2024导数在研究函数中的应用教案.docx

其次章函数与导数第12课时导数在探讨函数中的应用（对应学生用书（文）、（理）3032页）课前考咫引,领入八考情分析考点新知导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势，应引起足够的重视.以导数为探讨函数的重要工具来解决函数的单调性与最值问题是高考的热点，同时解答题侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用.理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数探讨函数的单调性.驾驭利用导数求函数极值与最值的方法.会利用导数解决某些实际问题.曝回归教材,I11Kil,UIAfK*I1 .（选修22P28例1改编）函数f（x）=3-152-33x+6的单调减区间为.答案：（-1,11）解析：f(x)=3x2-30-33=3(x-ll)(x+1),由(xll)(x+l)v,得单调减区间为（一1,11）.亦可填写闭区间或半开半闭区间.2 .（选修22P34习题3改编）若函数f（x）=ex-ax在x=1处取到极值，则a=.答案：e解析：由题意，f,（1）=0,因为fr（x）=ex-a,所以a=e.3 .（选修22P34习题8）函数y=x+sinx,x0,2叫的值域为答案：0,2解析：由y=l+cosx20,所以函数y=x+sinx在0,2n上是单调增函数，所以值域为0,2.4 .（原创）已知函数f（x）=-x2+blnx在区间6，+8）上是减函数，则b的取值范围是.答案：（-8,4解析：f（x）=-x÷0在2,+8）上恒成立，即bWx?在2,X+8）上恒成立.5 .（选修22P35例1改编）用长为90cm、宽为48Cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为Cm时，容器的容积最大.答案：10解析：设容器的高为XCm,即小正方形的边长为XCm,该容器的容积为V,贝4V=(90-2x)(48-2x)x=4(3-692+1080x),0<x<12,V,=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36),当0<x<10时，V,>0;当10<x<12时，V,<0.所以V在(0,10上是增函数，在10,12)上是减函数，故当X=IO时，V最大.、知识清单1 .函数的单调性与导数在区间(a,b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：假如f(x)>O,那么函数y=f(x)为该区间上的增函数；假如fr(x)v,那么函数y=f(x)为该区间上的减函数.2 .函数的极值与导数(1)函数极值的定义若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a旁边其他点的函数值都要小，f(a)叫函数的微小值.若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b旁边其他点的函数值都要大，f(b)叫函数的极大值，微小值和极大值统称为极值.(2)求函数极值的方法解方程f(x)=O,当f(xo)=O时， 假如在Xo旁边左侧单调递增,右侧单调递减,那么f(xo)是极大值. 假如在XO旁边左侧单调递减,右侧单调递增,那么f(xo)是微小值.3 .函数的最值(1)最大值与最小值的概念假如在函数定义域I内存在XO,使得对随意的xI,总有f(x)f(xo),则称f(xo)为函数f(x)在定义域上的最大值.假如在函数定义域I内存在Xo,使得对随意的XI,总有f(x)2f(xo),则称f(xo)为函数f(x)在定义域上的最小值.(2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. 将函数y=f(x)的各极值与皿地比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值.4 .生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：优化问题怩陡立数学模型®I用导数解决数学问题I®I优化问题答源Vx/、课中琴声点拨J*.题根用图E发典”打：1导熬S匹鼎的单碉嘏例1已知函数f(x)=x3-ax1.(1)若a=3时,求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.解：(1)当a=3时，f(x)=x3-3-1,/.f,(x)=3x2-3,令f(x)>O即3x2-3>0,解得x>l或x<1,工f(x)的单调增区间为(一8,1)U(1,+o0),同理可求f(x)的单调减区间为(一1,1).(2) f(x)=3x2-a. f(x)在实数集R上单调递增， f,(x)2O恒成立,即32-a2O恒成立,a(3x2)mi11.32的最小值为0,a0.(3)假设存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减， f,(X)Wo在(-1,1)上恒成立，即a232.又320,3),Ja3.，存在实数a使f(x)在(一1,1)上单调递减，且a23.备送变K(非辞专(1)已知函数f(x)=x2-mlnx+(m-l)x,当m0时，试探讨函数f(x)的单调性；12(2)若函数f(x)=-2)+blnx在(1,+8)上是减函数，求实数b的取值范围.解：(1)函数的定义域为(0,+o0),f,(X)=X-+(m1)=.X2+(m-1)xm(x1)(x+m)x-x,当一l<mr0时，令fr(x)>O,得0<x<m或x>l,令F(X)V0,得一m<x<l,函数f(x)的单调递增区间是(0,一m)和(1,+8),单调递减区间是(-m,1)；当mW1时，同理可得，函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(m,+o0),单调递减区间是(1,m).12b(2)由f(x)=-2)+blnx,得f(x)=-(-2)+1ZX由题意，知f(x)O即一(x2)+'<0在(1,+8)上恒成立，X.*bx(x-2),"imin当X(l,+8)时，x(-2)(l,+),bl.我型2导剧苫曲照的极值、素值例2设函数f(x)=(x2+ax+b)ex(xR).(1)若a=2,b=2,求函数f(x)的极大值；(2)若x=l是函数f(x)的一个极值点.试用a表示b；设a>0,函数g(x)=®+14)ex+4.若h20,4,使得If(三)-g(2)Vl成立,求a的取值范围解：(1)Vf(X)=(2x+a)ex+(x2+ax+b)ex=x2+(2+a)x+(a+b)ex,当a=2,b=-2时,f(x)=(x2+2-2)ex,则f(x)=(x2+4x)ex,令f(x)=O得(2+4x)ex=0,/ex0,x2+4x=0,解得x=-4或x=O,列表如下：X(8,4)-4(-4,0)0(0,+o°)P(X)+00+f()Z极大值1微小值Z二.当x=4时，函数f(x)取极大值，f(x)=4.(2)由(1)知f(x)=x2+(2+a)x+(a+b)ex./x=l是函数f(x)的一个极值点,.f,(1)=0,即el+(2+a)+(a+b)=0,解得b=-32a.由知F(x)=eX2+(2+a)x+(-3-a)=ex(-l)x+(3+a),当a>0时，f(x)在区间(0,1)上的单调递减，在区间(1,4)上单调递增，函数f(x)在区间0,4上的最小值为f(l)=一(a+2)e./f(0)=b=-3-2a<0,f(4)=(2a+13)e4>0,函数f(x)在区间0,4上的值域是f(l),f(4),即-(a+2)e,(2a+13)e4.又g(x)=(a2+14)ex+4在区间0,4上是增函数,且它在区间0,4上的值域是3+14把4,(a2+14)e8,/.(a2÷14)e4-(2a÷13)e4=(a2-2a÷l)e4=(a-l)2e40,存在h20,4使得f()-g(2)Vl成立只须3+14时-(2a+13)e4<ll>(a-l)2e4<ll>(a-l)2<Dl-<a<l+备送变K(茏韩专本)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a>bR)在点x=-l处取得极大值为2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间2,2上随意两个自变量的值X1、X2,都有If(XD-f(x2)c,求实数C的最小值.角Q(1)f(x)=3ax2+2b-3.由题意，得f (-1) =2,f, (-1) =0,a+b+3=2,即<3a-2b-3=0,解得a=l,b=0,所以f(x)=x3-3x.(2)令F(X)=0,即32-3=0,得x=±l.X-2(一2,1)-1(T,I)1(1，2)2P(X)+f(x)-2增极大值减微小值增2因为f(1)=2,f(l)=-2,所以当x-2,2时，f(x)max=2,f(x)min=-2.则对于区间-2,2上随意两个自变量的值xi、X2,都有If(Xl)一f(X2)f(x)maxf(x)min=4,所以C4.所以C的最小值为4.观型3导剧在实际问茎中的应用例3请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60Cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形态的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=XCm.(1)某广告商要求包装盒侧面积S(Cm2)最大，试问X应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V(Cm3)最大，试问X应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.角生(1)S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2(0<x<30),所以X=15cm时侧面积最大.(2)V=(2x)2(60-2x)=22x2(30-x)(0<x<30),所以V'=6ix(20x),令S=O,得x=20,当0<x<20时，V递增；当20<x<30时，V递减.所以，当x=20时，V最大,乎(602x)2x此时，包装盒的高与底面边长的比值为/=-变式制秣某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距m米，此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩(包括两端的桥墩).经预料，一个桥墩的费用为256万元，相邻两个桥墩之间的距离均为X,且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1+也)x万元,假设全部桥墩都视为点且不考虑其他因素，记工程总费用为y万元.(1)试写出y关于X的函数关系式；(2)当m=1280米时，须要新建多少个桥墩才能使y最小？解：依据题意，须要建件+11个桥墩和m段桥面工程.(l)y=256e+1+(1+x)x=÷m÷256x>0,N.(2)当m=1280时，y=l280。+等|+1536,(1256),y,=1280应令y'=0,得x=64,当OVX<64时，y,<0:当x>64时，y,>0.所以当x=64时，y有最小值16896,此时要建21个桥墩.答：须要建21个桥墩才能使y最小.答题模板【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知函数f(x)=ln-ax(aR).(1)求函数f()的单调区间；(2)当a>0时,求函数f(x)在L2上的最小值.审题引导：知函数解析式求单调区间，实质是求fr(x)>O,f,(x)<0的解区间，并留意定义域； 先探讨f(x)在口，2上的单调性，再确定最值是端点值还是极值； 由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类探讨.规范解答：解：f(x)=：a(x>0).(1分)A. 当aWO时，f'(X)=:a20,即函数f(x)的单调增区间是(0,+).(3分) 当a>0时，令f(x)=一-a=0,得X=1当OVXVI时，f,()Xa=L善>0,当x>：时，F(X)=L善<0,所以函数f(x)的单调增区间XdA(111、是0，二，单调减区间是1+8.(6分)dJLd，(2)当:W1,即a21时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，a所以f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.(8分)当即0<a多寸，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(l)=-a.(10分)当1<<2,即J<a<l时，函数f(x)在区间1,3上是增函数，dZd在区间：，2上是减函数，又f(2)f(l)=ln2a,所以当;va<ln2时，最小值是f(l)=-a；当ln2avl时,最小值是f(2)=ln22a.(12分)综上可知，当0<a<ln2时，最小值是一a；当a2h)2时,最小值是In22a.(14分)'新题推荐w-r1.(2024新课标II)若存在正数X使2x(-a)<l成立，则a的取值范围是.答案：(一1,÷o°)解析：因为2、(xa)vl,所以a>x/令f(x)=一所以P(X)=l+2-xln2>0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增，所以f()>f(O)=O-I=-I,所以a的取值范围是(-1,+8).2. (2024大纲)若函数f(x)=2+ax+1在4+；上是增函数，则a的取值范围是.答案：a31(1解析：f(x)=2x+a-在5,+o0上恒成立，即a2-2xXUA在g+8)上恒成立.令g()=±-2x,求导可得g(x)在&+8)上的最大值为3,所以a23.3. (2024.扬州期末)已知函数f(x)=ln-(mR)在区间1,e上X取得最小值4,则m=.答案：一3e解析：f(x)=+7=xm,令fr(x)=0,则x=m,且当x<一m时，f,(x)<0,f(x)单调递减，当x>-m时，f,(x)>0,f(x)单调递增.若一m<l,即m21时，f(x)min=f(l)=-ml,不行能等于4;若1<-me,即一em<1时，f(x)min=f(-m)=ln(-m)+l,令ln(一m)÷1=4,得m=e?(e,1);若一m>e,即m<e时，f(x)mi11=f(e)=l-,令1=4,得m=3e,符合题意.综上所述，mee=3e.4. (2024南京二模)设函数f(x)=x2-(a-2)-alnx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有两个零点，求满意条件的最小正整数a的值；(3)若方程f(x)=c有两个不相等的实数根X1、X2，求证:AFa2x2-(a-2)-a(1)斛：fr(x)=2x-(a-2)-=AA(2xa)x(x+l)(x>0).当aWO时，f,(x)>0,函数f(x)在(0,+8)上单调递增,所以函数f(x)的单调增区间为(O,+).当a>0时，由f(x)>O,得x>由f(x)<O,得0<x<.所以函数f(x)的单调增区间为+,单调减区间为(0,§(2)解：由得,若函数f(x)有两个零点，则a>0,且f(x)的最小值ff<0,？Pa2+4a-4aln<0.因为a>0,所以a÷41n-4>0.令h(a)=a+41n-4,明显h(a)在(0,+8)上为增函数，且h(2)381=2<0,h(3)=41112-1=lny-1>0,所以存在ao(2,3),h(ao)=O.当a>a0时，h(a)>O;当O<a<ao时，h(a)<O.所以满意条件的最小正整数a=3.又当a=3时，f(3)=3(2-ln3)>0,f(l)=0,所以a=3时，f(x)有两个零点.综上所述，满意条件的最小正整数a的值为3.(3)证明：因为X1、X2是方程f(x)=c的两个不等实根，由(1)知a>0.不妨设0<x<X2,则X?(a-2)x-alnx=c,x(a2)x2-alnx2=c.两式相减得X?(a2)xj-alnxjx?+(a2)X2÷alnx2=0,即x?+2xi-x-2x2=ax÷alnxj-ax2-alnx2=a(x÷lnx-X2-lnx2).所以a=x1+2x-x2x2x+lnx-x2-lnx2因为唱当eO, IW, f, (x)<0,当 xra5+ 8 时，f,(x)>0,故只要证XqX即可，G、G1x?+2x-X-2X2即证明X÷X2>Tj；xi+lnxi-X2-*lnx2即证明X彳一3+(XI+X2)(lnx1lnx2)<x?+2x1一遥一2x2,即证明ln-<2x-2x2X1+x2Yi设t=震0<t<l)人2t2rlz14(t1)2令g(t)=inL7pp则g(t)=【TITLt(t+i)2因为t>0,所以g'(t)20,当且仅当t=l时，g,(t)=0,所以g(t)在(0，+8)上是增函数.又g(l)=0,所以当t(0,1),g(t)<O总成立.所以原题得证.J，精品题库(教亨)1 .假如关于X的方程ax+=3在区间(0,+8)上有且仅有一个解，那么实数a的取值范围为答案：a0或a=2131解析：由ax+豆=3,得a=q-R.XA令t=q,则f(t)=3t-13,t(O,+o0).用导数探讨f(t)的图象，得fmax(t)=2,当X(0,1)时，f(t)递增,当x(l,+8)时，f(t)递减，所以aWO或a=2.a(X1)2 .已知函数f(x)=ln-工j，若函数f(x)在(0,+8)上为I1增函数，则a的取值范围是.答案:a2x2_i_(22a)+1解析：F(X)=-X(+)220在(0,+8)上恒成立，易得a2.3 .设直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N,则当线段MN取得最小值时a的值为答案：乎解析：由题意，M(a2,a),N(lna,a),故MN的长I=Ialna=a2-lna(a>0),L1 2a2-l由 l'=2a一丁"2(a+啜a挈得 i=a2-Ina+ 上单调递增;令>0,令IVO,得l=a?-Ina在0,乎)上单调递减，所以当a=乎时，线段MN的长取得微小值，也是最小值.4 .已知函数f(x)=(a2+x)ex,其中e是自然数的底数，aR.(1)当a<0时，解不等式f(x)>O;(2)若f(x)在1,1上是单调函数，求a的取值范围；(3)当a=0时，求整数k的全部值，使方程f(x)=x+2在k,k+1上有解.解：(1)因为ex>0,所以不等式f(x)>O即为a2+x>0.又a<0,所以不等式可化为x|x+vO,所以不等式f(x)>O的解a，集为(。，T(2) f(x)=(2ax+l)ex+(ax2+x)ex=ax2+(2a+l)x+lex,当a=0时，f,(x)=(x+l)ex,f,(x)20在-1,1上恒成立，当且仅当x=-l时取等号，故a=0符合要求；当a0时，令g(x)=a2+(2a+l)x+l,因为4=(2a+l)2-4a=4a2+l>0,所以g(x)=O有两个不相等的实数根x>x2,不妨设x>X2,因此f(x)有极大值又有微小值.若a>0,因为g(l)g(0)=-a<0,所以f(x)在(一1,1)内有极值点，故f(x)在-1,1上不单调.若a<0,可知X>O>x2,因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在1,1g(1)0,3a+20,上单调，因为g(0)=l>0,必需满意,-八即八所以g(1)0.-aN022一WaWO.综上可知，a的取值范围是一?0.(3)当a=0时，方程即为XeX=X+2,由于ex>O,所以x=0不2是方程的解，所以原方程等价于ex-l=O.X22令h(x)=e'-1,因为h<x)=ex+-J>O对于X£(8,O)U(O,XX+8)恒成立，所以h(x)在(一8,0)和(0,+8)内是单调增函数，又h(l)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e3<0,h(-2)=e2>0,所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间口，2和-3,-2上，所以整数k的全部值为-3,1.I-雎指津7/1 .在已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令F(X)20(或F(X)Wo)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，然后检验参数的取值能否使F(X)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去；若？(X)不恒为0,则参数范围确定.2 .理解可导函数极值与最值的区分，极值表示函数在一点旁边的状况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的状况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值.3 .用导数求解实际问题中的最大(小)值，假如函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义该极值点就是最值点.'V信台梃"：请运用课时训练（八）第12课时(见活页).备课札记