北京景山学校远洋分校2023年1月期末综合检测答案.docx

北京景山学校远洋分校2023年1月期末综合检测高三数学答案2023.1本试卷共6页，150分,考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。若集合A=x+a2<0,8=xxvT或x>3,则AF=（八）x-2<x<-l(B)x-2<x<3)(C)x-l<x<l)(D)xl<<3)【答案】A(2)若复数Z满足(1-i)z=i,则复数Z的共粗复数对应的点位于（八）第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】C(3)在盒子里里5个球中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为I - 6JXA3-10B1 - 2XBZ3 - 4JZ【答案】D(4)已知角。的终边经过点P(3,4),则cOS2二247724（八）(B)-(C)(D)25252525【答案】B(5)设a均为单位向量，则“-3b=3+引”是itaLbn的（八）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C(6)已知函数/(x)=e'+e7过原点，下列函数中，与/(力的奇偶性相同且在。+)上有相同单调性的是（八）y=x2(B)y=Igx(C)y=tanX(D)y=xx【答案】D(7)已知双曲线4-£=1过抛物线V=8%的焦点，虚轴过圆f+J=1与坐标轴的交点，a-b-则此双曲线的渐近线方程为（八）y=±2x(B)y=±-x4(C)y=±2x(D)y=±-x【答案】D(8)植物研究者在研究某种植物15年内的植株高度时,将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在15年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是()(A) y=kax+b(k>O,a>O,1)(B) y=klogflx+h(k>0,a>0,1)(C) y=-+b(k>0)X(D) y=ax2+bx+c(a>0)【答案】B(9)正方体A8CO-44GA棱长为2,E是棱AG的中点，S是正方形ABCr)及其内部的点构成的集合.设集合=PsPA<4E,则集合公丁表示的区域面积是(B)（八）4-4(C) (D)2【答案】A(IO)设A(0,0),8(4,0),C(r+4,4),O(f,4)(fR).记Mf)为平行四边形内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数Mr)的值域为（八）9,10,11(B)9,10,12(C)9,11,12(D)10,11,12)【答案】C第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)在(2d-1)S的展开式中，/的系数为.(用数字作答)【答案】-O【解析】由二项式定理的通项公式得：7；+1=C,52s-r(-l)rxl02r=>10-2r=4=>r=3(12)设“是等差数列，且q=3,w+%=36,则*的通项公式为.【答案】an=6n-3(13)函数y=半的定义域是；最小值是一.v【答案】(0,go);4(14)曲线上+ay?=1上存在四个点a,8,CO满足四边形ABcC)是正方形，则实数。的4取值范围是.【答案】(士丑)4(15)已知数列”的各项均为正数，61=2,all的前项和S“满足=°3+an+xSw(=1,2,3,).给出下列四个结论：”的第2项小于1；(£为常数列：册为递增数列；册中存在小于一的项.1OO其中所有正确结论的序号是.【答案】详解：(1)q=2且ansn=碌I+4+1I令=1，才=域十Way=2:.a2=>5-l1.236所以不成立；(2)。凡=+/+ISn=an+l(an+x+Sn)=anSn+i.£为常数列所以成立；(3)a£=+1+盘+|S,且4>0/.(a,+1-an)S=一*|V0.4+1<an%为递减数列所以不成立；(4) Sz为常数列；.二4假设对N",都有小2看，.e.SQQ000100000X=1000.1004<411“0000°5100000l-250<100.与假设矛盾所以成立；三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题13分)在AABC中，=7,6=8,CoS8=.7(II)求AC边上的高.解：(1)在AABC中，因为cosB=，7所以SinB=y-cos2B=生叵.7由止弦定理得SinA=竺*=立.b2由题设知二</5<兀，所以0<NA<E.22所以NA=工.3(II)在AABC中，因为SinC=Sin(4+8)=sinAcosB+cosAsinB33=914所以AC边上的高为sinC=7x3叵=空.142(17)(本小题13分)如图，在四棱锥P-A8Cr>中，AD/BC,ABLAD,PA=PD,ABlPAf4)=2,AB=BC=1.E是棱PD上一点,CE平面(I)求证：E为PD的中点;（三）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥P-ABS的体积.条件：点O到平面BAB的距离为;条件：直线Z)C与平面Rm所成的角为2.6注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.解：(I)过点E作)7/4)交RA于点尸，连接斯，EF.又因为BC/AD,所以BC/EF.所以aCE,/四点共面.又因为CE/平面PAB,平面BeE尸1平面PAB=BF所以CEBF所以四边形BCEF是平行四边形又因为BC=-AD,所以M=LAz)22因为E为产力的中点，所以EF=LAO,2又因为BC/AD,BC=-AD2所以E为PD的中点.(11)过P作PO_LADrO,连接OC因为又因为AB.LPA,所以ABJ_平面皿>.所以平面RV)J_平面ABCr>.因为PA=PD,所以O为4)中点，又因为平面RU)J_平面ABCD,所以PO_£平面ABCO.P0±OC如图建立空间直角坐标系o-W.设Po=4.由题意得，A(OJO),B(l,l,0),C(LO,0),D(O,-1,0),P(0,0,).所以标=(1,0,0),X=(O,l,一),AO=(0,2,0).俨设平面P8的法向量为=(x,y,z),则4nAB=O,(x=O,>y-az=O.nPA=O,i令z=l,则y=所以"=(0,l)选择条件因为O到平面小8的距离为2,所以d=MAO=学二企,lll2解得«=1.所以四棱锥尸一ABeD的体积VA86=gxSA8c>xPO=gx号xlxl=g.选择条件因为直线DC与平面PAB所成的角为2,6所以Icos(w,DC)I=|W，DC|=1IalL=Sin-=wDCI应62解得£7=1.所以四棱锥尸一ABeD的体积/8=/xSA8CDxPO=gx号XIXI=；(18)(本小题13分)在测试中，客观题难度的计算公式为2=%,其中4为第i题的难度，Rj为答对该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度40.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下:题号12345实测答对人数161614144(I)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数;(II)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X,求X的分布列和数学期望；(HI)定义统计量S=L(K-6)2+(?；-鼻产+(片-)2,其中邛为第，题的实测n难度，？为第i题的预估难度(i=1,2,).规定：若Sv0.05,则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.解：(1)因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为士=0.2.20所以，fi-24O人中有240×0.2=48人实测答对第5题.(IDX的可能取值是0,1,2.C2 1?P(X=O) = 4L = *19P(X = I)仁心二32Go 95 'C2 3P(X = 2) = - = - 95X的分布列为:X012P12193295395EX=0×F1×F2×=19959595(III)5=(0.8-0.9)2+(0.8-0.8)2+(0.7-0.7)2+(0.7-0.6)2+(0.2-0.4)2=0.012.因为S=0.012<0.05,所以，该次测试的难度预估是合理的.(19)(本小题15分)已知椭圆C:4+4=l(a>b>0)的离心率为立，以椭圆C的任意三个顶点为顶点的a2h2三角形的面积是2.(I)求椭圆C的方程；（三）设。为原点，A为椭圆的左顶点，M,N是椭圆C上不同于点A的两点，且直线AM,AN的斜率之积等于.求aAOM与AAMN的面积比值.4ab=2,f=?解：由已知有、后方_5解得仁J椭圆C的方程为+/=4(II)若直线MN斜率存在，设直线MN方程为y="+.得(l + 4d)2 +8te + 4-4 = 0.y=kx+ni由小消去y,-+y=L4当>(),设Ma,y),N(孙为)，则 xl +x2 =8h1 + 42,4-41 + 4严由G/=已言=T以及R=S+，y2=kx2+n整理，得(1+42)x1x2+(4nk-2)(x1÷x2)+(4+42)=0.将，代入上式，整理，得2+25=0,解得=O或=-2h当=O时，直线y=x+过(0,0);当=-2k时，直线y=去+过(2,0)(舍).若直线MN斜率不存在，则直线AM,AN斜率互为相反数.不妨设左Zw于是直线4M:y=-g(x-2)与椭圆交于M(0,1),由对称性可知直线4V与椭圆交于N(0,T).所以直线MN也过(0,0).,所以。为MN中点所以AAOM与/XAMN的面积比值为J2(20)(本小题15分)已知函数f(x)=X2In%-2x.(I)求曲线y=(x)在点(IJ)处的切线方程；（三）求证：存在唯一的w(l,2),使得曲线y=f(x)在点(与J(0)处的切线的斜率为/(2)-(l);(III)比较/(1.01)与-201的大小，并加以证明.解：(1)函数f(%)=Winx-2x的定义域是(0,o),导函数为,(x)=2xlnx+x-2.所以八I)=T,又/(1)=一2,所以曲线y=(x)在点(1,7(1)处的切线方程为y=-x-l.(II)由已知“2)-/(l)=41n2-2.所以只需证明方程2xlnx+x-2=41n2-2在区间(1,2)有唯懈.即方程2xlnx+x-4ln2=O在区间(1,2)有唯懈.设函数g(x)=2xlnx+x-41n2,则g'(x)=21nx+3.当x(l,2)时，(x)>0,故g(x)在区间(1,2)单调递增.又g=l_4ln2<0,g(2)=2>0,所以存在唯一的瓦(1,2),使得g(%)=O综上，存在唯一的与w(l,2),使得曲线y=(x)在点(XoJ(%)处的切线的斜率为f-AD.(111) /(1.01)>-2.01.证明如下：首先证明：当x>l时，/(x)>-x-l.设力(X)=/(x)-(-%-1)=X2InX-X+1,则hx)=x+2xnx-.当x>l时，x-1>0»2xlnx>0>所以I(X)>0,故(x)在(L+×>)单调递增,所以X>1时，有h(x)>(l)=0，即当人>1时，有/(x)>-l.所以/(1.01)>-1.01-1=-2.01.(21)(本小题15分)数字1,2,3,(22)的任意一个排列记作(q，w，%)，设S.为所有这样的排列构成的集合.集合4=(q,%,%)WS"任意整数i,j,livj,都有q-i勺一/；集合Bn=(a1,02,%)WSnl任意整数i,j,liv,都有q+i%+j(I)用列举法表示集合4，层；（三）求集合41纥的元素个数;(In)记集合纥的元素个数为4.证明：数列也”是等比数列.3分解：(I)4=(1,2,3),83=(123),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1).(11)考虑集合4中的元素(卬叼吗，%)由己知，对任意整数i,j,lWi</W，都有q-iW%-/,所以(ai-i)+i<(aj-j)+jt所以aj<aj.由i,J的任意性可知，(,外,%，,%)是123,的单调递增排列，所以4=(1,2,3,5分又因为当以=k(ZN*,lA)时，对任意整数iJlivW",都有ai+iaj+j.所以(1,2,3,)纥，所以As纥.7分所以集合4纥的元素个数为1.8分(III)由（三）知I,0.因为与=(1,2),(2,1),所以丁=2.当23时，考虑纥中的元素31,丹,%,4).(1)假设4=(1由己知，ak+ajt+l+(+l),所以W+12%.+A(女+1)=1,又因为jt+1w1,所以/+=1.依此类推，若="，则/+=一1,ak+2=n-2,a“=k.若4=1,则满足条件的1,2,3,的排列(q,%，M”)有1个若Z=2,则w=，a3=n-fa4=n-2t,an=2.所以1=1.此时满足条件的1,2,3,的排列(,%的，%)有1个.若2vZVk,只要(q,%4)是123,次-1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,的一个满足条件的排列.此时，满足条件的1,2,3,的排列(如七,%,%)有4_个.10分(2)假设/=，只需3,w,%,%)是1,2,3,-1的满足条件的排列,此时满足条件的1,2,3,的排列(a19a2,a3,fan)有bn,l个.综上4=1+1+4+63+3.因为4=1+1+%=4=2b2,且当24时，=(1+1+÷+-2)+-1=¾-j12分所以对任意N",力3,都有人=2.13 分所以d成等比数歹J.1免费增值服务介绍，V学科网(https:WWWV网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。V组卷网(https:ZLljU)是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选翘、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源回复"ppt"免费领180套PPT模板回复"天天领券”来抢免费下载券