4个幂等矩阵线性组合的幂等性--高等代数毕业论文.docx

编号莆田学院毕业论文课题名称：4个幕等矩阵线性组合的塞等性系别数学与应用数学系学生姓名学号专业数学与应用数学年级指导老师_莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人慎重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行探讨工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的探讨做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人担当。4个基等矩阵线性组合的累等性摘要文献1U2,5都是探讨2个和3个的事等矩阵的线性组合，在同它们的限制条件基本一样的基础上，本论文首次对四个幕等矩阵的线性组合的性质进行探究。本文得出在以下条件下，4个累等矩阵的线性组合的累等性的一些充分条件。设鸟，入，是两两相互可交换的非零的哥等矩阵，且月工与，满意片弓二O或当6P产0时，PR=Pi或PiPj=P了这里iw,ij=l,2,3,4。矩阵P=C出+C2g+C38+O乙是累等矩阵，其中CKAGQE网。这与文献1,2,5的限制条件基本一样。关键谓1：嘉等矩阵；相像矩阵；可对角化；线性组合；分块矩阵；特征值OnidempotencyoflinearcombinationsoffouridempotentmatricesAbstractThereferenceof1,2,5allresearchedthelinearConbinationsoftwoandthreeidempotentmatrices.Theyarebaseontherestrictiveconditions1,2,5justastheyrequired.Thisessaywillexplorethenatureofthelinearcombinationsoffouridempotentmatricesforthefirsttime.Thisarticleconcludethataserisofsufficientconditionsfortheidempotencyoflinearcombinationsoffouridempotentmatricesinresponsetotheconditionsasfollows.1.etbeanyfourdifferentnonzeromutuallycommutativen×nidempotentmatrices,suchthatPiandPjarePiPj=OorifPjPjO,thenPiPj=PiorPiPj=Pj,iy,i,y=1,2,3,4,andc1,c2,c3,c4benonzeroscalars.ThematrixP=cF+c2P2+cyPy+c4P4beanidempotentmatrixaregiven.Therestrictiveconditionsofthispaperjustasthereferences1,2J5required.Keywords：Idempotentmatrices;Similarmatrices;Diagonalization;1.inearcombination;Eigenvalues1预备学问42主要结论53n=4的状况134n=4时的举例19参考文献24致谢25对于幕等矩阵，它有很多独特的性质，最突出的是它的特征值只有0和1；它的作用更是显著的，比如投影。这些使得'幕等矩阵成为重要的矩阵理论。还有嘉等矩阵的简洁运算(如加法)在教材7,8上已有简洁的介绍。于是引起了人们极大的爱好，因此人们也起先思索如何利用幕等矩阵的性质和作用来探讨矩阵理论和解决更实际的问题。这样，嘉等矩阵的更一般的状况已引起学术界的重视。近几年来，2个和3个幕等矩阵的线性组合仍旧是事等矩阵的问题是算子论中的一个重要问题已被探讨。关于幕等矩阵的探讨主要分成两大类：第一类，考虑幕等矩阵的线性组合的事等性；其次类，考虑随意矩阵可分解成哥等矩阵的线性组合。这两类都是关于事等矩阵的。尤其是它们的证明不仅可从代数的观点动身，而且也反映特征值、特征向量、特征多项式的作用，还有具有幕等矩阵形式的二次形式更广泛地应用于统计论中。沿用了文献2、3中的记号，本论文进行如下符号说明：(1) n:表示全部X阶矩阵的集合；(2) 0：表示复数域，扣除O;(3) £/0,1：表示复数域，扣除0,1；(4) F：表示全部两两相互可交换的非零X幕等矩阵的集合；(5) I：表示X”单位矩阵；(6)儿,A”,s,(=1,2,."):分别表示0名，鸟，区的特征值。以下是目前的国外、国内的探讨结论：命题1.(见文献1,Theorem,文献5,定理4)设q,UF,且今工?，c1,c20,则P=g6+c2Pi是基等矩阵当且仅当下列四个条件之一成立：(a) P1P2=P2I=Ofc1=c2=1；(b) PP2=P2P=P2yc=hc2=-(c) PiP2=P2Pi=Pc,=-l,c2=l;(d) PlP2P2P(>-)2=0,c1¢0,1,c2=l-c10命题2.(见文献2,Theorem3.2)当"，8，鸟F,且它们两两不相等，c1,c2,c30,假如下面条件之一成立，则矩阵P=C出+c2P2+C3P3是鼎等矩阵：(a) cl=C2=C3=XyPiPj=0,iwj,ij=l,2,3;(b) Cl=C2=1，。3=1，66=,P1P3=P2P3-P3(或68=2，PR=P3,P2P3=P2)(C)cl=-1,c2=c3=l,PxP2=PxiPiP3=P39P2P3=P3(或PlP3=PifP2P3=p2(d)C1=C3=I,c2=-l,PiP2=Pli>>=>,P2P3=P2(或PlP3=PyfP2Py=p且不存在满意条件的矩阵"，鸟，£使得62=匕PlP3=P2iP2P3=P2(或鸟=£,66=6，P2P3=P3).命题3.(见文献2,Remark1.)当今，5，后均为3x3矩阵，且满意命题2的条件时，有（八）当El=(UJ,i,/=1,2,3时，有P=I;(b)当舄二月或6与=生，工/,，,/=1,2,311寸，有=/或£=/或£=/。命题4.(见文献6,定理3)设耳,鸟,gF,且它们两两不相等，c1,c2,c30,假如满意下列条件之一，则矩阵尸=C出+c2+c3>是幕等矩阵：(a) c1=lc2=,c3=(Z>÷>),>=/>(/?+/?),/>=/>(/?+/>)；(b) Ci=-g,q=g,Q=g,(i,j,k=l,2,3,且iwjwk),并且k=片(2+6)，名=巴(6+u),U=U(k+名)；(c) =-2,c.=1,Ck=I(ij,k=l,2,3,aijk),并且二匕与=匕娱=冗；(d) .=-l,=-l,q=l(i,j,k=l,2,3,且iWjwk),并且(E+与一或P=PiPj；(e) q=1/=1，4=1(币上=1,2,3,且1工土1<),并且(尸一弓)(6-B)=O；(f)c1=l,g=1,c3=l,并且66+46+2=0。明显文献6的结果包含了文献2中的结论，即有了进一步的发展。命题5.(见文献3,Theorem1.)设月，6，名F,且匕工与，i川尸1,2,3。假如下列状况之一成立，则矩阵P=C出+6优+。3勺是幕等矩阵，其中49勺££/0，=(c1,c2,c3,c4):(4)当44=44，A4=4A时，有(1)AiA2=O,AiA3=0,/=(1,1,1);(a2)AiA2=A2,AlAi=0,/=(1,-1,1);(¢z3)AiA2=0,1A3=A3,/=(1,1,-1);(iz4)AyA2=A2,1A3=A3,/=(1,-1,-1);(6)A4+4A=A，=(-lJJ);(a6)A1A2=A1-A3,=(-1,1,1)/=(-1,1,2)；(a7)A1A3=1-2,y=(T,1,1)或y=(T,2,1);(%)&=A，=(C,-C,l),qe0,或=(q,l-q,l),qc0,l；(i9)A3=A1,=(cl,l,-c1),c1£0,或7=(9,1-9)-"/0,1；(d0)A2+A3=A1,=(c1,-c1,-c1),ci¾0,或=(q,-q,l-q),q0O,1,或y=(q,l-q,-q),q0O,1,或y=(q,l-q,l-q),qe0,l。伍)当A1A=44，AA4A时,有(bt)(A1-A3)2=A1A2f/=(-1,1,2)；()(1-A,)2=0,=(c1,1,1-c1),cie0,1;()(1-A5)2=2,=(ci,I-CpI-C1),ci0O,1或=(c1,-cl,l-c1),cl0O,1;(C)当44HAzA,A1A3=A3A1W,有(CI)(A-4)2=AA3，=(-l,2,l):(c2)(A1-A2)2=Ot=(c1,l-c1,l),c1e0,1;(c3)(1-A2)2=3,=(c1,1-ci,-ci),cie0,l或=(c1,1-C1,l-c1),c1"0,l0(d)当44工44，44工44时，有(dl)(Ai-A2)2+(A1-A3)2=Atf=(cl9l-cl9l-cl)9cl0,l;(J2)C1C2(1-A)2÷C1C3(1-A3)2÷C2C3(+A5)=O,c1+c2+c3=lo在文献3中，OSkarMariaBakSaEry放宽了月，鸟，门的限制条件，即为3个幕等矩阵格，鸟，鸟满意巴巴=O=。他的结论是Px,P2,P3的线性组合是嘉等矩阵的充分条件。但文献1,2,3,5,6都只是对于2个和3个幕等矩阵的线性组合的探讨，并没有探讨4个以上的状况，甚至更一般的状况。主要是由于线性组合的平方的绽开式中两两不同的乘积随着线性组合的个数增加，成倍数增多。因此，只能对它们进行条件限制。而且，随着限制条件的放宽，所带来的探讨也将变得特别困难，更不用说一般状况。可见，多个幕等矩阵的线性组合的嘉等性，还有很大的空间可探讨。本论文主要是探讨4个幕等矩阵的线性组合的幕等性。1预备学问定义1?若矩阵A,6w"j,存在可逆矩阵S4，使得3=S-AS,则称矩阵B与A相像。定义2若矩阵A(,A与一个对角矩阵相像，则称A是可对角化的。定义3若矩阵A,6"zj,存在可逆矩阵Se“，使得S-AS和STBS都是对角矩阵，则称AB可同时对角化。引理1一组有限个，可对角化的矩阵，若它们两两相互可交换，则它们可同时对角化。引理1的具体证明见文献9。引理2设入，匕F,且它们两两不相等，c1,c2,c3,c40,若P=C出+gg+cj?+1A为哥等矩阵，则P可对角化。证明：由引理1.知"，鸟，鸟，心同时可对角化，即存在一个可逆矩阵Q,使得=QFQ，M=Q'P2Q,T=Q1P3Q,都是对角阵，并且它们的对角元分别是"，鸟，鸟，区的特征值。故Px=QAQ1,P2=QMQ1,P3=QTQ1,PA=QSQ-'从而尸=Qc1+c2M+c3T÷c4SQ1o证毕。引理3设片，GCF,且它们两两不相等，c1,c2,c3,c40,若P=C£+。3A+C4与为幕等矩阵当且仅当(cli+c2z+c3.+c45z)(c1/¾+c2z+c3+c45z-1)=O,z=1,2,n0证明：由引理1,有尸=。4+6河+67+15<2-。所以，当P?=2时，干脆计算可知结论成立。注：因为耳，鸟，门，乙都是幕等矩阵，所以4，“,如Sj(Z=1,2,九)0,102主要结论定理1是依据引言中的假设条件，对于4个两两不同的相互可交换的幕等矩阵，它们的乘积组合只有6(=。：)种，即取定乙/(。/=1,2,3,4)有6种不同的匕。由于每个PR,它的取值只能为或C,所以全部非零的PR有64(=c；c；c；c；c；c；=26)种不同的取法。再加上=0G/=1,2,3,4)的状况，因此共有65。由于累等矩阵可对角化，又两两相互可交换，使得它们可同时对角化。再由基等矩阵特征值的特点，i.i.ti.si(/=1,2,.z)0,1,令Si=(4,",s,)(i=1,2,),则砌G=I,2,.打)只有16种不同的取法，之后利用不G=1.2,打)来对这65种状况具体进行验证，这是定理1和推论的主要思索方法。得到定理1和推论结论是由于对65种状况进行探讨后,所得到的=(c,q,g,q)值和不满意条件的缘由，。从而把这65种状况可分成12大类，严格来说这是计算式的证明，利用穷举法和验证法的结合。定理1设后，名，6，尼F,且工尾，满意匕4=0或当弓WO时，PFj=Pi或PlPi=Pj,这里i川J=l,2,3,4。假如下列状况之一成立,则矩阵尸=C出+Gl+。出是嘉等矩阵，其中0,。2，。3，。4£/。，=(C1,C2,C3,C4):y=(l,l,l,l),*=0/小)=1,2,3,4；P,P2=PxP3=PvPxP,=PvP2P3=P2,P2Pa=P2,P.P4=P.,(2.2)/=(-1,1,-1,1),利=Pl,PlPy=BRA=R,P2R=P3,P2P4=P4,P3P4=PQ(2.3)/=(-1,1,-1,1),P1P2=Pl,PlPy=P.P4=P4,P2Py=P31P2P4=P4,P3P4=P.；P1P2=P2,PlP.=P,P4=P2Pi=PyiP2P4=P2,P.P4=P3;(3.1)/=(-1,1,1-1),P1P1=PrPlP.=PPlP4=PrP2P3=P29P2P4=P2,P.P4=P4;利=Pl,PlPy=BRA=%P2P3=P3,P2P4=P4,P3P4=P3;(3.3)/=(-1,1,1-1),PiP2=PP3=P39P1P4=PM=>,>>=>,¾=;>；(3.4)=(-lJ,l-l),PlP2=P2,PlP.=PlP4=P4iP2P3=P2,P2P4=P4,P.P4=P4;P1P1=PrPlP.=PPlP4=PrP2P3=P29P2P4=P4,PiP4=P4;(4.2)/=(-1-1,1,1),利=Pl,P1P.=P19P1P4=Pm=PsW=PVE;P1P2=P2,PiP3=PliPlP4=P41P2Py=P2,P2P4=P2,P.P4=P4;(4.4)/=(-1-1,1,1),PlP2=P2,P=PlP4=PP2P.=P2,P2P4=P2,P.P4=P3;(5.1)/=(1-1,1-1),PlP2=PiP.=Pl9PlP4=P4,P2P.=P2,P2P4=P4,P3P4=P(5.2)/=(1,-1,1-1),P1P2=P2,P1P.=Pl,P,P4=PP2Pi=P2,P2P4=P2,P3P4=P4;(5.3)/=(1-1,1-1),利=2,6A=P3,PA=P4,P2P.=P2iP2P4=P2,P3P4=P3;(5.4)/=(1,-1,1-1),PlP2=P2,PlP3=PlP4=P4,P2Py=P3iP2P4=P4iPiP4=P4;PlP2=PiP.=Pl9PlP4=P4,P2P.=Pi,P2P4=P4,PiP4=P4;(6.2)/=(1,1,-1-1),利=PrPxP3=P3,PA=片甲=鸟,=A；(6.3)=(1J,-1,-1),利=2,6A=P3,PA=P4,P2P.=P2iP2P4=P4,P3P4=P4;(6.4)/=(1,1,-1-1),PlP2=P2,P=PlP4=P4iP2P.=PiiP2P4=P2,P.P.=P4;(7.(1) =(1,-1,-1,1),P1P1=Pl,PlP.=6,6巴=PP2Py=P3W=P3；(7.(2) =(1,-1-1,1),PxP2=P2,P1P3=Pl,P1P4=PvP2P3=PAPF4=2,。旦="(7.(3) Z=(I-I-IJ),P1P2=P2iP.P3=P3,P1P4=P4,P2P3=P2,P2P4=P2,P3P4=P4;(7.(4) (,-1-1,1),66=6A=%IE=4,66=6,鸟匕=446=6；定理1中所列结果，就把满意定理1条件的25种状况全部归类。65种可能状况的剩余的部分将在下面探讨。得到定理I的思路：由引理2,可得尸=Q1.4+C2"+C3T+C4SQT.由引理3,知尸=C出+。2鸟+。3鸟+。4鸟是暴等矩阵当且仅当(C4+C2i+c3ti+QSj)(。14+C2i+c3rz+c45z-l)=0,Z=l,2,(*)其中4,M“,心(i=l,2,)分别是A,M/S的对角元,也是耳，2,E上的特征值。由于斗鸟，鸟，C均是哥等矩阵，则4,41.0,l,/=1,2,/20令=(4,4/")(i=1.2,则(4,4“,Si)的取值只能是(0,0,。,。)，(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,0,1,1),(0,1,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(O,1J1),(1,0,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,0,1,1),(1,1,0,0),(1,1,0,1),(1,1,1,0),(1,1,1/)这16个中的一个。即,G=1,2,)有(W,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,0,1),。小、(0,l,0,0),(0,h0,1),(0,1,1,0),(0,1,1,1),'''''"(1,0,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,0,1,1),(1,1,0,0),(1,1,0,1),(1,1,1,0),(IJJJ)当单广0,i&J=l,2,3,4,则匕g,A的特征值(i=l,2,n)满意每一个i(i=12,再)都有(,ap5,.)(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0)这样代入（*）式易得/=（。“2，。3，。4）=（1）。即得定理1中（1）的状况。同理可以考虑当月10,则¢1=4或月勺=弓，i,"=l,2,3,4,满意这种状况的i,j共有26=64种不同的取法。定理1的证明：尸是幕等矩阵当且仅当P2=Po1）假如条件（1）成立，我们有P=6+6+4此时P2=（>÷Z>+>÷>）2=6+HW+2利+2PxPy+2PiP4+IP2Pi+2P2P4+IPiP4把条件=0,j,j=1,2,3,4代人得尸=夕。所以，P是嘉等矩阵。2）在条件（2.1）成立，我们有P=-PP2-P3+P4此时-=（-6+6-6+K）2=.+.+4+.-2耳8+24£_26"_2鸟+2<牙2鸟与把条件（2.1）H=%=P,PR=PMFa=PM=P'代入得p2=尸。所以，P是累等矩阵。同理可证，在条件（2.2）,（2.3）,（2.4）之一成立时，尸是幕等矩阵。3）在条件（3.1）成立，我们有P=-P+P2-Pi-P4此时p2=（-6+g+6一舄）2=6+g+H2晒2U2利+2桃_2£巴_把条件（3.1）PxP2=A=PvPA=匕£6=鸟，6舄=£，6舄=乙；代入得尸=尸。所以，P是嘉等矩阵。同理可证，在条件（3.2）,（3.3）,（3.4）之一成立时，P是暴等矩阵。4）在条件（4.1）成立，我们有此时P2=（-Pl-P2PP4）2=6+A+2+2P.P1-2PP3-2PxP4-2P2P3-2P2P4+2P.P4把条件（4.1）PP2=PvPxP3=PvPxP4=PP2P3=P2,P2P4=P4,P3P4=P4,代入得p2=尸。所以，P是基等矩阵。同理可证，在条件（4.2）,（4.3）,（4.4）之一成立时，P是霖等矩阵。5）在条件（5.1）成立，我们有P=Pi-P2Pi-P4此时P2=（Pl-P2+P.-P4）2=PP2+PP4-2PlP2+2IP.-2PiP4-2P2P2P2P4-2P.P4把条件（5.1）PiP2=PvPlP5=P4,P2P.=P2,P2P4=P4,P3P4=P4;代入得P?=Po所以，P是塞等矩阵。同理可证，在条件（5.2）,（5.3）,（5.4）之一成立时，P是球等矩阵。6）在条件（6.1）成立，我们有P=H-Pa此时P2P2-Py-=6+6+6+g+26-2A-26E-26A-26A+2AA把条件(6.1)65=Wq鸟=64A=八，2鸟=鸟,巴8=A，QA=巴;代入得p2=p。所以，P是塞等矩阵。同理可证，在条件(6.2),(6.3),(6.4)之一成立时，P是幕等矩阵。7)在条件(7.1)成立，我们有P=P-P2-P3+P4此时尸二("6-6+1)2=6+g+H2晒2U2利+2桃_2£巴_2桃把条件(7.1)66=/64=6,6舄=匕£6=6，£2=6,66=6；代入得尸=尸。所以，P是嘉等矩阵。同理可证，在条件(7.2),(7.3),(7.4)之一成立时，P是塞等矩阵。下面主要是来说明65种可能状况的剩余部分为什么不满意定理要求。剩下的还有40种。推论：从(8.1)(12.4)的状况是不满意定理1的条件。(8.(1) PiP2=6,66=匕6舄=P4,P2P3=P2,P2P4=P2,P3Py=P.;(8.(2) PlPi=Pl,P=PrPlP4=P4,P2Py=Pi,P2P4=P2,P.Pi=P.；(8.(3) PxP1=Pl,PiP3=P.,PiP4=P4,P2Py=PP2P4=P2,P.Pi=P4;(8.(4) =Pi,PiP.=PPlP4=PliP2P3=P2iP2P4=P2,P.Pi=P4;(8.(5) PxP1=PPiP3=6舄=PP2P3=P2iP2P4=P4,P.Pi=Pii(8.(6) =Pi,PiP.=PPlP4=PliP2P3=P2iP2P4=P4,P.Pi=P4;t=4V=ti=t=it=Vt=(ro)tV=4=V4=4=(zo)i=V4=Vt=V=Vl/1=Vl/=(ro)t=Wt=V4V=(。6)t=Vt=V4V=4=V仔6)i=V=t=1(,6)t=V=4=4=t=V(z,6)iV=Vt=tV=t=zdxd(r6)t=VV4=tVV=4t/=7口=V4V=(us)t=4=t=t=4=t=V(ES)s=t=tV=t=(618)i=V=t=l4=t=V(srs)t=V=VtV=ti/=(rs)i=tV=Vt=t=4t=V4V=(91,8)7d='Wd=Vt=V=t=V(rs)t=4=4=V=V=t=V(M,8)t=4=4=V=t=V(£18)tV=V=V=t=V(zr8)i=4=t=V4V=it=t=(IIS)j=Vt=k=Vt=V(ors)i=4=tV=V4=l4=V=V(68)tV=t=tV=V=t=Vl/(s,s)t=tV=Vt=kV4=口才U=t=V(,g)(10.(4) PP?=P?,PP3=P,PP*=R,P3=P?、PFa=P,P3P3=P:(10.(5) P1P2=p2,plpy=Pi,PiP4=PP2P3=p2,P2P4=P2、Pp=Pq；(I1.l)=匕66=6,62=/66=g,6乙=2,66=6；(11.(2) 66=P2,PiP3=PvP="A=6,=2,66=A;(11.(3) P1P2=P2iP=P=PP2P3=P2P4=P1,P3P.=P4；(11.(4) P,P2=PlP.=P,P4=PP2P3=P2iP2P4=P4,P3P.=P4;(11.(5) P1P2=P2,P1P.=Pl,P1P4=P4,P2Py=P.iP2P4=P4,P3P3=p4;(11.(6) =6,66=4,=E,£6=6,6舄=6,6A=A；(11.(7) PP2=P2iPlP3=P,P4=P2P.=P3iP2P4=P4,P.P3=P.;(11.(8) 66=A=几4R=P4,P2P3=P2,P2P4=P2,P3P3=P4;(11.(9) 66=p2,P1P.=P.,P1P4=几"=6,=P4,P3P3=P4。证明：由定理1的证明思路可知满意(8.1)(8.21)的条件的6(i=l,2,./)都是(4,4”,Sj)(0,0,0,0),(I)可见，Pi=P2=Pi=P4f这明显与定理1的假设冲突。而满意(9.1)(9.3)的条件的(i=l,2,)都是(44”,sj(,0,0,0),(0,1,1,1),(1,1,1,1)满意(9.4)、(9.5)的条件的Mi=I,2,.M都是(4,4”,Sj)(0,0,0,0),(1,0,0,0),(1/,1,1)因此，对于(9.1)(9.5)都能得鸟二鸟二舄这也与定理1的假设冲突。同样，满意(10.1)、(10.2)的条件a(i=l,2,)有(,p¾)(0,0,0,0),(0,1,0,0),(1,1,1,1)满意(10.3)(10.5)的条件的V(i=l,2,有(4,4”,sJ(0,0,0,0),(1,0,1,1),(1.1,1,1)因此，对于(10.1)(10.5)都能得4二8二8这也与定理1的假设冲突。同样，满意(I1.I)(11.3)的条件d(i=l,2,)都有(4,4”,Sj)(0,0,0,0),(0,0,0,1),(1/,1,1)满意(11.4)、(11.5)的条件的a(i=l,2,都有(4M,sj(,0,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1)因此，对于(I1.l)(11.5)都能得二乙二£,这也与定理1的假设冲突。同样，满意(12.1)、(12.2)的条件e(i=l,2,)都有(4,44,Sj)(0,0,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1)满意(12.3)、(12.4)的条件的G(i=l,2,)都有(4,4”,sJ(0,0,0,0),(1,1,0,1),(1,1/)因此，对于(12.1)(12.4)都能得二巴二巴，这也与定理1的假设冲突。3n=4的状况定理2当几鸟工道均为4x4阶矩阵，且满意定理1的假设条件时，有(i)当61二0，i,ij=l,2,3,4时，有P=/；(ii)当单3i=7或匕弓=弓,ij,ij=l,2,3,4时,有6=/或£=/或£=/或马=/。证明思路：利用引理2,知尸=。出+。2£+。3吕+。46是嘉等矩阵，则A+M+T+S=oP=q+6+6+4=Q(A+7+S)QT=/且(4+4+4+4)=0或1.以及4=0或1;从=0或1；%=0或1；Si=O或1。对每个i(i=1,2,3,4),(4+M+4+S,)有两种不同的取法,从而来探讨4,4""(i=1,2,3,4)的取值状况，再来分析多的状况。这是证明定理2的方法。证明过程要进行细腻的探讨。定理2的证明：(i)当44=0,i,i,j=l,2,3,4,有尸=c+C25+qA+C4舄是嘉等矩阵，则P=Io由引理1有A+M+T+S=<>P=6+2+A+a=Q(A+M+T+S)QT=/而4,(i=l,2,3,4)分别是A,M/S的对角元，也是，A，巴的特征值。因为",i=l,2,3,4是幕等矩阵，则4=O或1；M=O或1；4=0或1；Sj=O或1。对于p2=p有(4+M+4+,»)-=(4+M+4+Si)，所以有(4+M+4+sJ=0或K从而有'4+必+%+S000、+M+T+S=02+2+，2+$200004+以3+3+邑0000l+z4+r4÷54?不妨先设4+4+4+4=0,则有(i)当2+2+t2+S2=O,4+43+4+$3=。，4+4+O+4=。时,则=M=T=S=0,从而得片=己=U=C这与定理1假设不符合。(iz)当4+也+，2+$2=1，4+Z+4+S3=0,4+4+t4+s4=0(或A2+必+4+$2=0，4+3+3+$3=1，4+出+4+，=。或马+2+，2+$2=0，4+外+4+$3=0，4+4+t4+S4=)则四个中只能有一个不为零阵，其它三个均为零矩阵，即存在=M=T=On4=6=8=0或A=M=S=O=6=E=B=O或=7=S=Onq=B=R=O或M=T=S=On£=A=A=O这也与定理1假设不符合。(ia)当A2+2+，2+$2=1.4+3+，3+$3=1，4+4+$4=0(或4+也+，2+$2=1，4+外+4+$3=°，+4+，4+$4=1或小+42+G+$2=°，4+3+4+$3=1，A4+4+0+$4=1)则存在两个为零矩阵，即存在A=M=On4=6=0或A=T=O=WO或4=S=Onl=R=O或M=T=OnE=B=O或M=S=OnE=B=O或T=S=O=E=R=O这也与定理1假设冲突。（乙）当4+2+，2+$2=1，4+3+，3+$3=1，+4+1.+54=1则至少存在一个为零矩阵，即存在=0=4=0或M=OnE=O或T=On6=0或S=Ong=O这也与定理1假设冲突。同理可证，4+外+西=。或4+3+，3+$3=0或4+4+岂=。的状况，均为定理1假设冲因此，只能（4+M+4+sJ=l,i=l,2,3,4o所以，A+M+T+S=/,即P=/°（ii）当£二月或匕=1，i,ij=l,2,3,4,时，有=/或£=/或£=/或巴=/。即尸=一6+£-8+2是嘉等矩阵时，则A=/。由于耳£=6，耳鸟=AR建=6,2骂=用,舄鸟=,8A=大则M=b,X=b,AS=k、MT=M、MS=M、TS=T此时(4,MU,Sj)(j=1.2,3,4)(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,1,1),(1,1,1,1)不妨先设（4,幺，小SI）=（0,0,0,0）,而(乙,4Mj,Sj)(j=2,3,4)(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,1);<zz(0,1,1,1),(1,1,1,1)则(4,4M(i=l,2,3,4)共有10(=d)种不同的取法。(>¾<p5j(=l,2,3,4)(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,1),(1,1,1,1)不论它们的排列依次如何，都有<=£,这与定理1假设冲突。(4,MU)(i=123,4)(0,0,0,0),(0,0,(U),(M,l,l),(l,l,l,l)此时有6=A，也与定理1假设冲突。(4,Sja=I,2,3,4)(0,0,0,0),(0,0,1,1),(U1.l),(1,1,1,1)此时有A=C,也与定理1假设冲突。(4,4)(i=l,2,3,4)«(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(11,1,1)此时有<=£=6，也与定理1假设冲突。(4sJ(i=123,4)(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,U),(U,1.1)此时有=6，P3=P4f也与定理1假设冲突。(办4U，sj(i=l,2,3,4)(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,1,1,1),(1,1,1,1)此时有6=片，也与定理1假设冲突。(4,sj(i=l,2,3,4)(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,1,1)此时有6=0,也与定理1假设冲突。(4,4J")(=l,2,3,4)(0,0,0,0),(0,0,0,l),(0,0,l,l),(0,0,0,0)此时有夕=6=0,也与定理1假设冲突。(,)½p¾)(=l,2,3,4)(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(0,0,0,0)此时有6=0,P2=P39也与定理1假设冲突。(4,MuX)(i=l,2,3,4)(0,0,0,0),(0,0,1,1),(0,u,l),(0,0,0,0)此时有1=0,P3=P4t也与定理1假设冲突。可见，(4,"J")W(0,0,0,0)同理可证，(%,(冉,Sj)(0,0,0,0),j=2,3,4所以，(4，4,号)(，=1,2,3,4)«(0,0,0,1),(0,0,1),(0,1,1),(1,1,11)故P4=Io同理可证：对于(2.2)W=%年=61A=:印=AMA=A9=A,即尸=一6+鸟一6+尼是幕等矩阵时，则g=/。对于(2.3)耳A=V4=8之=与=骂,孥i=J,与A=A,即尸=一+乙一乙+乙是幕等矩阵时，则8=/。对于(2.4)46=匕鸟=