专题01平面向量的概念与运算.docx

专题Ol平面向量的概念与运算学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .已知向量。力满足IaI=IJbI=0,|a2切=3,则°$=()A.-2B.-1C.1D.22 .已知向量4,b,c满足同=W=I,4=0且+b+e=O,则COS一4一C=()4224A.B.C.-D.-5555二、填空题3 .3知向量d,"满足,叫=后，,+可=忸叫,则W=.4 .已知向量+b+c=O,W=I,W=R二2，ab+bc+ca=5 .设向量,Z?的夹角的余弦值为g,且卜卜1,代=3,贝lj(2+,b=.三、单选题6 .已知。、b、e是平面向量，e是单位向量.若非零向量与e的夹角为?，向量6满足从一4e仍+3=0,则卜-4的最小值是A.3-lB.3+lC.2D.2-37 .在-ABC中，点P满足28>=QC,过点P的直线与48,AC所在的直线分别交于点M,Nt若AM=X45，A2V=AC(x>0,y>0),则2x+y的最小值为()A.3B.3拒C.1D.g8 .如图，48分别是射线OM、ON上的点，给出下列以。为起点的向量：QA+205：11313132OA+-OB；®-OA+-OB；-OA+-OB；204+BA+OB其中终点落在阴23434543影区域内的向量的序号有()m/A.B.©C.D.®四、多选题9.对于给定的二ABC,其外心为。，重心为G,垂心为”，则下列结论正确的是()A. AOAB=-AB22UllIKUULlIllMlUlalUUUB. OAOB=OAOC=OBOCC.过点G的直线，交AB、AC于E、Ft若AE=2A8,AF=AC,则;+'=3ZABACD.A”与TTZjZ+T7i7共线ABCoS5AqCoSCUlMlUUUUU110.已知点。为.ABC所在平面内一点，满足OC+4O8+4OA=0,(其中九"R).()A.当;I=时，直线Oe过边48的中点；B.若IQAl=IOq=IOq=1,且九=1,则QAAB=-;C.若4=2,=3时，"10B与AAoC的面积之比为2:3；D.若。4O8=0,且QA=o4=OCI=1,则九满足万+"=.UUtlUiwUUUr11.已知点。为48C所在平面内一点，且人0+208+30C=0，则下列选项正确的是()unoIUlIl3IIUDA.AO=-AB+-AC24B.直线A。必过3C边的中点C.SGAoBSXM)C=3:2IUUnluuoUIUUUUurD.若附=Pq=1,且WOC，则IOd=岳12 .有下列说法其中正确的说法为A.若4b,bc,则4c：B.若20A+08+30C=0,uooSAAHC分别表示AOC,A8C的面积，则MOC:SABC=1：6;C.两个非零向量,b,若卜叫=|小班则4与b共线且反向；D.若b,则存在唯一实数/1使得=肌五、填空题T1T13 .如图，在58C中，BD=-BCf点E在线段AO上移动（不含端点），若AE=AB+C则（+）的取值范围是-14 .己知,6,c是平面向量，与C是单位向量,且C）=W,若/一88c+15=0,则k-N的最小值为.15 .设向量,6,c满足Id=I,向=2,同=3,hc=O.若一1<%<2,则+9+（1一2）。|的最大值是.参考答案:1. C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：|4-26|2=|0|2-446+4忖2,又.=l,OI=>3,a-2bI=3,*9=1-46+4×3=13-4tz»db=故选：C.2. D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为d+8+e=0,所a+b=-c>即a2+b2+2ab=C2,即1+1+/?=2,所以=0-如图,设OA=,08=匕。C=c,由题知,04=08=LOC=".0AB是等腰直角三角形，AB边上的高OO=显,AD=显,22所以Co=CO+oo=+也=逑，22tanZACD=-=-,cosZACD=-=CD310,CoSs-c,b-c)=cosNACB=cos2Z.ACD=2cos2ZACD-1故选:D.3. 3【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为k+*N-可，即,+5)2=3/2,贝叱整理得7-2/=0,又因为64=6,即(-4=3,贝叱一2；/+力2=3=3,所以W=6lrIrlrrrrrrrr法二：设C=一8，则H=6,+0=c+242-0=2c+>,由题意可得：(c+2Z?)=(2c+Z?),则=J+4；.力+4p=J+.1+；整理得：22,即W=H=6故答案为：TJ-44【分析】由已知可得(+b+c)2=0,展开化简后可得结果.【详解】由已知可得(+b+c)=+。-+c'+2(a/+力c+c4)=9+2(b+6c+c)=O,9因此，ab+bc+ca=.29故答案为：5. 11【分析】设与的夹角为凡依题意可得cos。=：,再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得.【详解】解：设与人的夹角为6,因为与B的夹角的余弦值为g,即CoSe=g,又忖=1,M=3,所以/?=卜Hcose=l3g=1,所以（2a+）=2b+b=2Z?+Zj=2×l+32=11.故答案为：11.6. A【分析】先确定向量4、b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设=(x,y),e=(l,0),b=(w,),则由k?得"=卜卜HCOST,x=g&+52,.y=±&,由力2_£.力+3=0得加心24帆+3=0,("?2+2=1,因此，口|的最小值为圆心(2,0)到直线y=±&的距离¥=外减去半径1,为6-1.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.7. A【分析】由向量加减的几何意义可得AP=Z竺+生，结合已知有AP=学+孚，根据333x3)，三点共线知福+；=1,应用基本不等式的代换即可求最值，注意等号成立的条件.3x3y【详解】由题设，如下图示：AP=AB+BP=AB+-=AB+-=-+-t又3333AM=xAB>ATV=yAC(x>0,y>0),M.AP=2型+处，由M,P,N三点共线，有我+=1,3x3ySx”2x+"(2K+y)S+；)-当涔，+2庐至-3,当且仅当工=丁时等号成立.3x3y33y3x33y3x故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到AP、AM、4N的线性关系，91根据三点共线有三+丁=1,再结合基本不等式求最值.3x3y8. A【分析】利用向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数，叱使得。=。4+比用成立，且w+v=l.可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足OP=uOA+vOB,且w>O,v>O,w+v>l.据此即可判断出答案.【详解】由向量共线的充要条件可得：当点P在直线48上时，存在唯一的一对有序实数使得OP="OA+uO8成立，且w+v=l.可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足OP=uOA+vOB且u>0,v>0,m÷v>1.证明如下：如图所示，点P是阴影区域内的任意一点，过点PW-PEON、PFOM,分别交OM,ON于点心FPE交48于点P过点P作P,F'OM交ON于点尸，则存在唯对实数(x,y),(W),使得OP'=xOE+yOU=/OA+/。8,且w,+v,=l,v,唯一；同理存在唯一一对实数4y使得OP=x,OE+y,OF=x,OE+ynOF,=uOA+vOB,而/=x,yt,>y,.,.u=V>v*w+V>w,+v,=1,即可判断出,因为1+2>1,所以点P位于阴影区域内，故正确；同理正确;而®不正确；37711®=-OA+(OA-OB)+-OB=-OA-OB.rf11-<O,故不符合条件.不正确；43433综上可知：只有正确.故选：A.【点睛】本题考查向量共线的问题，熟练掌握向量共线的充要条件是解题的关键.属于较难题.9. ACD分析根据外心在AB上的射影是AB的中点,利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以0A04=OVoC即OA_L8C,在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定ABAC7+i7与bC垂直，从而说明D正确48COS8月CCoSC如图，设AB中点为M,则OM±AB,.AcosZ.OAM=IAM.A048=卜。|网CoSNo48=MqMCoSNo砌=J时'故A正确;OAOB=OAOC等价于0A(03-Oe)=O等价于OACB=0,即OI_LBC,对于一般三角形而言，。是外心，04不一定与BC垂直，比如直角三角形ABC中,若3为直角顶点，则0为斜边AC的中点，OA与BC不垂直.故B错误；设3C的中点为。，z?11/111贝IJAG=-Ao=-(A+AC)=E+-AF=-AE+AF,33'，312J33:EHG三点共线，1+；=1,即:+l=3,故C正确；32)ABlAC'BCABBCACBC二A88Ccos(r-8)JACH8CcosCIABICOSBIAqCoSC,AcosBACcosCABcosBIAqCOSC=-BC+BC=O,ABACABAC7oio+i一大与BC垂直,又AH_LBC,E+iT7i7与AH共线，故D人BCoS8ACcosC45CoSBCcosC正确.故选：ACD.【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.10. ABD【分析】对于A,根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B,由条件可判断ABC为等边三角形,利用数量积的定义即可求得温.薪的值；对于C,利用作图，结合向量加减法的几何意义，可判断JIOB与4OC的面积之比；对于D,由ULlUUUUUU1UlMIUUUUUOC+A=O得，OC=-(OB+OA)f平方后结合数量积的运算可推得结果.UUUUUUUUUUULM.1H1【详解】对于A,设AB的中点为。，则当人=时，OC+OB+OA=OC+2OD=0,即得OCQ三点共线，故直线OC过边AB的中点，故A正确；对于B,由于侬=阿Ho4=1且4=1时，OC+OB+o4=0,故。为；ABC的外心和重心，故,45C为等边三角形,MZfiAO=30闽。Al=IoB=cj=l可得IABl=2lcos30=3,Inrmm3故OZ/8=Ix7JXCOSl500=,故B正确；2对于C,延长OA至H,使Or=MA,延长。8至B',使。夕=2。尻连接A*,设其中点为E,连接OE并延长至C',使EC=Eo,连接A'C',8'C',则四边形OAeE是平行四边形，UUUUUliUU1所以208+30A=OE+QA=OCL而4=2,/=3时，OC+208+30A=0，故OC+OC'=O,即C,O,C三点共线，且IOCI=IOC|,根据同底等高三角形面积相等，则SAoC=SjOC=SMr=2SAOB,即二AOB与&AOC的面积之比为1:2,故C错误；对于D,因为。4OB=0,且|例=|Oq=IOCl=1,IJUUUlUUU1UUUUUUUU由OC+丸。8+"=O得，OC=-Gl08+OA)，所以OC=A2OB+2OAOB+2OA=1，即2+=L故D正确，故选：ABD11. ACDUUtlUUUUllll【分析】根据题设条件，化简得到4AO=+2A8+3AC,可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到4C=-2(0B+0C)=-40O,可判定B不正确；根据AC=TOQ，RF3得到尝=W，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，jcC2可判定D是正确的.UUtiUiiuur【详解】如图所示，点。为JlBC所在平面内一点，且AO+208+30C=O，一gUUiiuuumiuumuhuhr/4八八/八八八八"一八；可得4O+2O8-2OA+3OC-3OA+504=0，即Ao=2(08-OA)+3("-。A)，um1am3un即4A0=2AQ+3A/所以Ao=万川+4。，所以A是正确的；在二ABC中，设力为BC的中点，,UUUUUUUUtl一/DULHlUUUlULWULml1由AO+2O8+3OC=。，可得(AO+OC)+2(OB+OC)=0,所以AC=-2(O4+OC)=-400,所以直线AO不过BC边的中点，所以B不正确;由AC=-4OO,可得IAq=4。斗且AC7/00,所以普=罂=；，所以OE=；EC，可得EC=；BC,所以若ECAC445EC2S-ADxBEsinZAEBRP.所以台也=#=吉=j所以C正确；1.oc-ADxECsinZOEChC22IUlUUIiUIlllUUUUlUUUU由AO+2OB+3OC=。，可得OA=204+30CIULBIUUUUUaH13因为Pq=Pq=1,且oB_Loc,UL2IUlUULKIl2ULD，LUUIHHUuD2可得04=208+3Oq=408+2OBOC+9OC=13,所以I小卜旧，所以D是正确的.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12. BC【解析】A选项错误，例如。=0,推不出ac，B选项利用向量可确定O点位置，可知O到AC的距离等于B到AC距离的!,故正确,C选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为乃，结论正确，D选项错误，例如="【详解】A选项错误，例如。=0,推不出c，B选项,设Ae的中点为M,BC的中点为D,因为204+08+3。C=0，所以22OM+2O0=O,即20M=-OZ),所以。是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的!,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知正确，C选项两边平方可得-26=2g,所以CoSVab>=T,即夹角为九，结论正确，D选项错误，例如b=0.故选BC.【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.13. (y,+)【分析】根据题意，设AE=mW(0<7<l),根据向量的线性运算,利用4%、a"表示出AE求出/1和，然后利用双钩函数的单调性求出4+'的取值范围.2T1T【详解】解：由题可知，BD=-BC,设AE=WAz)(O<帆<1),则AE="("+gsc)="?A8+g(3A+AC),T2TlT所以AE=?AB+?AC,33AE=AB+AC21可得：=-m,=-m,所以+L=g+3(O<"z<l),设/W)=/+'(O<n<l),由双钩函数性质可知，”力在(0,1)上单调递减，则/(x)>"l)=g+3=j,所以的取值范围是(f,+).23故答案为：(5,+00).【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理的应用，还涉及双钩函数的单调性，考查转化思想和运算能力.14. 17-1【分析】把条件的二次方程分解成两个向量的积，得到这两个向量互相垂直，结合图形确定rrkM的最小值.【详解】如下图所示，设。4=OB=hOC=c,OO=3GE=5c62-86c+15=0且同=Fl=I/.b-Sbc+5c=0.伍-3c)(b-5C)=O,(h-3c)±(?-5c)DB=b-3c,EB=b-5c二点B在以尸为圆心，OE为直径的圆上又BA=a-b当点B为圆尸和线段FA的交点的时候，SA卜卜-可最短.-h=42+l2-l=i7-l故答案为：ViT-I15.210+l【分析】令=劝+(1-4)c,计算出模的最大值即可，当与同向时|+|的模最大.【详解】令=劝+(l-%)c,则同=点仍+(1-a)c2=Jl3万_182+9,因为一122,所以当4=T,m=13+18+9=2i,因此当与°同向时,+|的模最大，l"LTH+同=2加+1【点睛】本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值.整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析.