第16讲导数的应用——导数与函数的极值、最值（教师版）.docx

第16讲导数的应用一一导数与函数的极值.最值思维导图考向1：根据函数图象判断函数极但题型1:利用导致解决函数的恢值问题考向2:已知的数求极值或极值£导数的应用导数与函数的极值、最值一向3:巳知困数极值点或极值求钥即迪或检围-题里2:利用导数数由数的的值迤型3:利用5数求解函数极值和最值的综合问题常见误区混淆极值与极值点的概念致误Y连续函数在区间(a,b)上不一定存在IB值知识梳理1 .函数的极值(1)函数的极小值：函数y=Ar)在点X=a的函数值贝4)比它在点X=附近其他点的函数值都小，/(a)=0;而且在点x=a附近的左侧/(x)V0,右侧/(x)>0,则点。叫做函数y=U)的极小值点，/。)叫做函数y=U)的极小值.(2)函数的极大值：函数y=T在点x=b的函数值大切比它在点X=b附近其他点的函数值都大，/(/>)=0：而且在点x=b附近的左侧/(x)>0,右侧/(x)V0,则点匕叫做函数y=U)的极大值点，犬A)叫做函数y=U)的极大值.2 .函数的最值(1)在闭区间,加上连续的函数Ar)在,6上必有最大值与最小值.(2)若函数外)在加上单调递增，则加)为函数的最小值，加)为函数的最大值；若函数外)在小加上单调递减，则火。)为函数的最大值，大份为函数的最小值.题型归纳题型1利用导数解决函数的极值问题一根据函数图象判断函数极值m1-1(2020春宜宾期末)如图是函数y=f()的导函数y=r)的图象,则函数)，=/(幻的极大值点的个数为()【分析】通过读图得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案.【解答】解：由图象知在(YoM),s,)上r*)>o,所以此时函数/(X)在(TOM),(上收)上单调递增，在3向上，,(x)<0,此时F(X)在(,b)上单调递减，所以x=时，函数取得极大值，x=b时，函数取得极小值.则函数y=/a)的极大值点的个数为1.【例1-2】(2019秋未央区校级期末)函数),='(x)的图象如图所示，则关于函数y=(x)的说法正确的是()A.函数y=(x)有3个极值点B.函数y=f(x)在区间(-coT)上是增加的C.函数y=(x)在区间(-2,)上是增加的D.当X=O时，函数y=(x)取得极大值【分析】结合导数与函数单调性的关系可知，r>o,函数单调递增，r)<o,函数单调递减，结合图象即可判断函数的单调区间及极值.【解答】解：结合小数9函数单调性的关系可知，当X<-5时，V)>0函数单调递增，当-5<xv-2时，x)<0,函数单调递减，当x>-2时，(x)>O,函数单调递增，故当=-5时，函数取得极大值，当X=-2时，函数取得极小值故选：C.【跟踪训练1-1】(2019秋临渭区期末)已知函数/(幻的导函数/'")的图象如图所示，则关于/(x)的结论正确的是()A.在区间(-2,2)上为减函数B.在X=-2处取得极小值C.在区间(YO,-2),(2,”)上为增函数D.在X=O处取得极大值【分析】结合图象求出函数的单调区间和极值点即可.【解答】解：由图象得：/(力在(-00,-2)递减，在(一2,2)递增，在(2,”)递减,故/*)在x=-2取极小值，在x=2取极大值，故选：B.【跟踪训练1-2】(2019秋咸阳期末)已知函数/Cr)的导函数尸(幻的图象如图，则下列叙述正确的是()A.函数f(x)在(Yo,T)上单调递减B.函数人为在X=T处取得极大值C.函数/(x)在x=-4处取得极值D.函数/(x)只有一个极值点【分析】利用导数的定义和导数的集合意义，通过数形结合法可判断函数的单调性和极值可得答案;【解答】解：由己知函数/*)的导函数r(x)的图象可知，V；2»-1O/'(x)>0在区间(Yo,-4),(-4,-2),f,(x)=0在x=-4,/'(x)v0在区间(-2,+)»根据导函数的定义和集合意义，导函数大于。时，原函数单调递增，导函数小于0时，原函数单调递减，导函数等于0时是原函数的拐点位置，可能为原函数取极值处，通过函数单调性函数取极值的左右两侧区间原函数的图象单调性相反判断可得：A、x(-,-4),fx)>0»所以函数/(x)在(-oo,-4)上单调递减错误；B、%(-4,-2),(x)>0,X(-2,-x>),f,(x)<O,函数f(x)在X=T处取得极大值错误；C、x(o,T),V)>0,x=T,(x)=0,x(T,-2),(x)>0,函数在X=T处取得极值错误；DXX(-4,-2),fx)>O»x(-2,+),fx)<O»函数/(x)只有一个极值点工=一2正确；故选：O.【名师指导】由图象判断函数y=Kr)的极值，要抓住两点：(1)由y=(x)的图象与X轴的交点，可得函数y=(x)的可能极值点；由导函数y=(x)的图象可以看出y=(x)的值的正负，从而可得函数)，=AX)的单调性.两者结合可得极值点.题型2利用导数解决函数的极值问题已知函数求极值或极值点【例2-1】(2020春顺义区期末)已知函数"r)=gY-4x,则/(幻的极大值点为()A.X=4B.x=4C.X=-2D.x=2【分析】求出函数/*)=gd-4x的导函数，由导函数等于O求得导函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.【解答】解：由/(x)=gX3-4x,得：f,(x)=x2-4.由r0)=2-4>0,得：x<-2,或x>2由r)=2-4<0,得：-2<x<2.所以，函数/(x)的增区间为(-00,-2),(2,40).函数f(x)的减区间为(-2,2).所以，x=-2是函数的极大值点，x=2是函数的极小值点.故选：C.【例2-2】(2020春海淀区校级期末)函数y=xsinx+8sx的一个极小值点为()A乃D乃CC3A.X=B.%=C.x=D.X=222【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调性，从而求出函数的极小值点.【解答】解：y=F(X)=XSinX+cosx,fx)=SinX+XcosX-SinX=xcosx，令/'(x)=0,解得X=O或X=I+4乃,keZ.当/'(x)>。时，一九+2k乃<xv鼻+2k加，或2k<X<%+2k冗，keZ»函数/(x)单调递增,当/'(x)v时，一;+2k兀<x<2k兀，或+2A4<x<乃+2k乃，keZ»函数/(x)单调递减，当)=0时,f(%)在(Tr,-马，(0,乙)上单调递增,在(2，0)>(>乃)上单调递减,2222当A=I时，/(x)在(凡包)，(24,2)上单调递增，¢(-,2)f(,3外上单调递减，2222函数函数y=xsinx+cosx的一个极小值点为，故选：C.【跟踪训练2-1】(2020春乐山期中)函数/(x)=V-3X的极小值是()A.4B.2C.-4D.-2【分析】求导，分析/“)单调性，可得极小值.【解答】解：函数定义域：R.(x)=3x2-3,令T(X)=O,得X=T或1,在(o,T),(l,+oo)±,(x)>0,/(x)单调递增，在(-1,1)上，,(x)<0,/(x)单调递减，所以/(X)极小但=/(I)=l3-3×l=-2,故选：D.【跟踪训练22】(2020春龙岩期末)函数/(x)=gx3-4x+4的极大值为.【分析】求导数便可得出r(x)=V-4,容易看出=±2为方程/(X)=O的解，从而可判断导函数的符号,进而得出该函数的极大值点.【解答】解:,(x)=x2-4;XV-2时，f,(x)>0»-2vx<2时，f,(x)<0»x>2时，f,(x)>0：.”=一2是/(x)的极大值点.函数的极大值为：/(-2)=×(-8)+8+4=y.故答案为：”.3【名师指导】求函数的极值或极值点的步臊(1)求导数/(x),不要忘记函数段)的定义域；(2)求方程/(x)=0的根：(3)检查在方程的根的左右两侧/(x)的符号，确定极值点或函数的极值.题型3利用导数解决函数的极值问题已知函数的极值点或极值求参数的值或范围【例31】(2020春赤峰期末)若函数f(x)=四'-工存在极值点，则实数。的取值范围是()A.(0,-hx>)B.O,÷)C.(o,0)D.(Y),0【分析】先求导数，根据题意/'(x)=0在(Yo,+)上有根，得到y="与y='在(YO,+)有交点，进而得ex出答案.【解答】解：根据题意得r*)=T在(Y0,”)上有零点，所以"-1=0在(-oo,k)上有根，即=1在(-co,+oo)上有根，即y=y=(>,+co)有交点，e因为y='(0,+)且单调，所以>0,故选：A.【例32】(2020春荆州期末)若当x>0时，函数/5)=2-+犹2有两个极值点，则实数小的取值范围是()A.(,+oo)B.(0,)C.(0,2e)D.(2e,+oo)22【分析】求导得r(x),根据题意可得r*)=o在(o,y)上有两个根，从而得到帆=在(0,”)上有两个2x根，设g(x)=Ca>o),求导数判断g*)的单调性，求出g(x)的最小值，进而得出答案.2x【解答】解：f,W=-ex+2Lr(X>0),根据题意，可得ra)=o在(0,”)上两个根，即-F+2Ir=O在(0,-bx>)上有两个根，即m=C在(0,”)上有两个根，2x:/、e"/八、r,l，,、2xet-2ex(x-l)e'设g(x)=丁。>0)，则g。)=c；，在(0,1)上g<x)v,g(x)单调递减，在(l,+oo)上g(x)>O,g(x)单调递增，所以g(x)*=g(1)=|»所以>故选：A.【跟踪训练31】(2020春潍坊期末)已知X=加时，函数/(x)=V一2x取得极大值，则机=()A.-4B.-2C.4D.2【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值点即可.【解答】解：/(x)=-12x,f,(x)=3x2-2=3(x+2)(x-2),令T(x)>O,解得：x>2tx<-2,令r(x)vO，解得：-2vxv2,故/*)在(-oo,-2)递增，在(-2,2)递减，在(2,h)递增，故X=-2时，f(x)取极大值，则?=一2,故选：B.【跟踪训练3-2】(2020春南阳期末)已知函数/(x)=M柩-")有且仅有一个极值点，则实数。的取值范围是.【分析】根据题意可得r(x)=/心-2"+l=0只有个解=>24=也担只有个解=>y=2与Xy=g(x)=""+I只有.个交点，求导数g'(x),分析单调性，及当JVfO时，g(x)Y0;当Xo时，Xg*)->0,画出函数g(x)的草图，及可得。的取值范围，再检验是否符合题意，即可得出答案.【解答】解：因为函数f(x)=x(nr-Q有且仅有一个极值点，所以,(x)=lnx-ax+x(-a)=InX-lax+1=0只有一个解，X即2=以上1,只有一个解，X即y=%与y=g()=处里只有一个交点，X因为厂当x(0,1)时，g(r)>O,函数g(x)单调递增，当x(l,*o)时，g<x)v,函数g(x)单调递减，所以g(x)2=g(I)=1，当x->0时，g(x)o;当Xf+时，g(x)O,画出函数g(x)的草图如下:结合图象可得2=l或%,0,当=时，f(x)=Xbix-X2,2八2所以八力=1+济r-,令(x)=1÷Inx-X»所以(X)=J-1,X所以力(X)在(0,1)上单调递增，在(LyC)上单调递减，所以(X)J,力(1)=0，所以f,(x)=1+/d-j,0恒成立，所以/(%)在(0,+oo)上单调递减，所以函数/(X)没有极值点.所以实数。的取值范围是(-co,0.【跟踪训练3-3】(2020临川区校级一模)己知函数/(x)=M犹+me'(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数用的取值范围是.【分析】fx=xlnX+tnex(x>0),/.f)=Inx+mex(x>0),由函数/(x)有两个极值点可得y=wuv1和g(x)=2tl在(0,”)上有两个交点，g,(x)=(x>0),令h(x)='-MX-1,利用导数研究其exeX单调性即可得出.【解答】解：f(x)=xlnx+mex(x>0),/.f,(x)=Inx+mex(x>0),由函数/*)有两个极值点可得y=w和g")=以Wi在(0,÷)上有两个交点，e1,.Inx-11,(x)=-(x>0),令力(X)=InX-V,exX则h,(x)=：-<O»XX.Zz(X)在(0,+00)上单调递减且(1)=0,.当x(0,1时，(x).O,即g<x).O,g(x)在(0,1上单调递增，g(戏,g(1)=-,e当x(l,+)时，Mr)<0,即g")v,g(x)在(l,y)上单调递减.故g(x)i=g=-»e而当x0时，g(x)-oo,当X->+8时，g(x)O;若y=n和g(幻的图象在(0,+oo)上有两个交点，只需0<_m<，故</<().ee故答案为：(»0).e【名师指导】已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为。和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.题型4利用导数求函数的最值【例4-1】(2020春克什克腾旗校级月考)(文科普班)已知/(冷=-水-1,若=l,求函数/(x)的最小值.【分析】代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可.【解答】解：=l时，f(x)=ex-x-,f,(x)=ex-t令r)>o,解得：>o,令ra)<o,解得：<o,故/(X)在(yo,0)递减，在(0,÷x)递增，故/(x)*="0)=0【例42】(2020春徐州期中)已知函数f(x)=Wx(1)求函数/(用的单调区间；(2)求函数/(幻在-2,1上的最大值和最小值.【分析】(1)先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数/(x)的单调区间；(2)先求出函数f(x)在区间-2,1上的单调性，从而求出函数的最值问题.【解答】解：(1)f,M=(x),.ex+x.(ex),=ex(x+),令r)>o,解得：Tvx,令r(x)v,解得：xvl；.函数/(X)的增区间：(T+),减区间：(YO,-1)：(2)由(1)得：f(x)在一2,-1)递减，在(一1,1递增，12/(%)最小位=/(力极小假=/(一1)=_>/(一2)二-7，f(1)=¢/()½ffi=f=e.【跟踪训I练4-1(2020春十堰期末)函数/(X)=#-4x+在0,3上的最大值为2,则的值为()A.-B.2C.5D.33【分析】求出函数的导数不等式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的方程，解出即可.【解答】解：(x)=x2-4.令r)>o,解得：>2,令ra)<o,解得：q,%<2,故/(%)在0,2)递减，在(2,3递增，故/(X)的最大值是/(O)或/(3),而/(0)=>/(3)=a-3,故/(O)=2,故选：B.【跟踪训练4-2】(2020春内江期末)函数/(x)=t+cosx在0,句上的()A.最小值为0,最大值为工B.最小值为0,最大值为工+122C.最小值为1,最大值为工D.最小值为1,最大值为4-12【分析】求出原函数的导函数，可得r(x).0在0，幻上恒成立，可得/(x)=X+cosx在0,乃上的单调递增，则最值可求.【解答】解：由/(x)=X+cosx,得/z(x)=l-sinx.0*，函数F(X)=X+cos尤在0,上的单调递增，则/(力”血=/(°)=。+cos。=1;/(x)zfltit=fM=+cosr=7r-l.函数/(x)=x+cos4在O,4上的最小值为1,最大值为万-1故选：D.【跟踪训练4-3】(2020春沐阳县期中)已知函数-a?,且U(I)=3.(1)求的值；(2)求函数/(x)在区间0,3上的最大值.【分析】(1)求出函数的导数，利用:(1)=3,求解即可.(2)结合(1)化简函数的解析式，求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最大值即可.【解答】解：(I)/(x)=x3-可得r()=3f-20r,因为f'(1)=3,得3-2a=3,解得=0(2)由(1)得/(x)=x3,因为r(x)=3d.0,所以f(x)=d在0,3上单调递增，最大值为/(3)=27.【名师指导】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(I)求函数的导数/CO；(2)求於)在给定区间上的单调性和极值；(3)求兀O在给定区间上的端点值：(4)将氏0的各极值与兀r)的端点值进行比较，确定7U)的最大值与最小值：(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.题型5利用导数求解函数极值和最值的综合问题【例5-1】(2020春朝阳区期末)已知函数/(x)=V-2+2+4,”及(I)若=0,求证：当xl,+oo)时，/(x).X恒成立；(II)当=l时，求F(X)在区间0,2上的最大值和最小值；(In)若函数F(X)存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4,求”的取值范围.【分析】(1)当=0时，/(x)=x3.设g(x)=-x,通过函数的导数判断函数的单调性，然后推出结果.（三）当=l时，/(x)=-22+x+1.利用函数的导数求出极值点，判断函数的单调性求解函数的极值以及最值即可.(Ill)f(x)=x3-2ax2+a2x+a,求解函数的导数，通过。的范围，判断函数的极值以及函数的单调性，求出的范围.【解答】解：(I)证明：当=0时，/(x)=x3.设g(x)=7,则g'(%)=32-l因为xl,o),所以g'(x)>O所以g()在1,+)上单调递增,所以g(x).g(1)=O.所以当X£口，+00)时，f(x).x恒成立.(II)当=1时，/(x)=-2x2+x+l.所以fx)-3xi-4x+l=(3x-l)(x-l).令<)=(3X-I)(X-I)=O得X=；或=l.当X在0,2上变化时，fx),/3的变化情况如下表:XO吗)3(I)1(12)2f,()+O-O+/(X)1Z极大值卫27极小值1Z3所以，当x0,2时，函数/(力的最大值为/(2)=3,函数f(x)的最小值为/(O)=/(1)=1.(III)因为/(x)=x3-2d2+,所以f,(x)=3x2-4av+a2=(3x-a)(x-a).令fx)=(3x-a)(x-)=0得X=I或x=.依题意，函数/*)存在极大值和极小值，所以0(i)当>0时，«>|.当X变化时，f,(x),/(x)的变化情况如下表:X(-喈)a3(1")a3,+00)f,(x)+OO+/(X)Z极大值极小值Z所以函数/(x)的极大值为吗)=等+,极小值为f(a)=.依题意奇f()f(«)=-+«0,4»所以4,3.327所以(0,3.(ii)当v时，a<.当“变化时，f,(x),/*)的变化情况如下表:XSm)a(a3(4,H)f,()+O一O+/()Z极大值极小值Z所以函数/的极大值为，(a)=,极小值为港)=今+.依题意有f(a)-/(|)=。-嗡+。)，4,所以a.3.所以-3,0).综上所述，-3,O)D(0,3.【跟踪训练5-1】(2020春贵池区校级期中)己知幻=/+以2+,0gR.(1)若F(X)在X=I处取极值，求f(x)在点(-,l)处切线方程；(2)若函数/(%)在区间0,1最小值为-1,求.【分析】(1)求出导函数，结合在X=1处取极值，导函数为0,求解"，然后求解切线的斜率，求解切线方程.(2)(x)=O,求出极值点，若.0,若-3,若0>>-3,判断导函数的符号判断函数的单调性22求解函数的极值与最值，然后推出结果.【解答】解：(I),f,(x)=3x(x+-a)又/(x)在x=§处取极值，./'(：)=O,得=T,且检验满足题意.(x)=x3-x2+l,切点为(1,1),切线斜率为K=/'(1)=1,./*)在点(1,1)的切线方程为y=X.(2)ff(x)=3x(x+),令广。)=0,得X=O或一等，若a.0,则XW(0,1)时('(x)>0,/3在0,1为增函数，止匕时/(X)的=/(0)=1>一1舍去，若4,一楙，则此时Xe(0,1)时，,()<0,/(x)在0,1为减函数，fMminf(1)=2+a=-l»得=-3w(-co,-*满足题意；322若0>>-一»则0<-<l,此时x(0,-一)时，f'M<O,233x(-y,l)i,/'(x)>0,/(x)在(0,-争是减函数，/*)在(-孕D上是增函数，此时F(X)的=/(-y)=今+1=7,解得=-后史(一,0)舍去，综合以上得=-3.【名师指导】解决函数极值、最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论.(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.