷2J=(2a-3)2+16+(2a)2+64=(2a-3)2+(0-4)2+(2a-0)2+(0-8)2也+2/最小值可以看作在平面直角坐标系中.点(2a,0)到定点/(3,I),./(0,8)的距离之和圾小,作，的时称点4,连接A7，则也与X轴的交点是点，此时如最小.作小，j'轴亍T、：O2.4)«1.=A7=IT¼T2=32+122=.8.如图，在/1欧中，Nl%=60°,BC=6,408,D、分别为边4G上两个动点.（1）如图1,若"为力C中点，且应平分胸的周长:i）求AE-血的值：ii）求证：/八所30°,并直接写出原的值：<2）如图2,若AE=C0,连接劭、的求既"的最小值.解：（1）i）'：AC=8,，为a'中点，AAD=CD=1.TBC=G,如平分ZUfiT的周长，：.他AE=C/BC+BE,.4+公4+6+即：,AE-BE=6；ii）如图1.取,物的中点连接DF,为,“中H,：./)!/JC,P-r-×6=3.：./AFg/B=W.:4RFD=匕IE汾乙FDE,ZfZ？=30o,.,.Z三=30,AED=ZFDE,IEF=DF=3,过厂作/,！庞.于M/.7=-7=,I-II=DtI,22：.夕TEF2力H2=呼，DNEtl=：h/3：(2)证明：过点。向上作QMMd使6g=1C,连接仇过点M作M1.8C交及的延长线于点V,图2YQf"AB,：.Zl=Z/161AAE=CD帮在W中，ZA=ZDCi,CA=MC以叱ZXZO(SAS).CE=MD,当点怯，”三点在同一条直线上时，即加的值及小为线段皿的长,即的最小值为例/的长，“W,仍，MCN=ZAffC=6Qo,.,Z=90o,Gf=M=8,.(=l(if=4,l=43,'：BC=6'，邢&MGt6+4=10,'BN2+MN2=MOo+48=237,：，B仍C汇的及小值为237.9.如图1,在。40中.用7=6.4C与加交于点0,点色厂分别是线段月。，。上的动点（点E,“不与儿C.D登合.AE=CF.设/>=a,将线段力绕点/1按逆时针方向旋转a得到他连接阳SE,BR（1）求证：/蜂的1：<2）如图2,若N陇，1=90°,ZJtP=100,旦点从E、?在条直线上，求“防的值:<3）以OB=OC、ACD=IM.密防长的最小值是一&/7_.解：（1）'：ZCD=PD,NDAaNACB：.ZPAE=ZBCF'：AP=BC,AE=CF：./仍见？斯（SAS）<2）由（1）可知/，/5/：.EP=BF：.HP=BE+PF=BaBFVBOA=9Q°二平行四边膨A8CD为菱形IAf=AgABVZ4P=10：.APAB=2.NQ=30°如图.作出1.1.PB,垂足为B在Rt月必中46：.H1.m-63；,B68F=啦<3）如图，/力垂直砌的延长线丁'：OB=OC,。ABCD为矩形由（1）傅知AAPE2丛C8F小册"的最小值即为即长在Rt/1附中，4-6对，PAff=3Q*=33,AH=3在Rt即中，ZW=I5,/ZP=33，p=HP¼H2而:的斯的以小值6710.平行四边形月跖9中，W为线段上动点.<1)如图1,已知N1<90°.若DR=BM求证：四边形抽丫为平行四边形：(2)如图2,已知N1Q60°.若研为/力夕。的角平分线，7为线段AV上一点，W的延长线交线段比'十点M满足：tanN8阳=4且V=加请认真思考中图形,探究里的2AD值.(3)如图3,平行四边形40中，ZABC=60o,AB=BC=2,在线段加上，。在线段CDh,前足：8P=2CQ.直接写出(2创“，)的最小值为，盗_.<D证明：如图I中，过点作DElBA交BA的延长线FE,过点打作BFl.第交Zr的延长线丁尸.;四边形40是平行四边形.：.Al>=BC,ZBAD=ZBCt).AB=CD,ADAE=BCF,：/DEA=BFC=90>,.1C6>'UAS),IDE=BF,AE=CF,'：f)K=BN,Rl比侬Rl加N(),MER=FN,：.AR=CN,'：AB=CD,：.Hft=DN,'：DR=BN,.四边形做丫为平行四边形.(2)解：如图2中，作ZW匹V交/出于"，连V交区V于点八ADBMC图2'：BR"ON.RD/fBN,：.四边形RIiND是平行四边形，：.BR=DN,'：DN=HU,：.BR=BM,VBC=a,即为N/双的角平分线，：./R8P=/Pmf=30：./BPR=9。°,VRD/BN,：./用gNBPm90°,VRD/BN,：.NBTU=ZRDM.VtanZjPZV=,.tanN被V=4,22设即=aKJRM=a.DMRD-三.过点作/_1.被于点A；VZZWV=60o：.DK=RK=a.：./ARS=Z.ADR,.WDKa_""cosZADRCOS30°在Rt做¥中，刚"应>=M>,：.W9=5.MD,ja-15"AD232Va(3)解：如图3中,连接/W-CM/BD,使得CUA/取连接M2./.2图3:四边形d颂是平行四边形，1Q5C=2,NASC=60'.四边形用8是菱形,3,水刀都是等边三角陀,NABgNDBC=NBDC=WN般=30°,2：.AC=AB=2,ZACff=ZACO=60,'：CH/BD,：.NDeM=NBDC=30°,：.ABP=MCQ,.线=丝=2,：.4AB-/Q'二空="=2,：.QV=I-PA,CMCQMQCQ2.2Q什l=2（/协土/）=2S,2YAaQ曜州.iA=CM2+AC2=l2+22=5.R0QJ的最小值为石，.2f0片的最小值为25.故答案为：25.0i->11.如图，在菱形/收？中，N阴P=I20°,/15=6,连接M（1）求加的长：<2）点£为线段/步上一动点（不与点以重合,点“在边/1上，且BnMDK当公工18时，求四边形/!他的面积：当四边形4班F的面积取得最小值时，由«纺的值是否也最小？如果是，求CEVCF的最小值：如果不是，请说明理由.P解：（I）过点作DH1.AB交IiA的延长线于/,如图:V四边形4灰力是菱形，'.AD=B=6,.ZWP=l20o,ZZfZ=60,(WRtJZY,Dfh=DsinZ4=6×-=,3,/!Z=zfZ>cosZZM=6×-=3,P=dh2+bh2=(33)2+(6+3)2(2)设g加交/出于W点,过点/作£V_1./厉交砌的延长线于M如图：菱形椒中.,：AB=BC=CD=AD=<o,AD/IiC,/阴g120°，：./A叱/831800,/.BC=180°-ZJP=6O0,在RtASCV中，幽=皮cosN被H6X=3,;放是菱形AliCD的对角线，.%NW=3O°,在Rt网中，Wr=6伊tUnZI)H=3×-=3.«5BM_4-23.CoSNDBHV3.2：BE=MDF,：.DF=2.：.AF=MDF=A,在Rl/'中，/NV=180°-/Aa=6(,V÷.：/''；-i11ZFAN=I×-23.AN=/fcosZFN=l×-i=2,2：.2A学AmI=6+2-3=5,:S-%w5r+S0-Sss=AEma<t/-)if-Ia222=y×3×3y×<323)×5-×2×233+y3-23-73:当四边形/W;尸的面枳取最小值时，(:小如。的俏足最小，理由：设法-”,则BE-MDF-Mx,过点C作加1，招丁点，过点尸作尸£1(丁点伉过点£作£K1CHP匕作EH1.ABEy点,过点F作FN1.AB交BA的延长线V如图:：.EY/FG/AB,FN/CH.；.四边形Eiff"、凸77是矩形,：.FN=GH.FG=NII,EY=WI,EM=YH,由可l:HE=I-BE=-X,2222力嚏7返产.Cff=隼SC=.BH嗔BC=3,J.At=B-Bif=6-Aff=Afi-fi!f=3,)一监一近*,2C/=/.T=生应巫£.2EY=MH=BH-BH=-3,2：.CY=CH-YH=Z加号.FG=7-.4A-,I/-6,CG=CH-GH=河-电货X-但丫,222.MV=R冰/VAtf-6-3-WX-9-2x,22:SS眄2=S：找S检R；£1VS£3、一衣：心盘吗(EihEV)I1.-l.fA=×4r×F哼V丐&).(92)6(3a)%&=亨八-93=3.(x-3)273.44.>o,4/.当月=3时，四边形力比尸的面枳取得城小侑，方法炳。'=在*»£7«加科-J(33y-)2+(-3)2,V3X(6-yx)2+(-y-)2=,27-9x号JTX2-9+g3×y36-6x-x2-x=3x2-18x+36/×36-6x+x2=3(x-3)2+93(x-3)2+8PV(x-3)20,当且仅当*=3时，(-3)2=0,.6Z)367=3(x-3)2+93(x-3)2÷8P*2,当且仅当x=3时,6B3p=12,即当>=3时,T+5<T的最小值为12,.当四边形/1戚的面枳取最小值时，例行华的值也圾小，最小值为12.方法二：如图：将绕点4逆时针旋转60°至ZAG,连接47,在RtCG=2BC=2,vBE-BG-1/CDF=ZGBE=W，DFDC1二砥M段一立.即磔对,上CFDC1：.6it367=出G氏CG=2,即当且仅当点CE、G：点共线时，小对，尸的他最小，此时点£为菱形对角线的交点，劭中点BE=Wl./一3,.当四边形加兜下的面枳取最小值时，的值也最小,以小值为12.解法.：如图，在版上截取/使得Zw=2«,在例上取点/；连接)；使得BEC.则有ce=Mfv,作点y关于仞阿镌对称点if,67t3(,7-3V*3-3(6F1)=3(C2闯),：.C.AV共线时，最小.此时m=3,可得出小行的值也最小,最小值为12.