知识讲解-正弦定理-提高.docx

正弦定理编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1 .通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律;2 .会利用正弦定理解决两类解三角形的问题;(1)两角和任意一边，求其他两边和一角;(2)两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而求出其它边角).【要点梳理】要点一：学过的三角形知识1.ABC中(1) 一般约定：A3C中角A、B、C所对的边分别为、b、c(2) A+B+C=1800;(3)大边对大角，大角对大边，即3>Ch>c;等边对等角，等角对等边，即B=COZ?=c；(4)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即+c>Z?,a-c<b.2.即A3C中，NC=90°,(1) 8+A=90°,(2) a2+b2=C2sinA=,sinB=,sinC=1：cccosA=fcosB=巴,cosC=OccClbCsinAsinBsinC要点二：正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即:直角三角形中的正弦定理的推导证明：sinA=,sinB=,sinC=1,cc1111abc即：C=,c=,C=,sinAsinBsinC.abcsinAsinBsinC斜三角形中的正弦定理的推导证明：法一：向量法(1)当A45C为锐角三角形时过A作单位向量垂直于衣，那么尼+在二族两边同乘以单位向量7,得八(元+而)=/施，即j-AC+jCB=jABJACcos90°+jCcos(90-C)=；lIABcos(90-A),VC=O,7=1,CB=atAB=ctcos(90-C)=sinC,cos(90-A)=sinA»cisinCcsinA.，=-1，sinAsinC-*hc同理：假设过C作/垂直于CB得：，一二一sinBsinC.abcsinAsinBsinC(2)当A5C为钝角三角形时设NA>90,过A作单位向量垂直于向量正，同样可证得：/一二二一.sinAsinBsinC法二：构造直角三角形(1)当AABC为锐角三角形时如图，作AB边上的高线CD交48于。，那么:CD在RfACBD中,=sinB,即CD=asinB,CD在肋ACD中,"=SinA,即CQ=AinA,b/.sin5=Z?SinA,即a=sinAsinB同理可证上-二sinBsinC,abcsinAsinBsinC(2)当AABC为钝角三角形时如图，作AB边上的高线CD交AB于。，那么:CD在RfACBO中,=sin8,即CD=asin8,aCD在RtAACD中,"=sin(l80-A),即CO=bsin(l80"-A)=bsinAib：.6sinB=Z?sinA，即a=sinAsinBbc同理可证一J二一sinBsinCCIbCsinAsinBsinC法三：圆转化法(1)当A5C为锐角三角形时如图，圆O是AMC的外接圆，直径为Af>=2R,那么NC=N.*.sinC=Sino=-，2R：2R=-（R为AABC的外接圆半径）SinC同理：2R=-,2R=sinAsinBsinAsinBsinC(2)当A5C为钝角三角形时任意斜A5C中，如图作C”_1.A8,那么C"=ACsinA如图，sinA=sinf=sinF=.2R法四：面积法同理：S&M=g"sinC,S48c=；acsinB故SMBC=；absinC=Jacsin5=；%csinA,两边同除以儿即得：一-=一二一sinAsinBsinC要点诠释:(1)正弦定理适合于任何三角形；(2)可以证明一=_=一=2R(R为A5C的外接圆半径)；灵活利用正弦定理，还sinAsinBsinC需知道它的几个变式，比方：:c=sinA:sinB:sinC,«sinB=Z?sinA,bsinC=csinB,csinA=6/sinC等等.要点三：利用正弦定理解三角形一般地,我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边和三角.在三角形中，由三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)两角和一边，求其他两边和一角；(2)两边和其中一边的对角，求另一边的对角，然后再进一步求出其他的边和角.要点诠释：a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况;a<bsinA（1）假设A为锐角时：a=bsinAbsinA<a<bab无解一解（直角）二解（一锐，一钝）一解（锐角）如图:（2）假设A为直角或钝角时：ab无解一解（锐角）判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：（1）两角是否相等？（2）三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等？要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比方下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.【典型例题】类型一：正弦定理的简单应用：【高清课堂：正弦定理例I】例1.在A4BC中，c=10,A=45,C=30,求a,b和B.【思路点拨】此题考查正弦定理及特殊角的三角函数值，三角形中边与角的对应关系等。由正弦定理列出边a满足的方程，再根据三角形内角和来确定角B的值,【解析】sinAsinCcsinAsinCIOXSin45sin30=102,=180-(A+C)=105,sinBsinC.csinBIOxsin105_._>6+>2_/7U后b=20sin75=20×-=56+52.sinCsin304【总结升华】1 .正弦定理可以用于解决两角和一边求另两边和一角的问题；2 .数形结合将条件表示在示意图形上，可以清楚地看出与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在WC中，B=75°,C=6()°,c=5,求。、A.【答案】4=18Oo-(B+0=180°-(75°+60°)=45°,根据正弦定理二一sin45'sin60"56【变式2】在A3C中，假设Jia=2bsinA,那么B等于()A.30oB.60°C.30°或150°D.60°或120°【答案】由5=2。SinA可得，一=冬，由正弦定理可知一二一,故可得SinB=，sinA3sinAsinB2故8=60°或120%应选B.TT【变式3】A5C中，A=-,BC=3,那么AABC的周长为O3A.4y3siBT+3B【3JD.6sinBT1+3I6)43sinBH+3C.6siBT+3I6；I3)【答案】由正弦定理得：二一J=:一二=T呜SinBSinCsinB+sinC+si吟-8)得b-c=2>3sinB÷sin(-B)=6sin(B+).故三角形的周长为：3+b+c=6sinB+11+3,应选D.例2.以下三角形的两边及其一边的对角，判断三角形的情况，有解的作出解答。(l)a=7,b=9,A=100°(2)a=10,b=20,A=750(3)a=10,c=55/6,C=600(4)a=2V3,b=6,A=30°【思路点拨】三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体有儿解可以借助于要点梳理中要点三中的方法解决。【解析】(1)。=7/=9,。仇4=100).此题无解。(2) v/?sinA=20sin750>20sin60°=101.<8sinA.此题无解。(3) ,.,asin60°=53,.c=asinC此题有一个解。利用正弦定理，可得：(4)。=26/=6,。v4A=30°<90°,又.Z?SinA=6sin30°=3,>hsinA，此题有两解。由正弦定理得：sin8=丝史4=包,g=60°,S=I20°.a2当用=60°时，C1=90°,G=4I;当B2=120°时，C2=23.综上所述：B1=60%C1=90°,c1=43iB2=12Oo,C2=30°,c2=23.【总结升华】三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格:A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a=bsinA一解A<bsin无解举一反三:【变式1】在ABC中，B=60,。=14,8=7#,求NA.【答案】由正弦定理，得SinA=竺*JXS*6°°=变.b1屈2,：a<b,.,.A<B,即OvA<60A=45【变式2】在AABC中，Z=3,=60,c=l,求和A,C.【答案】由正弦定理得:sinBsinCcsinBbIxsin603（方法一）0<C<180,C=30或C=150，当C=150时,+C=210>180,（舍去）；当C=30时，A=90,/.6/=J/+°2_2（方法二）：b>c,B=60,C<B,C<60即C为锐角，C=30,A=90：.a-yb2÷c2=2.【高清课堂：正弦定理例3】【变式3】在A5C中，c=y,A=45,。=2,求b和8,C.【答案】二工=,.SinC=X=回访45=BsinAsinCa22.0vC<180,C=60或C=120当C=60时，B=75,6=£=瓜1/75二石十；sinCsin60，当C=120时，B=15,=snl5=3-hsinCsin60所以，h=6+l,4=75,C=60或b=6-1.B=15,C=120.类型三：利用正弦定理判断三角形的形状例3.根据以下条件，判定A5C的形状.【思路点拨】利用正弦定理将边化成角，分析角之间的关系，再利用正弦定理将角化为边，进而判断三角形的形状.【解析】(1)由正弦定理得故ABC是等腰三角形或直角三角形(2)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC故A5C是等边三角形【总结升华】三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。举一反三，【变式1】在A5C中，假设tanB=力2umA,试判断AABC的形状.小sin?AF山丁3sin2AsinAcosB【答案】由；T=T=及条件可得：=bsnBsm2BcosAsmBA,B为三角形的内角，/.sinAO,sinBO,sin2A=sin2B,jr.2A=23或2A=r-2B.A=5或A+8=,2所以ABC为等腰三角形或直角三角形。【变式2】在aABC中，OCOSA=cosB试判断三角形的形状.【答案】利用正弦定理将边转化为角.VbcosA=acosB又b=2Rsin8,=2RsinA.*.2RsinBcosA=2RsinAcosB.*.SinAcosB-CosAsinB=OAsin(A-B)=OTOVA,B<11,-11<A-B<11JA-B=O即A=B故此三角形是等腰三角形.类型四：利用正弦定理求三角形的面积例4在A5C中，角A,8,C的对边分别为,"c,8=?,cosA=,Zj=>3<>求SinC的值；(II)求AABC的面积。【思路点拨】先利用三角形内角和求出C的正弦值，再利用正弦定理求边，进而求三角形的面积.冗4【解析】(I)因为A、B、C为aABC的内角，且8=,CosA=-,35所以C=空A,SinA=-.35工曰.八.(2;T八G.I.3÷4>3于是SlnC=SmA=CoSA+smA=.I3)2210.3.3+46(II)由(I)知SmA=，SinC=,51()又因为3=三，b=6所以在aABC中，由正弦定理，得3Z?sinA6a=.sinB5工旦人AD的而扣C1,厂16H3+436+9于是aABC的面积S=-absnC=xx3x=.2251()5()【总结升华】求三角形面积，应根据条件选择适宜的计算方法，以减少计算量.假设三角形的两边，那么可求其夹角，然后利用S=1.aZ?SinC=CSin4=1.qcsin3求解.222举一反三：【变式】在aABC中，A=30,a=8,=83,求AABC的面积。【答案】由一二上一，得SinB=sinA,sinAsinBa.d83.3sinB=sin30=，82又；8/sin30<8<8-*/3,即8sinA<<Z?,所以三角形的解有两种情况sinB=-,B=60或120,.C=90或30,2.S=SinC=IX886sin90°=32b或S=1。人SinC=1.X885sin3O°=1652222故ABC的面积的面积为323或166.类型五：正弦定理的综合运用例5.如图，力是直角aABC斜边BC上一点，AB=AD,记NeAe>=,ABC=.(1)证明：sin÷cos2=0;(2)假设AC=OC,求S的值.【思路点拨】先利用直角三角形中边，角的关系找到小少的等量关系，然后在aAOC中利用正弦定理，建立方程解之.【解析】(1)证明：9：AB=AD,那么NAQB="C=a.又N8+NC=90°,即2Q-=90°,那么2Q=900+0,cos2=sina,即cos27÷sin=0.*ADCAC(2)在AAOC中，=,Sinasin即Sin=3sina.代入整理得：2jl>sin2/?sin-石=0./7/3解得sin夕=彳，或sin夕=一丁舍去，又少为锐角，那么4=60。.【总结升华】以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正弦定理、余弦定理(即将要学习)加以解决.举一反三，【变式1】在aABC中，a=5,8=105。，C=15°,那么此三角形的最大边的长为.【答案】在aABC中，大角对大边，故b为最大边长，A=180o-(B+=I80o-(105o+15o)=60°.15+566所以2+6SinA+sin8sin30据正弦定理匕=sinB_5sin105sinAsin60【高清课堂：正弦定理例5】【变式2】在aABC中，c=2+6,NC=30。,求。+的最大值。【答案】因为一二=)一=sinCsinAsinBsinA+sinBZA+ZB=180o-ZC=150o,从而q+b=2(2+6)sinA+sin(l50o-A)所以a+b的最大值为(6+>)2=8+43