21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型（教师版）.docx

21相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型梅内劳斯（Meneiaus,公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。梅涅劳斯（定理）模型;如图1,如果一条直线与4BC的三边A8、BC、CA或其延长线交于尸、D、E点,那么会黑弓二1.这条直线叫48C的梅氏线，AABC叫梅氏三角形梅涅劳斯定理的逆定理：如图I，若F、D、E分别是4BC的三边A8、BC、CA或其延长线的三点，如果则R。、七三点共线.塞瓦（GG"O1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师.他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在AABC内任取一点G,延长AG、BG、CG分别交对边于。、E、F,JtrlCEll"FBDCE4如图2,则而.而嬴=1。注意：梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。例1.（2023.浙江九年级期中）如图，在AABC中，Ao为中线，过点C任作一直线交48于点F,交Ao于点、E,求证：AE.ED=2AF.FB.【解析】,直线人”是AABD的梅氏线,.AEDCBF1,=1EDBCFADC1AEBFlltlAE2AF而=-,.=1,即=.BC2ED2FAEDBF【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线.例2.（2023.重庆九年级月考）如图，在AABC中，NACB=90o,4C=BC.AM为BC边上的中线，CD1AM于点D,C。的延长线交A8于点E求常【解析】：HR:是的梅氏线，由题设，在Rt4MC中，CD1AM,AC=2CM,由射影定理盥=孚4丝=黑=4.对448M和截线EOa由梅涅劳斯定理,DMDMAMCM2普2AEBCMD,u,1AE21EBCMDAEB14【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线.例3.（2023.湖北九年级期中）如图，点£、E分别在A4BC的边AC、AB上，AE=EB,=gBD与CE交十点F,SXABC=40.求SAEFD.【解析】对£“和截线BF。，由梅氏定理得：1*1.IyrDC即蓝=1'.噌=(Sabfe=；Sa8EC=ESM8cAEFD=S&aBDSABEF=ODsMBC=非4。=11.【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题.例4.（2023.江苏九年级月考）已知AO是AABC的高，点。在线段BC上，且8D=3,CD=1,作。EIAB于点E,DFj1.Ae于点、F,连接M并延长，交BC的延长线于点G,求CG.【解析】如图，设CG=x,MG是ARBC的梅氏线则由梅涅劳斯定理雷低嗡=1.显然崎鸣谓=缁于是产=】，得T【点睛】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合.例5.（2023.广东九年级专项训练）如图，在a48C中，4的外角平分线与边8C的延长线交于点P,的平分线与边CA交于点Q,NC的平分线与边A8交于点R,求证：P、Q、R三点共线.【解析】”是/R4C的外角平分线，则2=等BQ是48C的平分线，则盖=%CR是2CB的平分线，则黑=等×X酬空.丝.竺=丝.些卫=1,PCQARBCAABBC因K在44上，Q在CA上，户在8C的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：A。、K三点共线.【点睛】这道题主要考查梅氏定理和角平分线定理的综合应用.例6.（2023上广东深圳九年级校联考期中）梅涅劳斯（MenaaUC是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1,如果一条直线与AABC的三边A8,8C,&4或它们的延长线交于尸、D、E三点，那么一定畸喘嗤=1.下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程:证明：如图2,过点A作TlGIl8C,交加的延长线于点G,则有警=煞生=会FBBD£4AG*AGFBDF,AAGESACDE,FBBDCEDCEAAGBDCDDCAG请用上述定理的证明方法解决以下问题:（1）如图3,C三边CB,AB,AC的延长线分别交直线!于XZZ三点，证明：等CZAYZAYB1.请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4,等边力BC的边长为3,点。为BC的中点，点产在48上，且8户=2A£C/与40交于点E,试求AE的长.（3）如图5,A48C的面积为4,尸为AB中点,延长BC至。，使CD=BC,连接F。交Ae于E,求四边形BCEF的面积.【答案】（1）详见解析；（2）4E=jg;（3）；43【分析】过点C作CV屹交于点N,根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可二（2）根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可.（3）根据定理，计算比值，后解答即可.【详解】（1）证明：如图，过点C作v立交Ay于点N,m,lBXBYCZYN4,BXCZAYBYYNAY,IJII=故-=1XCYNZAAYXCZAYBYNAYYB'（2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得：器答=1.roDCEAAp1BC.BF=2AFf.一=-,=2,DE=AE.在等边48C中，；48=3,点。为BC的中点，BF2CD.4OJ_8C8D=CQ=m.,由勾股定理知：AD=y3E=3.（3）解：线段。"是AABC的梅氏线，;由梅涅劳斯定理彳导，7,77,77=,即iX"ixZT=1，则§7=不如图，连接尸C,FBDeEA11EAEA2SABCFTScSACEFTZkBC'一卜是Slnl边形BCFF=S&b+CEF=ABC=T×=ZO3【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握定理是解题的关键.例7.（2023.山东九年级月考）如图：P,Q,R分别是AABC的3C,CA,AB边上的点.若4P,BQ,CR相交于一点M,求证：BPpCQpM=1.PCQARB证明：如图，由三角形面积的性质,有誓学返，瞿东幽，弃登a以上三式相乘，得况.毁理=.他BMCPCSamcQASambPCQARB例8.（2023.浙江九年级期中）如图，在锐角AABC中，AO是BC边上的高线，是线段A。内任一点,8”和CH的延长线分别交AC、A8于E、F,求证：NEDH=/FDH。ABDC【详解】证明：过点A作PQ5C,与DF,力E的延长线分别交于点P、Q,R.dQjBDC对MBC和点H应用赛瓦定理可得：×三×=1.IzCkADCDCHRC.AF_APCE_CD.APBDCD_.PQHBc,丽一访,疏一而，访.布而一1，AP=AQ根据垂直平分线，.PD=QD,.PQO是等腰三角形，NEQ"二N尸。”。点评：本题考杳了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键.例9.(2023.北京九年级月考如图，四边形ABe。的对边AB和CD,AD.线AC与BD交于点M,直线K1.与80,AC分别交于F、G,求证：GDKf1.G对AOK1.和点4应用赛瓦定理可得：××三=1.AKF1.1.D对AO也和截线4CG,由梅氏定理得:，翳=1AKG1.CU由得：77=7r1.1.U则DA1.PQo5C分别相交于1.、K,对角FKG一-71.G点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键.例10.（2022山西晋中统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的直线论，是意大利数学家塞瓦的重大发现.塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家.定理内容：如图1,塞瓦定理是指在4BC内任取一点。，延长AO,BO,CO分别交对边于O,E,Ff则BDCEAFY-X-X-=1.DCEABF数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用.任务解决：如图2,当点O,E分别为边8C,AC的中点时，求证：点尸为AB的中点；若AABC为等边三角形（图3）,A=12,4E=4,点。是BC边的中点，求B尸的长，并直接写出80户的面积.【答案】证明见解析BF=8；ABOF的面积为65【分析】（1）根据塞瓦定和中点的性质即可求解；（2）根据塞瓦定和等边三角形的性质即可求出3尸，然后过点尸作/GJ_BC于G,证明AC0DAC尸G,可求出。力，从而求出aBOC的面积，然后根据喘=：可求aBb的面积，从而得解.D1.【详解】（1）证明：在AABC中，点O,E分别为边BGAC的中点，BO=CD,CE=AE.由赛瓦定理可得：×三×=1.=l>：.AF=BF.即点产为A8的中点；DCEABFBF（2）解：YZkABC为等边S角形，AB=12,BC=AC=12C点。是BC边的中点,FD=DC=6,.MF=4,CE=8.由赛瓦定理可得：BF=Si过点尸作尸GJ_BC于G,A=BFcos60。=4,FG=Fsin60=43,：,CG=BcBG=8,VAB=AC,BD=CD,AD±BC,：.ADFGf：.&CODACFG,;噌=符即能号，8=小一次8Co=COD=18J,VB=12,BF=3,；.AF=AB-BF=*工=；BF2SABCF2又SAABC=fX12?=366,.SaBCF=§SaABC=243»Sb0p=SABCF-SBOC=63【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中点的性质、等边三角形的性质，读懂题意，学会运用塞瓦定理是解题的关键.课后专项训练1. （2023.广东九年级期中）如图，在AABC中，M是4C的中点，E是AB上一点，AE=工48,连接EM4并延长，交BC的延长线于则屁=（）CD232解：法1：对AABC和截线EM0,由梅氏定理得：EBCDAM ：M是AC的中点,E是AB上一点,AE=工A8,差=：,粤=1,4EB3AM 律1=1，,喝=3,.卷=2,故选A法2：如图，过C点作CPA8,交DE于P,*：PC/AE,1.XkEMsXCPM,.PC-CM"AEAM'TM是AC的中点，AM=CM,：.PC=AE, ；AE=A8,CP=-AB,/.CP=-BEf443t:cp/BEtMdcpsAdbe,，型=型=工，BEBD3.BD=3CD,：.BC=ICD,即型=2.故选：B.CD2. （2023.浙江九年级期中）如图，D、E、尸内分正AABC的三边A3、BC、AC均为1：2两部分，AD.BE、C尸相交成的PQR的面积是ABC的面积的（）解：对aAOC用梅涅劳斯定理可以得：理迈%=1,则延=&BDCPDBCEAPD1SSBCF=-，SMCQ=旦SaBCE=旦，SBPRF=*SMBD=旦,3721721,SapQR=SbBCF-SdBCQ-Sbprf=Sabc故选：D.3. （广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，在Rt48C中，乙4CB=90。,4C=3,3C=4,CD1.AB,垂足为O,E为BC的中点，AE与CD交于点尸，则。尸的长为.【答案晦【分析】过点尸作FH1.AC于"，根据勾股定理求得48的值，根据三角形的面积求得CD的值，根据勾股定理求得4。的值，根据相似三角形的判定和性质可得?设尸”=2k,AH=3k,CH=3-3k,根据相Arto似三角形的判定和性质可求得k的值，即可求得G/和FH的值，根据勾股定理求得CF的值，即可求解.【详解】解：如图，过点尸作"/IMC于凡在Rt448C中，AC=3,BC=4,则48=7AC?+BC2=32+42=5,CD1.AB.Sabc=ACBC=ABCD,即(x3X4=1x5XCo解得：CD=当在RtAACD中，AC=3,CD=y,AD=AC2CD2=J32(.)=VFH1ACfACB=90o,：.FHEC,.AFH八AEC,吟=务：EC=EB=2,AC=3,N=H设FH=2,AH=3k,CH=3-3k,AHAC3VFHlACfCD1AB,DCA=DCAf.CHF-CD4,ADCD.=三CF=CH2+/出=J管）2+2=M：.DF=CD-CF=W-卷【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.4. （2022年山西中考一模数学试题）如图，在RtAABC中，4BAC=90。，AB=3,AC=4.AD是BC边上的中线.将448C沿40方向平移得到A,B,C,.4'C'与BC相交于点E,连接84并延长，与边AC相交于点F.当点E为4C，的中点时，4F的长为.【答案】¾971212【分析】则E为4C'的中点，得4为40的中点，证明BEA,A8C凡推出BE:BC=A,EFC=BA1.BF=3:4,在Rt中，利用勾股定理求得8F,再根据相似比即可求解.【详解】解：:由平移的性质得AC'IlAC,A'C,=AC,，£为4C的中点，詈=察，,星E=；",£为AD的中点,。是BC边上的中点,；ABEABCF,：.BE:BC=AE:FC=BBF=3:4,OOOA,AC=4,.A,E=2,.*.=,FC=-,/.AF=4=,FC4333在Rt力BF中，BF=JAB2+AF?=小9+?=卑,VBA,.BF=3.4f.a,F=-BF=-×-=-f故答案为：画.4431212【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.5. （2022年山西省太原市九年级下学期一模数学试题）如图，AB为OO的直径，C为。上一点，。的切线BD交AC的延长线于点。，七为80的中点，CE交AB的延长线于点尸.若AC=4,08=BF,则8。的长为【答案若%分析连接。C,4C,根据48为O。的直径,可得/4。8=/成7）=90。,再由£：为8。的中点，可得。£：=8后。£从而得至IN8CE=NC8E,然后根据切线的性质可得NABQ=90。，再由Oc=O&可得NOCF=90。，然后根据OB=BF,可得aOBC是等边三角形，进而得到/A=30。，NCBD=30。，最后根据锐角三角函数，即可求解.【详解】解：如图，连接。C,BC,AB为。0的直径，ZACB=ZCD=90,YE为3。的中点，ICE=BE=DE,：.NBCE=NCBE,:BD是OO的切线，/489=90°,即NCBD+NOBC=90°,YOC=OB,盟OCB=OBC,03OCB+0CE=06>BC+0CB>=9Oo,P0OCF=9Oo,VOB=BF,1.BC=OB=OC,zO8C是等边三角形，BOC=ZOBC=BQof：.ZA=30ZCBD=30o,43aAC=4,BC=ACtanA=4×-=*BD=-=故答案为：33cos1.CBD*3332【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键.6. （2023年山西中考模拟百校联考数学试题）如图，在A8CO中，对角线AC相交于点O,A81BD,AB=3,OB=2,40C的平分线分别交AC,BC于点E,F.则线段OE的长为.【答案】¥【分析】由平行四边形的性质求出/），再由勾股定理分别求出AaAD,再由角平分线与平行线的性质得到NCDF=NeFD,最后由“力ES2ibE得釜=噂，从而求出OE的长.CECF【详解】解：VABCD,08=2,A8=3,BD=2OB=%ADHBC,AD=BC,CO=AB=3,ABJ1.BD,：.ZABO=90o,：.A0=yAB2+OB2=32+22=13,AD=AB2+BD2=32+42=5，：.BC=AD=S,Y。/平分NAf>C,ZADF=ZCDF,：ADBC,；NADF=/CFD,"CDF=NCFD,CF=CD=3,：ADBC,ADECFF,f=77»,簪竺=：，0E=.故答案为：.CECF13-0E344【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质、勾股定理，难度适中，解题关键是正确找出相似三角形.7. （2023下浙江温州八年级校考阶段练习）如图，等边SABC的边长为5,D在BC延长线上，CD=3,点E在线段AD上，且AE=AB,连接BE交AC于F,则CF的长为.【答案】1【分析】过点A作AGBD于点G,过点E作EH12AC,交BD于点H,利用等边三角形的性质可求出BG的长，利用勾股定理求出AG的长，从而可得到DG的长，再利用勾股定理求出AD的长，由此可求出DE的长；再利用平行线分线段成比例定理求出EH,DH的长，再利用平行线分线段成比例定理求出CF的长.【详解】解：过点A作AG13BD于点G,过点E作EHMC,交BD于点H,；DC=3团DG=CG+DC=2.5+3=5.5在RtZAGD中，AD=AG2+DG?=J（竽,+5.5?=7；de=75=2,EH/AC,.,芸=翳=黑即詈=祟解之：EH若训=三CFEH,，=警即符=会解之：CF=I故答案为：aH707【点睛】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，掌握勾股定理求出线段长度，运用好平行线分线段成比例是解题的关键.8. （2023重庆八年级期中）如图，48C的面积为10,D、E分别是AC,AB上的点，且AD=CD,AEiBE=2:1.连接8D,CE交于点尸,连接AF并延长交BC于点则四边形8EF”的面积为.【答案吗分析】先画出图形,再作D/0EC交AB于J,交4H于K,作。G38C交4”于G,由题推出EFFC=13,BH:CH=1.2,求出ABEEPH的面积即可.【详解】根据题意画出图形：作D/MC交A8于/交AH于K作。GaBC交A”于G,0DQECD=DC,酎J=JEAK=KF,EEF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK,设JK="1,则EF=2m,DJ=4n,DK=3n,CF=6m,0EF:CF=1:3»OAF=2BE,mBE=EhEFDJf国BF=DF,由GDBH,GDFFBH,褪GFD=HFB,BF=DF,ADFGBFH（ASA）,WG=BH,DGCHtAD=DC,AG=GH,C=2DG,6BH=2CH,BE=AB,：,S.BEC=；SAABC言,VEG=C,1.F孝EC=沁MC=|,：BH=?BC,S,BHF=?器金,：.SBEFH=-.3326663【点睛】本题考查三角形的全等及辅助线的做法,关键在于通过辅助线将面积分成两个三角形面积求证.9. （2023.湖北.九年级月考）如图所示，AABC被通过它的三个顶点与三角形内一点O的三条宜线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，则4BC的面积为.【解析】有题意知：圻翳=髀/=对AABD和截线C。凡由梅氏定理得:不需署=1，%*=1，噫/嗡=3工SAABC=3Saabd=3（40+30+35）=315【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题.10. （2023上河南洛阳九年级期末）小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解答.已知SABC,延长BC到O,使CQ=BC.取A8的中点尸，连结尸。交AC于点E.求受的值；（2）若48=,FB=AEt求AC的长.【答案】（2）AC的长为弘【分析】（1）过点F作QWIMC交BC于点、M.根据平行线分线段成比例定理分别找到CE与FM之间的关系，得到它们的比值；（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解.【详解】（1）解：过点尸作尸M0AC,交BC于点M,尸为AB的中点，；M为BC的中点，FM=；AC.YCD=BC,C=D,工照=；，22UM3VFMMC,0CED=0FD,MCD=MMD.0FM0ECD.0=-.EC=-FMDMFM3=I÷c4c仁生工竺二”二；ACACAC3（2）解：Y点尸是48的中点，AB=a,FB=AB=a.：FB=AEfAE=.由（1）知，空2AC三,AC=-AE=,即AC的长为¾z.322244【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，作出平行线构造出相似三角形是解本题的关键.11. （2023江西景德镇九年级校考期末）如图，AABC三边CB,AB,AC的延长线分别交直线于X,Y,Z三点，证明：三=1.（即证明梅涅劳斯定理的其中一种形式）Cl»AYD【答案】见解析【分析】连接CKAX,设A到XZ的距离为历，C到XZ的距离为神，再根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比的性质，分别列出媒、器，再计算即可.ZAYdC【详解】证明：如图，连接CKAX设A到XZ的距离为,C到XZ的距离为/Z2BX_SABXYXCShCXYCZ_SAXZC_产z”2_2竺=SAAXyZAShXZATXZg如YBSABXY更.丝_SAAXy.SeiBXY_SAAXyxcybSABXYscxySACXy【点睛】本题考查了三角形的面积计算，作出辅助线，通过面积写出线段比是解题关键.12. （2023上山西临汾九年级统考期末）梅涅劳斯定理梅涅劳斯（MenebUS）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1）,如果一条直线与AABC的三边AB,BC,CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有警考噌=1.FBDCEA下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2）,过点A作4G8C,交DF的延长线于点G,则有喘=黑/FBBD（2）如图（3）,在448C中，AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点，点F在AB上，且BF=2AFtCF与AD交于点E,贝J4E=.【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）由题意可得隼=器，然后根据比例的性质可进行求证；（2）由（1）可得喋第器=1，进而由题意易得寞=j襄=2,然后可得DE=AE,则由勾股定理可得4）=12,最后问题可求解.BF2CD【详解】解：（1）补充的证明过程如下：“CCCECDAFBDCEAGBDCDYAGIIBD,族=/'而而莉=而丽京=1.（2）根据梅涅劳斯定理得*M4=1,BFDCAE,点D为BC的中点，BF2AF,=三=2,.'.DE=AEtBrZCD9AB=AC=13,BC=10,AD±BC,BD=5,在RtAA8。中，AD=yjAB2-BD2=12fAE=6.故答案为6.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.13. （2021山西校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.塞瓦（GiOVW7"iCev,16481734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的直线论一书，塞瓦定理是指如图1，在aABC内任取一点O,延长AO,BO,CO分别交对边于D,F,Et则黑会差=1 .下面是该定理的部分证明过程:如图2,过点A作BC的平行线分别交BE,C尸的延长线于点M,N.则回N=回/C8,NAF=FBC.:ANAFsACBF糕=箓同理可得NQ4scoq.第二需.任务一：（1）请分别写出与回0OA,回MEA相似的三角形；（2）写出由（1）得到的比例线段；任务二：结合和（2）,完成该定理的证明；任务三：如图3,朋BC中，0AC8=9（,AC=4,BC=3,CMAB,垂足为Q,点E为。C的中点，连接AE并延长，交BC于点F,连接BE并延长，交AC于点G,小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与尸C的比是25：16,请你直接写出OECG3E4G面积的比.IMl【答案】MABC任务二：证明见解析；任务三：詈.【分析】任务一：可直接通过“8字型相似得出答案；任务二：通过相似之间的对应边比例转换得出结论；任务三：由任务一和任务;得出雾岩*=1,可得出头的值，再由AECG和AEAG为同高，故面积比CUADd(j就等于底边CG和GA之比.【详解】(I)解：任务一：团MNB(XMOA褪BoD；MEABECi(2)丝=丝I=丝.丝=/=3.BOBDODBEECBC'如图所示：由任务可得：黑=*；詈=箓同理可得130AN013OOC；0AFM30BFC；.ODDCAFAN.BDAM,BDCEAFAMBCAN =；=；=；=1.OAANFBBCDCANDCEAFBANAMBC任务三：由任务一和任务二可得：在AABC中，F1.UADd,RtAABCAC=4,BC=3,：.AB=32+42=5;.*.cosZBAC=：-=；,AD=-：/,BD=AB-AD=-；ABAC545516.更0丝.苫竺京解得丝=塔FCGADB16GAG/148过点七作EMMC于； SAECG_E"CG_CG_125ShEAG-EHAGAG48【点睛】本题主要是根据"8字型的相似得出对应的边之比，任务二的重难点在于各边比例之间的转换，任务三中两个三角形同高，故面积比等于底边比；本题属于中等偏上类题.14.(重庆2022-2023学年八年级月考)如图，在等腰RtZXABC中，NAC8=9C,AC=BC,O是线段BC上一动点(不与点8、。重合)，连接40,延长BC至点E,使得CE=CD,过点七作EF_1.AO于点F,再延长所交居于点M.(1)若。为BC的中点，A=4f求4。的长；(2)求证：BM=fCD.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到AC=8C=2,根据勾股定理即可得到结论：(2)过M作犯。于从连接AE,根据线段垂直平分线的性质得到4E=AQ,求得回EAC=酰JAG根据余角的性质得到MME=团EA根据全等三角形的性质得到CO=M"，于是得到结论.【详解】(1)Y在等腰RtZXABC中，ZACB=SQo,AC=BCfAB=A,：.AC=BC=Iyfi,。为BC的中点，8=打C=,?.ad=y/AC2+CD2=J(22)2+(2)2l;(2)过M做何加BC于H,连接4E,0O3BE,CD=CE,AE=AD,00EC=0DC,0Era4D,00EFD=0ACD=9Oo,00CD+(3ADC=IMDC+0DEF,CAD=DEF,幽EAC=I3DEF,SEAC=I3DEF,豳AME=I3B福BEM,BEAM=BAC+EAC,团CAB=I3B=45°,团13AME=I3EAM,AE=EM,AD=EM,ACD=EHM=90o,ACDEHM(AAS),CD=MH,：BM=近MH=&CD.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰宜角三角形的判定和性质等知识，证明AACD三E"M是解题的关键.15.（2023年湖北省襄阳市襄州区中考模拟数学试题）如图，48为OO的直径，。为。上一点，OO的切线BD交AC的延长线于点。，E为BO的中点，连接CE并延长，交AB的延长线于点E求证：CF是。的切线；（2）若AC=3百，OB=BF,求图中阴影部分的面积.【答案】证明见解析（2）竺3-史42【分析】（1）连接0C,BC,根据圆周角定理可得乙4C8=2Oe8=90。，求得=4DCE,根据切线的性质得到480=90。，再根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质可得乙尸=30。，求得乙COB=60。，得到乙4=30。，过。作。HlA1.FH,求得OH=48C=去根据扇形和三角形的面积公式即可求得结论.E为8。的中点，：.CE=DE,JC=/DCE,80是0。的切线，乙48。=90。，N½+/D=90°,*：OA=OC,Zi4=ACO,ACO+DCE=90°,工/OCF=90°,.OC是。的半径，,CF是。的切线；(2)解：VOB=BF,OC=OB,：.0C=0FfVOClCF,zF=30o,.COB=60o,.=4=30",ZC=35,=7=6,BC=3,BD=-AB=23.过。作OHIAC于"，：.AH=CH,3,A0=B0,：0H=WBC=3,22'S窗印Saa80-SbAOC-S康彬CCR=2X6X23-×33×-6°XT'=阴影三l,uc星形COB22236042【点睛】本题考查切线的判定与性质、扇形的面积公式、直角三角形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键.