17全等与相似模型-对角互补模型（教师版）.docx

专题17全等与相似模型对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、旋转中的对角互补模型对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：过顶点做双垂线，构造全等三角形；进行旋转的构造，构造手拉手全等。常见的对角互补模型含90。-90。对角互补模型、120。-60。对角互补模型、2-(180o-2a)对角互补模型。D“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)条件：如图，已知NAoB=NOCE=90°,OC平分N40A结论：QCD=CE,OD+OE=也OC,®Sodce=Scoe+Scod=-OC2.结论：(T)CD=CE,OE-OD=也OC,SCCF-SCCn=LOC2.CCziLCtzLz2条件：如图，已知AO8=2NQCE=I20°,OC平分NA。比结论：QCD=CE,0D+0E=0C,SCoD+S“e4)“等边三角形对120。模型”(2)条件：如图，已知NAOB=2NOCE=120°,OC平分NAo8,NZ)CE的一边与80的延长线交于点D,结论：Co=CEOD-OE=OC,S8D-S-立OC'5) “120等腰三角形对60。模型”条件：ZkABC是等腰三角形，且N8AG120。，NBPC=60。°结论：PB÷PC=3;6) “2对1802模型”条件：四边形ABCo中，AP=BP,NA+NB=180。结论：OP平分NAOB注意：AP=8P,NA+NB=180。，OP平分NAo4,以上三个条件可知二推一。7）“蝴蝶型对角互补模型”条件：AP=BP,ZAOB=ZAPB结论：OP平分NAOB的外角。例1.（2023黑龙江黑河八年级期中）/?/48C中，AB=AG点。为8C中点.NMDN=90。,NMDN绕点、。旋转，DM、ON分别与边AB、Ae交于E、尸两点.下列结论：（BE+CF）=叵BC,SAAEFSaabc，24S四边形AEDF=AOERAQE/其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】解:Rt0ABC中，AB=AC,点D为BC中点.用MDN=90°,0AD=DC,0EAD=0C=45,0EDA=0MDN-0ADN=9Oo-0ADN=0FDC.三EDABFDC(ASA).0AE=CF.0BE+CF=BE+AE=AB.在RtSABC中，根据勾股定理，得AB=变BC.0(BE+CF)=也BC.El结论正确.22设AB=AC=a,AE=b,则AF=BE=ab.Q/Zoo团Saaef"WSaabc团结论正确如图，过点E作日(3AD于点I,过点F作FGMD于点G,过点F作FH团BC于点H,ADEF相交于点0.团四边形GDHF是矩形，0AEI和国AGF是等腰直角三角形，13EO2EI(EF团AD时取等于)=FH=GD,OFGH(EFsAD时取等于)=AG.(21EF=E0+0F>GD+AG=AD.团结论错误.00EDA00FDC,团S四边形AEDF=SAADC=gADDC=gAD2AD?ADEF.13结论错误.综上所述，结论正确.故选C.例2.（2022辽宁九年级期末模拟）己知0AOB=9（,在0AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与0A,0B（或它们的反向延长线）相交于点D,E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图），易证：OD+OE=OC;当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图，图这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段0D,0E,OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【答案】图中OD+OE=忘OC成立.证明见解析；图不成立，有数量关系：OE-OD=应OC【分析】当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得团CKD蜘CHE,进而可得出证明；判断出结果，解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与0D、OE的关系；最后转化得到结论.【详解】解：图中OD+OE=0OC成立.证明：过点C分别作0A,OB的垂线，垂足分别为P,QW0CPD00CQE,BDP=EQ,00P=OD+DP,OQ=OE-EQ,又由OP+OQ=0OC,BPOD÷DP+OE-EQ=2OC,0OD+OE=OC.图不成立，有数量关系：0E-0D=j0C过点C分别作CK团0A,CHBOB,自0C为ElAOB的角平分线，且CK团0A,CH团OB,0CK=CH,mCKD=团CHE=90°,又国KCD与团HCE都为旋转角，00KCD=aHCE,0CKD00CHE,ISDK=EH,0OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,由（1）知：0H+0K=20C,0OD,0E,OC满足OE-OD=JOC.【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心.例3.（2022秋四川绵阳九年级校联考阶段练习）己知NAC£>=90°,AC=DCfMN是过点A的直线，过点、D作DB工MN于点、3,连接CB.问题发现：如图（1）,过点C作CE_LC8,与MN交于前E,BD、AB.C8之间的数量关系是什么？并给予证明.（2）拓展探究：当MN绕点A旋转到如图位置时，BD、AB.CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明.【答案】（I）BD+AB=辰B;证明见解析8Q-AB=C5;证明见解析【分析】过点C作CELCB,得到“BCD=NACE,判断出¾OC8,确定上CB为等腰直角三角形即可得出结论；过点C作CE_LCB于点C,判断出&ACE之二。CB,确定一EeB为等腰直角三角形，即可得出结论.【详解】（1）解：如图1,过点C作CELCB交MN于点E,NACE=90。一NACB,NBCD=90。-NACB,.NACE=NBCD,DBlMN,在四边形AC38中，ZBAC+ZACD+ZABD+ZD=36()°,.NBAC+/0=180。，/GAE+/BAC=180。，0NCAE=ND,AC=DC,ACELDCB,.AE=DB,CE=CB,ECB=90°,.工ECB是等腰直角三角形，.4K=0C5,.BE=AE+AB=DB+AB,团BD+AB=辰B;(2)BD-AB=辰B：理由：如图2,过点C作CE_LC8交MN尸点£,NACE=90。+/ACB,NBCD=90。+NACB,NACE=NBCD,:DBLMN,.NCAE=90。-NAFB,ND=90。-NCFD,NAFB=NCFD,CAE=,AC=DC>:.JACEADCB,AE=DB»CE=CB,EC8=90°,.工ECB是等腰直角三角形，.8E=&C8,.BE=AE-AB=DB-AB,BD-AB=-JlCB：【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键.例4.(2022四川宜宾八年级期末)如图1,AAoB=90，OC平分NAO8,以。为顶点作NOCE=90,交04于点O,。8于点E.(1)求证：CD=CE;(2)图1中，若OC=3,求。+。七的长；(3)如图2,ZAOB=120°,OC平分ZAOB,以C为顶点作ZDCE=60°,交。4于点£),。3于点£若。C=3,求四边形OEa)的面积.【分析】（I）过点C作CGI30A于G,CH（30B于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明HCDG0回CEH,从而求解；（2）根据全等三角形的性质得到OO+OE=2O”,然后利用勾股定理求OH的值，从而求解；（3）过点C作CG0OA于GzCHEOB于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明团CDG0团CEH,从而求得Spq边形。改力=S四边形（WCG=2S&8G，然后利用含30。的直角三角形性质求得0H=,CH=也从而求得三角形面积，使问题22得到解决.【详解】解：（1）如图,过点C作CGElOA于G,CHBOB于H,00CDG+0CDO=18O0ECDG=0CEOZCDG=ZCEO在SICDG0CEHr,<CGD=ZCHE00CDG00CEH(AAS)CD=CECG=CH(2)(1)CDGCEH0DG=HE由题易得团OCG与团OC/7是全等的等腰百角三角形，且OG=OH0D+0E=0D+0H+HE=0G+0H=20HSOH=CH=X,在R/0OCH中，由勾股定理，得:OH2+CH2=OC21+2=320=-()30H=EOD+OE=2OH=3222'(3)如图,过点C作CG0OA于GzCH0OB于H,团OC平分NAoBECG=CHaZAOB=120%NDCE=60oS2CD0+CE0=180(300CDG+0CDO=18O三3CDG=0CEONCDG=，CEo在团CDG与团CEH中<NCGD=NCHE确CDG团(3CEH(AAS)团DG=HECG=CH由题易得团0CG与mOeH是全等的直角三角形,且OG=OH(3OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH(SS四边形OECD=S四边形CG=2SAoCG在RWCH中,有(3COH=6(QC=3,00H=I,CH=毡回SSCC="团SPi)边形。因。=2S9cg=挛2224【点睛】本题考查全等三角形的性质及判定，含30。直角三角形的性质以及勾股定理，是一道综合性问题，掌握相关知识点灵活应用解题是本题的解题关键.例5.(2022湖北省宜城市八年级期末)如图，已知0AO8=12(,在0AO8的平分线OM上有一点C,将一个60。角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线。4、OB相交于点0、E.(1)当团OCE绕点C旋转到CO与OA垂直时(如图1),请猜想OE+。与OC的数量关系，并说明理由；(2)当SDCE绕点。旋转到CO与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；（3）当QCE绕点C旋转到CO与。4的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明;若不成立，线段0。、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【答案】（1）详见解析：（2） （1）中结论仍然成立,理由详见解析；（3） （1）中结论不成立，结论为OE-OD=OCt证明详见解析.【分析】根据OM是SAoB的角平分线，可得AO8=6（,则回OCE=30。，再根据30。所对直角边是斜边的一半，得出OQOG同理：OE=；OC,即可得出结论；（2）同的方法得到。尸+0G=OC,再根据AAS证H）JCFD00CGE,WDF=EGf则OF=Oo+£>尸EG,OG=OE-EG,0F+0G=0D+0E,即可得出结论.（3）同的方法得到。F=EG,根据等量代换可得OE-OD=OC.【详解】（1）130M是0408的角平分线，团MOC=OBOC=gl3A08=60。，0CfX3O,00ODC=9O000C£）=30°,00OCE=0DCE-0OCD=3Oo,在Rt£>中，OD=-OC,同理：OEjoC,OgOE=OC,22中结论仍然成立，理由：过点。作CEal于尸，CGSOB于G,如图，回回OFC=SOGC=90°,BSAOB=I20°,团团PCG=60°,同(1)的方法得，OF=gOC,OG=OC,EIOROg=OC,0CF3OA,CGSOB,且点C是0AO8的平分线OM上一点，0CF=CG,三DCE=60o,EIFCG=60°,DCF=ECG,邈CraBmCGE,DF=EG,回OP=Oo+QP=OD+EG,OG=OE-EG,团。尸+0G=OQ+EG+OE-EG=OD+0E,WlME=OCi(3)(1)中结论不成立，结论为：OE-OAOC,理由：过点C作CTW?A于F,CGSO8于G,如图，00OFC=0OGC=9Oo,(33A08=120°,配IFCG=60°,同(1)的方法得，OF=IoC,OG=OCfWF+OG=OCf0CF3OA,CGQOB,且点C是0AO8的平分线OM上点，0CF=CG,00DC£=6O°,0FCG=6Oo,画DCF=国ECG,00CFD00CGE,团DF=EG,WF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EGtOF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,OE-OD=OC.【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.正确作辅助线是解题的关键.例6.(2023山东九年级专题练习)如图，AABC是边长为4的等边三角形,点D是线段BC的中点,团EDF=I20。，把团EDF绕点D旋转，使13EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F.(1)当DFIMC时，求证：BE=CF;(2)在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】(D证明见解析；(2)是，2.【分析】(1)根据四边形内角和为360。,可求I3DEA=9O°,根据“AAS”可判定ZkBDEEBCDF,即可证BE=CF；(2)过点D作DM0AB于M,作DNMC于N,如图2,易证AMBDl三NCD,则有BM=CN,DM=DN,进而可证到EMD(33FND,则有EM=FN,就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60o=BD=jBC=2.【详解】(1)E0ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，00B=0C=6Oo,BD=CD,0DF0AC,团团DFA=90°,00A+0EDF+0AFD+0AED=18Oo,瓯AED=90°,00DEB=0DFC,且团B=SC=60°,BD=DC,团团BDEsECDF(AAS)(2)过点D作DM0ABfM,作DNOAC于N,A则有ISAMD=SBMD=0AND=I3CND=90°.三A=60o,00MDN=36Oo-6Oo-9Oo-9Oo=12Oo.00EDF=12Oo,00MDE=0NDF./BMD=/CND在AMBD和ANCD中，B=NC,00MBD30NCD（AAS）BM=CN,DM=DN.BD=CDZEMD=NFND在AEMD和AFND中，DM=DN,0EEMD三FND（ASA）0EM=FN,/MDE=/NDF0BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos6Oo=BD=gBC=2.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN,DM=DN,EM=FN是解决本题的关键.例7.（2022山东省枣庄市一模）如图，已知NAQ3=60。，在NAOB的角平分线。W上有一点C,将一个120。角的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线QAOB相交于点DE.（1）如图1,当/DCE绕点C旋转到C。与OA垂直时，请猜想OD+OE与OC的数量关系，并说明理由；（2）当/OCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3,当NT）CE绕点C旋转到点。位于OA的反向延长线上时，求线段OnoE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【答案】（1）OD+OE=j3OC,见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）OE-OD=00C【分析】（1）先判断出BOCE=60。，再利用特殊角的三角函数得出OD=且OC,同OE=也OC,即可得出22结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=JOC,再判断出团CFD瓯CGE,得出DF=EG,最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论.【详解】解：（1）QOM是NAQB的角平分线.NAOC=NBOC=g408=30。CD±0A,.NoDC=90o,:.NoCD=60o.NOCE=ZDCE-Z.OCD=60°在MAoCD中,OZ）=OCcos30。=*oc,同理：0E=40COD+OEfOC（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作C尸_L。A于F,CGLoB于G.ZOFC=NoGC=90o.ZAOB=60o/.ZFCG=120°由（1）知，0F=与0C,0G=*0J.0F+0G=>0CCF1OA,CGLOB,且点C是NAOB的平分线OM上一点:.CF=CG,ZDCF=120。,NFCG=120o/.ZDCF=NECG,/.CFD三ACGE.DF-EG'OF-OD+DF=OD+EG,OG=OEEG.OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE：.OD+OE=3OC（3）结论为：OE-OO=5C.理由：过点C作CFISOA于F,CGOOB于G,三OFC=0OGC=9Oo,/7W团团AOB=60°,幽FCG=I20°,同（1）的方法得，OF=个0C,OG=-OC,00F÷0G=30C,（DCFSOA,CGBOB,且点C是mAoB的平分线OM上一点，CF=CG,DCE=120%SFCG=120o,DCF=ECG,00CFD三CGE,DF=EG,OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,0OF+OG=EG-OD÷OE-EG=OE-OD,0OE-OD=30C.【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键.例8.（2022秋福建厦门九年级校考期中）如图，ZAOB=a（二是常量）.点P在/AO8的平分线上，且OP=2,以点P为顶点的/MW绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与0B,OA相交于M,N两点，若NTwW始终与NAoB互补，则以下四个结论：PM=PN；OM+ON的值不变；四边形PMON的面积不变；点M与点N的距离保持不变.其中正确的为（）A.B.C.D.【答案】B【分析】如图作尸E_LO4点RPFLOB于点F,只要证明用PEgR九.W心尸EN经心一尸EW即可判断.【详解】解：如图所示：作PEJOA于点邑PFtOB于点、F,"EO=NPFO=绮,AZ£PF+ZAOB=180°,NMzW+ZAOB=180°,.ZEPF=ZMPN,NEPF=EPN+NPF,ZMPN=ZMPF+ZNPF,ZEPN=ZMPF,OP平分AQ8,PE±OA,PFtOB,.PE=PF,PO=PO/、在R.PEO和RLPFo中,“:.RLPEgRiiPFO(HL)OE=OF,PE=PFNEPN=ZFPM在也V和ARW中，PE=PF,:.RLPEN乌RLpFM(ASA),ZPEN=NPFM.EN=FM,PN=PM,故正确，:K心印=S”根，1'1S四边形PMONS四边形pE0F=定值,故正确,OM+ON=OF+MF+ON=OE+NE+ON=OE+OE=2OE=定/故正确，“、N的位置是变化的，.M、N之间的距离也是变化的，故错误：故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题.模型2.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.【常见模型及结论】1）对角互补相似1条件：如图，在用AABC中，NC=NEO尸=90。，点。是A3的中点,辅助线：过点。作OD_LAC,垂足为。，过点。作OH_LBa垂足为",结论：, 0DE A 0HF；=(思路提布:一 OF ACOE OD BH BC) OFOHOHC2）对角互补相似2条件：如图，已知/4O8=/QCE=90。，NBOC= a .辅助线：作法1:如图1,过点C作C7<LO4,垂足为尸，过点C作CG_L03,垂足为G：r,Tt结论：ECGFDCF；CE=CDIana.（思路提示：一=,CF=OG,在R出COG中，tana=）CDCFOG辅助线：作法2：如图2,过点C作Cr_LoG交OB于F；CECFCF结论：CFE-,C0D；CE=CQ.（思路提示：=tana,在RzzkOCF中，tana=）CDCOOC3）对角互补相似3条件：已知如图，四边形48Co中，ZB+ZD=180°辅助线：过点。作。E_L84,垂足为E,过点。作QF_L3C,垂足为B结论：2DAE2DCF；ABCO四点共圆。E例1.（2023成都市九年级期中）如图所示，在RkABe中，NABC=90。，B=3,BC=4,在mMPN中,NMPN=90。,点尸在AC上，PM交AB于点、E,PN交BC于点F.当PE=2PF时，AP的值为（）.AA.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】过P作PMZ)BC于，POM8于Q,证明团PQfSO夕A得出尸。=2P4=2BQ,再由PQ3BC证得(MQPl30A8C,得到丝=坐=空，设8=x,则AQ=3x,PQ=2x,求出X值即可解决问题.ABBCAC【详解】解：团在RtSA8C中，ZABC=90o,AB=3,BC=4,MC=yAB2+BC2=32+42=5«过户作77范IBC于"，PQABpQ,则13PQB=13PH8RIB=90。，团四边形PQB”是矩形，PH=BQ,QPH=90o=MPN,PQBCfWPHQPE=EPHHPF=90o,随QPE=HPF,回回PQE三3P”/，团翳二簧，又PE=2PF,PQ=2PH=2BQ,0PQ3BC,00AQP三M8C,回=强=喘，设BQ=JG则AQ=3-X,PQ=2x,-X=,解得：x=-,AP=3,故选：C.3455A【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线是解答的关键.例2.（2023河南南阳九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角二45C中，NAC8=90。，C=BC,过点C作射线CPAB,。为射线CP上一点，E在边BC上（不与BC重合）且NnAE=45。，AC与OE交于点O.（1）求证：ADCAAEB；（2）求证：AADEAAC8；（3）如果8=CE,求证：CD2=CO-CA.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据题意先由等腰直角助打C得到MAC=08=45。，从而结合团QA及45。得到团DAC=团EA8,再由平行线的性质得到ACP=0BAc=M=45°,从而得到财。3£8；（2）根据题意由相似三角形的性质得到AdAE=ACiAB,转化为AdAC=AEiABt结合配）A氏团C48=45。得证结果；（3）根据题意结合0ACO=45。和0AC8=9（,由8=CE得到回CoE=I3CED=22.5°,从而得到配AC=22.5°,然后得到团。CD三QC4,最后即可求证.【详解】解：（1）证明：MA8C是等腰直角三角形，ONBAC=NB=45°，团NDAE=45°，PC/AB,ZDAC=ZEAB,ZACD=NBAC=NB=45°,EDCAAEB；ACADAF（2）证明：SIAADCE0-=,即=,AEABACABIaNZME=NBAC=45°,BADEMCB：（3）mNACO=45°,ZACB=90,团NCZ）E+NCEP=18O-90'_45'=45°,CD=CE,田NCDE=/CED=22.5°，0ADEACB.同ZADE=NAC8=90°，0ZCAD=180-ZADE-NCDE-ZACD=80-90-22.5-45=22.5°0NCAD=NCDE，OCCD又ElNoeO=Noe4,0OCDDC4,0一=,CD2=CO-CACDCA【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似.例3.(2023广西河池校联考一模)综合与实践【问题情境】在RtZXABC中，N8AC=90。，AB=3,AC=4,在直角三角板EO尸中，Z£DF=90°,将三角板的直角顶点。放在RtZXABC斜边8C的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边力E,。产分别与边A4,AC交于点M,N.【猜想证明】如图1,在三角板旋转过程中，当"为边A8的中点时，试判断四边形AMW的形状，并说明理由.【问题解决】如图2,在三角板旋转过程中，当=NMz)B时，求线段CN的长.【答案】猜想证明四边形N是矩形，理由见解析；问题解决CN=77.【分析】猜想证明由三角形中位线定理可得MDAC,可证NA=NAQ=NMDN=9()o,即可求解；问题解决由勾股定理可求BC的长，由中点的性质可得CG的长，由锐角三角函数可求解.【详解】猜想证明四边形AMoN是矩形，理由如下：如图1,点。是BC的中点，点M是A8的中点,.MD是二ABe的中位线，s.MDAC,/.ZBAC+ZAMD=180°,NBAC=90。，/.ZAMD=9()°,/EDF=/MDN=琳，.BAC=ZAMD=AMDN=900,二四边形AMQN是矩形;问题解决过点N作NG1CD于G,如图2：AB=3,AC=4,ZBAC=90。，.BC=JAB2+AC?=5,点。是BC的中点，.BD=CD=,MDN=90o=ABAC,AZB+ZC=9（）°,ZBDM+ANDC=90°,AB=MDB,.ZNDC=ZCt:.DN=CN,SrcaC>_又.NG±CD，DG=CG=,COSC=,44,，CN=.4CNBC=i6【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.例4.（2023年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形ABC。和OAEC,其中四边形OV夕C的顶点。位于四边形ABCD的对角线交点0.如图1,若四边形ABCD和QAWC都是正方形，则下列说法正确的有.（填序号）。七=8；重叠部分的面积始终等于四边形ABCO的;；be+BF=与DB.应用提升:如图2,若四边形AHC。和OVBe都是矩形，AP=。=人，写出。E与。尸之间的数量关系,并证明.类比拓展:如图3,若四边形A88和OAEC都是菱形，ZDAB=a,判断（1）中的结论是否依然成立;如不成立，请写出你认为正确的结论（可用。表示），并选取你所写结论中的一个说明理由.【答案】关系为空=:，证明见解析成立，不成立，正确结论重叠部分的面积始终等于四边形ABC。的si13）（3）防+"=S呜。8.证明的过程见解析0"J.4TFH,0GJ_Ae 于点、GNOHE = NOGF = 90。.四边形ABC。和OAEc'都是正方形OB”三。BG(AAS).OH=OF.ZHOE=90o-ZEOG,NGOF=90°-/EOGNHoE=NGOFZOHE=ZOGf在和aGOF中，O"=OG,JZOE三MoF(ASA).OE=O厂故正确ZHOE=NGoFvAHoE=G(9F,SHoE=SGOF.SOEBF=SOEBG+S。GF=SoEBG+SoHE=SOHBG=ABCD故【上确四边形ABC。是正方形.AB=BC=-BD2；.BE+BF=BE+BG+GF=BE+BG+HE=BG+BH=AB=4DB故正确(2)关系为黑4'证明如下：如图'在图2中,过点MW点于点G.OH±ABF点HtOGVAB于点G.ZOHE=NOGF=90。.四边形ABCDOA宣C都是矩形N。”OG=NEoF=90°AHOE=90o-AEOG,Z.GOF=90°-/EOGZHOE=ZGOF在二，OE和 ZXGO/7 中NOHE=NOGFOEOH_2AD_ADaNHOE=NGOF'7OFOGlpcDCb2(3)(1)中结论，成立，不成立，正确结论重叠部分的面积始终等丁四边形ABCD的(3)BE+BF=sinDB.现证明如下:如图，在图3中，过点。作OHJ.AB点”,0GLA8点GRDC邛阿；1AH 图U图2【分析】(1)作ODMM,OESBC,证明皿WMsM(2)作ODMM,OEBCf证明回OOM三3E0N;(3)设AC=BC=小解R/QE。V和斜0AOM,用含,k的代数式分别表示NePM再利用比例的性质可得答案.【详解】解：(1)OM=ON,如图1,作。DSAM于D,。£0。8于£ADO=MDO=CEO=OEN=90of f>OE=90°,AC =BCf IaACB=90°, 03A=(A8C=45°,在 RS4O。中，OD = OA.sin ZA = -OA,同理：OE=显 OB, 22团。A = O8, WD=OEt 00DOE=9Oo,盟DoM+国MOE= 90。,团团MON=90°, 03EON+IWOE= 90°, WDOM=SEONfNMDo = ZNEO在/?詹。OM和 R/SEON中，D = OE ,瓯Oo3EON (ASA),团OM=OMZ.D0M = /EON(2)如图 2,作。D0M 于/), OWCfEt 由(1)知：OD=包 OA, OE=包 OB, 220=-,由(1)知：DOM=©EON,团MOO=团NEO=90°,OEOBkDOMEON,0=-,WN=kOM.ONOEk(3)如图3,设AC=8C=,SA8=J,k15bOB=kOA,BOB=J2a，OA=Jla,OE=OB=a7k+7攵+12攵+1OEk00N=0ABC-SBON=45°-15°=30°,EN=JiOE=3a,tanZNk.+1/911LHCE=OD=-OA=a,WC=CE-VEN=-d+3a,2攵+1k+k+由(2)知：=-,0DO三3EOV,AM0=N=30°ONOBkAM1OMAM团=",（?）=，03PO三4OM,00P=0A=45%PNkONPN1.LLPE=OE=小田PN=PE+EN=+3小k+k+k+i设AO=OD=M国DM=瓜,由Ao+OM=AC+CM得，（5+1）x=AC+CM,Ck毗=（AC+CM）（ac+2z1ac）=Iac,瞅>谊黑=号2222PNJ+6Jk+邪kk+k+.PNPC+NCPCk+,PC=k-NjI+限"NCNCNC+-1+甚''NC-T+gPC=k-【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作003ACOBhBCi本题的难点是条件空v"得出k>l.例6.（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1,己知在RrABC中，回BAC=90。，AB=AC,取BC边上中点。，连接A。，点E为AB边上一点，连接。E,作。龙1。上交4C于点尸，求证：BE=AF;（2）探索发现：如图2,已知在R/ABC中，团8AC=90。，AB=AC=3,取5C边上中点。，连接A。，点E为BA延长线上一点，AE=It连接OE,作。TWE交AC延长线于点八求A厂的长；（3）类比迁移：如图3,已知在.ABC中，BBAC=120°,A8=AC=4,取BC边上中点。，连接AO,点E为射线BA上一点（不与点A、点8重合），连接OE,将射线DE绕点拉顺时针旋转30。交射线CA于点广,当4E=4A尸时，求AF的长.【答案】（1）见解析；（2）4；（3）三立或一3+而或过巫222【分析】（1）证明团以无0朋。尸（ASA）,根据全等三角形的性质即可得到BE=AR（2）方法同（1）,利用全等三角形的性质解决问题；（3）证明团EBO三OCR推出空二丝，设A尸=?，则AE=4?，分三种情形，分别构建方程求解即可.【详解】（1）证明：如图1中,图1ABC 中，MAC=90°, AB=AC, Ao 是高，MD=CD=AD=-BCf SB=ElC=45°,团8Ao=IaC4。=C=45°,22I3DF13DE, H?EDF=ADB=90°, BDE=ADF=90o - 0AD£,NBDE = NADF在 ABOE 和 AAO/7 中，BD = AD , WDEmADF (ASA),团BE=ABZB = ZCAD = 45°(2)解：如图 2 中，由(1)知，BD=CD=ADt ElB=ElC=团BAO=ElC4。=45°,0EDF=0ADB=9O, BDE=0ADF=9Oo+ADE,NBDE=ZADF在ABOE和AAO/中，BD=AD,BDEADF(ASA),(38E=A产,NB=NCAD=45°BAB=3,AE=If团BE=AB+AE=4,财产=4；(3)解：如图3中，AB=AC,BD=CD,0AD08C,团朋£)=团CAo=T团BAC=60°,0D=CD=B5n6Oo=23,0AE=4AF,团可以假设4尸=m,则AE=4?，BE=Af-4w,00EDC=0EDF+0FDC=0+0fD,ElKOF=团8=30°,BEBDFDC=WED,境8=13C,励E