微专题28 利用二倍角公式升、降幂的绝招（解析版）.docx

微专题28利用二倍角公式升、降塞的绝招【方法技巧与总结】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2=2sincos6rcos2a=cos2cr-sin2a=2cos221=1一2sin2aIan%=2tanal-tan2a(&)2、升塞公式：1+cos2<2=2cos2a>l-cos2cr=2sin2a眩八以，l+cos2a.，l-cos2a3、障器公cosa=,sin"a=22【题型归纳目录】题型一，利用二倍角公式求值题型二：利用二倍角化简、求值题型三：利用二倍角的升降森进行化简、求值题型四：二倍角的综合运用【典型例题】题型一：利用二倍角公式求值例1.求下列各式的值：(1)sinl5ocosl5o;(2)cos2-sin2；88/1、tan22.5°l-rtt22.5o(4)2cos222.5o-1.【解析】解：(1)sinl50cosl50=-sin300=-:242乃2乃冗J2(2)cossin=s-=；8842(3)tan22.5o11；=-tan450=-tan222.5022J?(4)2cos222.5o-1=cos45°=.2例2.求下列各式的值:(1)2sin75ocos75o;(3)2cosz.5115兀、,.511511、(sin+cos)(smcos)-1；8(4)l-2sin267o30,;/u、2tan22.5o：;-tan222.5°(6) sinl5osin75o;(7) 2cos2I50o-1；(8)2tan-12.，5111 -tan12【解析】解：(I)2sin75ocos75°=sin150o=sin30o=-；2(4) l-2sin267o30'=cos135o=-cos45o=-；2z.2tan22.5o.,(5) =tan45o=l;-tan222.5°(6) sin15osin75o=×2sin15ocos15°=sin30o=：224(7) 2s2150o-1=cos300o=cos60o=-：2例3.求下列各式的值:(1)/4。4a(2) cossin22(3)!1 -tana1+tan(4)1+2COS2。一CoS26【解析】解：(I)(sin+s)(sin-cos)(2)12121212cossin22/20.2a2a.2=(Cos+sn)(cossm'222(2) a.2。=cosSlrr22=CoSa；(3) ?51-tancrl+tan«_(1+tana)-(l-tana)(l-tana)(l+tancr)2tanal-tan2a=tan2；(4) 1+2cos2-cos26,=1÷2cos2-(2cos2-)=2.变式1.求下列各式的值：(1)2sinl5ocosl5o；(5) cos222.50-sin222.5o；(6) l-2sin215o;(7) 2cos230o-1;(8) 2sin-cos:88“、2tan75o(9) 1-三275o【解析】解：(I)2sinl50cosl50=sin300=-;2(2) cos222.5°-sin222.5o；=cos45°=-；2(3) l-2sin215o=cos30°=-：2(4) 2cos2300-1=cos600=-:2(5) 2sin-cos=sin-=；8842(6) 2tan?5°=tan150°=-tan30o=-.1-1加75。3变式2.求下列各式的值：(1)(3).11.311sinsin一；88cos215o-cos275°：C25万.2cos2112(4)tan30°ITm230。【解析】解：(1)sinsin=sin-cos-=sin=-8888244cos215o-cos275o=cos215o-sin215o=cos30°=-2(3)C,54，5112cos1=Cos12(4)tan30°_12tan30ol-w230o21-tan230o1Pl=-tan60°=-22题型二：利用二倍角化简、求值例4.已知sin(十三)一J5cosa33则sin(2-7)的值是(B.3【解析】解：已知sin(+匹)->Jcosa=J=1.sina+NCOSa-GCoSa=Sin(。一工),33223则sin(20-)=s-(2a-)=cos(-2a)=cos("-)=l-2sin2(-)62633311117=l-2×-=99故选:C.例5.已知sin(2-)=-+c。Sa,则cos(2a+&)=()633A.三-¥r439【解析】解：sin(-a)=-+cosa»整理得1.CoSa+走Sina=-,，即sin(+工)=一,6322363故cos(2+g=l-2sin2(+a=g.故选:D例6.3己知COS(13。+)=，则sin(-64。+2a)的值为(415一32D.3一16-C1-8B.1-8-A.3【解析】解：cos(13°+)=，则Sin(-64。+20)4=-cos90o+(-64°+2a)=-cos(26o+2a)=-2cos2(13o+cr)+l=-8故选：A.变式3.已知sin(工一/)=，则COSg-2工)的值为()452D.251916c14252525【解析】解：因为Sin(M-X)=?,45所以cos(-2x)=cos2(-x)=1-2sin2(-x)=1-2×()2=.244525故选：。.变式4.若6C,cos26=-J则Sine=()428D.【解析】解：,cos2=-=l-2sinsin4a241225故答案为：12变式7.己知。为锐角，cos(6>+15°)=,则cos(2。15。)=_今3【解析】解：。为锐角，cos(<9+15o)=-<-,.6>+15oe(45o,60o),A2/9+30°<120°.27由二倍角公式可得cos(26+30o)=2cos2(6>+15o)-l=，25.sin(2<9+30o)=Jl-cos?(23+30。)=.cos(26>-15o)=8s(26+30°-45o)=cos(26>+30o)cos45o+sin(26>+30o>sin45°2242I72=-+'=1925225250故答案为：122g.»82八9.sn6/=，16,0三t7,f1'，sin"楣=%故选：B.变式5.已知tana=2,则COS(2a+?)的值为_-_-rflri.r-.hrj-r,l,C几、2C2.z2cos2«-sin2a2sinacosa【解析】解：tana=2,则cos(2tz+)=cos2asin2a=(；4222cos'a+sinacosa+sinaylzl-tan2a2tana、>2.1-44、702l+tan2al+tan2a21+41+4IO故答案为：-述.10水*/jv,1Cmsin22a-2cos22a1变式6.已知tan=2,则=.sin4a12【解析】解：,tana=2,.C2tana4-1-tan2a3.C24.sn2a=-=»COS勿=»sn4<z=2sn2<zcos2«=,1+tana51+tana525sin22a-2cos22a_一2、(_1变式8.(1)已知角的终边经过点尸(4,-3),求2sina+cos+tan2(2)已知为第二象限的角，sina=-,求tan2a5【解析】解：(1)a的终边经过点尸(4,-3),则Sina=一二，cosa->tana=-,554.2sincr+cosa+tana=-20(2)。为第二象限的角，Sina=3,54.cosa=，53.tana=，4/.tan2a=7题型三：利用二倍角的升降零进行化简、求值例721-sin8+2+28S8等于()A.2sin4-4cos4B.2sin4-4cos4C.-2sin4D.4cos4-2sin4ftt:-,<-<4».sin4<cos4<0»4.2jl-sin8=2«y(sin4-cos4)2=2sin4-s41=2cos4-2sin4，又j2+2cos8=>4cos24=-2cos4,.21-sin8+>2+2cos8=-2sin4.故选：C.例8.若巴<<Z,则化简JI+Sin2夕-Jl-Sin2。的结果为()42A.2sin6B.-2sinC.2cos6D.2cos【解析】解：若巴<<巴,则Sing>cos>0,42.1.Jl+sin2。-l-sin2=J(Sine+ss)，-J(Sine-cos，)?=ISin6+cos例-1sin6-CoS=(sin0+cos)-(sincos)=2cos,故选：C.例9.己知J2,网,则JI-Sin26-Jl+Sin2。可化简为()42D.2cos6*A.2snB.-2smC.-2cos£/【解析】解：因为e,与，.sin8vcos6,且sine+cos6<0.所以Jl-Sin20-Jl+sin2。=cos。一Sinel-Icos。+sin61=2cos,故选：O变式9SinloOSin30osin50OSin70°的值为()1-2A.1-4B.【解析】解:12sinl0CoslOcos20cos40o_sin80_122cos10o16cosl0o16故选：变式10.若270o<av360o,则,R+，cos2a=-cos-V22V222【解析】解：270°v<360°,.1350<g<180°,2故答案为：-COS.2变式11.l+cos100o-1-cos100o=()D.2cos5°A.-2sin5oB.2sin5oC.-2cos5o【解析】解：1+cos1000-1-s1000=1+2cos2500-1-1-1+2sin2500=应COS50。-0sin50。=2cos(450+500)=-2sin5o.故选：A.变式12.若,化简悟近+悟显得()A.->2sin(-4)B.V2sin(-4)2424解析解：24<a<-11,C.->2sin(-)D.24a11:.-11<-<22a+/1÷cosa.aa=-sin+cos22=2sin(f÷)=2si11k-(f÷)l=-V2sin(-).24故选：C.夫今sin40ol+cos8O0g/台心,、变式13.1的值为()1-2sin20ocos20o+sin1OoA.-B.C.2D.222r2ir-1后Tsin40o×J1÷(2co524cos6o_2sin48。COS48。_sin96。_0出(90。+6。)_cos6。_J_4cos6o24cos6o16cos6o16cos6o1640o-1)sin400×2cos4002sin80ojl7(sin100-cosIO0)2+sin1Oocosl0-sinl0+sinl02cos10o2故选：B.变式143g6°8524°与1178°8548°的值为()a1n1ClA.B.C.161632【解析】解：sin6ocos24osin78ocos48o=sin6osin(90o-12o)cos240cos48o=sin6ocos12ocos24ocos48o_24cos6osin60cosl20cos240cos48024CoS6。23sinl2ocosl2ocos24ocos48°24cos6o_22sin240cos240cos480故选：A.变式15求值:l-2sin200cos2002cos210°-1-cos2160o-1,Ml-2sin200cos200(cos200-sin20o)2cos200-sin20o1【解析】解：.=-=Jf=1.2cos210°-1-cos2160o-1COS20o-sin20ocos20o-sin20o故答案为：1.题型四：二倍角的综合运用例10.设（0,乃），Sina+cos=-,则cos'-Sin'a的值是(3r7C.D,叵或一叵【解析】解:sincr+cosa=.1+2SinaCoSa=1.,2SinaCOSa=一39a(O,11),.sina>O»COSaVO,/.cosa-sina=-J(CoSa-Sina)2=-l-2cosasina=cos三in2a=(cosa-sina)(sa÷sina)=-×l-厉33故选:例11.若Sina+cos0=J3OVa<7，则sin2+cos2=()A.8+79B.-8±79r-8÷119D.-8Jl79【解析】解：I大I为Sina+cos=1,3I8所以1+2SinaCoSa=,即2sincos=sin2=9917所以1一2SinaCOSa=(Sina-COSa)2=,因为SinaCOSaVoI=1.OVaV万，所以Sina>0,COSaV0,故Sina-CoSa=，3X可得，cos2a-sin2a=cos2=»9cr87-8-17所以sin2a+cos2=.999故选：D.例12函数/(x)=Sin'+Tjsinxcosx在区间三,勺上的最大值是()42A.1B.匕立C.-D.l+322【解析】解：由/(x)=°s+sin2x=-+sin(2x-),2226->，件Y-(u4+14故选：C.变式16.已知函数/(X)=Qcod-1)SinX,则函数的最小正周期和最大值分别为()A.4和1B.4和1.C.2乃和1D.2乃和1.22Y1【解析】解：.函数/(x)=(2cos25-I)SinX=COSXSinX=Sin2x,故它的最小正周期为红=乃；它的最大值为工，22故选：B变式17.当X=。时，函数/(x)=2+sinx-4cos2取得最大值，则CoSe=_,【解析】解：f(x)=2+sinX-4cos2=sinx-2cosx=5sin(x-(p)»且Sg*8Se邛,又当K=C时函数取得最大值,贝j8s6=cos(2Z+8)=-sin8=一,故正确答案为：-冬叵.5变式18.已知函数fx=COS69X(73sinx-cosx)>0)的两条对称轴之间的最小距离为三.2(I)求函数F(X)的最大值;(2)若f()=,a(0,y),求CoS2a的值.【解析】解：(I)由三角函数公式化简可得/(x)=5SinoXCOSfyX-cos?56.C1+cos2。X.乃、1=sin2(oX=sin(2ft7x)，2262函数人冷图象两条对称轴之间的最小距离为,.周期T=红=2x,解得O=1.2s2./(x)=sin(2x-¾-，62.(X)的最大值为I-J=1.22(2)因为fa=sin(2«sin(2106265(0,-)».,.2-(-»)：3662cos(2-)=.=cos(2-F)cosFsin(2-令sinF33-410变式19已知tana,tan6是一元二次方程的x2-4x-2=0两根，且OvQ<<%,求tan-；的值.【解析】解：由已知得tan。+tan/?=4,tantan=-2,zc、tana+tan。44tan(+p)=-=,1-tanatan1+230.oa+2tan-,tan(+/?)=2_=112a+3-tan-D2Ca+B_C、a+a3tan-=2-2tan,22BP2tan2a*b+3tan-2=0,则Um幺皿或-2,22O<<a<11»tana+tan7=4>0,tanatan/?=-2<0».tana与tan/异号，则tana>0,tan/7<0,且Itanm>tana,CC冗冗.0<尸V，-<a<11»22口川403冗11a+311则一<+6<，<-<一，22424则taq22【过关测试】1 .已知cos2C=g,则sit?J+8s4<9的值为()D.4150a916CABC.2525【解析】解：cos2=M:.sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos21,1,1一一sin22=l一一O-COS220)2211rz32n17故选：C.32 .己知cos2a=g,则sin4Q-8s,的值为()A.B.-lc.ID.3【解析】解：cos2a=二，5cos2a=cos2a-sin2<z=-t5.sin4a-cos4a=-(cos2a+sin2)(cos2a-sin2)=-(cos2a-sin2a)=，故选：A.3 .已知tan。+!=4,则sin4*。+cos'J=()tanr,b,1,r,Jt+,C1SineCoSesin2+s21.【解析】解：由tan。+=+=4,tan。cosSinesinJcosOSineCOSJ得sinJcosJ=1.,4/.sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=l-2×-=16故选：O.4 .若6X,与，sin2=,则Sin6()428a2r3c7344【解析】解：.因为6wg,g,所以26wg,m,所以cos26<0,所以，s2=-1-sin22<9.又8s2J=l-ZsiNe=-1.所以sir=2.816再由e三:,得Sine>0,所以Sin6=3.424故选：。.5 .已知角满足sin(+工)=1.则Sina+cos=,sin2a=43-3-【解析】解：角满足sin(+工)=1,则一r(Sina+cosa)=1，则Sina+cos=432337O7所以(Sina+8sa)2=,整理得sin2a=1=999故答案为：396 .函数y=gcos2x-4cosx+?的值域为_2>IOI_.【解析】解：y=-cos2x-4cosx+-y=(cosx-2)2+1»Scosx=/,所以函数/(f)=(-2)2+l该函数在(-00上单调递减，当8sx=T时函数取得最大值为10,当COSX=I时，函数取得最小值为2.故函数的值域为2,10.故答案为：2,10.7. (1)已知角的终边经过点P(4,-3),求2sin+cos+tana1(2)己知。为第二象限的角，Sina=-,求tan2a5【解析】解：(I)a的终边经过点尸(4,-3),则Sina=，cosa=,tana=，554/.2sina+COSa+tana=20(2)。为第二象限的角，Sina=-,54/.cosa-，53tana=，4.tan2a=-78. (1)已知Sin4。+COS4。=.求sin26的值：9(2)已知CoS26=3,求Sin4+COS“J的值.-2sin2cql-，整理得95【解析】解：已知sin4÷cos4=.所以(Sin2。+cos?O)?l-g=；(2SineCoSe)2,所以g(sin26)2=,故：sin2e=±ZJ.34(2)已知cos20=-,所以sin26=±-,55sin4+cos46的=(sin2+cos2)22sin2cos2=X=一.225259. (1)已知CoSe=-？，11<<-»求(Sing-COS2)2的值;5222(2)已知si114-8s4=1.求Sina的值;225(3)已知sii/e+cos"。=，求Sin2的值;9(4)已知CoS26=2,求Sin4+cos"。的值.5【解析】解：由CoSe=-J11<<-,52/4得Sine=-VI-COS2=»而N/久、.9,i.49所以(sincos)=sn2sm-cos+cos=1-sin6/=1+-=；22222255(2)由sin4-cos2=1.225所以(Sinq-COSq)2=sin2-2sincos+cos2=1-sina=，22222225解得sina=；25(3)由sin4+cos4=-»9得(sin2+cos2)2=sin4+cos46+2sin2cos2=-+-sin22=1>92解得sh26=目，Msin2<9=±-；93(4)由CoS26=,得：5sin4+cos4-(sin2O+cos2)2-2sin2cos2=l-sin222=l-(l-cos226)17=25r“兀31111010.已知一<<9tanot+=.24tana3(1)求tan(a+3;T)的值；45sin2-+8sin-cos+1Icos2-8(2)求Z2_22_的值.3sin(-)2【解析】解：由tana+10=tana3i3tan*234a+IOtana+3=0»解得：tana=-3或tana=113111<a<，Iana=一，2434tana+tan;T1(1)tan(+-乃)=&=?=-2；4,3/1、/,、1-tanatan-1-()×(-l)(2)_1-coscr”.-1+cosaC4_54sin+ll8.Io.+3c的值.22_4Sma+3ssa_4tana+3_3_5.1,-|、cos2x-sin2xcosx+sinx1,1(2)原氏=-=Fl=.R22.、.sinxtanX32cosX-snX)smx13.不用计算器，求值：tan10otan20otan30otan4OOtan500tan60Otan700tan800.解析解：tana=cot(90o-a).原式=cot80o.cot70p.cot60ocot50o.tan50o.tan60ptan70o.tan80°=1.故答案为：I.-3CoSa-3cosa-3-39411.已知tan20=-,万<2。<2乃3(1)求tan。的值;2cos2-sin-l(2)求Zsin(-)+cos【解析】解：(1)tan2,=2，an'=.tan=一2或=»l-tan2<93211<<211<<11>:.tan=-2.22cos2-sin-ln.zl1tn.2cos-sin1-tan_(2)=-3sin(乃一6)+cosesin+cosIane+112.已知sinz-38S2=022(1)求tanx的值；(2)求个在的值.>2cos(-+x)sinx42tan£q【解析】解：(1)由Sin2-3cos2=0,可得tan±=3IanX=-=222i-tan1-942