微专题27 三角函数中求值和求角问题 （解析版）.docx

微专题27三角函数中求值和求角问题【方法技巧与总结】1、两角和与差的余弦公式cos(±)=cosacos.sinasin2、两角和与差的正弦公式sin(a+/?)=sinacos+cosasinsin(一=Sinacos-cosasin3、两角和与差的正切公式tana÷tan?1-taneztanc、tan一an£tan(-/?)=-1+tanatan4、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2or=2sincrcosacos2a=cos2a-sin2a-2cos2a-l=l-2sin2atanIa=2tana1-tan2a5、升嘉公式：1+cos2=2cos2a>l-cos2=2sin2a6、降零公式。s%二手.,1-cos2asma=2【题型妇纳目录】题型一：求值问题题型二，给值求角题型三：已知正切值，求关于Sinacos0的齐次式的值【典型例题】题型一：求值问题例1.若sin(?;r+a)=1.,则cos(°4+2)的值为()7-8-A.7-8B.17一18CD71【解析】解：因为Sin(鼻乃+a)=z,33317所以cos(11+2a)=cos2(11+ct)=l-2sin2(11+a)=l-2×()2=.故选:例2.B.已知cos(-a)=,则Sinq+2a)=()A.ci【解析】解：sin(-+2a)=sin(-+2a)-cos(-2a)=cos2(-a)326612C，,乃17=2cos"(a)-=一.128故选：A.例3.己知R,Sina+2CoSa=,则tana=()2A.3B.-1C.-33【解析】解：Sina+2COSa=巫，2D.3或3两边平方可得：sin2a+4cos2a÷4sinacosa=-2sirra+4cos2a+4sinacosa5Sinla+CoSla化为112+4tana+45tara+12化为：3tan2or-8tana-3=O,解得前。=3或-.3故选：D.2sin-CoSa=则tan2=()2C.-7D.【解析】解：由题意得,2萼,两边平方得，4sin2a-4sinacosa+cos2a=-,11114sin2a-4sincosa+cos2a5即一诉二忑F则Fana+1=H解得tan=3或一1.tara+123所以tan20='嚓=N,I-tana4故选：A.变式2.若Sin(&-)=，则cos(至+2°)等于343【解析】解：sin(d)=sin(+a)=cos(-+«)=»故答案为：-工8题型二：给值求角例4.(1)sin2120o+cos180o+tan45o-cos2(-330o)+sin(-210o)(2)已知。,尸(0,万)即(二一)=；,111=一；，求2-77的值.【解析】解：(1)原式=sin260-l+l-cos230o+sin3()o=()2-l+l-(*)2+g=g.(2)tana=tan(一4)+4=g,/.0<a<»rC1冗C又tan/?=-亍，/.-<<11例5.一11<2a<0,tan(2-/7)=tan(a-7)+=l,已知在ABC中N4、均为锐角，sinA=,sin=-,510(1)求CoS(A+A)(2)求NC的度数.【解析】解：（1）NA、NB均为锐角，SinA=或，sin8=巫510cosA=JI-SA2A=,cosB=-sin2B=/.cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=×-×"-=5105102(2)由(1)可得：cos(A+B)=-也"T.在A8C中，C=;T-(A+8)(0,4)，/.cosC-8sp-(A÷B)=-cos(A+8)=-=TIjr4万例6.已知111。=5,311尸=5,0。5，乃45-.则a+4的值是（）D.l11T【解析】解：tan(+0=匕n+lan.I-IanatanC11c3110<<-,<7<-.tana<l.0<a<-4C511.“+夕=彳故选：C.变式3.设以£均为钝角,Siwr=噌,则。+£=（C.3-114B.-114【解析】解：.尸为钝角又sin”好,8s”-亚510,c。Sa=-撞，sin即巫510.cos(aJfB)=cosacos/?-sinasin/7=51.11<a+<211故选：A.题型三：已知正切值，求关于SinacosQ的齐次式的值例7.(I)化简：J+2sin22sinl60o-l-sinsin200-cos200_cos20o-sin20o_-sin20o-s20o；(II)因为tan=3,则原式=浊"主吆=迎心=三2=9.4cos-Sina4-tana4-3例8.已知tana+一=?，且。是第三象限角，分别求：tana2(1)化简2si112(37-a)-3cos(+a)sin(音-a)+2的值；/八1/1+sintz/1-sina(2)=+1-；J-的值.cost7l+tan2VI-Slnal+sn”【解析】解：(1)由于tan。+!=3,I1.a是第三象限角,tana2解得tana=或tana=2,2可得2sin2(311-a)-3cos(-+)sin(-«)+222sin?a-3sinacosa+22sin2a-3snacosaC=-2÷2sina+cosa2tafi2a-3tana_=+29tana+1当tana=1.时，原式=9,2520o2cos(-a)-3sin(-+a)(II)己知：tan4=3,求ZZ的值.4cos(-)+sin(-2-a)I解析】解）原式=*三KJl-2sin200cos200sin20o-cos20°JSin2200+c(20-2Sin20。cos20。当tan=2时，原式=5r31、.l+sinI-Sina.八C(2)原式=-141=-1-2tan«=2,或5.-cosacos«例9.已知Sina=一，且COSa>0.5(1)确定角的象限并求CoSa,tana,+>_寸二叵的值;S-Sina1+sinasin(a)+3cos(,+a)(2)求一2的值.sin(-a)+cos(-11+a)4I?【解析】解：（1）已知Sina=-，且CoSa>0,为第四象限角，COSa=Jl-Sin?=-,55Sina.tana=CoSaJl+sinJI-Sina_J(l+sina)?J(I-Sinay_(1÷sina)-(l-sina)_2sinaJl-SinCtJl+SinCtJcos?aVcos2aIcosaIcosa=2tana=-3S呜一a)+3cos(+a)cosa_3cosa-CotaSina+sina7sn(r-a)+cos(-11+a)1=3tana4【过关测试】1.已知a,/?均为锐角，满足Sina=害，Sinp=T,.11A.6D311D.4C.D.【解析】解：。、尸均为锐角，满足Sina=亭,SinQ叵,10.cosa=JI-Sin2a-,cos=Jl-sin2/7=5V10.COS(2iSiM=手嚓Y需邛,又OVa+夕万，故选：D.2.已知Sin%=1(<20<乃)，tan(+)=-2f则tan(-£)的值为(C.11D.【解析】解：sin2a=»-<2a<1152j；4.cos2a=-1-sin22a=-,C3tan2a=，4又tan(+)=-2,八小，Ctan(+Z?)+tan(-).tan(a+#)+()=tan2a=,1-tan(+0)tan(-即2+tanS_=_2,即-8+4tan(一6)=一3-6tan(-),l+2tan(-尸)4故选：A.3 .在斜三角形ABe中，sinA=-2cosBcosCtantanC=1-2,则NA的值为()A.B.-cfD.【解析】解：.,在斜三角形AfiC中,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=-y2cosBcosC»两边同除coscosC可得tanB+tanC=-2.又tanBtanC=1-&,所以tan(8+C)=tanjB+tanC,=I1-tantanC故选：A.4 .若0<<工，-</?<0,cos(-+)=-,sin(-,KJcos(tz+)22”434232r539【解析】解:0<«<>-<<0f22<-+a<，<0W1J0<-422.cosg+)=1.sin"")=亚,43423+显X比=立+典=应3333999故选：A.UnAc,乃、317乃l11m.sin2x+2sin1sinxCOSX6.已知sin(-¥)=,，则cos(2+2)的值等于()333【解析】解：因为COS(I2a)11=-cos11-(-+2a)=_8吟-20)=-cos(20一争2sin2(-)-1=2×()2-1x.、5 .已知COSer+)=一,<x<一，则=()451241-tanxa28D28厂21C21A.B.C.D.7575100100【解析】解:COS(X+马=。，二Cosxcos2-SinXSinC=3,化为CoSX-SinX=3近，454455又<x<K,/.<x+-<2,»/.sin(x+-)=-,化为COSX+sinX=-3应，124344552875联立解得COSX=-»sinx=-,sin2x=2(-)(-普)=焉.1-tanxcosx-sinxsin2+2sin2x_2sinxcosx+2sitx_2sinxcosx(cosx+sinx)7=.9故选：C.7.已知6R,3sin6+cos6=正，则tan26=()D.-4【解析】解：因为eR,3sine+cos6=百,所以七KZX，整理得5-2"解得2名或醇所以或A2gSme=5COSe=-5.a5当成立时,tan=SinG=5ZJ25cos=5所以tan1=2tan_4l-tan23当成立时，tan6=0=-2,CoSe所以tan1=2tanO_4l-tan23由得tan。=33故选：13.8 .已知tana,tan/?是方程g(3f-2)=0的两个实数根，则tan(+尸)=()2A.1-2D.【解析】解：已知Iana,tan/7是方程g(3/-x-2)=0的两个实数根,即：已知tana,tan/是方程3x2-x-3=O的两个实数根，所以：tana+tanq=；,tanatan/?=-1,则：tan(+0=tan"tanjH1-tanatan1+16故选：C.9 .已知在ABC中，Cos(A-H)=-1.那么Sin(A+工)+cosA等于()636A*RGc2后3333【解析】解：因为(?05(4-2)=$1可2+(4-2)=5111(24+2)=-,，62633所以Sin(A+看)+cosA=G(gsinA+*cosA)=GSin(A+事)=一，故选：A.10 .(多选题)已知6(0,),K-÷-=35,则tan=()2SineCOSe343A.-B.-C.-424【解析】解：由题意可得12(Sine+8S。)=35SineCos0,f2-令Sine+8s6=/,则原式可化为12,=35，2解得f=N,或一，57因为。w(0,马,2所以，=2,57I?所以sin6+cos。=,SineCoSe=,5251111sin6+cos。12/tan12即.=-911JJ'o"=,sin2+cos25I+tan225解得tan。，或3.34故选：CD.7Tr411.已知O<x<r,且sin2x=,则sin(x)的值为.254-5一.、16sm(X)=4257再根据0<x<乃，且sin2x=2SinXCOSX,可得X为钝角,25X(-»)»/.sin(-x)<0».,.sin(X)=，444445故答案为：-35rill2ziSinle312.cosl0osin!70o【解析】解：原式=4Sinl0。/CoSloo)_2sin(100-30°)13sinl00-cosl00cosl0osinl0osin10ocos10o-sin20°2-sin20°2故答案为：-4.13 .观察等式：-30。+Sin90。=6,SinI5。+sin75。句,cos30o+cos90ocos150+cos75°三黑二日照此规律'对于一般的Sina+sin。a+。-=tancosa+cos【解析】船鬻艺喘3皿的山（一）sin15o+sin75o1-z15o+75°x=1=tan45°=tan(),8S15。+cos75。2sin20°+sin40o3z20o+60=-=tan30o=tan()，cos20o+cos40°32.对于一般的角,夕，有等:式sin+sin夕_tan0+夕cosa+cos/3w,v<-*uSina+sin£a+故答案为：-=tan-CoSa+cos/214 .定义函数/（4）=：5皿41+；以§4汇，若/（。）=；，Mtan=_【解析】解：由/(x)=gsin4+:cos4X,Rf)=得-sin4+1.CoS"O=»1,Idl-(1cos2)+cos=,347即(7cos2*4)2=0,解得COS297.sin2=7则tan2。=-cos24,tan=±.2故答案为：土B.215.已知a,£(0,5),其中8S2二二得,$皿。一夕)二一/.（1）求cos（-?）的值;（2）求Sin尸的值.【解析】解：(1)依题意，cos2a=2cos2a-I=l-2sin2a=-,(2分)25因为w(0,色)，解得Sina=3,COSa=2,(4分)255（6分）c°sc"+sin&Vx立+，口还44525210(2)因为sin(-0)二»,cc,E.(0,)故-7c(-,0),则cos(_6)=Jl-Sin?(一夕)=,(9分)（12分）故SiM=Sin峻一。一如=Sina8式。一0-85。/(0-0=|，孚(一¥)=|16.已知Sina+2CoSa=O(I)化简：sin2a+sin2-sin2sin2+cos2cos2；(11)计算：.2sinacosa+cosa【解析】解：法一：(I)由Sina+2CoSa=0,及si/a+cos%=1，Wtana=-2,sin2a=»cos2=，可得：sin2a+sin2-sin2sin2+cos2cos2=-+sn*-sin+-cos"=1（三）由Sina+2CoSa=O,两边平方得:sin2+4sinacosa+4cos2a=0»2I故有SinaeoSa=，5从而2sincosa+cos%法二:sin2a+sin2-sin2sin2+cos2cos2=sin2a+cos2sin2+cos2cos2=sin2a+cos2a=1(II)由Sina+2COSa=O得tana=2，可得sin2a+cos2atan2a+l2sinacosa+cos2a2sinacosa+cos2a2tan6z+117.若已知CoS(X+x)=3,求SinX的值.45124【解析】解：<x<-.12.r/7Tt1.7tTT/4、,7tsinX=SInKX+)J=sn(-+x)coscos(-+X)SIn444444423272=XX=52521018.已知角a的顶点与原点O重合，始边与X轴的非负半轴重合，它的终边过点尸(1)求sin(+r)的值;（2）若角力满足sin（a+尸）=得，求SinA的值.【解析】解：（1）角a的顶点与原点O电介，始边与K轴的非负半轴用合，它的终边过点P（-、贝U：Sina=，CoSa=-554所以：sin(a+,)=-sina=-.（2）由于角#满足SinQ+"）,2所以：cos(a+)=±-.3363所以：sin=SinKa+)-a=sin(a+B)sa-cos(a+7)sina=656519.求值2sin50。+Sin100(I+Qtan10。)Jl一sir?10。.【解析】解：由2sin50。+Sinloo(I+Jtan10。)Jl-sin?10°.2sin50o+sin10°+sinl0°百里10°y#10。+CoS?0。一豆/10。cosl0o=2sin(60o-100)+sin10o+-v-cos10o=2sin60ocosIO0-2cos60osin10°+sinl00+"5""°cosIO0cosl0o=3cos210o+3sin2100=6.20.计算：Jl+cos20°2sin50。+Sinl0。(1+Gtan10。).【解析】解：l+cos20o2sin50o+sin10o(l+3tan10o)J.J1+(2co52100-1).2sin50o+sin10o(l+sml°°)，cos10o>-2sin40°=cos10o2sin50o÷sin10°.-,cosl0o-Jlcos10(2sin50o+2sn40°,sin10o),cosl0o>2cosl0o×2(sin500cosl00+sin100cos500)cos10o”需少21.化简：12sin50o+sin10o(l+3tan10o)511280o【解析】解：2sin50o+sin10o(l+3tan10o)lysin280o(2sin50o÷sin10°沙°°+W°°)cos100cosl0o(2sin50o+2sinl0oSin(10。+30。)cosl0o)cos10o2sin500cosl00÷2sinl0osin40o1o=cosl0ocosl0o=2cos40ocos100+2sin10osin400=2cos(40o-100)=2cos30°=3.22 .(1)已知3sinx+cosx=0,求sin?x+Zsinxcosx+cos"的值；(2)已知CoS(S-)=->8s(-0,65皿半一。)=->/?5访弓+/7),Si<a<11y<<11f求,£的值.【解析】解：(1).,3sinx÷cosx=0,.,.tanx=-».sin*2X+2sinxcosx+cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2xtan2x+2tanx+l2sin2x+cos2xtan2x+l(2)由已知条件，得4Sina=忘Sin夕43cosa=yjlcos两式求平方和得sin?a+38s?a=2,即cosa=，所以CoSa=22311a=.4/7又因为K<a<r,所以CoSa=-22把a=,代入得8s?=-当考虑到0v7v%,得?=红，因此有623 .已知tana=:,8s(a+6)=-,且a,4(0,).c，at2cosSina-I的值；(2)求cos£的值.(1)求Z应sin(a+马43tana=一，42cossina-11412_cosa-sna_1-Una_124 .已知CoSa=,(0,-).52(1)求Sin"的值；(2)设角力的终边与单位圆的交点为P(IS,y),力(0,九),求2。-£的大小.【解析】解：(1)因为o(0,2),SSa=巫，25所以Sina=JI-COS2=.5所以sin20=2sincos=3.5(2)令角夕的终边与单位圆的交点为尸(噜,/),则cos-，因为(o,m所以sin夕=Jl-cos2-，10由(I)知sin2=3,cos2a-cos2a-sin2a=-»554i所以tan2=§,tan=-»则tan(2小网以二也吗,1-tan2atan由8s夕=I,得尸(0,g,且(0,gn2(0,),所以加一夕,所以2-=(25 .已知Sina=3,其中工<av;r.52(1)求tana；(2)若OV夕<,cosp=,求sin(+/?)的值.【解析】解：(1)因为Sina=3,-<a<1152r-curr"4SIna3所以CoSa=-l-s"=，Iana=：5COSa4(2)因为OVv,cos=-,所以sin夕=y-cos2=»所以sin(+尸)=sin0cos尸+cossin4=(x*+(-=一26.设,?(0),且sin(+0=<,tan(y+)=3.(I)求COSa的值；(II)求cos£的值.【解析】解：(I)a，(O,11)»tan(-+)=3.24所以：tan(+)=22tan(y÷-)3l-tan2(-+)424即：-cota=，44所以：Iana=,3则：sina=,cos=.55(II)由于：sin(+夕)=.,且：Sina=一,51111故：一<av一，32且sin(+£)=K，故：-<a+<11»17所以：cos(+)=-,则：CoS£=COSKa+£)-。,=CoS(+)cosa+sin(+)sina,16=65应Sin(a+工)sa+sina-l÷tana74(2)a,(O,y),tana=,cos(+)=-j45/.cosa=-»乂sin(+6)=则COS0=cos(+)-a=cos(+B)COSCt+sin(+尸)Sina12453X1X1351353365