相似三角形的判定+性质+经典例题分析.docx

相似形一板块一、课前回忆一、比例性质1.根本性质：q=£=ad=Z?c（两外项的积等于两内项积）bd2 .反比性质：=三（把比的前项、后项交换）baac3 .合比性质：色=£=坦=包（分子加（减）分母,分母不变）bdbd4 .等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）.macem.,J,八、切，+c+e+a如果一=（b+d+fHFn0）,那么=.bdfnb+d+"b谈重点：（1）此性质的证明运用了“设女法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.（2）应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立.5 .黄金分割：内容尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回忆：例题1.a、b、C是非零实数，且一-=-=-=-=k,求k的值.b+c+da+c+db+a+d+6+c111例题2.-+-=,求2一的值。Xyx+yXy板块二、新课讲解知识点一、相似形的标念概念：具有相同形状的图形叫I相似图形谈重点：相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关.相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况.我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.假设两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例一一全等形知识点二、平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：1.1.13°推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成日定理：如果条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么此乐且我平行于三角形的第三边。推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边（或其延长线），那么所截得的三角形与原三角形相似.推论的根本图形有三种情况，如图其符号语言：.DE"BC,4ABCsaADE;知识点三、相似三角形的判定I判定定理1：两角对应相等，两三角形相似.符号语言：拓展延伸：（I）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。BDCEADBD例题4.如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE_1.CD于E,连接AE,F为AE上一点，且NE【重难点高效突破】例题1.如图，直线DE分别与AABC的边AB、AC的反向延长线相交于D、E,由EDBC可以推nAp出一=吗？请说明理由。（用两种方法说明）例题2.（射影定理）：如图，在aABC中，ZBAC=90o,AD_1.BC于D.求证：（1）AB=BDBC;AD2=BDCDiAC2=CDCB例题3.如图，AD是RtAABC斜边BC上的高，DE±DF,且DE和DF分别交AB、ACAFRF于E、F.那么牝=些吗？说说你的理由.求证：ZABFsaEAD;假设AB=4,ZBAE=3O°,求AE的长;在（1）（2）条件下，假设AD=3,求BF的长。【即时训练】一、选择题1 .如图，AABC经平移得到ADEF,AC、DE交于点G,那么图中共有相似三角形OA.3对B.4对C.5对D.6对2 .如图，DEBC,EFAB,那么以下比例式中错误的选项是（）AADAERCEEArDEADnEFCFABACCFFBBCBDABCB3 .在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，假设NAEF=90°,那么一定有OA.ADESAEFB.ECFSAAEFC.ADESAECFD.AEFSAABF4、如图，直线l/lz,AF:FB=2：3,BC：CD=2：1,那么AE：EC是OA.5：2B.4：1C.2：1D.3：2（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）5.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F,那么图中共有相似三角形OA.1对B.2对C.3对D.4对（5题图）（6题图）（7题图）（8题图）6 .ABC中，DEBC,且AD:DB=2：1,那么DE:BC等于OA.2：1B.1：2C.2：3D.3：27 .如图，P是RtAABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截AABC,使截得的三角形与AABC相似，满足这样条件的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条8 .如图，DE7BC,EFAB,那么以下比例式中错误的选项是（）aADAEnCEEArDEADnEFCFA.=B.=C.=D.=ABACCFFBBCBDABCB9 .以下说法：其中正确的选项是（）所有的等腰三角形都相似；所有的等边三角形都相似；所有等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似.A.B.C.D.®二、解答题1、如图，AABC中，BD是角平分线，过D作DEAB交BC于点E,AB=5cm,BE=3cm,求EC的长.2 .如图,在梯形ABCD中，ADJ_BaNBAD=90°,对角线BDJ_DC.（1） AABC与ADCB相似吗？请说明理由.Ai7（2）如果AD=4,BC=9,求BD的长./3 .：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点.AADQ与AQCP是否相似？为什么？4 .如图，AD为AABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E,交AB与F,试判定ABAE与aACE是否相似，并说明理由。5 .如图，在矩形ABCD中，B=5cm,BC=IOcm,动点P在AB边上由A向B作匀速运动，1分钟可到达B点；动点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C点，假设P、Q两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQ_1.BD?6 .：如下图，D是AC上一点，BEAC,AE分别交BD、BC于点F、G,Nl=N2.那么BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由.7 .如图，CD是RtAABC的斜边AB上的高，NBAC的平分线分别交BC、CD于点E、F.ACAE=AFAB吗？说明理由.AD8 .如图，AD是RlAABC斜边BC上的高，DE，/,且DE和DF分别交AB、AC于E、F.那么二ADBD吗？说说你的理由.相似形二板块二、新课讲解知识点1.相似三角形的判定判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似.知识点2.直角三角形相似的判定在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.交错型旋转型母子形以twit【重难点高效突破】例题1.如图在4X4的正方形方格中,AABC和aDEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上.(1)填空：ZABC=,BC=判定aABC与aDEF是否相似？并说明理由。例题2.如图，在AABC中，BD、CE是aABC的高，求证：ZkADEsABC.例题3.如图，AB±BD,CD±BD,AB=6cm,CD=4cm,BD=14cm,点P在BD上由B点向D点移动，当BP等于多少时，AABP与ACPD相似？例题4：如图，在4A8C中，ZC=90o,P是48上一点，且点P不与点4重合，过点P作P£_1.A8交AC于E,点E不与点C重合，假设48=10,AC=8,设AP=X,四边形知识点3.相似三角形中的根本图形PECB的周长为y,求y与X的函数关系式.例题5.在三角形ABC中，AB=AC,AD_1.BC于点D,DE_1.AC于点E,M为DE的中点，AM与BE相交于点N,延长AM交BC于点G,AD与BE相交于点F,求证：（1）生=生;CECD(2)BCEADM;M±BE.【随堂演练】I.以下命题中正确的选项是O三边对应成比例的两个三角形相似二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似一个锐角对应相等的两个直角三角形相似一个角对应相等的两个等腰三角形相似A、B>C、D、®2 .如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点0,以下条件中不能使ABE和ACD相似的是OA.ZB=ZCB.ZADC=ZAEbC.BE=CD,AB=ACD.AD:AC=AE：AB3 .如图，在正方形网格上有6个斜三角形：AABC,ABCD,ABDE,ABFG,AFGH,AEFK.其中中，与三角形相似的是O（八）（B）©（C）（D）RABC-ADE相似。4 .如图，DE与BC不平行，当C2=时,AC5.如图，平行四边形ABCD中，AB=IO,那么BF的长是（）.A.5B.8.2C.6.4D.1.8（3题图）（4题图）（5题图）5.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE_1.BC于E,AF_1.CD于F.（I）AABE与ADF相似吗?说明理由.（2）AAEF与AABC相似吗？说说你的理由.AD=6,E是AD的中点，在AB上取一点F,使4CBFsCDE,6 .：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点.AADQ与QCP是否相似？为什么？7 .如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EFJ_EC交AB于F,连接FC（AAEFs/EFC吗假设相似，请证明；假设不相似，请说明理由。假设ABCD为矩形呢？板块三、课后作业01 .如图，正方形ABCD中，点E,F分别为AB,BC的中点，AF与DE相交于点0,那么等于().DOA.r25D.5C.D.2 .如图，直线EF交AB、AC于点F、E,交BC的延长线于点D,C±BC,ABCD=DEAC,求证:AECE=DEEF3 .：如图，在梯形A8CD中，48CD,NB=90°,以AD为直径的半圆与8C相切于E点.求证：ABCD=BEEC.4 .如下图，A8是。的直径，8C是。的切线，切点为点8,点。是。上的一点，且4D0C.求ilE：ADBC=OB-BD.5 .如下图，在。中，8过圆心。，且CD_U8于D,弦CF交A8于£.求证：CB2=CFCE.6 .。是8C边延长线上的一点，BC=3CD,DF交AC边于E点，且4E=2EC.试求AF与7 .：如图，在a48C中，ZBAC=9Q0,AH工BC于H,以AB和AC为边在RtAABC外作等边aABD和«：£,试判断48D"与44EH是否相似，并说明理由.相似三角形的性质及其应用板块二、新课讲解知识要点：相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例.相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.【重难点商效突破】例题1.两个相似三角形的面积比为Sl:52,与它们对应高之比九：a2之间的关系为(2)如图，DE7BC,CD和BE相交于0,假设5凶灰：SAeB=9:16,那么AD:DB=：4,点£、F分别CA-,OD的中点,FDE/7FGBC且a£fD:FR=I：3,那公'题图CDSIQB题图题图A.l:9:36C.l:8:27D.l:8:36第7题图(5)梯形ABCD中，AD/7BC,(AD<BC),AC、BD交于点O,假设SAOA&=得5088,那么AAOD与aBOC的周长之比为。例题2.如图，在aABC中，DE/7BC,且Sjde：S四边形BCED=IBC=260求DE的长。例题3.如下图，DEBC,且与aABC的边CA、BA的延长线分别相交于点D、E,F、G分别在边AB、上，且AF：FB=G:GC,求证：ZAFGsAED°例题4.如图，矩形EFGH内接于aABC,ADJ_BC于点D,交EH于点M,BC=20cm,AM=8cm,Sabc=100cm2o求矩形EFGH的面积。例题5.ZABC中，D为AB上一点，假设/ABC=NACD,AD=8cm,DB=6cm,求AC的长。例题6.，如图4ABC中，NBAe=90°,AB=AC=1,D为BC上一动点(不与B,C重合)，NADE=45°(1)求证4ABDszDCE(2)设BD=X,AE=y,求y与X的函数关系式(3)假设AADE为等腰直角三角形时，求AE的长例题7、如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=3cm,BC=7cm,NB=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连结AP,过P点作PE交DC于E,使得NAPE=NB.(1)求证：ZABPsaPCE;(2)求等腰梯形的腰AB的长；(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE：EC=5：3,如果存在,求出BP的长,如果不存在,请说明理由.【随堂演练】A组1.两个相似三角形的面积比为4：9,那么它们周长的比为.2 .假设x：y：z=3：5：7,3x+2y-4z=9那么x+y+z的值为3 .如图，NAPD=90°,AP=PB=BC=CD,那么以下结论成立的是OA.PABSPCADCAB.PABSPDAC.AABCsADBAD.AABCSAAC上的点,Zl=ZB,AE=EC=4,5.某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1.5米长的竹长0.9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子全部在地面上，有一局部影子落在墙上，他测得留在地面局部的影2.4米，留在墙上局部的影高是1.5米，那么松树的高度为竿影不是长是米6.如图，C为线段AB上的一点，4ACMZiCBN都是等边三角形，假设AC=3,BC=2,那么AMCD与BND的面积比为。7.如图，在梯形ABCD中，AD/7BC,AC、BD交于0点，S.:S颂B=I:9,那么S.:Sz三=板块三、课后作业1.：如图，ZkABC中，N4=36°,AB=AC,8。是角平分线.(1)求证:AD2=CDACi(2)假设AC=,求AD.2.：如图，SBCD中，E是8C边上一点，且BE=1.EC,BD,AE2求EF的周长与AAFD的周长之比；假设ABEF的面积SEF=6cm2,求的面积Safd3.：如图，RtAA8C中，4C=4,8C=3,DE/AB.(1)当aCDE的面积与四边形OABE的面积相等时，求CD的长;(2)当aCDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长.