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2024圆锥曲线定点、定直线、定值问题定点、定直线、定值专题1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程；(II)若直线1.y=kx+m与椭圆C相交于4,B两点(A,B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.22【标准答案】由题意设椭圆的标准方程为=l(a>b>0)a3+4/+3+4/+3+422+-'2k7/m2+16/wA+4A:2=(),解得班=-2Kw2=万，且湎足3+4公一机2>o当机=2女时，/:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾；2k22当m二时，ly=k(x一一)，直线过定点(一,0).综上可知，直线/过定点，定点坐标为(一,0).72、已知椭圆C的离心率e=*,长轴的左右端点分别为A4-2,0),A2(2,0)o(I)求椭圆C的方程;(II)设直线x=my+l与椭圆C交于P、Q两点，直线AF与A?Q交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。b2,X2V2a+c=3,a-c=,a=2,c=yb1=3-F-=1.43(y=kx+m22得(3+4公)f+8出+4(62-3)=0,+=143二64m2k2-16(3+4公)(w2-3)>0,3+42-m2>0.Smk4(n2-3)3+4'/=3+必2yi'y2=(履1+w)(kx2+加)=Zr2X1X2+mk(xl÷x2)+m2=T3+4Zu以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kAD=-1,A¾=-1,xl-2X2-2(最好是用向量点乘来)乂+X-2(%÷x2)+4=0,3(14公)4(加-3)16"。解法一：(I)设椭圆C的方程为m+t=l(a>b>0)oab"*a=2,q=-=,：.C=事,b2=a2-c2=1<.a2椭圆C的方程为:y2=l°5分(II)取m=0,得P。,亭直线AF的方程是y=第x+等,直线A2Q的方程是y=*X-交点为0(4,6).7分,由对称性可知交点为S2(4,-6).由？y得X=my+1若点S在同一条直线上，则直线只能为，：x=4。8分以下证明对于任意的m,直线AF与直线A2Q的交点S均在直线，：x=4上。事实上,(my+1)2+4y2=4,即(m?+4)y2+2my-3=0,记P(X】，yJ，Q(x2，y2)，则y+丫2=，%丫2=。9分m+4m"+4设AF与，交于点S°(4,y°),由广、=得y0=-¾.4+2x1+2xl+2设A,Q与，交于点S.'(4,y0,),由工=*,得y0,=-104-2x9-2X,-26y_2y?=6y(my2-l)-2y2(my+3)=4myj2-6(y+y2)xl+2x2-2(x1+2)(x2-2)(x1+2)(x2-2)-12m-12m=具互乒运=0时分(x,+2)(x2-2)解法二：(11)取m=0,得Py0=y0z»即SO与S。'重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线，：x=4上。13分直线A1P的方程是y=B+B,直线A1Q的方程是63y=¥x-"交点为S"4,>).7分取m=l,得P停q(0,T),直线AF的方程是y=x+g,直线AzQ的方程是y=；XT交点为，(4,1).，若交点S在同一条直线上，则直线只能为，：x=4。8分x,._.以下证明对于任意的m,直线AF与直线A2Q的交点S均在直线/:x=4上。事实上，由1+y得X=my+1(my+1)2+4y2=4,即(11?+4)y?+2my-3=0,记P(xl,y1),Q(x2,y2),则AF的方程是y=B-(x+2),A?Q的方程是y=(x2),消去y,得(x+2)=上(x-2)Xj+2x2-2x+2x2-2以下用分析法证明x=4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明且=趣工，即证x1+2X2-23y1(my2-l)=y2(myl+3),即证2my,y2=3(y1+y2).:2myly2-3(y1+y2)=；=0,，式恒成立。这说明，当m变化时，点S恒在定直线：x=4上。m+4m+422解法三：（三）庄I<一I得(my+I)?+4y2=4,即(n+4)y?+2my-3=0。X=my+1记P(X1，)，3。2，丫2)，则X+丫2=了m，丫2=J6分m+4m"+4AIP的方程是y=一(x+2),A2Q的方程是y="(x2),7分x÷2X2-2y=7+2),由1得-(X+2)=(x-2),9分v=-(x-2kx,+2x2212分13分即X=2半+2)+%62-2)=2j2(my+3)+y(my2T)=2my,y2÷3y2-y,*y2(x,+2)-y1(x2-2)y2(my,+3)-y1(my2-I)3y2+yl2m*3+3m+4I(IXryJ31+%=2=4.这说明，当m变化时，点S恒在定直线，：x=4上。3、已知椭圆E的中心在原点，焦点在X轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为应-1,离心率为e=立.2(I)求椭圆E的方程：(11)过点(1,0)作直线/交E于P、Q两点，试问：在X轴上是否存在一个定点M,MPMQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.解:设椭圆E的方程为a/,由已知得:a-c=应-1c=42OOOOO2分忘.b2=a2-c2=l.fffiaE的方程为+y:12-1OOO(11)法一:假设存在符合条件的点M(m,O),又设P(x“y)Q(X2，y2)，则:MP=(x1-m,y1),MQ=(x2-m,y2),MPMQ=(x1-m)(x2-m)+y1y2=xlx2-m(x1+x2)+m2+y1y2ooooo5分当看线1的斜率存在时，应直线1的方程为：y=k(x-l),则+y2=l得2+2k2(-l)2-2=0y=k(x-l)(2k2+l)x2-4k2x+(2k2-2)=0x1+x2=;，Xi2k2+1,X2k2-221?+1y1y2=k2(x1-l)(x2-l)=k2x1x2-(x1+x2)+l=-9V2_94k2、k2所以MPMQ=+2k2+12k2+12k2+lk22k2+I(2m?-4m+l)k2+(m2-2)2k2+1对于任意的k值，MPMQ为定值，所以2n-4m+l=2(m2-2),57所以M(,O),MPMQ=-一；11分416当直线1的斜率不存在时，直线1.x=1,X+X2=2,XX2=l,yy22S7由m=z得MPMQ=-记综上述知，符合条件的点M存在，起坐标为(9,0).13分4法二：假设存在点M(m,0),又设P(X,yJ,Q(X2,y2),则：MP=(xi-m,y,),MQ=(x2-m,y2)MPMQ=(x-m)x2-m)+yly2=xlx2-m(xl+x2)+m2+yly2.5分当直线1的斜率不6O时，设直线I的方程为x=ty+l,x2_I9由，'一得1+2)为+2»-1=0.y+y2=森g,yy2=1j7分x=ty+l×2=(t%+i)(ty2+i)=½yy2÷t(%+y2)÷1-t2-2t2+t2+2-2t2+2t2+2t2+2x1+x2=t(y1+y2)+2=-2t2+2t2+44t2+2.MPMQ=-2t2+24m；+mt2+2r+2t2+21(m2-2)t2+2m2-4m+1t2+2设MPMQ=则(m2-2)t2+2m2-4m+lt2+2.,.(m2-2)t2+2m2-4m+l=(t2+2)/.(m2-2-)t2+2m2-4m+l-2=0m2-2-=02m2-4m+l-2=05m=4r.M(-,0)11分74当直线1的斜率为。时，直线l:y=O,由M(2,0)得:4MPMQ=(>-)(-2-)=-2=-441616综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为(,0)。13分424、已知椭圆的焦点在X轴上，它的一个顶点恰好是抛物线炉=4)，的焦点，离心率。=一广，过椭圆的右焦点尸作与坐标轴不垂直的直线/,交椭圆于A、8两点。(I)求椭圆的标准方程；(II)设点M(m,0)是线段QF上的一个动点，且(MA+M8)J,A8,求用的取值范围；(In)设点C是点A关于X轴的对称点，在X轴上是否存在一个定点N,使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：(I)设椭圆方程为J+a=l(>b>O),由题意知b=l2Y=Y=5故椭圆方程为+y2=1（三）由(D得尸(2,0),所以0n2,设/的方程为y=-工一2)(AwO)2代入弓+y2=,得(5公+1口2-2042%+2(汰2-5=0设AaPy必)，则X+20222OP-55r+1"区-5公+1，,+必=Z(Xl+x2-4),y-=A(Xl-X2).MA+MB=x-117,y1)+(¾-w,y2)=(x1+x2-2M,y1+y2)9AB=(x2-xvy2-yl)(MA+MB)±AB,:.(MA+MB)AB=0,.(1+x2-2nr)(x2一%)+(%-X)(乂+%)=。20k2,收Z0cXi2八m八八85A2+15+18-5m5Q当0<加<时，有(M4+MQ)J.AB成立。(III)在X轴上存在定点N§,0),使得C、B、N三点共线。依题意知C(X1.M),直线BC的方程为广言仙令'=°'则"*12+=暗针/的方程为y=Z*-2),A、8在直线/上，y1=女(F-2),y2=k(x2-2)x=k(x+2)-4k(x+x2)-4kkx-l)x2+k(x2-l)xl_2Ax1x2-2k(x+x2)20k22Ok5k2+-4k亚±i=*.在X轴上存在定点N(3,0),使得CBN三点共线。22解法二：（三）由(I)得注(2,0),所以0<2°设/的方程为y=Z(x-2)伏。0),尤2RAy+/=1,得(5k2+I)X2-20k2+205=0设A(xl,y)B(x2,y2则20k220/一5Xx+x2=;,XX2=勺25A:2+1,25k2+14k5F+y1-y2=(x1-x2)；(MA+MB)±AB,.MAI=IM81,(x1-w)2÷y1=y(x2-m)2+y2,.(x+x2-2根)(玉一z)+(X+%)(%一%)=°，(l+r2)(xl+x2)-27i-4k2=O,(8-5ni)k2-tn=O.m=8尸5&2+18_5(5/+1).AwO,Q.当O<m<g时，有(KA+MB)_1.AB成立。(In)在X轴上存在定点N(°,O),使得C、B、N三点共线。2设存在N(r,O),使得C、B、N三点共线，则C8CN,CB=(xj-x29y2+ylCN=(t-xl,yl),(2-x1)y1-(r-x1)(y1+y2)=0即(x2-%,)(x1-2)-(t-xl)k(xl+x2-4)=0.,.2xix2-(r+2)(xl+x2)+4f=020户一520户SS.-.2,j-(r+2)F-+4r=0,=士存在N(e,0),使得C8N三点共线。5公+15二+1226、(福建卷)已知椭圆工+y2=的左焦点为RO为坐标原点。2(I)求过点。、F,并且与椭圆的左准线/相切的圆的方程；(II)设过点尸且不与坐标轴垂直交椭圆于A、8两点，线段AB的垂直平分线与X轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。解：(I)./=2,从=l，c=l,R-l,0),/：x=-2.圆过点0、F,.M在直线x=-g上。113设M(5),则圆半径=(-)-(-2)=1.由QW=r,得'(一；)2+»=|?解得t=±啦.所求圆的方程为(x+(y±2)2=-.24(Ii)设直线AB的方程为y=以+l)(女工0),代入y+=l,整理得(1+2k2)x2÷4lc2x+2公一2=0.直线AB过椭圆的左焦点F,.方程有两个不等实根。.4女2记4再，%),8(工2，%)，48中点*0，%)，则%+居=2二+1.AB的垂直平分线NG的方程为y%=(x-令y=0,得K2kXg=X0+ty0=-+=+2k2+2k2+2k2+24/+2kO,.-g<%<0,A点G横坐标的取值范围为(-g,°)圆锥曲线的焦点弦长新解关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线V=H+A代入曲线方程，化为关于X的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式41+-）&+叼）一4叼求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。一.椭圆的焦点弦长若椭圆方程为盛+庐=半焦距为c>0,焦点用（一0）、为G°）,设过网的直线？的倾斜角为劣,交椭圆于A、B两点，求弦长I。图1解：连结的AFR,设Fp4=x,MlBI=IX,由椭圆定义得网引=2-x,F2B=2a-yf由b2余弦定理得,+(2c)'-2x2ccos=(2"-x)2,整理可得,=以一CCoSa,同理可求得b2y=a+ccosa1则弦长/2而2IASl=x+y=I=-22-a-ccosca+ccosaa-ccosao1E2ab2AB=-555-同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为a2-c2sm2a为半焦距）（a为长半轴，b为短半轴，c结论：椭圆过焦点弦长公式:AB=2:"（焦点在X轴上）以-ccosa/暇厂,（焦点在声由上）.a-csina二.双曲线的焦点弦长22-=l（a>0,>0）zrz设双曲线a2b2,其中两焦点坐标为尸1（一小倾斜角为口，交双曲线于A、B两点，求弦长AB°0），玛（0）,过用的直线寸的bbarctan<ccV九"一arctan解：（1）当a以时，（如图2）直线？与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连角4眄设IFIH=心FB=yf由双曲线定义可得F2A=2a+xfF2B=2a+y,由余弦定理可得/+(2c)?-2x-2ccosa=(2+x)2整理可得b2b2X=y=a+ccosa,同理a-ccosaf则可求得弦长/2必IA5=x+y=1=22-a+ccosca-ccosa。一CeOSaoOa<arctan11-arctan-<a<11(2)当以或0时，如图3,直线)与双曲线交点A、B在两支上，连用A,设I我M=彳，IF向=乙则I用'=2+x,I玛B=y-2«,由余弦定理可得X2+(2c)2-2x2ccosc=(2+二产，y2+(2c)2-2y2ccos(-c)=(ty-2d)2b2b2X=>y-整理可得+ccosaCCOSa-a,则/2ab2I网"f+""a+c=PZT因此焦点在X轴的焦点弦长为AB=2ab2zbb、：77(arctan-<<11-arctan)a-ccosaaa2ab2*b、5y(0<c<arctanarctan<a<11).ccosa-aaa同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式(arctan<a<11-arctan)bb(0<a<arctan或乃-arctan-bb<a<11)其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。三.抛物线的焦点弦长若抛物线J=2/(P>求弦长AB?(图4),0)图4的直线？相交于A、B两点，若？的倾斜角为c,解：过A、B两点分别向X轴作垂线4¾、BBi，A1.为为垂足，设I刚l=x,I烟I=乙则点A-FxCOSCK-VCOSQI的横坐标为2,点B横坐标为2,由抛物线定义可得+xcosc+-=Xl22-V-cosc+-=y22X=-,y=即I-COSCKP1+COSCK45=*1同理y=2px的焦点弦长为Ilsn2。2A=2|切x=2py的焦点弦长为I1.c0s2a,所以抛物线的焦点弦长为A5=,2团sin2a2p.cos2a(焦点在#由上)(焦点在肉上)由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。系方程及其应用一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(。,3为圆心的同心圆系方程：(x-a)2+(y-b)2=2(>0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为：x2+y2÷Dx+E>+=02、过直线Ax+By+C=O与圆/+y2+D+Ey+F=O交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey÷F+(Ax+By+C)=O(2R)3、过两圆C；:/+y2+gy+=o,C?：/+V+A%+Gv+乃=0交点的圆系方程为：X2+y2+Dlx+Ey+F+(X2+>2+D2x+E2y+)=0(-1,此圆系不含C2：+y2÷D2x+E2y+K=O)特别地，当力=-1时，上述方程为根轴方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2,可等价转化为过圆G和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程：/+),2+0“+骂+耳+(0加+(g_%»+(耳g)=0二、圆系方程在解题中的应用：1>利用圆系方程求圆的方程：例1求经过两圆V+/+6k4=0和V+/+6y28=0的交点，并且圆心在直线尸尸4=0上的圆的方程。解一：求出两交点(-1,3)(-6,-2),再用待定系数法：1.用一般式；2.用标准式。(注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。)解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：1 .两交点的中垂线与直线相交；2 .过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；3 .两圆心连线与直线相交。解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。例1、求经过两圆x2+3x-2=。和3/+3寸+2X+y+1=O交点和坐标原点的圆的方程.解：方法3：由题可设所求圆的方程为：(x2+y2+3x-y-2)+(3x2+3y2+2x+1)=O：(0,0)在所求的圆上，J有-2+4=0,从而；I=2故所求的圆的方程为：(/+y2+3-y-2)+2(3/+3r÷2x+y+l)=0即7x2÷7y2÷7X÷y=02、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例2(1)：求过两圆Y+y2=5和(XT)2+(y-l)2=16的交点且面积最小的圆的方程。分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。解：圆/+/=5和Q-1)?+(y-1)z=16的公共弦方程为2x+2y-ll=0过直线2x+2y-ll=。与圆d+y2=5的交点的圆系方程为x2+-25+(2x+2y-ll)=0,BP+y2+2x+2y-(1U+25)=0依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(一九一必在公共弦所在直线2x+2y-ll=0上。即一24-22+11=0,则几=口4代回圆系方程得所求圆方程*-¥尸+(y?)2=?4 48例2(2);求经过直线/：2x+y+4=0与圆C：，+y?+24y+1=0的交点且面积最小的圆的方程.解：设圆的方程为：2+y2÷2x4y÷1÷2(2x+y+4)=0即X2+/+2(l+2)x+(-4)+(1+4>=O则r2=14(1+2)2÷(2-4)2-4(1+4)=|)2+p当义=时，/最小，从而圆的面积最小,故所求圆的方程为：5x2+5y2+26x-2y+37=0练习，1.求经过圆V+/+8尸6户21=0与直线方>7=0的两个交点且过原点的圆的方程。(常数项为零)2 .求经过圆，+/+8尸6尸21二0与直线方户5=0的两个交点且圆心在X轴上的圆的方程。(圆心的纵坐标为零)3 .求经过圆V+V+8r6+21=0与直线尸产5=0的两个交点且面积最小的圆方程。(半径最小或圆心在直线上)4 .求经过圆V+/+8尸6尸21=0与直线尸产5:0的两个交点且与X轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。(圆心到X轴的距离等于半径)3、利用圆系方程求参数的值：例3：已知圆f+V+-6y+m=O与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为坐标原点,若OP1.OQ,求实数m的值。分析：此题最易想到设出P(X,乂),。2，%)，由。P1.OQ得到MX2+Y%=0,利用设而不求的思想,联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系OP，0。，不难得出。在以PQ为直径的圆上。而P,Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线x+2y-3=0与圆/+/2+工一6)，+根=。的交点的圆系方程为：X2+y2+x-6>,+w+2(x+2y-3)=O,即x÷y+(1÷)x+2(3)y+w3=O.依题意，O在以PQ为直径的圆上，则圆心(-+，3-显然在直线上+2y-3=0上，则-11+2(3-2)-3=O,解之可得；1=1又。(0,0)满足方程，则机一3/1=0,故机=3。24、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：例4圆系Y+V+22*+(4&+o)+ok+20=O(攵R,%-l)中，任意两个圆的位置关系如何？解：圆系方程可化为：X2+y2÷10y÷20÷:(2x÷4+10)=O2x+4v+10=Ox+2y+5=O与无关；即J,x2+10y+20=0x2+(y+5)2=5易知圆心(0,-5)到直线X+2y+5=0的距离恰等于圆Y+(y+5)2=5的半径.故直线上+2y+5=0与圆Y+(y+5)2=5相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切.总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程,减少运算量，收到事半功倍的效果。