人教版选修21第三章两个向量的数量积讲义.docx

e=时COs(,e)理解数量积的几何意义案例二精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一两个向量夹角空间两个向量与匕的夹角的定义与平面内向量与匕的夹角的定义类似。(1)定义：两个非零向量。，b在空间任取点O,作5Z=,丽=Z?,如以下图，那么NAoB叫做向量。与b的夹角，记作(。,劝。(2)(。力)的取值范围：0(Q)乃，在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且(a,。)=。,。)。如果(,。)=90。，那么称与人互相垂直，记作a_1.b.知识点二异面直线及两异面直线所成角异面直线：把不同在任一平面内的两条直线叫做异面直线。两条异面直线所成的角：把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角，如果所成的角是直角，那么称两条异面直线互相垂直。点拨(1)两个向量的夹角是将表示两个向量的有向线段的起点重合而形成的角。(2)两条相交直线的夫角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是0。,90。,而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是0。,180。°知识点三两个向量的数量积(1)定义：空间两个向量。口，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量的数量积力=同WCOS(。力)叫做两个空间向量。力的数量积(或内积)。(2)两个向量的数量积是一个实数，这个实数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关。其关系为：当<90。时,ab>O;当(,。)=90。时“包=0；当9°<(,)180。时,ab<O°(3)空间两个向量的数量积的性质:作用性质a1.boab=O=aa=a2解决有关两向量垂直的问题可以进行数量积的运算与模的转化*44比拟大小或证明不等式(4)空间两个向量的数量积的运算律：（八）b=A(ab)；交操律：ab=ba；分配律：(a+b)c=ac+bc。典型例题分析题型1空间向量数量积的定义【例1】空间向量满足时=3,q=4,(=120°,试求(3-2b)(+2fe);(2)向量,),c,d满足+Z?+c=d,且同=3M=2,同=4,同=逐，试求)+bc+u。解析应用向量数量积的定义计算。答案(1)(3a-2b)a+2b)=3a2-2ab+6ab-4b2=32+4b-4W=3×32+4NCoD4x4?=27+4x3x4COSI20p-64=27-24-64=-61。(2)由题设条件知：a2=9,Z?2=4,J2=5,(d+Z>+c)2=tZ2,于是a2+b2+c2+2Z?+2Z?<:+2c=J2,9+4+16+2(«b+bc+ca)=5,.ab+bc+ca=-2。规律总结(1)理解了空间任意两个向量都是共面的，就可以将空间任意两个向量的数量积、夹角及其范围、模、性质和运算定律转化为平面向量的相关问题；(2)根据向量的数量积的运算定律，在求两个向量数量积时，可以接照多项式的乘法那样进行去括号计算。【变式训练1】向量,(a,c)=0,c)=6O。，且IaI=IM=2,忖=3,试求:(1) (a+b；(2) (a+2h-c)2；(3) (30-2b)伍-3c)。答案(1)(4+乃2=02+助力+/=同2+羽网0$90。+例2=1+4=5；(2) (a+2b-cf=a2+4h2+c2+4ab-2ac-4hC=1；7(3) (3a-2b)(b-3c)=3ab-9ac-2b2+6bc=-。(1)ABAC；入(3)GFAC；解析要计算向量的数量积，只要求出对应向量的模及定义求解。7z四面体ABCD中，(1)因为IABI=IAq=1,何,元)=60。，所以7/=M44qcos60。=(2)因为丽=丽=1,(丽丽)=180。-60。=120。,(2)ADDB；(4)AdBCo,夹角，再根据向量数量积的答案在棱长为1的正1111=1×1×-=：22【例2】如以下图所示，在棱长为1的正四面体A88中，点及EG分别为棱AB,ADOC的中点，试计算以下各式的值：所以AC)BD=MMZ)BlCOSI20。=IXIX5)二5；(3)因为号=g,g=l,又G/AC,所以原,词=18(°,所以不就=IGFIlAeICOSI800=gxlx(l)=g；(4)因为前=反一丽，又麻.而)=廊.而)=120°,所以诟丽二5匠一丽)=5反一诟.丽=lxlx(_g)_lxlx(_g)=O。规律总结U)在计算向量数量和的过程中，一般都要用到向量的夹角确实定，这里要注意向量夹角与射线所成角的联系和区别。例如，在第(2)小题中，(而,丽)与(丽丽)并不相等，它们是互补的关系；(2)由立体几何知识知道，而_1.前，但不能直接使用。这里通过将向量万心用皮，丽来表示，这样就可以求出相应的结果。【变式训练2】在棱长为2的正方体ABCO-AgGQ中，试计算以下各式的值；(1) ABAC；(2)而福；(3)丽西；(4)函西。答案(1)=B(AB-Bc)=BB-C=22+0=4;(2) D=DC=DA=-22=-4；(3) C=Z5+CC)=(cD+C)=CCD+CqCC;=0+22=4(4)cBD=c(D+D)=cBD+ccD=c(三+c)+cD=C三+CCBC÷CD=0÷0+22=4o题型2空间向量夹角与两异面直线所成角【例3】如以下图所示，S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=Sb=SC=I,M,N分别是A8,SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值。解析要求异面直线SM与BN所成角的余弦值，只要求SM与BV所成的角的余弦值，因此就要求SMBN以及SMBN,然后再用向量央角公式求解。答案设SA=a,S5=A,SC=C,那么时=W=Id=I,且,b,c三个向量两两夹角均为60°,.'.ab=bc=ac=-。2.而.丽=g厨+而(而_0)-ac-ab+-bc-b22211111×1×22222,co廊,丽）=普驾二二'/网.网走2322二一一所以，异面直线SM与BN所成角的余弦值为一。规律总结求两条异面直线夹角问题，经常是先求这两直线上的向量所成角，再取锐角或直角。【变式训练3】如以下图，在正四棱柱A3CO-A4GA中，A8=1,3q=J5+1,E为3用上使BE=1的点，平面AEG交。R于尸，交Aol的延长线于G,求异面直线A。与GG所成的角的大小。答案aA5=G,4O="A4l=c0由题意可知，时=W=Ijd=J5+1,且4A=c=c=00由平面BqCC平面AAlDQ,又平面AEGG分别交两平面于EG和Ab,得空EA,同理靛房,那么四边形AEG厂为平行四边形。AF=GE=后,DF=XAF-Alf=1,DF=6由AAG尸与AAGA相似，又可得AG=J3。所以G=(1+3)aD=(1+3o前=*+职+葩=一诟-Q+=-h-+(l+5>=-°所以布话=8(百力-4)=符2,|羽=科=1,|可二露回一)二i访=B=1函2=(。一4)(j-4)=4,所以ICq=2。所以CoS(而,京)=导同而)=arccos.。即异面直线Ao与CG所成的角为，题型3空间向量数量积与垂直【例4】如以下图，在空间四边形ABCO中，A8"1.CD,ACVBD,求证ADlBCo解析欲证Ao_1.BC,只须证明通前二O,即只需而前用向量M无而i丽表示出来后，进行向量运算即可。答案令而=",元="而=C,因为43_1.CD.所以而CO=O,即(c-b)=0,所以c=仇因为AC_1.3O,所以尼丽=O,即"(c-)=O,所以b.c=ba,所以c=Oc,cb-)=O,即诟元二O,所以AO_1.BC。规律总结此题也可以通过证明线面垂直，进而证明线线垂直，上述解法新在借助于向量运算将空间线线垂直关系转化为向量关系解决，大大降低了运算量。【变式训练4】正方体ABCo-A与GA中，M,N分别为正方形A3CO和AA瓦B的中心。(1)求证：AC1_1.平面ABO;(2)求方石与画夹角的余弦值。答案(1)设筋=。,而=Z?,旗=C,那么X=0+b+c,BD=b-aJ=a-co注意b=c=bc=O°那么有AQBD=a+b+c)(b-a)=例2Tar=OO同理，斯踵=0。.Aq±BD,q±4,近_1.平面AB。(2)cos(57?,av)=-1o题型4向量数量积与线段长【例5】如以下图所示，线段平面,8CU平面,CDIBC,。尸_1.平面a,且NOB=30°,。与A在平面Q的同侧，假设43=8C=Cz)=2,求AO的长。解析求线段AO的长，可以转化为求其对应向量模的长。答案因为I羽2=布=施+於+而1=A+B?+c5+2AC+2BCc5+2ACD因为AB=BC=CD=2,所以AB=BC=CO=2。因为AB_1.平面,5CU平面,所以A8J_BC,所以A8BC=00因为CZ)_1.5C,所以CO8C=00所以将上面的结果代入如下图，NDCF=30o,.ZCDF=60°。又因为A8_1.a,£>b_1.a,所以ABDF,(a,dc=(DF,5c)=60°,所以屈5)=12I网2的表达中，得AD2=22÷22+22+0+0+2×2×2×-1=8,I2所以南2=2/5,从而AQ=25°规律总结求线段的长，可以转化为求对应向量的模长，而求向量的模可用公式,/="来求解。在解此题的过程中，要注意(而,而)二180。-5良女)。【变式训练5】如以下图所示，正方形ABCO与正方形A3的边长均为1,且平面ABeD_1.平面ABEF,点M在AC上移动，点N在B尸上移动，假设CM=BN=(<<J5).(1)求MN的长度；(2)当为何值时，MN的长最小。答案U)由得元=,CM=BN=a、2QF+5(0Va<yp2)o(2)由(1)知当。迫时,MN的最小值为WZ22,即M、N分别是A。、8尸的中点时，MN长最小，最小值为二。2【变式训练6】如右图，在棱长为1的正方体ABcD-W&C77中，旦尸分别是。，08中点，G在棱CO上,OG=-CD,”为CG的中点，4(1)求证：EF1B,C;(2)求EtcG所成角的余弦值；(3)求产”的长。答案设筋=,诟=6,篇=C,那么cb=Aa=c=0j2=a2=1,2=/?2=1c2=c2=1o.而=而+而=_gc+g(_0)=g(a_/?_c)。Wc='BC-BB=b-c,EF=,C7G=*,CoS(EFCG)=所以EF,CG所成角的余弦为亘(3)-7H=7i+Jc+CCf+CH=a-b)+b+c+CG(31,1?-a+-b+-c1822J3171=-a-c82222÷r2=.w的长为平。规律方法总结(1)注意空间向量与平面向量是有区别的。如假设向量0,b不共线，向量CWO,那么在空间可能有1.C且/?_1.C,但在平面上那么不可能;(2)向量的数量积不满足消去律，即4力二。力，且,不能得出Z?=c；(3)向量的数量积不满足结合律，即(。力卜二(0c)不成立；(4)向量的数量积的绝对值与实数的绝对值的运算有区别。如*4H,而时，有,乂=|4仅|。(5)求向量模时常用时=J=JU,通过向量运算求出时。(6)求向量,b的夹角(或伍外的余弦值)时一般利用COSSM二abm设法求力及同M,进而确定所求值。(7)用向量方法证明直线与平面垂直，只要证明直线上的向量与平面内两个不共线的向量垂直即可，这又转化为证明向量的数量积为0。证明直线与平面垂直的方法是空间向量所特有的，要认真领会其中的思想方法。定时稳固检测根底训练1 .以下式子正确的选项是()A.(aZ?)2=a2b2B.同4C.第二a2D.a(ab)=(aa)b【答案】B(点拨：,*同加0氏/?公同可。)2 .i,j,A是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,那么。等于()A.-2B.-lC.±1D.2【答案】A(点拨:ab=(2i-j+k)(i+y-3jl)=22-2-32=-2)3 .。、是两个非零向量，现给出以下命题：b>0(,b)0,；1.2)8=OU>(,/?)二工；202<0=(,b)(g;T；,母=同4o(a,b)=r其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B(点拨：正确的有。)4.时=13M=I9,a+q=24,那么,一身=(D.32A.22B.48C.46【答案】A（点拨：+邛=，+M+2q.）=576,:ab=23,.,一邛=，+问2-22=484,一身=22。）5.正方体48CD4夕CTy中，向量获与前的夹角是（）A.30oB.45oC.60oD.90°【答案】C（点拨：BC/AD'Bt为正三角形,.NZyA5'60o,.（而,旅=60°）。）6。矩形ABCO,PA_1面43。，那么以下等式可能不成立的是（）A.DAPB=OB.PCBD=OC.PDAS=OD.PACD=O【答案】B（点拨：当ABCO为菱形时定丽二O一定成立。）能力提升7.4、 满足条件：同=2,网=JE,且。与加一互相垂直，那么。与力的夹角为（）A.30oB.45oC.60oD.90°【答案】B（点拨：因为。与处一垂直，所以0（2人一。）=0,即2。力一向2=0,所以2|4问404,今一|42=0,所以4&CoSaM-4=（）ncos（a,/?）=,所以4与/?的夹角为45°。）8 .设_1.b,（,c）=-,（Z>,c）=-,且Ia=1.MI=2,d=3,那么+"+c=。【答案】J17+66（点拨：.tz+Z7+c2=（«+Z?+c）2=«2+Z?2+c2+2aZ?+2ac+2/?-c?=17+63,.*.<7+Z?+c?|=V17+63o）9 .在平行六面体A38A夕CTy中，AB=4,AO=3,AA=5,ZBAD=90o,ZBA4,=ZZMAz=60°,那么AC'等于。【答案】85（点拨：AC=B+BC+CCAC2=2+cj'+f+2'+2ABCC+2BCCC.=16+9+25÷2×4×5×cos600+2×3×5×cos600=85,AC=85)10 .以下命题：如果=4方(义工0),那么白=力；如果c=Oc(cw),那么=/?；如果c=O,那么_1.b；如果b=T44O,那么与b的方向相反；如果cv,那么与b的夹角为钝角。其中假命题有O【答案】(2X5)(点拨：中GCVO时，可能。与6共线且反向。)1.直四棱柱ABCZ)-A4G中，NAOC=90o,AABC为等边三角形，且AA=AD=OC=2,求AG与BC所成角的余弦值。【答案】取AC的中点E,连结£七、BE,在AAOC中，AO=OC=2ZADC=90p,:.DE1.AC,DE=42o在A8C中，AB=BC=AC=22,BE-1.AC.BE=y6,那么B、E、D共线，Z)=2+6=2(l+3),在直四棱柱中ABCZ)4耳G。中有AC1=DC.-D=DC+DD1-DA,/.Aq2=5cj2+D2+DA2+2CD-DC5a-DDA=4+4+4+2(0+0+0)=12AqBC=(DC+5q-5A)(DC+DB)=52=dzdc-pa-5c-5czS-5-5b+dadb=4+0-0-2(2+6)cos450-0+2(2+6)cos450=40异面直线AG与BC所成角的余弦值为6612.四边形ABCD中,/A=/B=4C=ZD=Z,用向量运算，证明四边形ABCD是矩形。2【答案】如以下图所示，设A8=,3C=ACD=c,那么AO=a+6+c。AZA=ZB=ZC=ZD=-,2“b=bc=c(+Z?+C)="(+Z?+C)=O,/.c(a+c)=0fa(a+c)=0两式相加，得(+c)2=0,那么+c=O,即a=-c(于是。C,ABHCD,故四边形ABCO是平面四边形。所以四边形A8CD是矩形。