21.2 解一元二次方程.docx

21.2解一元二次方程21.2.1 配方法第1课时干脆开平方法J学问要点基础练不学问点I用干脆开平方法解-元二次方程1 .用干脆开方法解下列二次方程,其中无解的是（C）Af-I=OB.2=0C.x2+4=0D.-2+3=02 .方程f=32的解是（C）A=3B.x=-3C.x=±3Dj=33 .一元二次方程（x+2019）2J=0的解是（八）A=-2019或尸-2019Bx=-2019C,x=-2019D=-20194 .用干脆开平方法解下列方程.（1）9x2=25;解:方程开方得3x=5或3x=-5,解得X1*X2=(2)2x2-98=0;解:方程变形得f=49,开方得xi=7k2=7.(3)3(-1)2=27.解:方程变形得81)2=0.9,开方得x=上嚼，W夕I310.3V10Wfr.v1=l÷-,x2=-学问点2变形后用干脆开平方法解一元二次方程(C)5.方程422x+9=0的解是A.x=0B.x=lC.x=D.无法确定6 .若(x2+y2)2-6(x2+)j2)+9=16,则x2+y2=7.7 .用干脆开平方法解下列方程.(1)16x2-8x+1=2;解:I62-8%÷1=2,则(441)2=2,所以4-1=壬,b.i+2l-2BIJxi=-V2=-.(2)(2y-l)2=(3y+4)2.解:由已知得2y-l=(3y+4),所以2y-l=3y+4,或2y-l=-3y-4,即y=-5,v2=-.【变式拓展】已知方程81)2=*仃实数解,则化简J(m-1)2=综合实力提升练8 .若关于X的方程+5)2=n2有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(C)A.w>OB.m22C.m>2D.m29 .如图,是一个简洁的数值运算程序,则输入X的值为(B)愉入N-D2-AkG3)|-27A.3或-3B.4或-2Cl或3D.2710 .若(f+y2-3)2=25,则X2+/的值为（八）A.8B.8或-2C.-2D.511 .若关于X的方程a(x+m)2+n=0(a,m,n均为常数,m0)的解是x=-22=3,则方程(x+w-5)2+w=0的解是(D)Aj=-2hT2=3B.x=-7t2=-2C.Xj=3t2=-2DR=3j2=812 .若对于随意实数,b,c,d,定义J：,卜d-bc.依据定义,若1：1卜°，则X的值为(D)A.3B.-3C.3D.±V3【变式拓展】在实数范围内定义运算“其规则为2b=/+也则方程(2k)G=29的解为=±2.13 .给出一种运算:对于函数)，三匕规定)，'=/U叫例如:若函数产？,则有y=4d.已知函数尸也则方程y'=12的解是(B)AJq=4k2=-4B.x=2rV2=-2Cxi=M=OD=252=214 .(1)方程(X-I)2=5的非负数解是X=g+l;(2)方程(x+2-5)2=8的整数解是4=5.15 .若一元二次方程加(b>0)的两个根是3/+1与加-9,则组49.a16 .已知是不等式3+222-2的最小整数解,试求关于X的方程f+4=0的解.解:解不等式得24则二4,方程可化为A2-16=0,移项得2=16,解得户上4.17 .已知一元二次方程-3)2=l的两个解恰好分别是等腰AABC的底边长和腰长,求A48C的周长.解：丁(r3)2=1,.4-3=±1,解得x=4j2=2.:一元二次方程(x3)2=1的两个解恰好分别是等腰AABC的底边长和腰长，:3底边长和腰长分别为4和2时,4=2+2,此时不能构成三角形；当底边长和腰长分别是2和4W,ABC的周长为2+4+4=10.Ik拓展探究突破练18.定义区表示不超过实数X的最大整数,如1.8=l,-1.4=-2,-3=-3.函数尸的图象如图所示,则方程=#的解为（八）A.0或/或2B.0或2C.1或-D.211E-2第2课时配方法学问要点基础练问点1用配方法解二次项系数为1的-元二次方程1.把2-7x=31配方,需在方程的两边都加上(D)A.7B.4949C.4.9D.v42.填空:f-2r+1=31E(2)x2+6x+9=(x+3)2:(3)x2-5x+_y-=Q_1_)23 .解方程:2-8x=5解：f-8x=5,Z(x-4)2=5+16,即84)2=21.tx-4=±yj21.Zl=21÷4rX2=-2l+4.学问点2用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程4 .用配方法解方程228x=0,则方程可变形为(D)A.(x-2)2=B.2(x-l)2=iC.(2x-1)2=1d.(x-2)2=【变式拓展】把方程2x23x+l=0化为+)2%的形式,正确的结果为(C)A(Xq)、16B-2(*-!)2=c(j)2=D.以上都不对5 .把方程22-4x-1=0化为(x+m)2=”的形式,则m,n的值是(B)33A.z=2,=jB.z=-1,=2C.W=1,77=4Djm=w=26 .用配方法解下列方程.(l)2r-7x-3=0;访:*22-7x-3=0,：-夕=*(2)4x2-6x-4=0.解:,42-6a-4=0,.v2-A=1,.r2-v+解得x=2j2=-去-综合实力提升练7 .若一元二次方程2+6x+5=0配方后为(x-3)2=A,则b,k的值分别为(D)C.-6,5D.-6,48 .已知方程2-6x+=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么f-6%+q=2可以配方成下列的(B)A.(x-p)2=6B.(x)2=9C.(x-p+2)2=5D.(x-p+2)2=89 .设a,b是两个整数,若定义一种运算力=/+力2+g则方程（+2）A=的实数根是（C）AR=X2=1B/I=OJ2=1CX=X2=-lDjc=12=-210 .已知尸二足2m,°二2?4则P,Q的大小关系为（八）A.P2QB.P>QC.PD.P<Q11 .小刚用配方法解2x2-Zx+tz=0得x=上当,则h的值为（C）A.-6B.-3C.6D.312 .若一元二次方程2-2x-3599=0的两根为。力,且>b,则2a-b的值为（D）A.-57B.63C.179D.18113 .已知方程x2+6+j=0可以配方成（X-M2=7,则（帆+严9=14 .若方程25/-（电l）x+l=0的左边可以写成一个完全平方式,则m的值为-9或11.15 .若方程x2-8x+1=0能配方成（X-P）2+g=0的形式,则直线y=px+q不经过的象限是其次象限.16 .用配方法解下列方程.（l-3x+3=O;4解：:xx+3=0,4.*jr-12x+12=0,即(-6)2=24,.*=6+2V6,X2=6-26.(2)3-=0.解：丁3f+8x3=O,那手1.z=I唠即G+-v+=用5W2=-317.当X为何值时,代数式5f+7x+l和代数式f9x+15的值相等？解:使这两个代数式相等,即5.x2÷7x+1=x2-9a+15,V42+16x=14.x2+4x=j,Zri+4x+4=y,(x+2)2=y,"2=岑1130C30.Xl=-2+-2=-2-J-.18 .用两根长度均为。的铁丝分别围成的一个长方形和一个正方形,设长方形长为X.(1)若长方形的长宽比为3：2,求长方形的面积；(2)求证:长方形的面积不大于正方形的面积.解:(1)：'长方形长为X,则宽为由题意得d弓'(。-20=3；2,解件.r=Q,贝心x("-2X)=，长方形的面积为fl2.丁长方形的面枳为.%xm2)=-+%vU)2+£：长方形的面积的最大值是霖乂丁1.1.4/IoIo正方形的面枳为(J2=.：长方形的面积不大于正方形的面枳.J拓展探究突破练19 .学完配方法解方程后,合肥育英中学的数学老师讲了这样一道题.已知2-2x+y2+4y+5=0,求x,y.则有(2-2x+1)+(j2+4y+4)=0,：(x1)2+(y+2)2=0.解得x=l,y=-2.依据老师的方法解下列各题：(1)己知x24x+j2+6y+13=0.求(x+y)2°9的值；若a,b,c表示的三边,且2+Z>2+c2-6rc-6f-Z>c=0,ffilSrABC的形态,并说明理由.解:(1)：v-4a+6v+13=0,Z(x-2)2+(y+3)2=0,：x=2J=-3,(x+y)20,9=(2-3)20,9=l.(2)ABC为等边三角形.理由如下：*'a1+h2+c2-ac-ab-hc=Ot.2+2+2c2-2ac-2ab-2bc=O,即a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,.(a-b)2+(bc)2+(c-a)2=0,.-b=O,b-c=O,c-=O,a=b=c,ABC为等边三角形.21.2.2公式法J学问要点基础练不学问点1-元二次方程根的判别式1.下列的一元二次方程有实数根的是(B)AJx2-Zr+1=0B.-l=-3xC,-3x+5=0D.(x-3)2+2=02 .一元二次方程1v2-4a+1=0的根的状况是(B)A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3 .不解方程,推断方程根的状况.(l)2+5j+6=0;解:2+5y+6=0,=b2-4ac=52-4×2×6=25-48=-23<0,：方程2y2+5y+6=0没有实数根.(2)2r=3x+l;解:由已知得22-3x-1=0,=2-4wc=(-3)2-4×2×(-l)=17>0,：方程2=3x+l有两个不相等的实数根.(3)4y(4y-6)+9=0.解:由已知得16yj-24y+9=0,=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=576-576=0,：方程4y(4y-6)+9=0有两个相等的实数根.学问点2用公式法解一元二次方程4 .用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是(D)A.=3,b=2,c=3B.tz=-3,Z>=2,c=3C.67=3,Z>=2,c=-3D.=3/=-2,c=3(B)5 .方程f*l=0的根是.-l+5-1-SA/i=,X2=一nl+5l-5B.XI=2=-D.没有实数根6 .用公式法解下列方程,请完成解题过程:(1)2t-7-4=0;解:=21=-7.c=-4.庐4c=81>0,-b±Jb2-4ac7±T_7±9-4-4,Zl1Xl=4,2=T-(2)(x-2)2=x-3.解:整理,得F-5+7=(),a=!,/?=-5,c=7,h1-ac=-3<0,方程一没有(无)实数根.Ik综合实力提升练7 .已知a是一元二次方程f3>5=0的较小的根,则下面对a的估计正确的是（八）A.-2<<-1B.2<<3C.-3<a<-4D.4<<58 .若关于X的一元二次方程3f2xF=O的一个根为1,则另一个根为(C)A.-2B.1C.-iD.329 .已知ahc分别为RtA48C(NC=90°)的三边的长,则关于X的一元二次方程(c+a)x2+2bx+(c-a)=0根的状况是(C)A.方程无实数根B.方程有两个不相等的实数根C.方程有两个相等的实数根D.无法推断10 .若关于x的一元二次方程A2-4x+3=0有实数根,则k的非负整数值是（八）A.1B.0,1C.l,2D.1,2,311 .(通辽中考)若关于X的一元二次方程x2-2-+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=心4的大致图象是(B)12 .已知y=24c,当X=2+TI或2-VTI时.y=7.13 .安徽太湖中学的小明设计了一个魔术盒,当随意实数对(x,y)进入其中,会得到一个新的实数f-2y+4,若将实数对(,-2)放入其中,得到一个新数为6,则a=-2÷6_.14 .已知等腰三角形的一腰为X,周长为20,则方程F12+31=0的根为6+.15 .用公式法解下列方程.82-4i+1=0;解:这里。=8上=-4,c=1.422:Z=32-32=0,二广笠=¥，164即XE=刍4(2)4r2+4r=-2;解:方程整理得2尸+2f+l=0,这里4=2/=2,c=l.:Z=4-8=4v0,.:此方程无解.(3)0-2)(3y-5)=l.解:方程整理得3y2-lIy+9=0,这里a=3力=-1l,c=9.rj=121-108=13,.11±13.x=16 .已知关于X的一元二次方程(m-l)2-2nu+m+l=O(nl).(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)11为何整数时,此方程的两个根都为正整数.解:(1)：=b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4>0,:方程有两个不相等的实数根.由求根公式,得X=Jm±；._2m+2_m+1_2m-2*x,-2(m-l)-m-l52-2(m-l)Fn为整数,且方程的两个根均为正整数,*=z=l+-,HXl必为止整数，m-1m-l.*M-1=1或2,：尸2或加=3.?-拓展探究突破练17 .(巴中中考)定义新运算:对于随意实数见都有机=,等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算.例如>3G=(-3)22+2=20.依据以上学问解决问题:若2a的值小于0,请推断方程:源-灰+=0的根的状况.解：丁2。的值小于0,122q+a=54<0,解得tz<O.在方程2x1-bx+a=0中，4=(-b)2-842-84>0,：方程2x+=0有两个不相等的实数根.18 .依据如图所示的程序计算.(1)选取一个你喜爱的X的值,输入计算,试求输出的)，值是多少？(2)是否存在这样的X的值,输入计算后始终在内循环计算而输不出)，的值?假如存在,恳求出X的值;假如不存在,请说明理由.解:(1比=1,则fx2-4=-2v0,再输入则2x2-4=4.当y=x,且y<0时,输入X计算后始终输不出y的值.此时x=2j-4,2x2-4=0,-(-1)±J(-1)2-4×2×(-4)1-t33JT=2×24'Y>0唔O44X=等为所求的的值,输入计算后始终输不出y的值.21.2.3因式分解法I1.学问要点基础练问点1用因式分解法解-元二次方程1.一元二次方程2-3=0的根是(D)Ajq=(XX2=3Bi=2q=3C.x=lt2=-1D.xi=0/2=3【变式拓展】方程Xu-3)=5(x-3)的解的状况是(C)Aar=3Bjt=5C.x=3rt2=5D.无解(C)2.若多项式2+x-6可以分解为(x+3)(x-2),则方程x2+x-6=0的根是A=-3B=2C.x=3或x=2D.无法确定3 .用因式分解法解下列方程.(DX2-2x-3=0;解:分解因式得(t3)(x+l)=0,x-3=0rr+l=0,.R=3j2=-1.(2)(x-1)2+2x(x-1)=0.解:分解因式得a/)。/+2x)=o,.*x-l=0-1+2=0,11.x1=l2=5.问点2-元二次方程解法的选择4 .方程+2)2=9的适当的解法是（八）A.干脆开平方法B.配方法C公式法D.因式分解法5 .解一元二次方程(y+2)2-2(y+2)-3=0时,最简洁的方法是(B)A.干脆开平方法B.因式分解法C.配方法D.公式法6 .用适当的方法解方程.(1)x2+x-12=0;解:分解因式得(x-3)(x+4)=0,可得x3=O或x+4=0,解得XI=342=4(2)2x(x-3)-l=0;解油原方程,得26-1=0,则=2,b=-6,c=-l,所以=2-4c=(-6)2-4×2×(-1)=44,所以厂里=43士TT2'解得制3+T3-iT2-(3)2+3)2=3(2/+3);解:原方程化为(2f+3)2(2f+3)-3=O,解得=-p2=-(4)(x+4)2-(2x-1)2=0.解:分解因式得+4+2x-l)(x+42叶I)=0,即(3x+3)(x+5)=0,解得X1=-lrT2=5.-综合实力提升练7 .解下列方程:砂f-27=0;f-7x-l=0;25+2=0;勘(3-l)2=3x-l.较简便的方法是(D)A.依次为:干脆开平方法,配方法,公式法,因式分解法8 .依次为:因式分解法,公式法,配方法,干脆开平方法C.g)用干脆开平方法,®用公式法,用因式分解法D.用干脆开平方法,用公式法,®用因式分解法8 .若代数式3x2-Zr+l与+5x-3的值互为相反数,则X的值为(C)AW或-2或2C.-2或;D.，或29 .己知(Zr+l)2-(2r+l)-12=0,则X的值为（八）A.-2或；B.2或-1C.3或-2D.-110 .已知2-5孙+6y2=0,则浮于(B)Ag或；B.2或3Ct或1D.6或1I1.在正数范围内定义运算“”,其规则为。公。+户,则方程(+1)=5的解是(B)AJ=5B,x=lC.Xi=lrT2=-4DjC=-ll2=412.已知三角形两边的长是2和5,第三边的长是方程f-7x+12=0的根,则该三角形的周长为（八）A.11B.10C.11或10D.以上都不对13.对于实数4力,先定义一种新运算“”如下2力=a2b+a(a),_11.,u.q,'若2近=36,则实数ab2+b(a<b),等于(B)A.-4.5B.4C.4或-4.5D.4或-4.5或8.514.若实数a,b，荫意(44+4Z0(4+4"-2)-8=0,则a+b=,或15.已知一-组数据4,425,3的中位数为中且“是方程x27x+10=0的根,则“的值是3或4.16 .已知3是关于X的方程d-(m+l)x+2m=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰AABC的两条边的边长,则AABC的周长为10或11.17 .按要求解下列方程.(l)25f+10x+l=10(公式法);解:由原方程,得25+10x-9=0,则=25,6=10,c=-9,所以=h2-4ac=100+900=1000,所以X=-o±oTo-+Io50(2)7x223x+6=0(配方法);解:方程变形得F争=3配方，得存"给啜，即(、卷)2=落开方得工噂解得X尸(3)0+2)2=(3y1)2(因式分解法)；解:()，+2+3Al)(y+2-3y+1)=0,(4v+1)(3-2),)=O,所以,V)=-j.V2=-.(4)f4x396=0(适当的方法).解:由原方程移项,得a2-4x=396,配方,得f-4x+4=400,所以(x-2)2=400.所以x二2±20,所以m=22j2=8.-拓展探究突破练18.阅读下面的例题：解方程:PI讣2=0.解:当时,原方程化为Pr2=0,解得由=22=-l(不合题意,舍去).当x<0时,原方程化为W+x-2=0,解得XI=I(不合题意,舍去)/2=2.：原方程的根是X=2u2=2.请参按例题解方程x2-x-3卜3=0,求此方程的根.解:谓xZ3时,原方程化为2-(x-3)-3=0,即/-.E),解得曾=0(不合题意,舍去)J2=1(不合题意,舍去).x<3时,原方程化为2+x33=O,即2+x-6=0,解得x=-32=2.所以原方程的根是11=-3/2=2.*2124一元二次方程的根与系数的关系学问要点基础练学问点1利用根与系数的关系求字母的值1.若关于X的方程x2+3x+=0有一个根为1,则另一个根为（八）A.-4B.2C.4D.-3【变式拓展】若关于X的一元二次方程(+l)f+x+.=0的一个根是0,则这个方程的另一个根是(B)A.iB.-iCJD.-l222 .若关于X的一元二次方程x2H+3=O的两根XlK2满意(XlJ)(X21)=2,则a的值为(C)A.4B.-3C.5D.-23 .已知关于X的方程f+x2=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根；解：rj=2-4×l×(-2)=2+8>0,:方程有两个不相等的实数根.(2)若方程的一个根是】求另一个根及k值.解:将x=-l代入原方程,得l-h2=0,设方程的另一个根为M依据题意得-IR=-2,4=2.：方程的另一个根为2,4值为-1.问点2利用根与系数的关系求代数式的值4 .设Xla2是方程x2+5x-3=0的两个根,则好+媚的值是(C)A.19B.25C.31D.305 .己知Xg是方程f=2x+l的两个根,则工+工的值为(D)Xl×2A.-B.2C.D.-26 .设；vim是方程2,v2+4x-3=O的两个根,利用根与系数关系,求下列各式的值.(XI-X2)2；(/+SN+/解:依据根与系数的关系可得内+也=2Zm=-(l)(1-.r2)2=X1+右2口工=好+×2+1v-V2-4i.V2=(-V;)'4.vi.v2=(-2)2-4×(-)=1O.&+F)G2+)=,2+=Cl)+2+=综合实力提升练7 .假如/是一元二次方程2+3x-1=0的两根,则a2+2a-的值是(C)A.6B.5C.4D.3(D)8 .一元二次方程+履-3=0中,若QO,则这个方程根的状况是A.有两个正根B.有一正根一负根且正根的肯定值大C.有两个负根D.有一正根一负根且负根的肯定值大9 .关于X的一元二次方程+(2-2a)x+-l=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(B)A.2B.0C.lD.2或010 .设a,b是方程x2-8x+4=0的两个根,则S+VS的值为(C)A.18B.6C.23D.÷3211 .已知cr+3a-1=0tb2+3b-1=0且ab,Wiab+a+b的值为(B)A.4B.-4C.-2D.212 .15a,b是方程x2+x-2019=0的两个不等的根,则cr+2a+b=2019.13 .已知xK2是关于X的方程f+cc-2b=0的两实数根,且内+刈=2用七=1,则的值是14 .定义运算:*b=(14).若a,b是方程Fx+加=0(?VO)的两根,则b*b-a*a的值为0.15 .ASC的一边长为5,另两边分别是方程x2-6x+"f0的两根,则m的取值范围是y<W9.16 .(南充中考)已知关于X的一元二次方程x2-6x+(2m+l)=0有实数根.(1)求tn的取值范围；(2)假如方程的两个实数根为XM2,且2xm+%+X2N20,求机的取值范围.解:依据题意,得/=(-6)2-4(2"?+1)20,解得m4.依据题意,得即+X2=6田X2=2m+1,2xi%2+-v+X220,KP2(2m+1)+620,解得川23,又m<4,所以m的取值范围为3m4.17 .已知始终角三角形的两条直角边是关于X的一元二次方程/+(2七1),计标+3=0的两个不相等的实数根.求上的取值范围.(2)假如此直角三角形的斜边是5,求它的两条直角边分别是多少？解:：一元二次方程f+(2hl)x+2+3=0有两个不相等的实数根,.">0,.：(24-1)2-4(标+3)>0,即-4hl1>0,.：k吟.4(2)令其两根分别为MK2,则有Al+X2=1-2kCX2=Ci+3,丁此方程的两个根分别是始终角三角形的两条直角边,且此直角三角形的斜边长为5,:好+×2=52,."(XI+X2)2-2xX2=25,：(1-2守-2#+3)=25,Ar-2Ar-15=0,=5z=-3,:把*=-3代入原方程得到2-7x+12=0,解得x=3j2=4,.：直角三角形的两直角边分别为3和4.J拓展探究突破练18 .已知m,n是关于X的一元二次方程22x+22+4=0的两实数根,则O+2)(+2)的最小值是(D)A.7B.llC.12D.1619 .若XIK2是关于X的方程2+r+c=O的两个实数根,且IXll+比|=2因(2是整数),则称方程x1+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2-6x-27=0yV2-2t-8=0c2+3x-曰=0,+6工-27=()42+4工+4=0,都是“偶系二次方程”.(1)推断方程f+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由；(2)对于随意一个整数力,是否存在实数c,使得关于X的方程2+H+c=0是“偶系二次方程'',并说明理由.解:不是,解方程f+x-12=0得x=3u2=4I+X2=3+4=7=2×3.5.：3.5不是整数，+x-12=0不是“偶系二次方程.(2)存在.理由如下：*2-6-27=0利x2+6x-27=0是偶系二次方程,：假设c=mb2+n,当Z>=-6,c=-27,-27=36w+l了W=O是偶系:次方程,."=0,则"7=44:f+3.r§=0是偶系二次方程，当h=3时,c=-*x32=子.可设c=-b2.对于随意个整数b.c=-b2时/=户4"。=4层.4-b±2b.3.即=-/，X2=kll+X2=2>,:力是整数,二对于任何一个整数4C=斗2时,关于X的方程/+加+”0是“偶系二次方程”.4