专题74 圆中的新定义问题（原卷版）.docx

圜中的新定义问题跃二)例题精讲【例1】.如图,AC是正三角形，曲是。E产叫做“正三角形的渐开正”,其中瓠CO、3ttDE,SIlEF的网心依次按A,B、C他坏.它们侬次相连接.若八8=1,则曲线a)KF的长是.A变式训嫁【变17.对于平面图形人如梁存在一个圆,使图形A上的任意一点到圆心的即离都不大于这个圆的半径,则称圆形A被这个圆“置盅”,例如图中的三角形被一个网“置盖二如果边长为I的正六边形被一个半径长为K的网“搅盖”,那么K的取值范围为一.【变1-2.在平面直角坐标系Ao)中，对于点P(,b>和正实数&,给出如下定义：当&J+h>0时，以点P为圆心，*+>为半径的典称为点P的1倍雅圆”例如，在图I中，点P(1.l)的“I倍雁圆”是以点P为圆心，2为半径的圆.I在点。I(3.1),Pz(l.-2)中.存在“1倍雅网”的点是_.该点的“1倍雅圆”的半径为.<2>如图2,点M是了轴正半轴上的一个动点，点”在第一象限内，且湎足/MON=300，试判断直线QV与点M的“2倍雅Hr的位置关系，并证明：<3>如图3,已知点A<0.3).8(-1,0),珞直线AH烧点A顺时升旋转45°得到直线/.当点。在直线/上运动时,若始终存在点C的“Jl倍雅网求Jt的取值范围：点D是出战AB上一点，点D的倍雅园”的半径为R，是否存在以点D为圆心，4【例2】.我们把一个半册与施物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋E，:T，如果-条直续与“蛋园”只有一个交点,那么这条在线叫做“蛋网”的切纹.如图,点A,B,C.。分别是“蛋网”与坐标轴的交点.已知点。的坐标为（0，-3）.48为半圆的食径,半圆圆心M的坐标为（I,0）,半Bl半径为2.开动脑筋想一想，经过点。的“蛋圆”切线的解析式为A变式训练【变2-1.已知定点0（°.）.且动点Q（x,），）到点。的距离等于定长r,根据平面内两点间距向公武可得（X-）2+（y-fe）2=r,这就是到定点P的距惠等于定长r圆的方程.已知一次函数的y=-2x÷IO的图象交.'轴于点儿交.r轴干点Z1.C是线段八8上的一个动点，则当以OC为半径的OC的面积G小时，OC的方程为.【变2-2.【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点.则这两条射线所成的最大角林为该点时己知图形的祝角，如图，/八P8是点P对线段八。的视角.【应用】<1>如图，在宜角坐标系中，己知点A<2,3>.B(2,23).C(3.3),则原点O时三角形八BC的视角为:<2)如图，在宜角坐标系中,以原点0,半径为2画圆。以原点。，半径为4画限Q,证明：圆()2上任意一点。对网Oi的视角是定值:【拓展应用】<3>很多摄影爱好者春炊在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图.现在有一条盘直的天桥,标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍极.现以建筑的中心为原点建立如图的坐标系,此时天桥所在的直线的表达式为X=-5,正方形建筑的边长为4.请直接写出直线上湎足条件的位置坐标.实战演练1.如图.六边形A8C)“是正六边形,曲线FMK2K3KK5K6K7叫做“正六边形的渐开线其中布K1K2K2K3-K3K4K4K5的圈心依次按点4B,C.D,E,/=循环,其弧长分别记1O0*QUU2011兀-6-2.已知线段A8,。,“经过八、8两点,若90'WNAW120°.则称点M是线段48的“好心”：QM上的点称作线段A8的闪光点已知八(2.O),Ii(6.0>.点M(4,2)是线段A8的“好心”：若反比例函数y=q上存在线段AB的“好心贝噂8:线段A8的“闪光戊”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形：若宜线产血>上存在线段A8的“闪光点”，Wl-IO2.上述说法中正确的有()A. <T)X三XS)B.<>X三)C.0D.<D3.我们知道沿比我前进的自行车车轮上的点既划着门行车做向前的巨税运动，乂以车轴为圆心做I堀周运动,如果我们仔细观察这个点的运动轨迹.会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的皿纹.其实,很早以前人们就时沿宜城前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴跑，有人认为这个轨迹是一段段周而发始的圆瓠，也有人认为这个轨迹是一段段的抛物战.你认为呢？找线（Gw/oM）：当一个圆沿一条定£1线做无滑动的滚动时，动圆IHI周上一个定点的轨迹叫做找戏.定宜践称为她践，动即称为母圆，该定点称为摆点：现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让布（W的硬币境左傀理币做无滑动的滚动,那么：< I）当右（W硬币上接触点A的运动物迹大致是什么形状？< 2>当右恻硬币咕到左恻时，硬币面上的图案向还是向下？< 3>当右他硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？<）A一条围绕于硬币的封闭曲域:向上：I圈B. 一条摆线:向上：1圈C. 一条围绕于硬币的封闭曲线;向上：210D. 一条摆线：向下:2圈4 .定义：如果P是圆。所在平面内的一点，Q是射莲。上一点，且我段OP、OQ的比例中顶等于圆。的半径,那么我们称点P与点Q为这个网的一对反演点.已知点M、N为嗣O的一对反演点.且点M、N到留心。的距离分别为4和9,那么圆O上任意一点到点M、N的跖离之比其=.AN5 .如图,在AA8C中,D,£分别是八8C两边的中点,如果DE(可以是劣皿、优弧或半Ia)上的所有点都在A8C的内部或边I.则称DE为48(?的中内弧.例如,图中DE是z48C其中的某一条中内弧.若在平面直角坐标系中.已知点尸(0.4),O(0.(».H<4.0).在")/中.N分别是VO.FH的中点,的中内瓠'SS所在圆的同心P的纵坐标”，的取值范围是.6 .如图(1,公ABC是正三角形.曲线/M86叫做“正三角形ABC的渐开线”,其中AC,币高，依次连接，它们的圆心依次按从C循环则曲线CA向Cl叫做正ZsAHC的1重渐开线,曲线CAi81CN282Q叫做正八8C的2重渐开线,，曲线CAl劭。前八,BG叫做正八BC的n重渐开战.如图(2).四边形AbC。是正方形，曲城CAIBiCQi叫整”正方形AbCQ的渐开线;其中,入商，q,可可依次连接，它们的圆心依次按A，B,C,C循环.则曲规D八向ClDl叫做正方形人8CD的I型渐开线，.曲战ZMl8iCDA2ABICM”叫做正方形AfiCD的“垂渐开线.依次下去，可得正“形的”柬渐开线(3).若AR=,则正方形的2重渐开税的氏为18m若正n边形的边长为I.则该正“边形的”饭渐开线的长为.7 .一个玻嫡球体近似半圆。A8为直径.半圆。上点C处有个吊灯KEEF/AR,COlAfi.样的中点为。.OA=4.<1）如图，CM为一条拉戏，M在08上.OM=I.6,DF=0.8,求。的长度.<2>如图，一个玻瑞钺与园O相切，为切点，M为OB上一点，M为入时光统，AH为反射光战,NoHM=NOHN=4S°.IanZCO/=-.求ON的长度.43如图，W姑戏段081：的动点,M为入射光城，ZIIOM=SO'."N为反射光线交圆。于点M在M从O运动到R的过程中，求N点的运动路径长.8 .我们不妨定义：有两边之比为1：5的三角形叫敬“勤业三角形二<|>下列各三角形中,一定是“勤业三角形”的是：1填序号)等边三角形：等腰直角三角形：含30”角的百.角三角形；含120.角的等腰三角形.<2>如图I，4/18C是C)O的内接三角形,AC为直径，。为浦？上一点，且W)=2A。，作。£，0八，交线段OAf点F,交OO于点E,连接BE交AC于点G.试判断AAEO和AABE是否是“物业三角形”？如果是，请给出证明.并求出黑的伯：如果不是，请说明理由：BE<3>如图2,在(2的条件下，当AF：FG=Z;3时，求N8£。的余茏值.9 .对于平面内的两点K、/.，作出如下定义：若点Q是点/.绕点K旋转所得到的点，则称点。是点A关于点K的旋转点：若旋转附小于90°.则称点。是点1.关于点K的锐角旋转点.如图1.点。是点1.关于点K的锐角旋转点.<1>已知点A(4.0),在点Ql(0.4),Q2(2.23)。3(-2.23)。(22-22)中.是点A关于点O的眼向旋转点的是.<2>已知点8(5,0>,点C在直线y=2j+b上，若点C毡点8关于点。的脱角旋转点，求实数Z)的取值范围.(3)点。是X轴上的动点.点50),E(t-3.0).点FGM.足以。为网心,3为半径的网上一图I图2备用图10 .在平面直角坐标系g中，正方形A8C/)的顶点分别为A(0.1>.(-I,0).C<0,7),/)(1,0>.对于图形M.给出如下定义：0为图形M上任意一点.0为正方形A8C。边上任意一点.如果RQ两点间的距离有最大值,那么称这个G大值为图形M的“正方距记作d(M).已知点E(3.0).宜接写出d(点E)的依：过点E画直纹y=Jt"3(与ySl交于点F,当"(线段EF>取最小值时，求k的取(ft范用:设r是直线F=-X+3上的一点,以丁为园心,加长为半径作O.若dO7满足d(QT)>+2.直接写出叩心7的横坐标X的取值莅困.备用图n.【概念认识】与矩形一边相切（切点不足顶点,且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第I类网：与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫粒矩形的第H类IH.【初步理解】（1如图,四边形A8C。是矩形,QOi和OQ都与边八。相切，03与边八8相切，。和0。1都经过点B,06经过点D,3个照都经过点C.在这3个圆中，是悔形A8CD的笫I类圆的足.是矩形A8C/）的第11类酸的毡_.【计算求解】<2>已知一个矩形的相制两边的长分别为4和6,百.接写出它的第I类圆和第11类IH的半径长.【深入研究】<3>如图，己知矩形A8CC,用总尺和IflI规作图.保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）作它的I个第I类圆：作它的1个第11类/.12 .在平面直角坐标系)，中，。的半径为I，已知点A.过点A作互线MN.对于点A和宜线MM给出如下定义：若将在线AfN绕点A顺时针旋转.宜线MN与。有两个交点时.则称MN是。的“双关联直线”，与。有一个交点P时.则称MN是。”的"单关联直线二AP是。”的“单关联线段”.(I)如图1.(0.4).当MV与)柏重合时，设Am与。交于G。两点.则MN是。的“关联11线“(地“双"或"单”)；野的僧为：AD一<2>如图2,点A为直戊.Y=-3/4上一动点，AP是Oo的“华美联战段”.求OA的域小值：克接写出AAPO面枳的最小值.图1图213 .在平面直角坐标系x0y中，0。的半径为1.A为任意一点，8为。上任意一点.给Hl如下定义：记A.8两点间的距离的嫉小值为p（规定：点A在。上时，p=0）,以大值为力那么把号的伪称为点A与。的“关联距离二记作d（A,QO）.<1>如图.点。,E,尸的横、纵坐标都是整数.6（D,QO）=:若点jW在线段EF上,求（I<M.QO）的取假莅困：<2>若点N在直线y=5+2§1.直接写出d（M0«>的取值范阚：<3正方形的边长为若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P0。）的最小值为I.最大值为10.Xl接写出，n的坦小值和最大值.14.如图，在平面直角坐标系XOV中.点A与点8的坐标分别是(I.0>.(7,0).1对于坐标平面内的一点P.给出如下定义：如果NAP8=45",那么林点为城段A8的“完美点”.设A、从P三点所在网的网心为C则点C的坐标是一.OC的半径是:F轴正半轴上是否有城段A8的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标：如果没有,请说明理由:<2拧点尸在y轴负半轴上运动，则当/APB的R数破大时，点尸的坐标为.15.定义：圆心在三角形的一釜边上，并与：地形的其中一边所在直找相切的圆称为这个三用形的切阳,相切的边称为这个网的切边.<1）如图I.ABCM三.AB=CB.NA=30°,点。在AC边上.以“为半径的。”恰好经过点8.求证：。是ZkA8C的切IH.<2>如图2,C,B=AC=5,8C=6,。是4A8C的切圆，且另外两条边都是OO的切边,求0。的半径.（3）如图3,AA8C中，以AH为直径的。恰好是AAHC的切图AC是。的切边，0。与8C交于点匕取弧8尸的中点O.连接AQ交8C千点£过点£作E/1.A8于点.若CF=8,BF=IO,求八C和E的长.16.在平面直丽坐标系XeV中，对于直线/：y=h+>,给出如下定义：若直线/与某个圆相交,则两个交点之间的距离称为直线/关于该园的“圆极跑<1）如图1.。”的半径为1.当Jt=1.h=lBh宜接写出直线/关于。的“周能冲”：（2点M的坐标为（I,0>,如图2,若。M的半径为1,当=1时，H戏I关于。”的“圆故亚”小于亲历，求k的取值范用：如图3.若OM的半Ii为2,当k的取假在实数范用内变化时，直线/关于OM的“圆板距”的双小值17.对于。C与。C上一点A,若平面内的点0满足：射线AP与OC交于点Q,1,PA=2QA.则称点P为点A关于。C的“倍距点已知平面直向坐标系、0）中，点A的坐标是（-5,0）.（1如图I,点。为坐标原点，。的半径是近，点P是点A关于。的“倍距点”.若点。在X轴IE半轴上，口接写出点户的坐标是：若点。在第一通限，且NO=30",求点P的坐标；2设点T八0）,以点7为阚心,7A长为半径作。7；一次的数F=零"Z的图象分别与X轴、'轴交于。、£若一次函数.、二哗x÷4的图象上存在唯一一点以使点夕是点A关于。7的“倍距点”,求，的值.（图1（备用图）18.类比学习:我们已经知道.顶点在圆上,且角的两边都和圆相交的角叫做网周角,如图1.N4P8就是SI周角.瓠八8是N"3所夹的狐.类似的,我们可以把顶点在圆外，且角的两边都和圆相交的角叫做Ia外角,如图2,NAP8就是KI外角，蛆AB和弧CD是NAPB所夹的蛆，新知探索：图<2）中，弧AB和弧（7）度数分别为80'和30°,ZAPB=°,归纳总结：<I）阳周角的度数等于它所夹的强的度数的一半：<2>同外角的度数等干.新知应用：互线=-x+m与互线y=与x+2相交于、轴上的点C，与X轴分别交于点A、R.羟过A、B,C三点作OE点P是第一象限内。£外的一动点，且点P与IH心£在百.线八C的同一侧，直线以、PC分别交。£于点M、N,设/八PC=8求A点坐标：求0E的互径：连接MM求线段MN的长发（可用含。的：角的数式表示）.（I）【基础巩固】如图1,Z48C内接于若NC=6<r,½fl=:3.则半径r=：2【问跑探究】如图2.四边形A8C/）内接于0仇若NAOC=60,.A。=OC点8为孤AC上一动点（不与点A.点。理合）.求证：八8+8C=80:（3【解决问即】如图3,一块空地由三条H路（线段A。、八8、BO和一条道路劣人而iH成，己知CM="W=5千米，NO.MC=60",而的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处.另外三个入口分别在点C、。、P处.其中点。在而上,并在公园中悻四条慢胞道,即图中的城段OM、MCCP.PD.是否存在一种规划方案,使得四条慢胞道总长度即四边形。MCP的周长）最大？若存在.求其眼大值；若不存在，说明理由.20.A.B是0C上的两个点，点P在OC的内部.若/AP8为直角，堪称A*?为A8关于。C的内直角，特别地.当网心C在NAAW边(含顶点上时,称NAP8为A8关于OC的最佳内直角.如图1.ZAMH是AB关于OC的内直角,N4N8是Ali关于OC的最佳内直角.在平面比角坐标系As、1中.<1>如图2,Oo的半径为5,八(0.-5),B(4,3)是。上两点.已知用(1.0).Pi<0,3>.Pi(-2.1).在/八Plz1.N八七,NAPm中，是AB关于C)O的内在角的是:若在宜线y=2x")上存在一点P，使忠/AP8是AH关于。的内直角.求/>的取(ft范围.2>点E是以7</.0)为圆心4为半径的网上一个动点,Or与X轴交于点。(点。在点7的右边).现有点M(l,0).N(O,m).对干线段MN卜每一点从都存在点八使N。/住足关于OT的最佳内面角,请直接写出“的最大值，以及n取得-人值时/的取值范困.备用图2