5.3-定积分的换元法和分部积分法-习题.docx

1.计算下列定积分:r11K(1)Sin(X+)公；T3【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式gsin(x+f)公=CSin(X+)d(x+f)=-cos(x+g)；T3彳333j=-C0S(-+)-COS(+)=-COS(-COS)=0O33333【解法二】应用定积分换元法令工+工=，则=，当X从2单调改变到;T时，从红单调改变到”,3333MJIf-4乃24于是有1.sin(x+-)d=Msinudu=-coswa=TCoScos333T33*axJ-2(ll+5x)3【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式+5x)%(11+5x)1+5x)TIr111/1“5110(11+5×1)2(ll-5×2)210162512【解法二】应用定积分换元法令ll+5x=",则公=反，当工从一2单调改变到1时，从1单调改变到516,于是有fl-=-,6w-3JmW-2I;6=-(7-l)=Oj-2(11+5x)35j'5-2l'1016251211(3)£2sin>cos3d；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式EsinOCoS3d=-j2cos3dcose=一；cos4J=_cos4y-cos40=0114【解法二】应用定积分换元法令CoSo=uf则-Sind=du,当口从0单调改变到(时，从1单调改变到0,于是有"sin9cos3d=-ju3du=M3Jw=-w4=：。(4)(1-sin'。)。；【解】被积式为(l-she)d,不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于1是独立的，易于分别出去独立积分，于是问题成为对sir?仇/6的积分，这是正、余弦的奇数次塞的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：sind=-dcos,余下的sin?"=I-Cos?6,这样得到的一(1一COS?0)dcos6便为变量代换做好了打算。详细的变换方式有如下两种：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式£(1-sin3)d=£W-sin2snd=6，÷(1-cos2)dcos=11+(cos8一；cos3)I=乃+(cos11-cos0)-(cos311-cos30)14=+(-11)-(11)=,-o【解法二】应用定积分换元法令COSe=，则一si110d0=d",当3从0单调改变到乃时，从1单调改变7(1-sin3)d=W-Jsin2snd=+£T(1-cos2)dcos=4+(I-M2)Jw=+(m-u3)114=+=7-ocos2udu；【解】这是正、余弦的偶次舞，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：cos2-=1+csi4,将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：cos2=1+cs2fz,使之222可以换元成为基本可积形式：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式J2cos2udu=p1+sS2"du=(Jdu+pcos2ud2u)K飞22k2WD=：(?_?)+J(Sin乃一Sin?)ZZo23【解法二】应用定积分换元法令211=x,则成=!公，当从工单调改变到工时，X从工单调改变到,2623I£du+7;cos2ud2u)于是有Jcos2WtZw=P+c；2d=(J+jcosxz)=J一夕+JsinxJIr乃1z.汽、1/3=-+-(sn-sn-)=-(-)-也-冗2公；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2,应当应用其次类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x=sin”,当X从。单调改变到J时，从0单调改变到且2-x2=2-2sin2w=cosw,dx=丘COSUdI4,使得o727=J2COSwy2COSMdU=21+cos2u,2dulo211/r11I2du1cos2udu=uf;+f2cos2ud2uJoJo2。2+sin2u=一+一(SinTr-O)=-o222(7)f,1年也【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2,应当应用其次类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令X=Sin，当X从单调r1.ffQHTtMgU乃D1-X2Jl-SlITCOSZ/.改变到1时，从一单倜改变到一，且-2=-r,dx=cosudu,42x"sin-usinU使得,1=Pcosudu飞XJNsn-uJcot2udu=Jj(csc2u-)du/Trz兀4、,TCTC.11TC=(-cotw-w)；=-(cot-COt)+(-)=1-(8)CX2yJa2-X2dx(a>0)；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2,应当应用其次类换元法中的三角变换法:为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x=asin，当X从0单调改变到。时，从0单调改变到y,且jya2-X2=a2sin2u>a2-sin2u=sin2uacosw,dx=acos1.idu,使得X2yja2-X2dx=sin2uacosuacosudu=£2sin22udu4f7l+cos4"=(w+-sin4)一4J。284÷(sin211-0)=11a4»82416丁T=；j,x2F77【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2,应当应用其次类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令X=tan",当X从1单调改变到6时，从巴单调改变到乙，且43dxsec2udusec2uducosw,1.=/=du=asinux2l+x2tan2wl+tan2wtan-usecwsinuSinF使得'=JJ-dsinuj,17¼sin2w这时，再令sinv=/,当从三单调改变到工时，f从立单调改变到立，4322叫,2%-公公;【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2,应当应用其次类换元法中的三角变换法。由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式,须要先将其转化为标准形：y2x-x2=>1-(1-2x÷x2)=l-(x-l)2，现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令X-I=Sinw,当X从0单调改变到1时，X-I从一1单调改变到0,从而对应从一巴单调2改变到0,而且J2x-d=Ji-sin2=Jcos?=cos",dx=cosudu,于是du=-(m+-sin2w)0jj.22tt2x-x2dx=cosucosudu=°!48s2"°jJ-T2=:0-(-g)+!sinO-sin(-)=o2224i)4-1jl+7【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应当应用其次类换元法中的干脆变换法：【解法一】令返=，当X从I单调改变到4时，从1单调改变到2,且由此得X=/,dx=2udu，f=，于是1+1+«l=f器=2j>“一小柚32=2(2-1)-(In3-In2)=2(1-In-)=2(l+ln-)o【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简洁变量，即令1+«=，当X从】单调改变到4时，从2单调改变到3,且由此得X=5-If,dx=2(u-l)du,一尸二一，l+xu于是渣7MW12""=2g->d"=2(“-1明喟=2(3-2)-(ln3-ln2)=2(l-ln)oETF【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应当应用其次类换元法中的干脆变换法：【解法一】令Ft=，当X从2单调改变到1时，从1.单调改变到0,且由此得42X=I-,jx-2udu,1_1.=,于是l-7-lu-JT或含八2,+土"=2Q+1Mll)=2(-+In-一Inl)=l-21n2o22【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简洁变量，即令A=嚏-1=，当X从3单4调改变到1时，从一；单调改变到一1,且由此得X=I-(+1尸，dx=-2(u+)du,J；,dx=:2("+Ddu=22(1+-)du=2(+Inm)；j71-x-12uJM=2(-)-(-l)+ln-g-ln-l)=l-21n2o【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应当应用其次类换元法中的干脆变换法：令。5-4)=,当X从-1单调改变到1时，”从3单调改变到1,且由此得X=(W-5),dx=udu，/=一，于是4254uf=(u2-5)-udu=-f'(w2-5)du=-(-m3-5m)!jj,547人42883,3=1(1-33)-5(1-3)=1oO30(町：*；11i1i【解】由于"T公=e'-dx,为含复合函数e'的积分，且微分部份FdH乂与复合函数针XXX之中间变量上的微分-4公相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：XJr【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式J：公=-jexd=-exI；=-(e-el)=e-&。【解法二】应用定积分的换元法令二=，当了从1单调改变到2时，从I单调改变到彳，且由此得=小八,(15)fte2dt；Jo【解】为含复合函数J5的积分，且微分部份与复合函数J，之中间变量-乙的微分2T力仅相差一个常数倍，可以应用第换元积分法：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式2dt=-Je2J(-)=-e2=Te-eii)=-4=。【解法二】应用定积分的换元法t21令一一二，当X从。单调改变到1时，从0单调改变到-一，且由此得TM=疝，221_?_i0J_1于是je2dt=-，el,du=Jlel,du=eu01-ei-e2=1。(Iy【解】为含复合函数的积分，且微分部份丝与复合函数,之中间变量1+lnx的微Xl+lnx分!公相等，可以应用第一换元积分法：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式7="(1+lnx)=2G;=2(l+lne2-l+lnl)=2(>A+2-+0)=2(3-l)0【解法二】应用定积分的换元法令l+lnx=",当X从1单调改变到/时，U从1单调改变到3,且由此得-dx=du,于是X舄=此何=2/八呵:二【解】为含复合函数的积分，被积函数为真有理分式，分母为二次无零点的多项式，且分子比分母低一次，可以分解为两个可积基本分式的积分:(x+2)ddxr(x+2)dr_1po(2x+2)+2J-2x2÷2x+22J-2x2+2x+2IrO2x+2.1f2.：ax+OX2j2x2+2x÷22j-2x2÷2x+2If02j-2x2+2x+2d,+2x+2)+看二Td(KI)=-ln(x2+2x+2)2+arctan(x+l)2=(In2-In2)+arctan1-arctan(-l)11.11x11=-(一-)=O442dxy/x÷1÷J(X+Ip【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应当应用其次类换元法中的干脆变换法:令Jm=，当X从O单调改变到2时，从1单调改变到J1.且由此得X=/dx=2udu，x÷T+(x+l)3w+w于是dxJx+1+(+1)3=广-2U2白du=2arctanuf=2(arctan6-arctan1)=2(-)=346(19)EVcosx-Cos3xdx；【解】由于Vcosx-Cos3X=JCoSX(I-cosx)=Vcosxsin2x=JCOSjinx,所以J：Vcosx-Cos3xdx=Jl-Jcosx-cos3xdx+JJCOSX-cos'XCIX2-2=Jcosx(-sinx)dx+£2cosxsinXdX2=JCOSXdcosx-£2JCOSXdcosx"T于是有【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式£_£JbJ彳JCoSQ-CoS3XdX=(cosx)2dCOSX-6(cosxYdcosx22-=(COSX)2CoSX户224=-(1-0)-(0-1)=-o【解法二】应用定积分的换元法令CoSX="，当X从一工单调改变到0时，从0单调改变到1,当X从。单2调改变到2时，从1单调改变到0,且由此得一$由修仪=疝，于是2J,AOSQ-CoS3。公=Jcosx(-sinx)dx+YCOSXsinXdX22=J：y/udu-J：&du=£udu+£du2hr,21224=-m-ooJw÷o=-÷i=-CO)fJl+CoS2xdxoJO【解】由于l+cos2x=72cos2x=f2cosx,所以Vl+cosIxdx=>2cosxdx=V2J2cosXg+J；|cosxdx"sinx"2=V2Jcosxdx+J；(-cosx)dx=>2sinx=5(sin-0)-(sin11-sin)=T2l-(-l)=2y2o2.利用函数的奇偶性计算下列定积分：14(1)Xsinxdr；J-JT【解】由于函数y=sinx是奇函数，即知fJsinxdr=。J-左口腐如。;"7【解】由于函数/(9)=4cos4e是偶函数，且有,4八/1+COS26、。，_CZI1+cos4cos4=4()2=1+2cos20+cos'2。=1+2cos20+2231=+2cos2+-cos4。即得Jl2汽二314cos4d=224cos4d=22(+2cos2+cos40=2(-6>+sin2<9+-sin46>)J28=2(-0)+(sin-0)+-(sin2-0)228311-O2j(arcsin%)JI-X2dx；【解】由于函数y=(址：Sm幻"是偶函数,所以7r(arcsinx)_(arcsinx)_=2(2(arcsinx)2JarcsinxJT7jo7jo21O12=-(arcsinx)3三=-Karcsin-)3-0=-【解】由于函数)，=汇誉竺是偶函数，所以1-X2（-xarcsinx471-x2d=2dx=-29A"arcsinxJl2-X"=-21-x2arcsinx3.证明：=P（x>0）<>JX1+产Jil+r2【证明】作倒数变换f=1.,当/从X单调改变到1时，从!单调改变到1,UX口士11/J-IJ且有r=-7：,dt=-du1+/I+Z1×2M+1UU于是有J*-7=udu=-；-二d,=二du1.1+产Jl+w2u2jt1+mj,1+w2J1+/证毕。4 .证明：£sin"xdx=2（2sin"XdX。【证明】由于£sin11xdx=Jsinnxdx+J；sin"xdx,其中，对于ASin"照改，作如下的处理：2作变换X二乃一，当X从工单调改变到万时，从工单调改变到0,22sinz,udu=J2sin"xdx,且有5而"=5而"（万一）=5的",dx=-du,于是，Psinhxdx=-,sinnwJw11不从而得JOSin”xdx=rsin"Xdr+J；sin"xdx=22sinwxdx。证毕。5 .设/为连续函数，证明：当f(t)是偶函数时，(4=j7(rMr为奇函数；【证明】当，是偶函数时，有/()=H),使得(-x)=£Vf(t)dt/=-f(-u)d(-u)=-f(u)du=-(x)，可知此时Qa)=&为奇函数，证毕。当f(t)是奇函数时，(4=o7(rMr为偶函数。【证明】当，是奇函数时，有/(T)=-/，使得(-x)="/a)"，=-0(-wW(-w)=f(u)du=(x),可知此时奴)二,a)%为偶函数，证毕。6 .设/(幻是以丁为周期的连续函数，证明：对随意的常数。，有J：f(x)dx=f(x)dx。【证明】题设AX)是以丁为周期的连续函数，可知成立fCr±T)=(x),由于f(x)dx=£f(x)dx÷/(x)dr+f(x)dx=-JfMdx+f(x)dx÷J：，f(x)dx其中，对于J；"/(幻右，作如下的处理：令x=+T,当X从7单调改变到7时，从O单调改变到。，(+Tra使得1.f(x)dxX="+J。/(+T)d(u+T)=Jf(u)du=f(x)dx,于是有f(x)dx=-Jf(x)dx+J；f(x)dx+J(x)d1.v=f(x)dx,证毕。7 .计算下列定积分：(1)xexdx；【解】被积函数属分部积分第一类，应选e-'为先积分部份,【解法一】套用分部积分公式,xe-xdx=xd(-e-)=-xex-£(-e-x)dx=-,-0+e-xdx=-e->_eh=_/_(/_/)=>2°【解法二】应用列表法符号求导积分+Xex_1Y-0可得xexdx=(-xe-x-e-)=(-k,-e,)-(-Oeo-e°)=1-2。(2)xlnxdx；【解】被积函数属分部积分其次类，套用分部积分公式，选X为先积分部份，jXInxdx=JjInxdx2=x2lnx-jInx=-(e2lne-0)-x2-dx=-e2-V-xdx2J2X2jl2(含不行干脆积分部份的分部积分不应运用列表法)(3) fxarctanxdx；Jo【解】被积函数属分部积分其次类，套用分部积分公式，选X为先积分部份,fxarctanxdv=f'JoJoarctany1x2=l2arctanx=larctanl-f,l.2j°221l+x2I：一£Jfdarctanx1+x£"O2(4) 2xsin2xd;Jo【解】被积函数属分部积分第类，应选sin2%为先积分部份,【解法一】套用分部积分公式,2xsinIxdxJOV11=j2j(-cos2x)=-xcos2x=-(yCS,-0)+£2cos2xdx=-(-l)+-sin2x=+(si11-O)=-o444【解法二】应用列表法符号求导积分+Xsin2x1、1C-1cos2x2+O-sin2x4r1一TC可得2xsinIxdx=(xcos2x÷-sin2x)=(cos-0)+(sin11-sin0)Jo?4774=(00)=-o2244【解】被积函数属分部积分其次类，套用分部积分公式，应选J=为先积分部份,xJ4dx=nxdl4x=27InXU2yfxdInx=2>xnx-2yx-dx=2>xlnxf二2五InxC_=2r(lnx-2)=24(ln4-2)-(lnl-2)=4ln4-l=4(21n2-l),JWsnX【解】被积函数属分部积分第一类，应选一为先积分部份,SilrX【解法一】套用分部积分公式，|7T-公二J：sinXPJVd(-Cotx)=-xcotX1111CotX)公TrCOSX=-XCOtX；+七Sinx44sin)4z1111,=(-yC0ty+ln21111Jdx=-%cot,r+DJsinx万I/r74SmX=-XcotXJ+InsinxJ=(-xcotx+Insinx).7t7T71sin-)-(cot-+In344【解法二】应用列表法符号求导积分1±snX一-cotX+0-lnsinx可得Jdx=(-xcotX+lnIsinxl)彳勺SilrX7.7171.7万71.冗、=(cot-+lnsin)-(cot+Insin)333444=(-4=+ln-)-(-+ln3324J11TJ1、I13u+ln=(_>+_lnie2JyCOS她；【解】被积函数属分部积分第一类，/X与COSX均可选为先积分部份,【解法一】套用分部积分公式，选/X为先积分部份,j2xcosxdx=cosxd=lcosx(/cos-e0cos0)+P-e2xsinxdxJe2vJsinx422j2=-(0-1)+P-sinxJe2re2Asinx2J。22244J。11e2xCosxdx即得2xcosxd=-+-心cosxdx,JO244J。移项，整理得7Zvcosz=-(-2)oJ。5【解法二】套用分部积分公式，选COSX为先积分部份,osinxdelx/T工e2xcosxdx=.e2xdsinx=e2xsinx=(e11sin-0)-22e2xsinXdX=efr-J2e2xd(-cosx)-¼cosxe11-2e2x(-cosx)彳-£2(-cosx)dle2x=e11+2e2xcosx=e"+2(e11cose()cos)-42e2xcosxd即得Jsa=-2-4Jcos,移项，整理得2xcosxd=(ejr-2)o(8)xIog2xdx；【解】被积函数属分部积分其次类，套用分部积分公式，选X为先积分部份,xlog2xdx=2log2xdx2=x2log2x-x2dIog2X=(41og,2-0)-fx2!-dx=2xdx2jl2xln221n2jl=2!.-x=2(4-1)=2o21n22l'41n24In2(22(9)XCosxdx；Jo【解】将三角函数降次后求解,f2r2,f2/r1+COS2X.1f2XCos2xdx)=r+IXCosIxdx2JoJ。xcos*xdx=J-ax=-(x+xcos2x)dx其中，积分J：XCoS2尤氏中的被积函数属分部积分第一类，套用分部积分公式，选cos2x为先积分部份，得p2rp211j2次2tJ(xcos2xdx=jX6/sin2x=xsin2x0-JsinIxdx=4sin44-0+；cos2x;r=0-0+(cos411-cos0)=i(l-l)=0,)2I2,212从而得xcosxdx=11+xcos2xdx=11+×0=oJo2。2jSin(InX)必:；【解】被积函数属分部积分其次类，且已经具有"du的结构，干脆套用分部积分公式得sin(lnx)dr=xsin(lnx)J,-(xdsin(Inx)=esin(lne)-0-xcos(lnx)-dx=esin1-J：COS(Inx)dx=sinl-xcos(ln/)卜一J：Mcos(lnx)=esinl-ecos(lne)-cos(ln1)+jx-sin(lnx)dx=esin1-ecos1+1-J：Sin(Inx)dx即得jsin(lnx)clx=(?(sin1-cos1)+1-jjsin(lnx)d1.r,移项、整理得£sin(lnx)dx=e(sin1-cos1)+1o(IDMnXl公；【解】lnxiZ=1'lnx6Zr+*lnxtZx=(-Inx)dx+Inxdxeee=-lInxdx+Inxdx=-xInx”jxdInx+XlnXuxdnxeee=i-x,1+e-x；=F1-e-(e-Y)=2。e-'eeeCx3e2dxo【解】这是含复合函数的积分，可用第一换元积分法，令/=，当X从0单调改变到J而E时，从0单调改变到ln2,得j阮XMdx=x2e2dx2=ue,du="'udet,Jo2Jt)2°2°(W'J："3=；。112-0)-卜|=ln2-(e,n2-e0)=ln2-(2-l)=In2。2228 .设/(X)=£包dt,求£Xf(X)dx。【解】必力是闻名的无法用初等函数表示结果的一道积分题，因此，无法通过确定f(x)的表达式来求解积分工xf(x)dx,但明显可见，易于求出了'(X):、d*sinf.sinx2.2.,sinx2_2.2fx)=-dt=(X2)'=-2x=-snx2,dJItXr%于是，可以通过分部积分法，由(犷。)公转化出/(九)从而解决问题:xfMdx=(x)Jg炉=gx2f(x)-x2df(x)=12/(1)-0-X2f,(x)dx=(1)-£；x2fx)dx=/(1)-fx2sinx2d=/(1)-(xsinx2dr2jo2x2Jo=0)-sinx2dx2=(l)+cosx=l(l)+l(cosl-l)=(l)+cosl-l由题设/(x)=J；,可得/(1)=-6/r=0,最终得到'xfxdx=(cos1-1)o9 .设/(X)=X-J。/(X)CoSAZ伏，求F(X)O【解】由于/(x)cosxd为常数，可知/(X)=1,由此得f(x)cosxdx=：f(x)dsinx=/(x)sinxsinxdf(x)=/(;T)Sin万一/(O)sin0-Jsinxfx)dx=00(SinXd=cosx:=cos-s0=-2,err于是，/(x)=x-Jf(x)cosxdx=x-(-2)=X+2。