2024数列求和的8种常用方法(最全).docx

2024数列求和的8种常用方法（最全）（1）求数列前11项和的8种常用方法一.公式法（定义法）：1.等差数列求和公式:特别地，当前项的个数为奇数时，S2+1=（2+1）1,即前项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算；2 .等比数列求和公式：（1） q=,Sn-na；（2） ql,S“=1.,特别要注意对公比的讨论;-q3 .可转化为等差、等比数列的数列；4 .常用公式：(1) 1+2+3+1.+/2=-«(/?+1)；=2nI11(2) Yk2=l2+22+32+1.+n2=U(+1)(2+1)=-(+-)(+1);632(3) =I3÷23+33÷1.+；=2(4) £(21)=1+3+5+1.+(2-1)="kl例1已知l0g3X=,求X+f+d+"的前项和.log23解:由log3x=-；=>log3X=Tog32=>x=二Iog232由等比数列求和公式得S11=x+÷x3+1.+Xw(1C)17112,例2设S.=1+2+3+，"N*,求/()=以的最大值.(n+32)5,f+1解：易知S”=g(+1),S“x=g(+l)m+2)(n+32)Sw+ln2+34÷64+34+64(6-押+50<150当即，2=8时，）max=.二.倒序相加法:如果一个数列4,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个（4+4）例3求si1。+sin22o+sin23o+sin2880+sin289'的值解：设S=Sin2r+sin220+si3°+-+sin288°+sin289°将式右边反序得S=sin289o÷sin288o+sin23o+sin22o÷sin2(反序)又因为sinx=cos(90o-x),sin2x+cos2x=1+得(反序相加)2S=(sin2+cos2)+(sin22c+cos229)+(sin289°+cos289o)=89S=44.5例4函数/(x)=,求/(1)+/(2)+÷(2012)÷f-Vf-5-+/(1+/的值.11AZU1/，Z)Ily三.错位相减法：适用于差比数列（如果4等差，等比，那么4叫做差比数列）即把即：(1-x)Sn=l+2x(2-1)xm1-x.e(2n-l)xn+,-(2?+l)xn+(1+x),=八9(I-X)2变式求数列2二,与,W,前项的和.222232”解：由题可知，券的通项是等差数列2的通项与等比娄g.C2462小s11-2+2+2t+,"+FIc246flne22223242n1G小句八1、C222222n一得，(l-)5,l=-+r+r+-rC12=2-'III2-i2"+Srt=4-Z四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消与组合思想(分是为了更好地合)在数列求和中的具体应用.攵列£的通项之积（设制错位）（错位相减）,只余有限几项，可求和。这是分解裂项法的实质是将数列中的每项（通如：等比数列的前项和就是用此法推导的.例5求和：S.=l+3x+5+7+（2_I）XI解：由题可知，（2"-l）i的通项是等差数列2-1的通项与等比数列*的通项之积设xSn=lx+3x2+5x3+7x4÷+（2-1）xh（设制错位）一得（1-x）Sf,=1+2x+2x2+2x3+2x4+2xm,-（2n-1）xm（错位相减）每一项都乘以色的公比°,向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和.项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于是各项不为O的等差数列，c为常数;常见裂项公式：(1)n(n+1)nn+nn+k)knn+k(2)(3)(4)，其中4部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是）（q的公差为）；4,q+danan+l_1f=-（7-）.（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）；A+A+d-I：(一1)5+1)2n(n+1)(n+i11+2)a,'(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l(2尸n(2h-1)(2h+1)=，4(2n-l2n÷l);%二q,=25+Di_1.=_1.T_WJSrt=I-1.-"11(h+1)2nn(n+1)Tn2,'5+1)2""5+1)2"(6)一小一=tan(+l)Jan*cosivcos(+1)°(7)5+1)!1_1M(+1)!(8)常见放缩公式：2（g-«）厂_厂<-<-b11+1+如如yjn+:-1=2(yn-yjn-l).求数列f=，-f=-F=,(=,的前项和.1+-v2J2+J3+ly/n+yJn+1（裂项）则Sn=-.+.1+xf,yp2.+>/3yti+J九+1（裂项求和）(2V)+(3-V2)+÷(J+1V11)=h+1-1例7求和S'=-+一+一十"1x33x55x7(2n-1)(2?+1)例8在数列4中，4=，又打，求数列也的前项的和.解:：bll=8(-)n+1（裂项）22数列出的前项和Sn=8(l-)+(-i)+F-)+(-一)(裂项求和)22334nn+1=8(1-n+=红cos0ocosCOSl0cos2ocos88cos89csin2角相设S=1+!+!cosOcoscoscos2,cos88ocos89o=tan(11+i)o-tann(裂项)COSZlocos(11÷l)°S=!+1+!(裂项求和)cos0ocoscoscos2cos88°cos89o=(tanlo-tan0o)+(tan2-tan)+(tan30-tan2o)+tan89o-tan880sin1zCc。z1”cos=(tan89-tanO)=cotl=；sinsinsin2原等式成立113563变式求s”=g+%-91(-5×1-2I-9-1(-71T91-2-+1-7)Zlx1-7+五.分段求和法：例10在等差数列叫中4。=23必5=-22,求：(1)数列也前多少项和最大；(2)数列前项和.六.分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例11求数列的前项和：l+l,'+4,+7,工+3-2,aa2a"-角相设SZl=(I+l)+('+4)+(I+7)+(4+3-2)aaan将其每一项拆开再重新组合得S“=("+4+工)+(1+4+7+3-2)(分组)aaa当=la=l时，S=+(3"T)"=(3"+1).(分组求和)22当"时S1.X=上+112a-121a例12求数列(+1)(2+1)的前项和.角相设以=%伏+1)(2%+1)=2/+3/+左S”=/伏+1)(24+1)=力(223+3r+幻火=IA=I将其每一项拆开再重新组合得=2+32+A;(分组)JI=IJt=I=1=2(l3+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n)(分组求和)_2(n+l)2n(n+1)(2+l)n(+l)=11222_(+1)“+2)2变式求数列公尺，。+占,的前项和.24XI2,=(1+2+3+)+(；+J=-(n+l)+l-2211七.并项求和法：在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为具有某种特殊的性质的特殊数列，可将这些项放在一起先求和，最后再将它们求和，则称之为并项求和.形如为=(-),W类型，可采用两项合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论.例13求COSIo+cs2o+c0s30+.+cosl78o+cosl79o的值.解：设Sn=coslo+cos20+cos3o+.+cosl78o+cosl79ocos=-cos080-no)(找特殊性质项)Sn=(coslo+cosl79o)+(cos2o+cosl78°)+(cos3o+cosl77o)+l÷(cos89o+cos910)+cos90o(合并求和)=O例14数列4：al=l,2=3,a3=2tan+2=an+i-an,求S2002.解：设S2002=a+4+"*"2002由q=1.a2=3,Ct3=2,an+2-an+l-an可得4=T,%=_3，4=_2,c1=1,8=3,a9=2,10=-1,11=-3,12=-2,6八1=1，642=3,A7=2,4=-1,fl6jt+5=-3,6+6=-2*a6k+a6+2+。6«+3+a6k+4+。6«+5+。6人+6=。(找特殊性质项)*S2002=a+&+。3“2002(合并求和)=(1+a2+3+a6)+(7+a8+12)+÷(6jt+1+a6k+2+jt+6)HF(993+994-11-1998)+。1999+a2000+°2001+°20021°1999+a2000+a200l+。2002=a6k+i+a6k+2+a6k+3+a6k+4=5例15在各项均为正数的等比数列中，6Z56Z6=9,<log31+log3tz2+Iog310¾t.角单：设S“=log31+log36t2+log34Z10由等比数列的性质机+=p+4=>anall=apaq(找特殊性质项)和对数的运算性质logrtM+logrtN=logrtM-N得StI=Qog3%+log3010)+(log3a2+log309)+Gog3a5+log3a6)(合并求和)=Qog3fl10)+(log329)+(log356)=Iog39+Iog39+log39=10变式Sn=I2-22+32-42+52-62+992-1002.A.利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前项和，是一个重要的方法.例16求1+11+111+1111之和.解：由于1111=1x9999=1(10A-I)(找通项及特征)QO坏17济17.1+11+111+1111(1011)÷(1021)÷(103-1)HF(10111)(分组求和)=-(10,+102+103+10,)-(l+l+l+l)=J_10(10,-l)n-9-i三i9=(10,+,-10-911)例17已知数列4：q,求t(+l)(a“-J)的值.=1解：(n+irr-an+l)=8(n+1)(+1)(+3)5+2)5+4)（找通项及特征）=8（设制分组）+5+2)5+4)(“+3)5+4)=4-()÷8()(裂项)M÷2H+4n+3+4*£("+1)(%-。+1)=4£(-)+8(-)(分组、裂项求和)E+2+4TdH+3+4=4(-÷-)+8-34413T变式求5+55+555+5555的前项和.解：Z<(Ioj).$(1。)+加T+加-)+l+加-1)-(10l+102+103+1.+10")=-（10,+'-9-10）以上8种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式或进行消项处理来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解.三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将儿何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、“重心”的向量风采【命题1已知G是4ABC所在平面上的一点，若GA+G8+GC=0,则G是AABC的重心.如图.C图图【命题2已知。是平面上一定点，ABC是平面上不共线的三个点，动点尸满足OP=OA+(AB+AC)f4(0,+8),则P的轨迹一定通过ZkABC的重心.【解析】由题意AP=(AB+AC),当；I(0,+8)时，由于；l(4B+AC)表示3C边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过AABC的重心，如图(2).二、“垂心”的向量风采【命题3】P是AABC所在平面上一点，若西.丽=丽.正=正.西，则P是AABC的垂心.【解析】由PAPB=PBPC,得尸8(P4尸C)=0,即PBeA=0,所以PAJ_c4.同理可证PC1.AB,PA.1.BC.，P是AABC的垂心.如图.图【命题4已知。是平面上一定点，A8C是平面上不共线的三个点，动点P满足zlROP=OA+I一i+1一_j,(0,+),则动点尸的轨迹一定通过AABC的垂心.jABcosBACcosC【解析】由题意AP=l厂平一+半一，由于,+.BC=O,JAqCoSBACcosCJABcosBIAqCoSCanRrRr即I厂/一+-IBClTC=0,所以A户表示垂直于3(j的向量,即P点在过点A且垂直于IAMCOSBACcosCBC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过AABC的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【命题5】已知/为AABC所在平面上的一点，旦A5=c,AC=b,BC=a.若A+4B+cC=0,则/是AABC的内心.【解析】VIB=IA+AB,IC=IA+AC,则由题意得(+8+c)A+M8+cAC=0,VhAB+cAC=ACAB+ABAC(beABACABJAC1一J÷lT.-i7与I-7=ACA3(苦+苦，111lMMJ分别为AB和AC方向上的单位向量,同理可证：8/平分NABC,C/平分NACB【命题6已知。是平面上一定点/ARACOP=OA+等+-，(0,+oo),从而/是AAbC的内心，如图.,ARC是平面上不共线的三个点，动点P满足则动点P的轨迹一定通过AABC的内心.AI与ZBAC平分线共线，即A/平分NBAC(陷AC)/、adAr【解析】由题意得AP=l学+否，【网IcIJ向量，故动点尸的轨迹一定通过AABC的内心四、“外心”的向量风采【命题7】已知。是AABC所在平面上一点,C告；O/当；I(0,+8)时，AP表示NBAC的平分线所在直线方向的如图.若OA2=OBi=OCi,则。是ZXABC的外心.1.B4/C.图图【解析】若0/=082=2,则|04二|08二|00，,.|0小=|0月卜|0。，则0是4至0的外心,如图。【命题7已知。是平面上的一定点，A3,C是平面上不共线的三个点，动点P满足/OP=OB+OC+/AB_+Y£_,2(0,+),则动点P的轨迹一定通过AABC的外心。2IJABlCOSBIAqCoSC,【解析】由于08十过BC的中点,当(0,+oo)时，一十厂平一表示垂直于BC的2UABkoS8ACcosC;向量(注意：理由见二、4条解释。)，所以P在BC垂直平分线上，动点尸的轨迹一定通过AABC的外心，如图。三角代换巧解不等问题根据题目的特点，选取恰当的三角代换，能达到化难为易，化繁为简的目的，它是解不等式问题中常用的方法，现举例说明。一.证明不等式例1/+/=1,/+42=1,求证：4c+bd°证明：设a=sina,b=cosa,c=sin,d=cos则有：ISinaSin尸+cosacos?I=ICOS(-7)l,问题得证。例2己知a,bR,且a?+从1,求证：a2+2ab-b2J解:可设a=ksina,b=kcosa,其中kl于是有a2+2ab-b2=k2sin2a-cos2a=41k2sin(26z-)>2k2<V24212例3.已知O<vl,求证：<+上一(+h)2Xl-x分析：0<x<l,0<l-x<l,且x+(l-x)=l,联想到三角代换。证明：因为O<x<l,0<1x<l设X=Sin2。，且e(0,工)所以2a÷b=a2(l÷cot2)÷Z？2(1÷tan2)Sin2，COS2，=tz2÷Z?2÷tz2cot2+b2tan2a2+b2-2ab=(+Z?)222a+(a÷Z?)2x1-x例4已知一l<x<l,且n2,nwN求证(I-x)+(l+x)"2”分析：因为-lxl考虑到右边有I-X与l+x,故联想到利用2倍角余弦公式化简，从而采用三角代换之。TT证明：因为一lx<l,设X=COS2a,(0万)则1-X=1-cos2a=-(1-2sin2a)=2sin2al÷x=1+cos2=2cos2a所以(I-X)"+(l+x)11=2sin2na+2wcos2112rt(sin2+cos2a)=2n故原不等式(1一%)+(l+x)"2"成立。二.应用三角代换求最值例5设x,ywK,不等式6+4恒成立，求a的最小值。分析：原不等式等价于。-j=j2恒成立，则a必不小于右边代数式的最大值，J+y即只需求出等亡£的最大值即可。J+y解：因为(Vx)2+(y)2=(JX+»令/X=cos6,/y=Sin(O,)Jx+yx+y2.a+"=CoS6+Sine=V5sin(6+)y+y4ZIzTlV/c兀、z713乃、y2,./八TTx.。(O,)(6+一)(,),<sm(6+-)1244424/.a不小于右边函数的最大值，即2sin(6>+-)的最大值2。4因此a的最小值是血。例6.求y=x+Vl-X2的最大值。解：不妨设X=Sinaa22则变为y=sin+cosa=V2sin(a+)4故Xnax=后当且仅当=(时，能取到最大值。点评：I、三角代换时，要注意新变量与原变量间的取值范围是否一致。2、三角代换的特点是将原来两个变元x,y问题转化为关于一个变元。的问题，通过换元达到减元的目的。