直线与圆的位置关系专项测试题.docx

直线与圆的位置关系的专项测试题一、选择题：I.直线y=x+1与圆/+）2=I的位置关系是（）A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离思路分析：判断直线与圆的位置关系自然想到代数法联立直线和圆的方程或几何法利用圆心到直线的距离d与半径r的关系求解。解：选B法一：由y=x+1,消去y,整理得2+x=0,+y=l,因为=12-4X1XO=1>O,所以直线与圆相交.又圆f+y2=l的圆心坐标为（0,0）,且00+l,所以直线不过圆心.法二：圆x2+y2=l的圆心坐标为（0,0）,半径长为1,那么圆心到直线y=x+l的距离d=g=彳.因为0等<1,所以直线y=+l与圆f+.V2=I相交但直线不过圆心.小结：判断直线与圆的位置关系常见的方法（I）几何法：利用d与r的关系；（2）代数法：联立方程随之后利用判断；（3）点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.2.圆f+y2-2x+4y-20=0截直线5-12y+c=0所得的弦长为8,那么C的值是（）A.10B.10或一68C.5或一34D.-68思路分析：处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形.此题将圆化为标准方程，找出圆心坐标和半径口利用圆心到直线的距离d,垂径定理，勾股定理列出关于C的方程，求出方程的解便可得到c的值。解：选BY弦长为8,圆的半径为5,弦心距为52-42=3Y圆心坐标为（1,-2）,叵9WY"'"=?,.,c=10或c=-68小结：计算直线被圆截得的弦长的常用方法（1）几何方法：运用弦心距（即圆心到直线的距离）、弦长的一手及半径构成的直角三角形计算.（2）代数方法：运用韦达定理及弦长公式A8=护7值一切|=、（1+F）（%a+切）2一4XU向.33. （2014.徐东、豫北十校联考）圆心在曲线y=*>0）上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（）A.（-2）2+-）2=9B.（-3）2+（y-此C.。-l）2+（y-3）2=停,d.（-3）2+（j-3）2=9思路分析：设所求圆的圆心坐标是（,J（>O）,利用点到直线的距离d,用根本不等式求出d以及此时的a,确定面积最小时的圆心坐标和半径，从而得到圆的方程。涉及圆的切线时，要注意过切点的半径与切线垂直；当直线与圆相交时，半弦长、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用,解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用。解：选A设所求圆的圆心坐标是Q,3（。>0）,那么点（。，$（。>0）到直线3x÷4y+3=0的距离d=12I?/I?3a÷÷33«÷÷323a×÷3195=55=3，当且仅当%=£,即=2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是(2,D，半径是3,圆的方程为(l2)2+Q一券=9.小结：(1)与切线长有关的问题.解题时应注意圆心与切点的连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形，然后求解；(2)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条.在解题中，假设只求得一条，那么说明另一条的斜率不存在，这一点经常无视，应注意检验、防止出错.4.直线y=kx+3与圆(-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点，假设IMNIN25,那么k的取值范围是()A.-1,ob一-3,31D一,0思路分析：直线过定点(0,3),求出弦长为2小时的匕结合图像移动直线就可得答案。解：选B如图，假设IMNl=2小，那么由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足片=22(小了=1.直线方程为y=h+3,/.J=1rl<7xy+aX72.3解得A=殍，假设IMNl225,那么一坐W1.W坐小结：利用直线与圆的位置关系中的相交，表达了数形结合思想在解析几何中的应用。十5.直线4x+力+c=0与圆f+y2=9相交于两点M,N,假设=/十/,那么OMON(O为坐标原点)等于()A.-7B.-14C.7D.14思路分析：由向量的数量积很容易想到求。M,ON的夹角，而夹角可放在由两向量与弦长所构成的三角形中去求，也可将夹角一分为二放在圆心到直线的距离、半弦长、半径构成的直角三角形中去求。解：选A设OM,ON的夹角为2。依题意得，圆心(0,0)到直线OH加+c=0的距离等于cos。=；,cos2J=2cos2。-1=2x（；1=一OMON=3X3cos2。=7.小结：此题在给出直线和圆相交，求圆心指向两个交点的向量的数量积，着重考查直线和圆的位置关系及向量的数量积运算，此题也可借助向量的坐标运算求解。二、填空题：1 .(2014济南模拟)圆。过点(1,0),且圆心在X轴的正半轴上，直线/：y=-l被圆。所截得的弦长为22,那么过圆心且与直线/垂直的直线的方程为.思路分析：利用圆心、半径(圆心和(1,0)的距离)、半弦长和弦心距的关系，求出圆心坐标，可得直线方程。解：由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0,设圆心坐标为(,0),那么由题意知(也苛)+2=3-D'解得=3或。=一1,又因为圆心在X轴的正半轴上，所以。=3,故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3+0+m=0,即加=3,故所求的直线方程为x+y3=0.小结：此题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线和圆的位置关系，/查学生的计算能力。2 .直线(1+3R)X+(3-2m)y+8-12=0(勿R)与圆x÷y26y÷1=0的交点个数为.思路分析：直线恒过(0,4),又由圆的方程判断点在圆内，由此可判断直线和圆相交。解：将含参直线方程别离变量可得加(3-2y+8)+x+3y-12=0,不管勿取何值，直线恒过两直线3-2y÷8=0,C八的交点月(0,4),又易知定点力在圆内，故直线必与圆恒相交.lx+3y-12=0小结：此题考查了直线和圆的位置关系，计算出定点在圆内是解决此题的关键。3.在平面直角坐标系Xo)，中，圆2+V=4上有且只有四个点到直线12-5y+c=0的距离为1,那么实数C的取值范围是.思路分析：求出圆的圆心和半径，根据圆心到直线的距离小于半径和1的差即可。解：因为圆的半径为2,且圆上有且仅有四个点到直线12-5y+c=0的距离为1,等价于圆心到直线的距离小于1,即Jd三F"解得-333.小结：圆心到直线的距离小于半径与1的差，此时4个，等于时3个，大于这个差小于半径与1的和时为2个。4.圆C的圆心与点P(2,1)关于直线y=x+l对称，直线3x+4y11=O与圆C相交于A,B两点,且AB=6,求圆。的方程.思路分析：要求圆的方程只需要求出圆心和半径，圆心根据对称可求，半径可由圆心到宜线的距离求出。解：设点P关于直线y=x+1的对称点为C(m,)，1÷22÷z?1=-2-+1,M=O,今I41Il故圆心C到直线3x÷4y-ll=0的距离d=l-l=3,-9÷16所以圆C的半径的平方产=+竿=18.故圆C的方程为f+(rH)2=18.小结：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系。三、解答题：1.点好(3,1),直线axy+4=0及圆(x1/+(y2)2=4.(1)求过"点的圆的切线方程；(2)假设直线a-y+4=0与圆相切，求a的值；(3)假设直线axy+4=0与圆相交于48两点，且弦力8的长为25,求a的值.思路分析：(1)求过一点的圆的切线方程，是圆这一章中很重要的题型。有两点要注意是看清点是在圆上还是在圆外是点如果在圆外,切线有两条；(2)利用圆心到直线的距离d与半径r相等求解；(3)利用直线与圆的位置关系中的相交，即运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算可得。解:(D圆心C(l,2),半径为r=2当直线的斜率不存在时，直线方程为x=3.由圆心0(1,2)到直线x=3的距离d=31=2=Jr知，此时，直线与圆相切.当直线的斜率存在时，设方程为yT=*(-3),即履一y+l-3-0.由题意知止金牙红=2,解得*=*3所以直线方程为yl=：(x3),即3x4y5=0.综上所述，过加点的圆的切线方程为x=3或3x4y5=0.a2+44(2)由题意有一i=-=2,解得a=0或4=鼻.a-÷l3O2+3=4,解得a=一：圆心到直线axy+4=0的距离为Ia+2I.fa÷2,7+,7+i小结：在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错.(1).过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，假设仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解求圆的弦长问题；(2).求切线的两种方法，设切线方程的点斜式，一种是代数方法：联立圆的方程，用=()求K；一种是几何法，用圆心到直线的距离等于半径求k；(3).注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为一1列方程来简化运算.2.以点，f0)为圆心的圆与X轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为坐标原点.(I)求证：40A8的面积为定值；(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,假设OM=OM求圆C的方程.思路分析：(1)求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可。(2)通过题意解出OC的方程，解出I的值，直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,判断t是否符合要求，可得圆C的方程。4解：(1)证明：圆C过原点0,OC2=2+j2.设圆C的方程是(Xf)2+(v-寺=+*令X=0,得y=0,y2=":114令.y=0,得Xl=0,X2=2f,SacMB=10A08=gX×2=4,即AOAB的面积为定值.(2).OM=ON,CM=CN,'OC垂直平分线段MN.*Icmn=2,*.oc=2*,直线OC的方程是y=2-V，7=¥，解得/=2或，=-2.当/=2时，圆心C的坐标为(2,1),OC=5,此时C到直线y=-2x+4的距离小，圆C与直线y=-2x÷4相交于两点.当=一2时，圆心C的坐标为(-2,-I),OC=B此时C到直线y=-2%+4的距离4=靠1/3,圆C与直线y=-2x+4不相交，.“=-2不符合题意，舍去.圆。的方程为(-2)2+(y-l)2=5.小结：用t的代数式表示面积，在计算推理过程中消去变量t,从而得到定值，或从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。3.在平面直角坐标系X0中，圆V+-12x+32=0的圆心为。，过点P(0,2)且斜率为A的直线与圆0相交于不同的两点力，B.(D求女的取值范围；(2)是否存在常数h使得向量应+应与瓦英线？如果存在求A的值；如果不存在，请说明理由.思路分析：(1)利用几何法G小于r)或代数法(联立方程利用小于0)求解；(2)设出A、B的坐标，向量6+6与的共线求解。解：方法1(1)圆的方程可写成(x-6)2+=4,所以圆心为0(6,0).过AO,2)且斜率为k的直线方程为y=履+2,代入圆的方程得÷y+2)2-12x+32=0,整理得(1+2)÷4-3)x+36=0.直线与圆交于两个不同的点4,6等价于J=4-3）2-4×36（l+A2）=42（-8A2-6>0,解得一不在<o,即左的取值范围为（一w，O）.设（汨，/1）,B（X2,，那么小+如=（小+才2，yi+%）,由方程得，X+X2=华浸.又y+也=（小+入2）+4.而（0,2）,0（6,0）,Tq=（6,-2）.所以游+旗弥线等价于-2（m+照）=6（y+%）,将代入上式，解得4=一*3由知左£（一0）,故不存在符合题意的常数上方法2（1）Y0（6,0）,直线0的方程：y=kx+2,0到力的距离d=率0<2（圆半径r=2）,（-p0）.1÷A4而+宓=2应'（。为46中点），：.OC/PQ.而由=（6,-2）,过0与"垂直的直线为j/=一；（x6）,Ky=k-2ty=-(-6)解得后冷即应'=（旨竽华詈）,若一看仁一H，0），故不存在符合题意的常数上小结：存在性问题中的是否存在应先假设存在，再根据条件进行推理，注意题中的隐含条件，再验证所求的结果是否满足要求。备选题一、选择题1 .假设圆心在X轴上,半径为由的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,那么圆。的方程是（）A.（x-5）2÷）2=5B.（x+5）2+y2=5C.（x-5）2+y2=5D.（x+5）2+y2=5川+2义0|解析：选D因为圆心在X轴上，且圆。位于y轴左侧，所以可设圆心坐标为（肛0）（切V0）.又圆。与直=小，解得加=-5,即P÷?线x+2y=0相切，那么圆心到直线x+2y=0的距离等于半径长，即，圆。的圆心为（一5,0）,又半径为小，故圆。的方程为（x+5）2+y2=5.2 .（2014.黄山模拟）”（知，泗）为圆W+y2=2（>0）内异于圆心的一点，那么直线XoX+yoy=/与该圆的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.相切或相离解析：选C因M（XO,优）为圆x2+）2=q2（a>0）内异于圆心的一点，故看+京<2,圆心到直线如v+y（）y=4的距离d=«1.故直线与圆相离.3 .直线班“x+by=l（其中,b是实数）与圆2+j2=1相交于A,8两点，O是坐标原点，且aAOB是直角三角形，那么点P（,力与点M（0,1）之间的距离的最大值为（）A.2+lB.2C.2D.2-1解析：选A直线5at+by=l（其中出是实数）与圆f+2=l相交于A,B两点、,那么依题意可知，AO8是等腰直角三角形，坐标原点O到直线50r+by=l的距离d=-j=坐，即2届+庐=2,y2a-bz.*.a2=2(2WbWyli),那么PM=ya2-(b-)2=2>+2=',-,2×I-2-21.当方=一也时，IPMlmaX=Xl=2÷1.4 .(2014江南十校联考)直线Xy÷n=0与圆x2÷>-2-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A.-3<m<B.-4<n<2C.OVmVlD.n<l解析：选C根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径.Y圆x2+y2"-1=0可化为。-1)2+产=2,即圆心是(1,0),半径是5,Id=1市l<2,n+l<2-3<w<l由题意知机的取值范围应是(一3,1)的一个其子集，应选C.5 .过点(1,1)的直线与圆。-2)2+。-3)2=9相交于A,B两点，那么|48|的最小值为()A.23B.4C.25D.5解析：选B由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB的中点时，IABl的值最小，此时A8=2铲=Z=29z5=4.6 .过点P(IJ)的直线，将圆形区域(x,y)x2+y24分为两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为()A.xy2=0B.y1=0C.xy=0D.x+3y4=0解析：选A两局部面积之差最大，即弦长最短，此时宜线垂直于过该点的直径.因为过点P(IJ)的直径所在直线的斜率为1,所以所求直线的斜率为一1,方程为x+y-2=0.二、填空题1. (2014陕西模拟)点P是圆Cf+y2+4-6y3=0上的一点，直线/：3x4)，-5=0.假设点P到直线/的距离为2,那么符合题意的点P有个.解析：由题意知圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=42,.圆心到直线/的距离d=j51=>4,故直线与圆相离，那么满足题意的点P有2个.2. (2013福建模拟)直线/：)，=一小。-1)与圆0：x2+y=l在第一象限内交于点“，且/与y轴交于点A,那么AMQA的面积等于.解析：依题意,直线/:)，=一小。-1)与)，轴的交点4的坐标为(0,3),联立直线与圆可得点M的横坐标物=3，所以4M04的面积为S=(9×xjw=2×3×2=4,3. (2014浙江改编)圆f+2-2y+a=0截直线+y+2=0所得弦的长度为4,那么实数a的值为.解析：由圆的方程V+2-2y+d=0可得，圆心为(一1,D,半径r=镜二1圆心到直线x+y+2=0的距离为仁二七+=近由产=d+()2,得2a=2+4,所以a=-4.之枕)4. (2014北京改编)圆G(-3)2+(y-4)2=l和两点力(一0,0),3A(-m,0)O123B(m)xB5,0)5>0),假设圆。上存在点R使得N4刃=90°,那么的最大值为解析：根据题意，画出示意图，如下图，那么圆心C的坐标为(3,4),半径r=l,且|相|二2勿.因为N力加=90°,连结。7,易知I例=J4用=卬.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为I3=?不下=5,所以I例皿=IaI+r=6,即m的最大值为6.5. (2014福建改编)直线7：y=kx+与圆Oz+=l相交于43两点，那么“A=l”是FOABW7,的面积为会'的条件.解析:将直线1的方程化为一般式得AA-y+l=0,所以圆"V+=l的圆心到该直线的距离d=又弦长为所以SJ*7=皓总解得*=±1.因此可知“k=T”是“力8的面积为的充分不必要条件.三、解答题1.(2013湛江六校联考)圆C：jr+-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线/,使以/被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？假设存在，求出直线/的方程；假设不存在，说明理由.解析：假设存在斜率为1的直线/,满足题意，那么。A_1.08.设直线/的方程是y=x+b,其与圆C的交点4,8的坐标分别为4(»,y),B*?,闻那么，圈=一1，即XIX2+yM=O.y=x+bt由(八消去)，得，2+2S+l)x+从+4-4=0,f+j22x+4)，4=0.x+x2=-3+1),xX2=÷4Z?4),JO,2=(x÷)(x2÷W=xiX2÷(x÷X2)÷2=2(2÷4-4)-Z?2-/?+/?2=(Z>2+2/?4).把式代入得，得庐+38-4=0,解得力=1或b=-4,且6=1或6=4都使得=4S+1)28(从+464)>0成立.故存在直线/满足题意，其方程为y=x+1或y=x4.2.在平面直角坐标系Xs，中，圆心在第二象限，半径为26的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)探求C上是否存在异于原点的点。，使。到定点尸(4,0)的距离等于线段。尸的长.假设存在，求出点。的坐标；假设不存在，说明理由.解析：(1)设圆心为C(a,b)f由OC与直线y=x垂直，知O,。两点的斜率3c=9=-1,故方=一_a=-2ta=2ta,那么IoCl=25,即后万=25,可解得或J=2a=-2f结合点cm,与位于第二象限知故圆C的方程为+2>+。-2)2=8.b=2.：故圆C上存在异于原点的点飕，第符合题意.=亍(2)假设存在Q(m,)符合题意，(w-4)2+w2=42,那么“"2+"2o,解得.(w+2)2+(z-2)2=8,3 .在平面直角坐标系M中，圆心在第二象限，半径为班的圆C与直线y=x相切于坐标原点。(1)求圆C的方程：(2)探求C上是否存在异于原点的点。，使。到定点尸(4,0)的距离等于线段。尸的长.假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，说明理由.解析：(1)设圆心为C(,b),由OC与直线y=x垂直，知O,C两点的斜率死心=7=-1,故b=一a,那么OC=25,即后筋=25,可解得*b=2结合点C3,份位于第二象限知2'故圆C的方程为(x+2)2+G，-2)2=8.b=2.假设存在Q(m,冷符合题意，(m4)2+n2=42,那么、M+2#o,解得2故圆C上存在异于原点的点Q,号)符合题意.6+2)2+(-2)2=8,=亍4 .圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(l,2)所作的弦的中点的轨迹.解法1:参数法(常规方法)r24-y2=9设过A的弦所在的直线方程为y-2=k(-l)(k存在时)，P(x,y),那么7'消y,得y=kx+(2-k),2k(k-2)(l+k2)x2+2k(2-k)x+k2-4k-5=0.x+xz=；.k2+k(k-2)X2，利用中点坐标公式及中点在直线上,得<k+1(k为参数).T+2y=E消去k得P点的轨迹方程为x2+y2-2y=0,当k不存在时，中点P(l,0)的坐标也适合方程.AP的轨迹是以点(1.,1)为圆心，逝为半径的圆.22解法2:代点法(涉及中点问题可考虑此法)设过点A的弦MN,M(x,y1),N(x2,y2).VM.N在圆O上，/：+”-9J相减得(x+x2)+'二(yl+y2)=0(xx2).Xj+=9.X1-X2设P(x,y),那么X=y+y2y=y+%，M、N、P、A四点共线，M=Zzj.（WD.2+2心-2y=0.X1-x2x-1x-1，中点P的轨迹方程是x2+y2-2y=0（x=l时亦正确）.点P的轨迹是以点（1.,）为圆心，正为半径的圆.22解法3:数形结合（利用平面几何知识）由垂径定理知OP±PA,故P点的轨迹是以AO为直径的圆.（下略）