毕业设计（论文）-随机智能结构振动控制优化.doc

毕 业 设 计（论 文）题 目： 随机智能结构振动控制优化 院（系）： 自动化学院 专 业： 自动化 班 级： 学生姓名： 导师姓名： 职称： 教授/讲师 起止时间： 摘 要2Abstract31绪论11.1智能结构的提出与发展11.2智能材料21.2.1压电智能材料分类21.2.2压电智能材料在结构振动控制中的应用21.3智能桁架结构参数具有随机性时振动控制优化问题31.4本文研究的主要内容32智能结构有限元建模52.1概述52.2智能桁架结构的有限元分析52.2.1被动杆单元的有限元分析52.2.2主动杆单元的有限元分析62.2.3混和单元的有限元分析92.3随机智能桁架结构动力特性分析102.3.1随机智能结构的质量矩阵102.3.2随机智能结构的刚度矩阵152.3.3随机智能结构动力特性的数字特征212.4小结233随机智能桁架结构振动主动控制中的优化253.1引言253.2控制律253.2.1控制律的选择253.2.2状态方程263.3主动杆优化配置数学模型263.3.1外荷载为随机力273.3.2外荷载为随机过程（平稳、非平稳随机过程）力283.4可靠性约束的等价显示化处理283.4.1分布函数法283.4.2可靠性安全系数法293.5具有动应力和动位移可靠性约束等价显示化的优化数学模型303.5.1外荷载为随机力303.5.2外荷载为随机过程（平稳、非平稳随机过程）力314优化算例和控制结果仿真334.1程序设计334.2外荷载为随机力334.3外荷载为随机过程（平稳、非平稳随机过程）力38致谢43参考文献44摘 要 智能结构因其具有响应快、自适应、自判断等优点，因此智能结构振动控制在结构设计与控制中具十分有重要意义，它成为当今国内外结构设计与控制领域中研究的热点。本文以压电智能桁架作为研究对象，先对随机参数智能桁架结构进行有限元分析，然后利用随机因子发构建智能桁架的动力特性模型。以速度负反馈作为闭环控制律，基于最大耗散能准则，建立了以传感器/作动器的位置和控制系统增益为设计变量，具有动力响应(应力响应和位移响应)可靠性约束的压电智能梁结构传感器/作动器优化配置的数学模型。最后对智能桁架主动杆进行优化并用Matlab进行仿真。关键词：智能结构 有限元 振动控制 优化 随机参数AbstractSmart structure has the advantages of fast response, adaptive, self-judgment, So the vibration control of smart structures in structural design and control with great significance. It became a research focus in todays domestic and international design and control areas.In this paper intelligent truss as the research object, random parameters of intelligent truss structure analysis with random parameters. Model with a random factor to the dynamic characteristics of the intelligent truss. Based on the maximum dissipation criterion, speed negative feedback as a closed-loop control law. Establish the design variables of location feedback and control system gain to the sensor/actuator. A dynamic response(stress response and displacement response) reliability constraints piezoelectric smart beam structure sensor/actuator optimal allocation of mathematical models. The last initiative for intelligent truss rod optimization simulation using matlab.Key Words: Smart Structures Finite Element Vibration Control Random Parameters41 绪论1.1 智能结构的提出与发展由于现代材料科学、机械汽车工业、航空航天和土木工程等行业的飞速发展，对材料和结构系统的性能提出了新的要求，极大的推动了新型材料和大型柔性空间结构的发展。许多空间结构的具体运行环境要求它们具有高柔性、高强度、重量轻、耐疲劳，耐腐蚀等特点，而传统的单一材料难以同时满足这些要求。20世纪80年代末期人们提出了智能材料的概念，智能材料有及时感应并诊断外部环境变化，对周围环境改变迅速作出响应调整自己适应环境变化的能力，同时它还具有自适应、自学习、自组装、自恢复、预告寿命等功能。智能材料的出现为解决实际工程中普通材料无法实现的问题开辟了一条新的途径。工程应用需要和对智能材料的深入研究，推动了智能结构的产生与发展。近十几年以来，随着材料、控制、微电子和计算机科学技术的迅速发展，特别是新型传感器和作动器的研究取得突破性进展，在结构控制设计中，不断采用新型传感器和作动器集成在结构中，替代了传统传感器和作动器在结构控制中所起的作用，逐步形成了传感元件、作动元件、控制器和主体结构集成的一体化结构形式，促进了结构设计中新技术的发展，产生智能结构这种崭新的现代结构概念。 智能结构是一种仿生结构体系,它集主结构、传感器、控制器及驱动器于一体,具有结构健康自诊断、自监控、环境自适应以及损伤自愈合自修复的生命特征及智能功能,在危险发生时能自己保护自己。智能结构系统的诞生是信息学科与工程及材料学科相互渗透与融合的结果。智能结构已在军用航空航天,民用航空航天、汽车、船舶、土木工程及水利工程方面展现出广阔的应用前景。经过十几年的发展智能结构材料已经有了很大的发展。其在国防和民用领域潜在的应用价值己引起人们的极大关注。目前我国在智结构及其系统的研究尚属起步阶段，对智能结构及其应用的研究、取得了一些研究成果，但对该领域的研究仍在不断地探索中。1.2 智能材料智能材料，是一种能感知外部刺激，能够判断并适当处理且本身可执行的新型功能材料。智能材料是继天然材料、合成高分子材料、人工设计材料之后的第四代材料，是现代高技术新材料发展的重要方向之一，将支撑未来高技术的发展，使传统意义下的功能材料和结构材料之间的界线逐渐消失，实现结构功能化、功能多样化。1.2.1 压电智能材料分类（1)压电晶体，主要有:石英晶体、罗息盐、磷酸二氢按和妮酸铿等。通常压电晶体多为天然单晶体，其压电性较弱，介电常数很低，不易制作成型，且造价昂贵。但其压电常数和介电常数的温度稳定性好，常温下凡乎不变，机械强度和品质因子高，且刚度大，动态特性好。（2)压电陶瓷，以铁电陶瓷为主，如:错钦酸铅(PZT ) ,钦酸钡、偏妮酸铅等。这类压电材料一般具有较强的压电性，介电常数高，方便加工成形，且制作工艺简单。但其机械品质因子较低，电损耗大，稳定性欠缺。目前应用最广泛的压电陶瓷主要有单元系压电陶瓷 (B aTi03 , PbTi03等)、二元系压电陶瓷(PZT)以及三元系压电陶瓷。（3）压电聚合物，也称有机压电材料，目前最具实用价值的压电聚合物是偏聚氟乙烯（PVDF）。压电纤维及其聚合物具有材质柔韧、低密度和易制作成薄膜等优点，同压电陶瓷相比PVDF薄膜的压电应变常数较低，机电祸合系数也较小，但其压电常数大，适合用作传感元件，因而广泛用于压力、加速度、温度、声和无损检测等方面。（4)压电复合材料，压电陶瓷一聚合物压电复合材料兼有陶瓷和聚合物两者优点，并能弥补各自缺点，其性能与复合材料的组成密切相关。压电复合材料比传统单一的压电陶瓷或聚合物有显著的优越性，如柔韧性好、易于大面积成型、特性可根据设计进行调整、压电系数高、与水和空气的声阻抗匹配性好等许多优点。1.2.2 压电智能材料在结构振动控制中的应用压电材料具有自感知、自适应、自调节、高频宽、易成形、方便粘贴于结构表面或埋置于结构内部等特点，从而成为弹性结构主动控制中最受欢迎的智能材料。压电材料在结构振动控制中的应用涵盖了航空航天、车辆工程、土木工程等领域，这些行业的结构或构件在运行期间易遭受外界环境的干扰而发生不期望的振动，长时间的反复振动而导致构件的损伤或疲劳破坏。目前压电材料用于振动控制的理论研究主要集中在梁、板等大型空间结构的基本构件的振动腔制中。1.3 智能桁架结构参数具有随机性时振动控制优化问题智能桁架结构振动控制在结构设计与控制中具十分有重要意义，因此它成为国内外结构设计与控制领域中研究的热点。由于随机参数压电智能桁架结构振动控制较确定性参数智能结构振动主动控制问题复杂得多，迄今为止所见到的智能结构振动主动控制模型大多都属于确定性模型，即将结构的全部参数均视为确定性量。在许多情况下，结构本身和作用荷载的随机性是客观存在的。例如，一类大宗的或批量生产的结构，其物理参数取值往往具有分散性，其结构几何尺寸的加工和在装配中都不可避免地会产生偏差;其所受地震、风荷等作用荷载的幅值和频率往往具有不确定性。所以，确定性的模型将无法反映出结构参数的随机性对结构振动主动控制的影响。因此，进行随机参数情况下的智能结构振动控制问题的研究是一个不可避免问题。对于具有随机参数的智能结构振动主动控制问题，确定性参数智能结构振动控制的方法已无能为力，须借助于基于概率(即可靠性)的振动控制模型和方法。所以，随机参数智能桁架梁结构振动控制是目前需要研究的重要课题。确定性参数智能结构振动控制的研究在国内外已有了一些成果，但还不成熟，但对不确定性参数智能结构振动主动控制的研究就非常少了，所以开展对随机参数压电智能桁架结构振控制问题的研究具有非常重要的理论意义、学术价值和工程应用价值。1.4 本文研究的主要内容本文以随机智能桁架的振动为例，对随机参数智能结构振动控制及优化做为研究的主要问题。文中主要进行了基于概率的智能桁架结构动力特性分析研究、动力响应分析研究;建立了基于最大耗散能准则并且具有动力响应可靠性约束的随机智能桁架结构的传感器/作动器优化配置的数学模型。本文完成的主要工作包括以下几个部分:1、论述了本文的研究背景及目的，概述了随机智能结构振动控制领域的发展现状、国内外研究现状和振动控制理论;2、在压电智能桁架结构中，其有限元模型的杆单元存在着主动杆和被动杆两种形式，分别对由这两种形式的单元组合而成的结构进行有限元分析。3、利用随机因子法构建随机智能结构的动力特性分析模型。首先建立随机结构的刚度矩阵和质量矩阵，然后从结构动力分析的瑞利商表达式出发，利用代数综合法推导出结构特征值随机变量数字特征的计算表达式。4、采用智能结构的状态空间模型建立了以最大耗散能准则为基础的目标函数，以速度输出负反馈作为控制律，分别建立具有动应力、动位移可靠性约束的主动杆的优化配置和增益优化的模型；具有位移响应均方值、应力响应均方值可靠性约束的主动杆配置和控制增益的优化模型。然后利用分布函数法和可靠性安全系数法分别对优化模型中的可靠性约束进行等价显示化处理，使之转化为常规约束。最后对结构进行了振动主动控制效果的仿真。41412 智能结构有限元建模2.1 概述 VbPb粘合层利用压电智能材料对结构进行振动控制，是指将压电材料连续的分布在受控对象的表面或嵌入其内部，充当作动器或传感器。当智能结构发生变形时，压电传感器便会在其表面上产生一定的电势或电压，在适当的控制规律作用下，这一电压被反馈到压电作动器。在外电压的作用下，压电作动器元件就会发生变形来消减原来受控对象变形，以达到抑制受控对象的振动的效果。本章采用智能桁架作为受控对象，建立智能桁架的动力学方程。在压电智能桁架结构中，是利用压电材料作为传感和作动元件，其具体形式是以若干压电主动杆作为桁架结构中的构件。由于压电材料具有正压电效应和逆压电效应，所以可视为是结构状态(应力和应变)和电状态(电荷与电压)之间的广义换能器。压电主动杆一般是由圆型截面的压电材料薄片堆叠而成，如PZT，并且在这些压电片两端加有电压如图2.1所示轴向伸缩PZT作动/检测元件，由多层圆 图2.1 压电主动杆件结构简形PZT薄片粘合而成，每个薄片可视为元件的一个基本单元，其上、下表面均敷有金属电极，电极化方向沿厚度方向。2.2 智能桁架结构的有限元分析在压电智能桁架结构中，其有限元模型的杆单元存在着两种形式：一种是被动杆单元，它不含有压电元件，即为常规的杆单元；另一种是主动杆单元，由压电元件构成。下面分别对这两种形式的单元组合而成的结构进行有限元分析。2.2.1 被动杆单元的有限元分析 a、被动杆单元的刚度矩阵在局部坐标系下杆单元的弹性刚度矩阵可表为： (2-1)其中：、与分别为单元的杆长、杆截面积和材料弹性模量。经过坐标转换后，在总体坐标下单元的弹性刚度矩阵表示为： (2-2)其中：为单元的坐标转换矩阵。b、被动杆单元的单元质量矩阵 质量是惯性的度量，与坐标系的选择无关，那么任一杆单元的质量矩阵在总体坐标下均可表为： (23)其中：为6阶单位矩阵；是被动杆单元的质量密度。c、被动杆单元的力平衡方程 (2-4)其中：、分别为位移和加速度响应列向量；单元外荷载列向量。2.2.2 主动杆单元的有限元分析a、压电材料的等价模型压电主动构件的模型如图2.1。先考虑一个压电薄片,如图2.2。由于基本单元仅受轴向力作用且周边自由,忽略电场边缘效应和漏电流的影响，在准静态电场的条件下，其等效的线性压电本构方程可写为: (2-5)图2.2 主动构件的基本单元 (2-6)其中：、和、分别是轴向方向的应力(N/m2)、应变、电位移(C/m2)和电场强度(N/c或 V/m)分量，、与分别是材料的等效压电系数（C/m2）、介电系数（C/m·v）和弹性刚度系数(N/m2)。方程(2-5)、(2-6)即分别描述了材料的正、逆压电效应。压电元件在机械载荷和电载荷的共同作用下，其机电耦合动力学方程通过Hamilton原理表述为： (2-7)其中、分别为薄片单元的动能、势能及虚功。假设整个杆单元变形均匀、位移和电势均呈线性分布，则由式(2-7)可得其机电耦合动力学方程为: (2-8) (2-9)式（2-8）和（2-9）又可分别用以下两式表示为： (2-10) (2-11)其中:，分别是压电主动杆单元的质量矩阵、机械刚度矩阵、耦合刚度矩阵及介电刚度系数；、分别为杆端部的位移和外力列阵；为薄片单元表面电势；q为杆单元总自由电荷量；为杆的横截面积；N为薄片单元总数；为杆单元总长；为薄片单元厚度。 当q为零时,电势与杆单元相对变形为正比,从而用来检测杆单元的变形,其检测方程为: (2-12)由式(2-10)和(2-11)可得电势坐标缩减后杆的动力学方程为： (2-13)其中可理解为考虑机电耦合时广义刚度矩阵。式（2-13）也可表示为： (2-14)若令:，其中V为施加在压电杆上的电压，则上式还可化为： (2-15)记： （2-16） (2-17)将式（2-16）和（2-17）代入式（2-15）可得： (2-18)b、局部坐标系下的主动杆单元为了能更清楚的表示单元方程，则可把式(2-18)改写为: (2-19) 把式(2-19)扩阶到6阶,则和普通杆单元一样得到主动单元在局部坐标系下的单元节点位移向量和单元节点力向量之间的关系为: (2-20)将上式简记为: (2-21)c、整体坐标系下的主动杆单元 节点位移向量的坐标变换关系式为： (2-22) 节点力向量的坐标变换关系式为： (2-23) 等价单元刚度矩阵（广义单元刚度矩阵）的坐标变换关系式为： (2-24) 由外加电压引起的等价力为： (2-25)d、主动杆单元的单元质量矩阵 用和被动单元相同的方法，可得在总体坐标系下主动杆单元的质量矩阵为： (2-26)其中为主动杆单元的质量密度。e、主动杆单元的力平衡方程 (2-27)2.2.3 混和单元的有限元分析在智能桁架结构系统中,任何一个杆单元都可作为被动元或主动元。为了用统一的形式来描述结构单元的质量和刚度矩阵，我们构造了一种混和类型单元，即引入一个取值为0或1的布尔代数量，当取0时，混和单元为压电主动杆元；当取1时，混和单元为被动杆元。a、混和单元的等价单元质量矩阵 (2-28)或: (2-29) b、混和单元的等价刚度矩阵 (2-30) c、混和单元的等价合力 (2-31) d、混和单元的力平衡方程 (2-32)2.3 随机智能桁架结构动力特性分析由于结构在生产和装配过程中不可避免地受到多种随机因素的影响，导致其物理参数、几何参数、结构阻尼等取值会呈现出一定的分散性（随机性），而结构物理参数、几何参数的随机性又必将导致结构刚度矩阵和质量矩阵的随机性。下面将考虑智能桁架结构的物理参数和几何参数具有随机性的情况，利用随机因子法构建随机智能结构的动力特性分析模型。首先建立随机结构的刚度矩阵和质量矩阵，然后从结构动力分析的瑞利（Rayleigh）商表达式出发，最后利用代数综合法推导出结构特征值随机变量数字特征的计算表达式。在随机因子法中，是设法将一个随机变量分解成一个随机因子与其确定性量的乘积，随机因子的均值为1，它的变异系数等于该随机变量的变异系数（变异系数=均方差/均值）。因此，对于随机智能桁架结构中的所有随机参数则可表为：，。其中、分别为被动杆的弹性模量、质量密度、杆横截面积、杆长的确定量部分；、分别为主动杆的弹性模量、质量密度、介电系数、等效压电系数、杆横截面积、杆长的确定量部分；、分别为被动杆的弹性模量、质量密度)、杆横截面积、杆长的随机变量因子；、分别为主动杆的弹性模量、质量密度、介电系数、等效压电系数、杆横截面积、杆长的随机变量因子。2.3.1 随机智能结构的质量矩阵设结构中共有个单元，对所有单元的质量矩阵进行组和，可得结构的总质量矩阵为： (2-33)下面推导被动杆的物理参数(弹性模量、质量密度)、几何参数（杆长、杆横截面积）和主动杆的物理参数(弹性模量、质量密度、介电系数、等效压电系数)、几何参数（杆长、杆横截面积）及在各自同时为随机变量的三种情况下，单元的质量矩阵和结构的总质量矩阵。1、被动杆的物理参数、几何参数为随机变量，主动杆的物理参数、几何参数为确定性量a、仅有被动杆材料的质量密度为随机变量，其余参数均为确定性量由式（2-28）、（2-29）和（2-33）可知：当为随机变量时，亦为随机变量，总质量阵亦为随机变量。令： （2-34）其中为的确定量部分，即当时被动单元的质量矩阵。 将式（2-34）代入式（2-28）可得： (2-35) 将式（2-35）代入式（2-33）可得： (2-36) 若各被动单元材料均相同，有=，=，则式（2-35）可化为： (2-37)从而式（2-36）可表为： (2-38)式（2-38）可进一步表为： += (2-39)其中为的确定性部分。从式（2-37）和（2-39）可以看出：单元质量矩阵和结构总质量矩阵的随机性仅取决于被动单元材料质量密度的随机性。b、仅有被动杆的杆横截面积为随机变量，其余参数均为确定性量分析方法同上。当为随机变量时，为随机变量，总质量阵亦为随机变量。令： （2-40）其中为时被动单元的质量矩阵。 将式（2-40）代入式（2-33）可得： (2-41)若各被动单元杆截面积的变异系数相同，有，则上式可化为：+= (2-42)c、仅有被动杆的杆长为随机变量，其余参数均为确定性量分析方法同上，令： （2-43）其中为时被动单元的质量矩阵。 将式（2-43）代入式（2-33）可得： (2-44)若各被动单元杆截面积的变异系数相同，即有，则式（2-44）可化为：+= (2-45)d、被动杆的杆长质量密度、杆横截面积、杆长均为随机变量分析方法同上。令： （2-46）将随机变量和（其中）之间处理成完全正相关的。其中：为、时被动单元的质量矩阵。 将式（2-46）代入式（2-33）可得： (2-47)若各被动杆单元所有参数随机变量的变异系数相同，即有：=、，则式（2-47）可化为：+= (2-48)从式（2-48）可以看出：单元质量矩阵和结构总质量矩阵的随机性同时取决于被动单元材料的质量密度、杆横截面积和杆长的随机性。2、被动杆的物理参数、几何参数为确定性量，主动杆的物理参数、几何参数为随机变量设主动杆的质量密度、杆横截面积、杆长均为随机变量，分析方法同上。令： （2-49）其中为的确定量部分，则当、时被动单元的质量矩阵。 将式（2-49）代入式（2-33）可得： (2-50)若各主动杆单元所有参数随机变量的变异系数分别相同，即有：=、，则式（2-50）可化为：+= (2-51)其中为的确定性部分。从式（2-51）可以看出：此时单元质量矩阵与结构总质量矩阵的随机性同时取决于主动单元材料的质量密度、杆横截面积和杆长的随机性。3、主动杆单元、被动杆单元的物理参数、几何参数均为随机变量设被动杆的杆长质量密度、杆横截面积、杆长和主动杆的质量密度、杆横截面积、杆长均为随机变量，分析过程同上。即可得结构的单元质量矩阵和总质量矩阵分别为： (2-52) (2-53) 若各被动单元的质量密度、杆横截面积、杆长的变异系数均相同，各主动单元的质量密度、杆横截面积、杆长的变异系数亦各自相同，则式（2-52）可表为： (2-54)从而式（2-53）表为： (2-55)从式（2-54）和（2-55）可以看出：在此种情况下，单元质量矩阵和结构总质量矩阵的随机性不仅取决于被动单元的质量密度、杆横截面积、杆长的随机性，而且取决于主动单元材料的质量密度、杆横截面积和杆长的随机性。若各主、被动单元材料质量密度、杆横截面积、杆长的变异系数均相同，即有：、，且这些随机因子的均值均等于1，则式（2-55）可表为： (2-56)令： (2-57)则式（2-57）可以进一步化为： (2-58)2.3.2 随机智能结构的刚度矩阵由式(2-30)可得，任一混合单元e在整体坐标系下的刚度矩阵还可表为： (2-59)令： (2-60)其中可理解为主动杆单元的广义弹性模量,则式(2-59)可进一步表为: (2-61)对所有单元的刚度矩阵进行组集，则可得结构的总刚度矩阵为： (2-62)接下来推导被动杆的物理参数(弹性模量、质量密度)、几何参数（杆长、杆横截面积）和主动杆的物理参数(弹性模量、质量密度、介电系数、等效压电系数)、几何参数（杆长、杆横截面积）和同时为随机变量的三种情况下，总体坐标下单元的刚度矩阵和结构的总刚度矩阵。首先讨论主动杆单元的广义弹性模量的随机性。由式（2-60）知，主动杆单元的广义弹性模量的随机性同时取决于主动杆的弹性模量、介电系数、等效压电系数的随机性。若考虑、同时为随机变量，从式（2-60）出发，用求解随机变量函数的数字特征的矩法，可求得随机变量的均值（确定性量部分）、均方差和变异系数分别为： (2-63) (2-64) (2-65)其中符号表示两个随机变量的相关系数。 随机变量也可以表达成一个随机因子与其确定量部分的乘积，即：，其中的均值等于1，它的变异系数等于；等于。1、被动杆的物理参数、几何参数为随机变量，主动杆的物理参数、几何参数为确定性量a、仅有被动杆材料的弹性模量为随机变量，其余参数均为确定性量由式（2-61）、（2-62）可得：当为随机变量时，亦为随机变量，总刚度矩阵亦为随机变量。令： (2-66)其中为的确定量部分，即当时被动单元的刚度矩阵。 从而式（2-30）可以表为： (2-67) 将式（2-67）代入式（2-62）可得： (2-68) 若各被动单元材料均相同，即有=、=，则式（2-67）可化为： (2-69)式（2-68）可表示为： (2-70)式（2-70）还可以表为：+= (2-71)其中为的确定性部分。从式（2-69）和（2-71）可以看出：这种情况下，单元刚度矩阵和结构总刚度矩阵的随机性仅取决于被动单元材料弹性模量的随机性。b、仅有被动杆单元的杆横截面积为随机变量，其余参数均为确定性量分析方法同上，令： (2-72)其中为当时被动单元的刚度矩阵。 从而式（2-62）可以表为： (2-73) 若各被动单元杆横截面积的变异系数相同，即有，则式（2-73）可化为：+= (2-74)c、仅有被动杆单元的为随机变量，其余参数均为确定性量分析方法同上，令： (2-75)其中为时被动单元的刚度矩阵。 从而式（2-62）可表示为： (2-76) 若各被动单元杆横截面积的变异系数均相同，即有，则式（2-76）可化为：+= (2-77)d、被动杆的弹性模量、杆横截面积、杆长均为随机变量分析方法同上，令： (2-78)其中：为、时被动单元的刚度矩阵。 从而式（2-62）可以表为： (2-79) 若各被动单元的弹性模量、杆横截面积、杆长的变异系数均相同，即有、，则式（2-79）可化为：+= (2-80)此时单元刚度矩阵和结构总刚度矩阵的随机性取决于被动单元的弹性模量、杆横截面积、杆长的随机性。2、被动杆的物理参数、几何参数为确定性量，主动杆的物理参数、几何参数为随机变量分析方法同上，当、为随机变量时，主动杆单元的广义弹性模量亦为随机变量。当、均为随机变量时，为随机变量，总刚度矩阵亦为随机变量。令： (2-81)其中为的确定量部分，即当、时被动单元的刚度矩阵。 从而式（2-30）可以表为： (2-82) 将式（2-82）代入式（2-62）可得： (2-83) 若各主动单元的广义弹性模量、杆横截面积、杆长的变异系数均相同，即有、，则式（2-82）可化为： (2-84)式（2-83）可进一步表为：+ (2-85)其中为的确定性部分。此时单元刚度矩阵和结构总刚度矩阵的随机性取决于主动单元广义弹性模量、杆横截面积、杆长的随机性。3、被动杆、主动杆的物理参数、几何参数均为随机变量 单元刚度矩阵和结构总刚度矩阵分别为： (2-86) (2-87) 若各被动单元的弹性模量、杆截面积、杆长的变异系数均相同，各主动单元的弹性模量、杆截面积、杆长的变异系数亦各自相同，则式（2-86）可化为： (2-88)从而式（2-87）变为： (2-89)此时单元刚度矩阵和结构总刚度矩阵的随机性不仅取决于被动单元弹性模量、杆横截面积、杆长的随机性，而且还取决于主动单元广义弹性模量、杆横截面积、杆长的随机性。 若各主、被动单元的弹性模量、杆截面积、杆长的变异系数都相同，即有：、，并且这些随机因子的均值均等于1，则式（2-89）可表为： (2-90)令： (2-91)则式(2-90)可进一步化为: (2-92)2.3.3 随机智能结构动力特性的数字特征 结构的动力特性包括结构的各阶固有频率和相应的固有振型，由于两者为一特征对，具有一一对应特性，即确定了每一阶固有频率，也确定了与之相对应的振型模态，显然两者是完全正相关的，这亦表明特征对的随机性将集中体现在特征值即固有频率上。因此，我们只需对结构固有频率随机变量的数字特征进行讨论。利用Rayleigh（瑞利）商，结构的各阶固有频率可表示为： (2-93)式中：为结构的第阶固有频率；为与相对应的结构的第阶固有振型；与分别为结构的总体刚度矩阵和质量矩阵。把式（2-55）和（2-89）代入式（2-93）可得： (2-94)把式（2-58）和（2-92）代入式（2-93）可得： (2-95)式中：是、时结构的第阶主刚度；是、时结构的第阶主质量，两者之比即为第阶固有频率。由于、均为确定性量，故亦为确定性量，于是式（2-95）可表示为： (2-96) 由上式可知：当结构主、被动单元杆的物理参数、几何参数均为随机变量时，结构的固有频率亦为随机变量。据（2-96），利用求解随机变量数字特征的代数综合法，可推得结构第阶固有频率的均值和方差分别为： (2-97) (2-98) (2-99)由式（2-99）推得结构第阶固有频率的均方差为： (2-100)由式（2-97）和式（2-100）可以求得结构第阶固有频率的变异系数为： (2-101)其中：为随机变量与的相关系数；符号为随机变量的变异系数；随机因子的均值均等于1。 若随机变量E与相互独立，则有=0；若随机变量E与完全相关，则有=1，这是两种极端情况。对常用金属材料和压电材料的直观观察，可以认为弹性模量与质量密度多为正相关，且相关程度较高，故实际中建议取值为0.50.9。由式（2-97）、（2-100）和（2-101）可见，结构各阶固有频率随机变量的变异系数均相同，即，且与振型阶数无关。2.4 小结考根据机电耦合效应,建立智能桁架结构的动力学有限元方程,基于随机因子法建立随机智能桁架结构的动力特性分析模型。这是一个具有普遍适用性的动力学分析模型，只需将此模型结构中所有单元均作为被动单