17 全等与相似模型-对角互补模型（学生版）.docx

专题17全等与相似模型对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、旋转中的对角互补模型对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：过顶点做双垂线，构造全等三角形；进行旋转的构造，构造手拉手全等。常见的对角互补模型含90。-90。对角互补模型、120。-60。对角互补模型、2-(180o-2a)对角互补模型。D“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)条件：如图，已知NAoB=NOCE=90°,OC平分N40A结论：QCD=CE,OD+OE=也OC,®Sodce=Scoe+Scod=-OC2.结论：(T)CD=CE,OE-OD=也OC,SCCF-SCCn=1.OC2.CCzi1.Ctz1.z2条件：如图，已知AO8=2NQCE=I20°,OC平分NAo吐结论：CO=CE,OD+OE=OC,SED+SW=6OC4)“等边三角形对120。模型”(2)条件：如图，已知NAOB=2NOCE=120°,OC平分NAo8,NZ)CE的一边与80的延长线交于点D,结论：Co=CEOD-OE=OC,S8D-S-立OC'5)“120等腰三角形对60。模型”条件：ZkABC是等腰三角形，且N8AG120。，NBPC=60°°结论：PB+PC=yj%6)“2对1802模型”E条件：四边形ABCo中，AP=BP,NA+NB=180。结论：OP平分NAOB注意：AP=8P,NA+NB=180。，OP平分NAo4,以上三个条件可知二推一。7）“蝴蝶型对角互补模型”条件：AP=BP,ZAOB=ZAPB结论：OP平分NAOB的外角。例1.（2023黑龙江黑河八年级期中）/?/48C中，AB=AG点。为8C中点.NMDN=90。,NMDN绕点、。旋转，DM、ON分别与边AB、Ae交于E、尸两点.下列结论：（BE+CF）=叵BC,SAAEFSaabc，24S四边形AEDF=AOERAQE/其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个例2.（2022辽宁九年级期末模拟）已知鼬0B=9（,在0AOB的平分线。M上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与0A,0B（或它们的反向延长线）相交于点D,E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图），易证：OD+OE=OC;当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图，图这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段0D,0E,OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.例3.(2022秋四川绵阳九年级校联考阶段练习)己知NAaX90o,AC=DC,MN是过点A的直线，过点、D作DB工MN于点8,连接C3.(1)问题发现：如图(1),过点C作CE_1.C8,与MN交于点、E,BD、AB.CB之间的数量关系是什么？并给予证明.(2)拓展探究：当MN绕点A旋转到如图位置时，BD、AB.CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明.例4.(2022四川宜宾八年级期末)如图1,AAoB=90，OC平分/AO8,以C为顶点作NOCE=90，交OA于点。，OB于点E.(1)求证：CD=CE;(2)图1中，若OC=3,求。Q+OE的长；(3)如图2,NAOB=120°,OC平分NAoB,以C为顶点作ZDCE=60°,交04于点O,。3于点E.若。=3,求四边形OEa)的面积.例5.（2022湖北省宜城市八年级期末）如图，已知AO8=12（,在IMo8的平分线OM上有一点C,将一个60。角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、08相交于点。、E.（1）当团。CE绕点C旋转到。与OA垂直时（如图1）,请猜想。与OC的数量关系，并说明理由;（2）当团。CE绕点C旋转到CQ与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由;（3）当皿）CE绕点C旋转到CO与。4的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明;若不成立，线段0。、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.例6.（2023山东九年级专题练习）如图，AABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点,回EDF=I20。,把团EDF绕点D旋转，使团EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F.（1）当DFE）AC时，求证：BE=CF;（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由例7.（2022山东省枣庄市一模）如图，已知NAO8=60。，在/AQ8的角平分线OM上有一点。，将一个120。角的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线OAOB相交于点RE.D（1）如图1,当/DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想。+OE与Oe的数量关系，并说明理由；（2）当/OCE绕点C旋转到CO与。4不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3,当/DCE绕点C旋转到点。位于QA的反向延长线上时，求线段OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.例8.（2023浙江金华校考三模）如图，点P为定角MOB的平分线上的一个定点，旦团MPN与MO8互补，若SlMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与。4、08相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM-ON的值不变；（3）回OMN的周长不变；（4）四边形PMoN的面积不变，其中正确的序号为B模型2.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.【常见模型及结论】1）对角互补相似1条件：如图，在自ABC中，NC=NEO尸=90。，点。是A3的中点，辅助线：过点。作OD_1.AC,垂足为。，过点。作OH_1.Ba垂足为",结论：AoDE*OHF；®=一OFACOF（思路提Z5：OFODBHBC、OHOHAC2）对角互补相似2条件：如图，已知/4O8=/QCE=90。，NBOC=a.辅助线：作法1.如图1,过点C作C尸"1.OA,垂足为F,过点C作CGJ1.08,垂足为G；结论：2ECG-DCF；CE=CDlCma.（思路提示：=，CF=OG,在RmCOG中，tana=）CDCFOG辅助线：作法2：如图2,过点。作_1.0C,交OB于产；CFCFCF结论：aCFEaC0DCE=Sf（思路提示：一=tana,在RaOC/中，tana=）CDCOOC3）对角互补相似3条件：已知如图，四边形ABCO中，ZB+ZD=180ooCB辅助线：过点。作OE_1.84,垂足为E,过点。作OF_1.8C,垂足为F；结论：DAE-DCFiABCo四点共圆。例1.（2023成都市九年级期中）如图所示，在Rt.,A8C中，ZABC=90。，A8=3,BC=4t在mMPN中,/MPN=90。，点P在AC上，PM交AB于点E,PN交BC于点、F.当PE=2P尸时，AP的值为（）.例2.（2023河南南阳九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角JWe中，NACB=90。，AC=BC,过点C作射线CQAg,。为射线CP上一点，E在边BC上（不与8,C重合）且Nf）AE=45。，AC与DE交于点O.（1）求证：ADCAAEBi（2）求证：ADEACT；（3）如果CO=CE,求证：CD2=CO-CA.例3.（2023广西河池校联考一模）综合与实践【问题情境】在RtAABC中，ZBAC=9（）°,AB3,Ae=4,在直角三角板EQF中，NEDF=90。，将三角板的直角顶点。放在RlZA3C斜边6C的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边£>E,。“分别与边A3,AC交于点M,N.【猜想证明】如图1,在三角板旋转过程中，当“为边AB的中点时，试判断四边形AMQN的形状，并说明理由.【问题解决】如图2,在三角板旋转过程中，当NB=NMDB时，求线段CN的长.例4.（2023年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形A38和OAEC,其中四边形Or夕C的顶点。位于四边形ABCO的对角线交点0.如图1,若四边形ABCD和0A9C都是正方形，则下列说法正确的有.（填序号）。七=。尸；重叠部分的面积始终等于四边形ABCQ的;；BEtBF=与DB.应用提升如图2,若四边形ABC。和Or夕。都是矩形，A。",。="写出OE与。尸之间的数量关系,并证明.类比拓展:如图3,若四边形ABCO和OA宣C都是菱形，4DAB=a,判断（1）中的结论是否依然成立;如不成立，请写出你认为正确的结论（可用。表示），并选取你所写结论中的一个说明理由.例5.（2023.辽宁中考模拟）如图，在RJABC中，AC=BCf0AC8=9O。，点O在线段A8上（点O不与点A,8重合），且O8=&OA,点M是AC延长线上的一点，作射线。M,将射线OM绕点。逆时针旋转90。,交射线8于点N.（1）如图1,当火=1时，判断线段。M与ON的数量关系，并说明理由；（2）如图2,当攵1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含女的式子表示），并证明；（3）点P在射线BC上，若团8。N=I5。，PN=kAM（1）,且避二1,请直接写出唇的值（用含Z的式子表示）.AC2PC图1图2备用图例6.（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1,已知在m-ABC中，0AC=9Oo,AB=ACf取3C边上中点。，连接AO,点E为AB边上一点，连接OE,作DfQDE交AC于点F,求证：BE=AR（2）探索发现：如图2,已知在K/ABC中，团BAC=90。，AB=AC=3,取BC边上中点。，连接AO,点E为84延长线上一点，AE=I,连接OE,作小词OE交AC延长线于点尸，求AF的长:（3）类比迁移：如图3,已知在ABC中，BAC=120o,AB=AC=At取BC边上中点。，连接A。，点、E为射线BA上一点（不与点A、点8重合），连接。E,将射线OE绕点Z）顺时针旋转30。交射线CA于点F,当AE=4A尸时，求A尸的长.Sl图2F图3课后专项训练1.（2022江苏八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系XOy中，A,B两点分别在X轴，y轴的正半轴上,且OA=OB,点C在第一象限，OC=3,连接BC,AC,若团BCA=9（,则BC+AC的值为.2. （2023.广东九年级期中）如图，二A8C为等边三角形，以A8为边向外作AABQ,使NA08=120。，再以点C为旋转中心把二C8。旋转到Ve4E,则给出下列结论：O,A,E三点共线；OC平分NBD4；ZE=ZBACi®DC=DB+DA.其中正确的有（）.A.1个B. 2个C. 3个D. 4个3. （2023山西临汾统考二模）在菱形ABCO中，=60,AC=6,对角线AGBD交于点、O,E,尸分别是ABAO边上的点，且NEC尸=60,BE=2,CF与BD交于点G,则段的值为.DG4. （2023青岛版九年级月考）如图，在放二ABC中，ZACB=90,ZABC=30,直角NMON的顶点O在A4上，OM、ON分别交C4、CB于点尸、Q,NMoN绕点。任意旋转.当若=:时，器的值为.（用含的式子表示）5. （2023西城区校级期中）己知，如图，在四边形A8C。中，BC>BA,NA+NC=180°,DE1.BC,BD平分NABC试说明AQ=QC.6. （2023阜新中考模拟）如图，在AABC中，ZBAC=90o,AB=AC,4O_1.8C于点。.（1）如图1,点七，尸在AB,AC上，且NEe）尸=90°.求证：BE=AF;（2）点M,N分别在直线4。，AC上，且NBMN=90°.如图2,当点M在AO的延长线上时，求证：AB+AN=aAM;当点M在点A,O之间，且NAMN=30°时，已知45=2,直接写出线段AM的长.7、（2023.重庆九年级期中）已知：如图，在等边0A8C中，点。是BC的中点，团。OE=I20。，团。OE绕着点。旋转，角的两边与AB相交于点O,与4C相交于点£若O。,。E都在BC的上方，如图1,求证：。=。£（2）在图1中，8Q,CE与BC的数量关系是.若点。在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2,直接写出8Q,CE与BC的数量关系是.数量关系，并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：CD=CE.理由如下：如图1,过点。作CE_1.OC,交OB于点F,则NOb=90。，.请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分.（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程.（3）若ZAoB=I20o,NDCE=600.如图3,NTX石与/AQB的两边分别相交于点O、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段00、OE、OC有什么数量关系？说明理由.如图4,/OCE的一边与40的延长线相交时，请回答中的结论是否成立，并请直接写出线段0。、OE、OC有什么数量关系；如图5,Nz）CE的一边与8。的延长线相交时，请回答中的结论是否成立，并请直接写出线段。、0E.OC有什么数量关系.图3图4图59. （2022湖北武汉八年级校考期末）己知在四边形ABC。中，NABC+NAOC=I80°，AB=BC.如图1.连接30,若/84)=90°,求证：AD=CD.如图2,点P,。分别在线段ADoC上，满足PQ=AP+CQ,求证：NPBQ=ZABP+NQBC；若点Q在。C的延长线上，点尸在OA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=AP+CQ,请写出N尸8Q与NAz）C的数量关系，并给出证明过程.10. （2023山东青岛八年级统考期中）问题汝口图，点。是/48C的角平分线BP上一点，连接AD,CDt若NA与NC互补，则线段A。与Co有什么数量关系？探究探究一：如图，若NA=90。，则NC=I80。-NA=90。，即AO_ZA4,CD1.BC,又因为平分NABC,所以AD=CD,理由是：.探究二：若NA工90。，请借助图，探究AO与Co的数量关系并说明理由.结论点。是/ABC的角平分线BP上一点，连接AO,CD,若ZA与/C互补，则线段A。与8的数量关系是.拓展已知：如图，在JsC中，AB=ACiZA=100o,BD平分NABC.求证：BC=AD-VBD.11. （2022陕西宝鸡统考二模）问题提出（1）如图1,四边形48CD中，AB=AD,/8与互补，BC=2C。=20,点A至J8C边的距离为17,求四边形ABCO的面积.问题解决（2）某公园计划修建主题活动区域，如图2所示，BA=BC=60m,N8=60。，CD/AB,在8C上找一点E,修建两个不同的三角形活动区域，ABE区域为体育健身活动区域，ECD为文艺活动表演区域,根据规划要求，ED=EA,ZAO=60,设EC的长为x（m）,回ECD的面积为义1）,求丁与X之间的函数关系式，并求出团ECD面积的最大值.12. （2023山东中考模拟）如图，矩形ABCO中，0ACB=3Oo,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线Ae8。的交点处，以点尸为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的PE直线相交，交点分别为EF.（1）当PEmB,PfWBC时，如图1,则际的值为.PP（2）现将三角板绕点P逆时针旋转（0o<<60o）角，如图2,求立的值；（3）在（2）的基础上继续13. （2022秋河南鹤壁九年级统考期末）已知在R1.ABC中，NBAC=90。，AB=2,AC=4,D为BC边上的一点.过点。作射线OEJ_。下，分别交边A8、AC于点E、F.（1）当。为BC的中点，且DEJ.AB、力尸工AC时，如图1,=DF（2）若。为8C的中点，将NEoF绕点。旋转到图2位置时，-1=：DF（3）若改变点。到图3的位置，且空=丝时，求瓷的值.BDnDF14. （2023浙江台州九年级校考阶段练习）【问题情境】如图，在RlZXABC中，NAC8=90。，AC=BC,点。为AA中点，连结8,点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于。石的直线交AC的延长线于点F.易知BE与CF的数量关系.【探索发现】如图，在RtZXABC中，NACB=90。，AC=BC,点D为AB中点,连结8,点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于。石的直线交AC的延长线于点厂.【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由.【类比迁移】如图，在等边MBC中，AA=4,点。是AA中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线OE绕点。逆时针旋转60。交Be于点尸.当CF=2CE时，CE=.15. （2023广东中考模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1,在等邻角四边形ABCD中，团DAB=团ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2,在RtOABC与RtHABD中,0C=0D=9O%BC=BD=3,AB=5,将Rt团ABD绕着点A顺时针旋转角（Oo<0<0BAC）得到RtOABD（如图3）,当凸四边形AD，BC为等邻角四边形时，求出它的面积.16. （2023年成都市中考模拟）（1）如图，RtABC中，04=90。，A8=AC,D为BC中点,E、尸分别为AB.AC上的动点，且EIEo尸=90。.求证：DE=DFi（2）如图2,中，0BC=9Oo,AC=4,AB=3,ADBCtBEDF=90°.求证：DFDA=DBDEi求E尸的最小值.图1图217. （2023浙江省绍兴市九年级期中）如图，在RtZkABC中，0BAC=9Oo,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且团PDQ=90。.（1）当DPtSAB时，求CQ的长；（2）当BP=2,求CQ的长.18. （2023湖北九年级专题练习）如图，四边形ABCQ是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、。重合），连接PB,过点P作PE1.PB,交DC于点E,已知AD=3,AC=5.设AP的长为工PFPFWAB=；当A:=1时，求总的值：试探究：会是否是定值?若是，请求出这个值：若不是，PdPd请说明理由；（3）当.PCE是等腰三角形时，请求出X的值.19. （2023秋山西忻州九年级校考期末）综合与实践问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究.猜想推理：（1）如图1,在等边JWC中,。为8C边上一点,E为AC边上一点，NAoE=60。，A8=6,%）=2,则CE=.问题解决：（2）如图2,$ABC是等边三角形，。是BC的中点，射线。石，。尸分别交AA,AC于点E,F,且NEDF=I20。，求证：DE=DF.（3）如图3,NBAC=90。,AB=6,AC=8,D是BCDF的中点，射线DE,。尸分别交A8,Ae于点E,F,且NE0F=9Oo,求=的值.20.(2023广东深圳三模试题)(1)【探究发现】如图1,正方形ABa)的对角线相交于点O,在正方形A8'CO绕点。旋转的过程中，边A'O与边BC交于点M,边Co与边C。交于点N.证明：QMCAOND；(2)【类比迁移】如图2,矩形ABCo的对角线相交于点。，且AB=6,4)=12.在矩形A'QC'0绕点。旋转的过程中，边A。与边8C交于点边CO与边Co交于点N.若DN=I,求CM的长；(3)【拓展应用】如图3,四边形A8CD和四边形ABCO都是平行四边形，且NA'OU=NADC,AB=3,BC=35,ABCD是直角三角形.在ATrC'O绕点。旋转的过程中，边A'0与边BC交于点M,边CO与边CO交于点N.当YABCQ与AB'C'O重叠部分的面积是YABCD的面积的I时，请直接写出ON的长.