直线与椭圆综合应用(含答案).docx

1、北京文科19aABC的顶点A,B在椭圆Y+3y2=4上，C在直线1：y=x+2上，且AB1.(I)当AB边通过坐标原点。时，求AB的长及aABC的面积；(II)当NABC=90°,且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.解：(I)因为AB1,且AB边通过点(0,0),所以AB所在直线的方程为y=x.设A,B两点坐标分别为(x,y),(x2,y2).由+3/=4,得.士,y=x所以IABI=0,一引=2"又因为AB边上的高h等于原点到直线1的距离，所以=后,咏=4回访=2.(II)设AB所在直线的方程为y=x+m.由+3)14得4炉+6m:V+3/_4=0.y=x+m因为A,B在椭圆上，所以=-12m2+64>0.设A,B两点坐标分别为(x,y),(x2,y2).刃R么xl+x2=-,xlx2=3"；4,所以M=r=/守.又因为BC的长等于点（0,m）到直线1的距离，即忸平亨.2所以Md=1.+忸。2=-m2-2帆+IO=（m+I）2+11.所以当m=l时，AC边最长.（这时u=T2+64X）此时AB所在直线的方程为y=x-l.2、（福建厦门理工学院附中2010届高三12月考（文）椭圆E的焦点在轴上，长轴长为4,离心率为白.（1）求椭圆E的标准方程；（2）点40,1）和直线，:y=x+m9线段即是椭圆E的一条弦且直线/垂直平分弦加，求点B的坐标和实数，的值.解：（I）由2。=4,得。=2离心率为；=,C=百2分b2=a2-c2=lI-三1；J分（II）由条件可得直线"的方程为J-X-1.二工二5分于是，有-X-Ify-x-l设弦W5的中点为“，则由中点坐标公式得.口vv三l.W分由点."在直线，上，得匕工。-冽：二：11分55x>C'点8的坐标为（）>W=12分5553、椭圆）的长轴长是短轴长的两倍，且过点42,1）（1）求椭圆C的标准方程；假设直线/：1-N=O与椭圆。交于不同的两点M,N,求I脑VI的值.【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。由条件=»,所以U系+=1,代入点(2,1)可得6=(2)联立椭圆和直线方程可得直线”2一81-4=0,所以xl+x2=,xlx2=-结合相交弦的公式得到结论。解：由条件Cf,所以u.+*l,代入点(2,1)可得b=,椭22圆C的标准方程为9+3=1；82(2)联立椭圆和直线方程可得直线5x2-8x-4=0,所以由相交弦长公式可得IMNI=2(xi÷x2)2-4x1x2=竽4、离心率为9的椭圆C:<+4=l(>b>0)的左、右焦点分别为5ab-F1(-l,0)>F2(1,0),。是坐标原点.(1)求椭圆。的方程；假设直线Iy+1与。交于相异两点M、N,且施丽=得，求Z.(其中。是坐标原点)【解析】此题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的综合应用，其中根据条件求出椭圆的标准方程是解答此题的关键.(1)利用椭圆的几何性质可知道参数a,b,C的值，进而求解得到。曲4Ji器120=>(52+4)y2+8y-16=0=0结合韦达定理得到向量的关系式以及参数k的值。解：(1)依题意得解得1=5,故椭圆C的方程为:+4=16分b=454(II)由/U?20=(5女2+4)y2+8女y-16=0=07分8k设M(xj),N(M,力)那么4,+58分1OHy2=V4k+57777u-TOk2-1131InA=OMON=x.X+=z=10TT1","4k2+59k2=9从而Z=±l12分5、椭圆1+总印的左、右焦点分别为耳、F2,直线/经过点匕与椭圆交于AB两点。(1)求AABQ的周长；(2)假设/的倾斜角为/求町的面积。【解析】此题考查三角形周长的求法和三角形面积的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，注意椭圆定义、韦达定理在解题中的合理运用.由椭圆的定义，得AF+AF2=2a,BF1+BF2=2a,又AF+BFI=AB,所以，ZkABFz的周长=AB+AF2+BF2=4a.再由a?=4,能导出aABFz的周长.(2)由FM-1.O),AB的倾斜角为四，知直线AB的方程为y=x+l由4y=+l,消去x,得7y2-6y-9=0,设A(xnyj,B(x2,y2),借助韦达定理能够求出4ABF2的面积.解：(1)由椭圆的定义，得IAKI+A舄I=2,BF+BF2=2a92分又IA耳+1叼=AB,所以ABB的周长为A5+A鸟|+|8鸟|=4白。4分又因为/=4,所以=2,故A%的周长为85分(2)由条件，得人(-1,0),因为M的倾斜角为：，所以AB斜率为I,故直线AB的方程为y=x+1。6分fy=+l,由f2消去彳，得7/_6丫-9=0,8分一+=1,43设4匹，必),如2)，解得V笞也,当=三誓，10分所以SM叫=g6EMyl-%=g2212分6、直线/与椭圆E(=im>b>0)交于4,),8(%,%)两点，W=(axi9hyl)9abn=ax2,by2)，假设帆_1.且椭圆的离心率e=/,又椭圆经过点(日1),O为坐标原点.(I)求椭圆的方程；(II)假设直线/过椭圆的焦点网0,0(。为半焦距)，求直线/的斜率Z的值；(In)试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【解析】(I)由e和椭圆过点(哼,1)可得到关于a,b的两个方程,从而解出a,b值求出椭圆的方程.(II)设/的方程为.v=Ax+G，由帆=O得：然后直线方程与椭圆方程联立消y后得到关于X的一元二次方程，利用韦达定理建立关于k的方程求出k值.(IlI)要讨论AB斜率存在与不存在两种情况.研究当AB斜率存在时,由m.=0,得4x12-y12=0=>y12=4xl29又A(x,y1)在椭圆上,所以x；+亨=InIXl考,yI=忆从而证明出S=扣IIy-%=gxJ2y=l为定值.c_yja2-b2_5/3解：(I)，=a=F2分131+7=1a4b2ea=2,b=1椭圆的方程为3分(II)依题意，设/的方程为y=履+6(r+4)/+2GAX-I=Oy=kx+yj3上+=4显然>()x1+x2-23AF+45分解得z=±6分(In)当直线AB斜率不存在时，BPx1=x2,y1=-y2由z.=O,4xi2-yj=Ony12=4xi2又A(X,y)在椭圆上，所以Y+号=1nXll=曰JMl=近S=JxIIyf=fx2%=,三角形的面积为定值7分当直线A8斜率存在时：设AB的方程为y=辰+f必须A>0即4Ar2r2-4(2+4)(*-4)>0得到“泻，-=W9分*m1.n94x1x2+yly2=O»4x1x2+(kxl+t)(kx2+r)=O代入整理得：2i=410分S=-=AB=irJ(x1+x2)2-4x1x111分21+K2=正耳产=里=1所以三角形的面积为定值12分K+42|/|7、椭圆方程为1+=1(>人>0),它的一个顶点为M(O/)，离心率ab16e=3(1)求椭圆的方程；(2)设直线1与椭圆交于A,B两点，坐标原点O到直线1的距离为号,求aAOB面积的最大值.【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆位置关系的综合运用。(1)设c=J1.-毛，解得。b=依题意得C7三F6e=-=aa3(2)联立方程组，结合韦达定理和三角形的面积公式得到结论。解：(1)设c=ya2-Z?29b=依题意得C7三F62分e=-=aa3解得忆f3分.椭圆的方程为1+V=1.4分(2)当ABj.X轴时,Iaz?I=VI5分当AB与久轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+W,A(x1,yi),B(x2,y2),由4=名得3加+1)，6分VuF24把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3公+l)x2+6knc+3m2-3=0,.,.x1+X2-Gkm3(7?¾2-1)3公+1当且仅当螃=4,即z=±也时等号成立，此时k3IABl=2.10分当Z=O时,A8=I.11分综上所述：IABImax=2,此时AOB面积取最大值S=TlABIMX日考.12分8、直线y=+与椭圆m+W=13>b>0）相交于A8两点。假设椭圆的ab离心率为乎，焦距为2,求线段"的长。【答案】网=W【解析】本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用。联立方程组，结合韦达定理以及椭圆的几何性质先求解出a,b的值然后利用弦长公式解得AB的长度。7.（本小题总分值10分）求以椭圆！+4=1的焦点为顶点，以椭圆的85顶点为焦点的双曲线的方程.【答案】O=疯”退力=0那么双曲线的方程为!=132【解析】本试题主要是考查椭圆方程以及几何性质与双曲线方程的求解的综合运用。根据椭圆的方程为£+4=可知叫点后那么85c=3o再结合两者的关系可知双曲线中""c=6b=那么双曲线的方程为一=132解：由椭圆的方程为<+!=1可知«=8=5,三c=3,85又因为双曲线以椭圆+4=1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，85所以可知双曲线中="c=6"="那么双曲线的方程为329、在平面直角坐标系Xoy中，点P到两点（。,6,（。,-"）的距离之和等于4,设点P的轨迹为C。（1）求出C的轨迹方程；（2）设直线尸丘+1与C交于A、B两点，k为何值时0A,03?【答案】（1）÷=4&=±工2【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。（1）因为点P到两点（。,我,（。,-G）的距离之和等于4,设点P的轨迹为C。符合椭圆的定义，因此可知a,c的值得到椭圆的方程。（2）设直线与椭圆方程联立方程组，然后结合韦达定理得到根与系数的关系，进而得到k的值。解：=（5分）4设A（XI,必），B（X2，y2）I221.-1_由J+彳得（&2+4）f+2区-3=0,A>0恒成立y=kx-当攵=±时04,08（13分）210、椭圆的焦点是E（TO）和乙（1，0），又过点（）.（1）求椭圆的离心率；（2）又设点P在这个椭圆上，SlPF1I-IPF2I=I,求NMPK的余弦的大小.【答案】方程为9+91,V；c。S“尸4=I【解析】(1)由条件可知C,然后根据P(T,PFj+PF2=2a,求出a值，那么离心率确定.根据IPFII+1PF2=4,IPF1I-IPF2I=I,F1F21=2,根据余弦定理可求出ZF1PF2的余弦值.11、椭圆/炉>的离心率为长轴长为26,直线1.y=b+m交椭圆于不同的两点A、B.(1)求椭圆的方程；求吁1，且赤为=0,曲的值(O点为坐标原点)；3(3)假设坐标原点O到直线/的距离为三，求MoB面积的最大值.【答案】(1)3'.(2)-3c10333=X2X'一'=一当IABl最大时，的面积最大值222_TC_y/6X22_i【解析】(1)依题意得"片可，所以C=五O=1.椭圆方程为"6k(2)直线方程与椭圆方程联立，保证A>。，求出"x2-7F-,+3k=I利用OAOB=O9可得一一H5/32_3*2、(3)由原点O到直线/的距离为E得根二丁+).直线方程与椭圆方6km_3m2-3程联立，保证>“，求出"+/=-询+=T,利用2=3(.+1)(*2+1)=12.MB2=(1+&2)*2-玉)2,可得(3/+1)2+6公+19kz-÷6,%.&2Z=O的讨论.CR,a3解：(1)设椭圆的半焦距为C,依题意1=8解得c=巾a'=b?+C2,得b=1.2OX"O_.所求椭圆方程为亍+y=.3分(2)1.设A(x1,y1),B(x29y2),其坐标满足方程-+y2=3y=kx+1消去>并整理得(1+3/)/+6履=0,4分那么有A=(6%)0,%Z=-芥，痞=。.6分8分I间=也232(3)由而F2,可得"一z"'+"9分将y=履+机代入椭圆方程,整理得(1+3k2)x2+6kmkx+3m2-3=0.-6km3w2-310分.*.X1+Xo=丁，XX，十.11+3公,-1+3/2(k1+1)(3A:2+1-/?72)3(A:2+1)(92÷1)(3/12+1)-(3公+1产C12%21212八、=3+；=3+3+=4(%0)94+6A2+1q,2.u±4.a2x3+612分yKI11IO9%2=-1.k=±-k=+当且仅当公，即-3时等号成立，经检验，3满足（*）式当后=O时，AB=yf3综上可知IABImaX=2.13分.当IABl最大时，MO3的面积底S=、2x走=3k最大值22214分