相似三角形经典练习题.docx

相似三角形经典练习题一.选择题(共9小题)1 .在直角三角形中，两直角边分别为3和4,那么这个三角形的斜边与斜边上的高的比为A.至B.且C.$D.51212432 .如图，在RtABC中，AD为斜边BC上的高，flxScad=3Sabd,那么AB：AC等于()A.1：3B.1：4C.1：3D,1：23 .如图，在aABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，ADE和四边形BCED的面积分别记为Si,S2,那么星的值为()S2A.1-B.1C.工D.224334 .如图，GABCD中，Q是CD上的点，AQ交BD于点P,交BC的延长线于点R,假设DQ：CQ=4：3,那么AP：PR=()A.4：3B.4：7C.3:4D.3：75 .如图，ZADEsZACB,其中NAED=NB,那么能成立的比例式是()AAD_AE_DEBAD二AE二DE,ACABBCABrACBCCAD-AC-DE0AD_AE_DE.AEAB-=BCAB=ECBC6 .如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点，MN±AC于点N,那么MN等于()A.AB.旦C.丝D.迈55557.如图，ABC,AB=12,AC=15,D为AB上一点，且AD=ZB,在AC上取一点E,使以3A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，那么AE等于()A.丝B.105C.丝或10D.以上答案都不对58 .如图，小正方形的边长均为1,那么以下图中的三角形(阴影局部)与AABC相似的是()A.b.c,万d.J9 .如图，ZABC中，ZB=90o,AB=6,BC=8,将aABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的U处，并且CDBC,那么CD的长是()A.驶B.典C.匹D.空9944二.填空题(共11小题)10 .a=4,b=9,那么a、b的比例中项是.11 .在aABC中，ZACB=90o,CDlAB于点D,那么以下说法正确的有(填序号).ACBC=ABCD;(2)AC2=ADDB;(3)BC2=BDBA;(4)CD2=ADDB.12 .如图，RtABC,AC±BC,CD_1.AB于D,AC=8,BC=6,那么AD=.13 .如图，DEAC,BE：EC=2:1,AC=12,那么DE=.14 .如图，平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线与BC的延长线交于F,与CD交于G,假设AE=4,EG=3,那么EF=.15 .如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，那么AP：PQ：QC=.16 .如图，假设NB=NDAC,那么ABCs,对应边的比例式是.17 .如图，将NBAD=NC;(2)ZADB=ZCAB;(3)AB2=BDBC;CA=AB；BC=AC；BC=DAAD-DBBA-DABA-AC中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，那么条件是，结论是.(注：填序号)18 .：AM：MD=4:1,BD：DC=2:3,那么AE：EC=.19 .如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE,那么：NABE+NACE+NADE等于度.20 .一张等腰三角形纸片，底边长为15cm,底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如下图.剪得的纸条中有一张是正方形，那么这张正方形纸条是第张.三.解答题(共10小题)21 .如图，D,E分别是AC,AB上的点，妪要上.ABC的面积为60cm2,求四边形ACAB3BCDE的面积.22 .如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,求树高AB.23 .：平行四边形ABCD,E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F.求证：cf2=gfef.24 .平行四边形ABCD中，AB=28,E、F是对角线Ac上的两点，且AE=EF=FC,DE交AB于点M,MF交CD于点N.求AM、CN的长.25 .如图，A,B,D,E四点在。上，AE,BD的延长线相交于点C,直径AE为8,0C=12,Zedc=Zbao.（2）计算CDCB的值，并指出CB的取值范围.26 .ABC,延长BC到D,使CD=BC.取AB的中点F,连接FD交AC于点E.（1）求幽的值；AC（2）假设AB=a,FB=EC,求AC的长.27 .如图AABC中，边BC=60,高AD=40,EFGH是内接矩形，HG交AD于P,设HE=X,（1）求矩形EFGH的周长y与X的函数关系式；（2）求矩形EFGH的面积S与X的函数关系式.28 .如图，在平面直角坐标系中，0A=12厘米，0B=6厘米.点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点0以1厘米/秒的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0t6）,那么（1）设aPOQ的面积为y,求y关于t的函数解析式；（2）当aPOQ的面积最大时，将aPOQ沿直线PQ翻折后得到aPCQ,试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，ZXpoq与Aaob相似.29 .如图在aABC中，ZC=90o,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发，沿BC方向以2cms的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以ICm/s的速度移动.假设Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与ACBA相似？30 .如图，A、B两点的坐标分别为（40,0）,（0,30）,动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点0运动，动直线EF从X轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF乂轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F,连接EP、FP,设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒.（1）求t=15时，ZXPEF的面积；（2）当t为何值时，ZXEOP与aBOA相似.相似三角形经典练习题20161115参考答案与试题解析一.选择题(共9小题)1 .在直角三角形中，两直角边分别为3和4,那么这个三角形的斜边与斜边上的高的比为()A.至B.巨C.$D.5121243【考点】勾股定理.【分析】此题主要利用勾股定理和面积法求高即可.【解答】解：在直角三角形中，两直角边分别为3和4,斜边为5,.斜边上的高为少=丝.(由直角三角形的面积可求得)55.这个三角形的斜边与斜边上的高的比为5：丝=空.512应选A.【点评】此题考查了勾股定理和利用面积法求高，此题考查了学生对直角三角形的掌握程度.2 .如图，在RtABC中，AD为斜边BC上的高，假设Szscad=3Smbd,那么AB：Ae等于()A.1：3B.1：4C.1：3D.1：2【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】根据及相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.【解答】解：TNADC=NADB=90°,ZC=ZBADACD<×>BADVScad=3Sabd,且这两三角形高相等AB:AC=I:3应选C.【点评】此题考查了三角形的面积公式，及相似三角形的判定及性质.3 .如图，在Aabc中，d,E分别是边ab,AC的中点，Aade和四边形BCED的面积分别记为S1,S2,那么强的值为()S2A.B.1C.工D.22433【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质.【分析】根据可得到aadesaabc,从而可求得其面积比，那么不难求得_1.的值.S2【解答】解：根据三角形的中位线定理，adessabc,de：bc=i：2,所以它们的面积比是1：4,所以Sl=1=I,应选cS24-13【点评】此题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.4 .（2012秋桐城市校级月考）如图，口ABCD中，Q是CD上的点，AQ交BD于点P,交BC的延长线于点R，假设DQ：CQ=4:3,那么AP：PR=（）A.4：3B.4：7C.3:4D.3：7【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.【分析】利用平行线法证得AadqsArcd,那么对应边成比例：世=电；同理，证得RCCQADPRBP,那么AD=AP,即AD=延_.BRPRAD+RCPR【解答】解：如图，.在口ABCD中，ADBC,且AD=BC,ADQRCD,ADDQ,即期二1,RCCQRC3.,.rc=1ad.4同理，ZADPsarbp,那么改=烟，即AD=里BRPRAD+RCPR=A=AP,gJAP：PR=4:7.ADqAD7PR应选：B.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质.平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等.角：平行四边形的对角相等.对角线：平行四边形的对角线互相平分.5 .如图，ZADEsACB,其中NAED=NB,那么能成立的比例式是（）AAD_AE_DEBAD=AE=DE,ACAB=BC-AB=AC"BCCAD_AC_DE0AD_AE_DE.AErABzzBCAB【考点】相似三角形的性质.【分析】此题可根据相似三角形的性质求解，了NAED和NB对应相等，因此AD、AC是对应边，AE>AB是对应边，DE、BC是对应边，根据相似三角形的对应边的比例相等，即可判断哪个选项正确.【解答】解：VADEc×>ACB,且NAED=NBAD、AE、DE的对应边分别是AC、AB、BC因而有M）=AE=DEACABBC故此题选A.【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，找准相似三角形的对应边是解题的关键.6 .（2008安徽）如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点，MNJ_AC于点N,那么MN等于（）A.AB.旦C.丝D.迈5555【考点】勾股定理；等腰三角形的性质.【分析】连接AM,根据等腰三角形三线合一的性质得到AM_1.BC,根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长.【解答】解：连接AM,VAB=AC,点M为BC中点，AMICM（三线合一）,BM=CM,VAB=AC=5,BC=6,BM=CM=3,在RtZABM中，AB=5,BM=3,根据勾股定理得：am=aB2-BM2=52-33=4,又SAMC=1mnac=1ammc,22.MN=AM'CM=丝.AC5应选：C.【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理.特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边.7.（2012秋杞县校级期末）如图，ZABC,AB=12,AC=15,D为AB上一点，且AD=2aB,3在AC上取一点E,使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，那么AE等于（）A.丝B.105C.丝或10D.以上答案都不对5【考点】相似三角形的性质.【分析】ZXADE与aABC相似，那么存在两种情况，即AAEDsACB,也可能是aAEDsABC,应分类讨论，求解.【解答】解：如图（1）当NAED=NC时，即DEBC那么ae=1ac=io3（2）当NAED=NB时，AEDABC/.AE二AD,gpAE=_8_ABAC12-15AE=丝5综合（1）,（2）,应选C.【点评】会利用相似三角形求解一些简单的计算问题.8 .（2009新疆）如图，小正方形的边长均为1,那么以下图中的三角形阴影局部）与4ABc相似的是（）a.B.UBKkic.匚FlD.匚【考点】相似三角形的判定.【分析】根据网格中的数据求出AB,AC,BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可.【解答】解：根据题意得：AB=32+12=i,AC=2,BC=2,AC:BC：AB=2:2：10=l:2:后A、三边之比为1：5:22,图中的三角形（阴影局部）与aABC不相似；b、三边之比为亚：5:3,图中的三角形（阴影局部）与Aabc不相似；C、三边之比为1：2:娓,图中的三角形（阴影局部）与AABC相似；D、三边之比为2：5:13,图中的三角形（阴影局部）与AABC不相似.应选C.【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解此题的关键.9 .（2006大兴安岭）如图，ZABC中，NB=90。，AB=6,BC=8,将ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C处，并且UDBC,那么CD的长是（）A.殁B.殁C.D.空9944【考点】翻折变换（折叠问题）.【分析】先判定四边形CDCE是菱形，再根据菱形的性质计算.【解答】解：设CD=X,根据CDBC,KWCD=EC,可得四边形CDCE是菱形；即RtABC中，acV62+821°，BE二C'E二CD二X：T=IO=10=10EB=-Ixj5故可得BC=x+-l=8;5解得x=i.9应选A.【点评】此题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系.二,填空题（共11小题）10.a=4,b=9,那么a、b的比例中项是±6.【考点】比例线段.【分析】根据比例中项的概念，设a、b的比例中项是c,那么c2=ab,再利用比例的根本性质计算得到c的值.【解答】解；设a、b的比例中项是c,那么c2=ab*.*a=4,b=9,'c2=ab=36,解得：c=±6;故填：-6或6.【点评】此题考查了比例中项，关键是理解比例中项的概念，当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项.11.在Aabc中，NACB=90。，cdj_ab于点D,那么以下说法正确的有（填序号）.ACBC=ABCD;(2)AC2=ADDB;(3)BC2=BDBA;(4)CD2=ADDB.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】由在AABC中,NACB=90。,GOIAS,易证得NBDC=NBCA=NCDA=90°,又由NA=ZA,ZB=ZB,根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得AACDsAkABC,BDCBCA,那么可得aACDsCBD,根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案.【解答】解：在aABC中，ZACB=90o,CDlAB,1acbc=1abcd,22BPACBC=ABCD,故正确；VABC,ZACB=90o,CDJ_AB于点D,BC2=BDBA,故正确；ACD<×>CBD,ACCD*ADDB,AC2=ADAB,CD2=ADDB,故错误，正确.故答案为：.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质.此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意对应线段的对应关系与比例变形.12.(2011春武侯区校级期末)如图，RtZABC中，AClBC,CD_1.AB于D,AC=8,BC=6,那么AD=6.4.【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理.【分析】由于AC_1.BC,CD±AB,可得一组对应角相等，再加上一对公共角，可证AACDsABC,利用比例线段可求AD.(可先利用勾股定理求出AB)【解答】解：VAClBC,CDlAB,ZACB=90o,ZADC=90o,ZA=ZA,ADC</>ACB,AD.AC.一UI.ACAB又在RtABC中，AB=y2Q2=g22=10,M=-1.,AD=6.4.810【点评】解答此题不仅用到相似三角形的性质，还要结合勾股定理求出相应的边长，方可进行计算.13 .如图，DE7AC,BE：EC=2:1,AC=12,那么DE=8.【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质.【分析】根据DEAC,证得BEDsbCA,再由相似三角形对应线段成比例可得出答案.【解答】解：由DEAC可得aBEDsBCA,de-BE=2,ACBE+EC3又AC=I2,可得DE=8.故填8.【点评】此题考查平行线的知识，注意相似三角形对应线段成比例的性质.14 .如图，平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线与BC的延长线交于F,与CD交于G,假设AE=4,EG=3,那么EF=Al.3【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.【分析】由平行四边形的定义得出ABCD,再根据平行线的性质得到NABE=NFDE,ZEAB=ZEFD,然后根据两角对应相等的两三角形相似即可证明aabesfde；根据相似三角形对应边成比例得出岖理,再证明begsdea,得出及里,等量代换得到岖理,EFEDEDAEEFAE于是得到结论.【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD,Zabe=Zfde,Zeab=Zefd,ABEFDE,.AE=BE,EF-ED四边形ABCD是平行四边形，AD7BC,ZGbe=ZADE,ZG=ZDEA,BEGsZdEA,.BE=EG,ED-AE一由可得，岖理，EFAEVAE=4,EG=3,EF=Ii.3故答案为：11.3【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.15 .（2012通州区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，那么AP：PQ：QC=5：3：12.【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.【分析】根据题意，可得出AMPsCDP和aANQscdQ,可分别得到AP、PQ、QC的关系式，进而求出AP、PQ、QC的比值.【解答】解：由得：ZAMPsCDP,AM:CD=AP:PC=AP:（PQ+QC）即：3AP=PQ+QC,3ANQs/cdQ,AN:CD=AQ:QC=（AP+PQ）：QC=2,即2QC=3（AP+PQ）,3解、得：AQ=2C,PQ=AQ-AP=Aac,QC=AC-AQ=SAC,5205AP:PQ：QC=5:3：12.【点评】主要考查了三角形相似的性质和平行四边形的性质，要熟练掌握灵活运用.16 .（2014秋肥西县期末）如图，假设/B=NDAC,那么AABCsDAC,对应边的比例式是生;地=AC-AB-BC【考点】相似三角形的性质.【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似可解，再根据相似三角形的性质写出对应边的比例式.【解答】解：在aABC和aDAC中，VZC=ZC,ZB=ZDAC;工ZABCsZDAC;CD=AD_AC*ACABBC【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似.（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.（3）三边对应成比例的两个三角形相似.17 .（2012牡丹江模拟）如图，将NBAD=NC；NADB=NCAB；（3）AB2=BDBC;CA=AB；AD-DB坡氏J中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，那么条件是BADABAAC，结论是或.（注：填序号）【考点】命题与定理.【分析】根据相似三角形的判定和性质进行分析.【解答】解：因为假设NBAD=NC,那么aABCsdbA,故丝=延，旭=里，ADDBBDAB条件是，结论是或.【点评】解答此题的关键是要熟知真命题与假命题的概念.真命题：判断正确的命题叫真命题；假命题：判断错误的命题叫假命题.18 .（2014春江都市期末）：AM：MD=4:1,BD：DC=2:3,那么AE：EC=8:5.【考点】平行线分线段成比例.【分析】过点D作DFBE,再根据平行线分线段成比例，而为公共线段，作为中间联系，整理即可得出结论.【解答】解：过点D作DFBE交AC于F,VDF/7BE,AMEADF,AM:MD=AE:EF=4:1=8：2VDF/BE,CDFCBE,BD:DC=EF:FC=2:3AE:EC=AE:（EF+FC）=8：（2+3）AE:EC=8:5.【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，作出辅助线，利用中间量EF即可得出结论.19 .（2012秋桐城市校级月考）如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE,那么：ZABE+ZACE+ZADE等于90度.【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.【分析】设正方形的边长为1,根据正方形的性质得到NABE=45。，BE=2,再利用勾股定理计算出CE=,那么BE：BD=BC:BE=2:2,加上公共角，于是可判断ACBEsEBD,那么NBDE=NBEC,再利用三角形外角性质得NABE=NBEC+NBCE=45）然后计算NABE+NACE+ZADE.【解答】解：设正方形的边长为1.四边形AEFB为正方形，ZABE=45o,BE=2,在RtZXAEC中，AC=2*CE=J2+22=/,BE:BD=2:2,BC：BE=I:2=22,BE:BD=BC:BE,而NCBE=NEBD,CBEcEBD,ZBDE=ZBEc,/ZABE=ZBEC+ZBCE=45o,/.ZABE+ZACE+ZADE=45o+45o=90o.故答案为90.【点评】此题考查了相似三角形得判定与性质：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等.也考查了勾股定理以及正方形的性质.20 .（2011连云港一模）一张等腰三角形纸片，底边长为15cm,底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如下图.剪得的纸条中有一张是正方形，那么这张正方形纸条是第张.【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质.【分析】设第X张为正方形，如图，ADE-ABC,那么典=幽，从而计算出X的值即可.BCAN【解答】解：如图，设第X张为正方形，那么DE=3,AM=22.5-3x,VADE<ABC,DE-AMBCAN即3=225-3x,1522.5解得x=6.故答案为：6.【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注:相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比.三.解答题（共10小题）21.如图，D,E分别是AC,AB上的点，岖要上.ABC的面积为60cm2,求四边形ACAB3BCDE的面积.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】根据相似三角形的判定证aadesabc,根据相似三角形的性质求出Aade的面积，相减即可求出答案.【解答】解：岖M上，ZA=ZA,ACAB3ADEABC,»sADE4jABC9VABC的面积为60cm2,ADE的面积是9x60cm2=毁Cm2,93/.四边形BCDE的面积是60Cm2-.Scm2=lcm2,33答：四边形BCDE的面积是吗11.3【点评】此题主要考查对相似三角形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键.22.（2015春苏州校级期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,求树高AB.【考点】相似三角形的应用.【分析】先判定ADEF和aDBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长,再加上AC即可得解.【解答】解：在adef和Adbc中，Nd=Nd,Izdef=ZdcbDEFDBC,-DE.CDEFBC即场_1.,20BC解得BC=4,VAC=1.5m,.,.AB=AC+BC=1.5+4=5.5m,即树高5.5m.【点评】此题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比拟简单，判定出aDEF和aDBC相似是解题的关键.23.（2015秋北京校级期中）：平行四边形ABCD,E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F.求证：CF2=GFEF.【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质.【分析】根据平行四边形的性质得ADBC,AB#CD,再根据平行线分线段成比例定理得更=迦，CF=DF,利用等量代换得到飕受，然后根据比例的性质即可得到结论.CFBFEFBFCFEF【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，AD/7BC,ABCD,GF_DFCF_DF，1-*"，CFBFEFBF-GF_CFCFEF即CF2=GFEF.【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.也考查了平行四边形的性质.24.平行四边形ABCD中，AB=28,E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC,DE交AB于点M,MF交CD于点N.求AM、CN的长.【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.【分析】根据条件，先证明aAEMsCED,然后利用相似三角形的对应边成比例这一性质求得AM=1.XB；再来证明Aafmscfn,依据相似三角形的性质求的CN的长度.2【解答】解：在aAEM和ACED中，ZCAb=ZDCA（内错角相等）,ZAEM=ZCEd,AEMt×>CED, AMAE*CDEC,VAE=EF=FC, AMAE=1*CD2AM=I.CD;2VAB=CD,AM=1aB=14,；2在Aafm和acfn中，ZFAM=ZFCn内错角相等），ZAFM=ZCFn（对顶角相等），AFMCFN,AMAF-.=-4,CNCF.cn=1am；2VAB=28由解得，CN=7.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定定理：两个三角形中，两个对应角相等，那么这两个三角形相似，以及相似三角形的性质：对应边成比例.25.（2006长沙）如图，A,B,D,E四点在。上，AE,BD的延长线相交于点C,直径AE为8,OC=12,ZEDc=ZBAO.（2）计算CDCB的值，并指出CB的取值范围.【考点】切割线定理；相似三角形的判定与性质.【分析】（1）证4CDEsCAB,再根据相似三角形的性质得到所求的比例式；（2）根据割线定理即可求得CDCB的值.根据三角形的三边关系求得BC的取值范围.【解答】（1）证明：四边形ABDE内接于。0,ZEDC=ZBAo,ZC=ZC,CDECAB,CDCE.*ac?cb,（2）解：直径AE=8,0C=12,AC=12+4=16,CE=12-4=8.VCD.CEACCBCDCB=ACCE=16X8=128.连接OB,在ZkOBC中,OB=IAE=4,0C=12,2故BC的范围是:82BC<16.【点评】此题主要考查圆、相似三角形等初中几何的重点知识，考查学生的几何论证能力,属于中等难度题.26.（2009潍坊）zABC,延长BC到D,使CD=BC.取AB的中点F,连接FD交AC于点E.（1）求岖的值；AC（2）假设AB=a,FB=EC,求AC的长.【考点】三角形中位线定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质.【分析】（1）过点F作FMAC,交BC于点M.根据平行线分线段成比例定理分别找到AE,CE与FM之间的关系，得到它们的比值；（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解.【解答】解：（1）过点F作FMAC,交BC于点M,；F为AB的中点，.m为BC的中点，fm=1ac.2VFM/7AC,Zced=Zmfd,Zecd=Zfmd.FMDc×>ECD.；iDC_EC_2丽,zec=2fm=2xIac=Iac.3323,AE_AC-EC-acac,2*ACACAC-=T（2）VAB=a,AFB=IAB=J1.a.22VFB=EC,EC=Ia.2.ec=1ac,3AC=3EC=la.2【点评】此类题要注意作平行线，能够根据平行线分线段成比例定理和相似三角形对应边成比例即可求得线段的比.27.如图AABC中，边BC=60,高AD=4O,EFGH是内接矩形，HG交AD于P,设HE=X,（1）求矩形EFGH的周长y与X的函数关系式；（2）求矩形EFGH的面积S与X的函数关系式.【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质.【分析】根据矩形的性质得到HGBC,PD=x,AP=AD-x=40-X,再三角形三角形相似的判定得到aAHGsABC,利用相似比可表示出HG=W（40-X）,然后根据矩形的周长2确定y与X的关系；（2）根据矩形的面积公式求解.【解答】解：（1）.ADJ"BC,四边形EFGH是矩形，HG/7BC,PD=x,AP=AD-×=40-X,AHG</5ABC,AP_HGb40-x.HGADBC4060.HG=W（40-X）,2y=2HE+2HG=2x+2×.（40-x）=2x+120-3x=120-x（0<×<40）;2（2）S=HEHG=×2（40-×）=-22+60x（0<x<40）.22【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等.也考查了矩形得性质.28.（2OO4丽水）如图，在平面直角坐标系中，OA=12厘米，OB=6厘米.点P从点。开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点。以1厘米/秒的速度移动.如果P、Q同时出发，用t1秒）表示移动的时间（0t6）,那么（1）设aPOQ的面积为y,求y关于t的函数解析式；（2）当APOQ的面积最大时，将aPOQ沿直线PQ翻折后得到APCQ,试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，ZXpoq与Aaob相似.【考点】二次函数综合题.【分析】（1）根据P、Q的速度，用时间t表示出OQ和OP的长，即可通过三角形的面积公式得出y,t的函数关系式；（2）先根据（1）的函数式求出y最大时，X的值，即可得出OQ和。P的长，然后求出C点的坐标和直线AB的解析式,将C点坐标代入直线AB的解析式中即可判断出C是否在AB上；（3）此题要分AopqsAoab和aopqsoba两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求出t的值.【解答】解：（1）.0A=12,0B=6,由题意，得BQ=IXt=3OP=l×t=t.0Q=6-t.y=l×OP×OQ=l×t（6-t）=-l-t2+3t（OWtW6）;222（2） Vy=-lt2+3t,2,当y有最大值时，t=30Q=3,0P=3,即aPOQ是等腰直角三角形.把aPOQ沿直线PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形.点C的坐标为（3,3）.VA（12,O）,B（0,6）,工直线AB的解析式为y=-l-×+62当x=3时，y=-3,2点C不落在直线AB±；（3）假设4P0QsZA0B时，°QJP,即6t二t,12-2t=t,t=4.OBOA612假设POQsboA时，°Q=°P,即f1J,6-t=2t,t=2.OA-OB126V0t6,t=4和t=2均符合题意，工当t=4或t=2时，ZPOQ与aAOB相似.【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、图形的翻折变换、相似三角形的判定和性质等知识点.要注意（3）题要根据不同的相似三角形分类进行讨论.29.（2007秋安岳县期末）如图在AABC中,ZC=90o,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cms的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以ICm/s的速度移动.假设Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与aCBA相似？【考点】相似三角形的判定.【分析】此题要根据相似三角形的性质设出未知数，即经过X秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出分式方程求解.【解答】解：设经过X秒后，两三角形相似，那么CQ=（8-2x）cm,CP=xcm,（1分）VZC=ZC=90o,当丝0或丝0时，两三角形相似.（3分）CBCACACB（1）当逗0时，8-2Xmx=12.（4分）CB-CA8-65（2）当丝，时，82x21.,X=32.（5分）CACB6811所以，经过丝秒或四秒后，两三角形相似.（6分）511【点评】此题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法.30.如图，A、B两点的坐标分别为（40,0）,（0,30）,动点P从点A开始在线段Ao上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从X轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF乂轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F,连接EP、FP,设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒.（1）求t=15时，ZXPEF的面积；（2）当t为何值时，Aeop与Aboa相似.【考点】相似形综合题.【分析】