06三角形中的导角模型-平行线+拐点模型（学生版）.docx

专题06三角形中的导角模型.平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型（M型）、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1:猪蹄模型（M型）【模型解读】图1图2图3如图1,已知：AM/BN,结论：ZAPB=ZA+ZBi已知：NAPB=NA+N8,结论：AM/BN.如图2,已知：AM/BN,结论：ZP+ZP3=ZA+ZB+ZP2.如图3,已知：AM/BN,结论：ZP1+ZP3+.+ZP2j÷=ZA+Z+ZP2+.+ZP2n.例1.（2022河南统考二模）如图，ABCD,ZABM=300fNaW=45。，则NBMD的度数为（）AA.105oB.90oC.75oD.70°例2.（2023春安徽蚌埠九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关.如图，从点。照射到抛物线上的光线。3,OC反射后沿着与Po平行的方向射出，已知图中NABO=46。，NOCD=88。，则/30C的度数为（）A. 116oB. 124oC. 134oD. 135o例3.（2023春四川泸州七年级校考期末）如图所示，若ABmEF,用含、/的式子表示孙应为（）A.a+B.+-aC.180o-a-+/?D.80o÷a+7-例4.（2023广东深圳校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB/CD,当人脚与地面的夹角NCz）E=60。时，求出此时上身AB与水平线的夹角NBAE的度数为（）A.60oB.450C.50oD.55°例5.（2023春河南驻马店九年级专题练习）已知486,EF=EABtNECF=；NECD,若ZE=66o,则N尸为（）例6.（2022浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题（1）如图（2）所示，已知AB/CD,请问DB,NO,NE有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知ABUCD,请问B8,NE，No又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知AB/CD,请问NE+NG与N8+NF+N。有何关系并说明理由.B模型2：铅笔头模型FNDNn'oD图1图2图3AM/BN.如图1,已知：AM/BN,结论：Zl+Z2+Z3=360o;已知：Zl+Z2+Z3=360o,结论:如图2,已知：AM/BN,结论：Zl+Z2+Z3+Z4=540o如图3,已知：AM/BN,结论：Zl+Z2+.+Zw=(-1)180°.例L(2023广东统考二模)如图所示，已知AB所，那么NBAC+NACE+NC所=(A.180°B.270°C.360°D.540°例2.（2023山西吕梁校联考模拟预测）如图,这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若Nl=32。，Z2=62o,则N3的度数为（）C. 150°D. 162°例3.（2023河南三门峡校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形.已知Co垂直地面上的直线。尸于点。，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点。缓慢向上抬高，AB段则一直保持水平状态上升（即AA始终平行于。尸）.在该运动过程中，当NABC=U2。时，N3CZ）的度数是（）图2A. 112°SlB. 138°C. 158°D. 128°例4.（2023春新疆七年级校考阶段练习）如图，如果A8C£>,那么08+团产+团石+团。=_°.（2022春河北保定七年级校考期中）如图,例5.己知 A3 AC,则 4+N4+NA =幺+幺+幺等于（用含的式子表示）.模型3:牛角模型如图1,已知：BDE,结论：a=-.如图2,已知：AB/DE,结论：«=+-180o.例1.（2023安徽滁州校联考二模）如图，若48CO,则（）A.Z1=Z2÷Z3B.1+N3=2C.Zl+Z2+Z3=180oD.Zl-Z2+Z3=180o例2.（2023江苏七年级假期作业）如图，若A8C£>,则01+团3北2的度数为例3.（2022湖北洪山七年级期中）如图，已知A8CD,P为直线A8,CD外一点，BF平分NABP,OE平分NCDP,BF的反向延长线交DE于点£,若NFED=a,试用。表示NP为.例4.（2023春广东深圳九年级校校考期中）已知直线A点尸为直线AB,CD所确定的平面内的一点，（1）问题提出：如图1,NA=I20。，ZC=130°.求/APC的度数：问题迁移：如图2,写出APC,NA,NC之间的数量关系，并说明理由：问题应用：如图 3, NE4H:NH48 = 1:3, NECH= 20。,图1图2如图L直接写出NBME、NE、NEND的数量例5.（2023余干县八年级期末）已知直线ABCD,（1）关系为;（2）如图2,NBME与NCNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究NP与NE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3,ZABM=-ZMBe,ZCDN=-ZNDe,直线MB、ND交于点F,nn模型4:羊角模型如图1,已知：AB/DE,结论：a=-.如图2,已知：AB/DE,结论：+=180o.例1.（2023春上海七年级专题练习）如图所示，A三CD,0E=37o,0C=20。，则团EAB的度数为例2.（2022江苏七年级期中）如图所示，已知ABCD,ZA=50o,ZC=ZE.则NC等于（）例3.（2023春浙江七年级专题练习）已知A8CO,求证：0B=0E+0D例4.（2023河南统考三模）如图，已知AZABC=150o,NCDE=75。，则N38的度数为（D例5.（2023河北沧州校考模拟预测）如图，NA=58。，NO=122。，Z1=3Z2,/2=25。，点尸是BC上一点.（I）NDFE的度数为;（2）若N班P=50。.则CE与尸尸（填“平行"或"不平行”）.模型5：蛇形模型（“5”字模型）基本模型：如图，AB/CD,结论：Zl+Z3-Z2=180o.图1图2如图1,已知：BDE,结论：=4+1800-如图2,已知：BDE,结论：=+180。一例L（2023四川广元统考三模）珠江流域某江段江水流向经过8、C、。三点，拐弯后与原来方向相同,如图，若NABC=I20。，ZBCD=80°,则NCz）E等于（）例2.（2023湖南长沙九年级校联考期中）如图，若ABCD,Z6z=65o,=25。，则"的度数是（）,aCA.115oB.130oC.140oD.150o例3.（2023河南周口校联考三模）如图，AB/EF,NA=Io0。，NCf）E=25。，则NBa）的度数是（）例4.（2023陕西西安校考模拟预测）如图，BCDtCD/EF,CE平分NBa若NA8C=58。，则/C叮的度数为（）A.131oB.141oC.151oD.161°例5.（2023江西九年级校考阶段练习）如图N84C=10。，ZACD=125o,CD1.EF于点D,将AB绕点A逆时针旋转，使A则。的最小值为ED课后专项训练1. （2023山东临沂统考二模）如图，。"/1=45。，则N2的度数为（）C. 135°D. 145°2. （2023春安徽九年级专题练习）如图，已知：AB/EF,N=NE,求证：BC/DE.在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）A.延长BC交庄的延长线于点GB.连接5EC.分别作N48,NCQE的平分线CG,DHD.过点C作CGA3（点G在点C左侧），过点D作DHEF（点”在点。左侧）3. （2023浙江台州统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若/1=30。,C. 150°D. 160°4. （2023江苏八年级假期作业）如图，两直线AB、Cz）平行，则Nl+N2+N3+N4+N5+N6=（）.A. 630oB. 720oC. 800oD. 900o5. （2023辽宁抚顺统考三模）如图，若A防，Zl=15°,Z2=60o,那么ZfiCE=（）A.120oB.125oC.130oD.135°6. （2022安徽芜湖七年级期中）如图，AEBCD,BQO产分别平分0A8E和（3COE,BFDE,OF与0A8E互补，贝炀尸的度数为A.30oB.35oC.36°D.45°7. （2023内蒙古呼伦贝尔统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中A8CDfZl=24o,/3=148。,8. （2023春重庆江津七年级校联考期中）如图，ABHCD,ABE=yEBF,DCE=g瓯CE设ABE=,E=B，0F=y,则,6，y的数量关系是（）A.-a+=360oB.3-a+=360oC.4-y=360oD.3-2-y=360o9. （2022江苏七年级期末）如图，AB/CD,则N1+N3N2的度数等于.CF10. （2023湖南长沙校联考二模）如图所示，AB/DE,Zl=130°,/2=36。，则/3=度.11. （2022四川成都七年级期末）已知直线AB。石，射线板、QG分别平分/ABC,ZEDC,两射线反向延长线交于点，请写出N",NC之间的数量关系：.12. （2022黑龙江七年级月考）如图，ABCD,E是CD上的点，过点E作EF/DP,若NPEF=NPEH,EG平分4DEH,N8=152°,NPEG=6$,则NAQD=.13. （2023浙江九年级专题练习）如图，已知ABDE,NAa）=30。，ZCDE=138°,求/ABC的度数.14. （2023春重庆南岸九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：如图，/8=160。，当/A与/O满足什么关系时，BC/DE?小明认为ND-4=20。时他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作留与单冬解：用直尺和圆规，在。A的右侧找一点M,使ND4M=ND（只保留作图痕迹）.回NmM=N。，回(3N。-NDA5=20°团ZBAM=°,0ZB=16Oo,0ZB+ZB/=°,回BC/DE.所以满足的关系为：当ND-NA=20。时，BC/DE.15. （2023春河北廊坊七年级校考阶段练习）（1）如图（1）A8C£>,猜想/小步与/B、”的关系,说出理由.（2）观察图（2）,已知ABCD,猜想图中的/4年与NB、NO的关系，并说明理由.（3）观察图（3）和（4）,已知ABCD,猜想图中的NHPD与NB、NO的关系，不需要说明理由.16. （2023秋广东江门八年级校考阶段练习）（1）如图，如果A8C£）,求证：ZAPC=ZA+ZC.（2）如图，AB/CD,根据上面的推理方法，直接写出NA+NP+NQ+NC=.（3）如图，AB/CD,若NA8P=hNBPQ=y,ZPQC=z,ZQCD=m,则机=（用X、y、Z表示）.17. （2023春山东淄博九年级校考期中）如图，ABCQ,点E为两直线之间的一点.图1图2图3如图1,若Z=30o,Nz)CE=20°,则NA£C=；如图1,若N4E=,DCE=i则NAEC=：(2)如图 2,试说明，ABAE+ ZAEC+ ZECD = 360°如图3,若/BAE的平分线与NT）CE的平分线相交于点E判断/AEC与NA尸C的数量关系，并说明理由.（1）如图1,当点P在线段EF上运动时，试说明N1+N3=N2;18. （2022湖南株洲市八年级期末）已知直线。b,直线EF分别与直线0,b相交于点RF,点A,8分别在直线。，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点£,F重合），设N%E=N1,ZAP8=N2,NPBF=N3.（提示：过点P作PA"0）（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，如图2写出NI,Z2,N3之间的关系并给出证明.如图3所示，猜想NI,N2,N3之间的关系（不要求证明）.19. （2023内蒙古鄂尔多斯七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中，ABCD.（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，回1与02、133三者之间的关系.（2）请你从中住选二个加以说明理由.解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线。8、OC经灯碗反射后平行射出.如果IM8。=57。，团。Co=44。，那么mBOC='D20. （2023春湖北黄冈七年级校考期中）如图，已知：点4、C、8不在同一条直线，AD/BE求证：Z+ZC-ZA=180°：如图，AQ.B。分别为NDACNEBC的平分线所在直线，试探究/C与-AQ8的数量关系;如图，在（2）的前提下，且有ACQ8,直线A。、BC交于点、P,QPIPB,直接写出DAC:ZACB：ZCBE=.21. （2023春广东七年级专题练习）（1）如图1,ABCD,ABE=45o,NCDE=21°,直接写出NA区）的度数.（2）如图2,BCO,点上为直线A3,CQ间的一点，加'平分NABE,。尸平分Na）E,写出NAE。与N户之间的关系并说明理由.（3）如图3,AB与Co相交于点G,点石为4G。内一点，破平分NABE,O尸平分NCQE,若NBGo=60。，BFD=95°,直接写出NBEr）的度数.过点P,探索NP与24、NC的数量关系.发现：在图1中，ZAPC = ZA + ZC;如图5小明是这样证明的：过点尸作PQ/A80ZAPQ=ZA中PQ/AB,AB/CD.QPQHCD团NCPQ=NC团NAPQ+NCPQ=NA+NC即ZAPC=NA+NC(1)为小明的证明填上推理的依据；(2)理解:在图2中，/P与/A、/C的数量关系为:在图3中，若NA=30。，NC=70。，则/尸的度数为(3)拓展：在图4中，探究-P与-A、Ne的数量关系，并说明理由.23.（2023春山东七年级专题练习）如图1,直线48。，点户在两平行线之间，点E在A8上，点产在CQ上，连接PE,PF.（1）若团尸EB=60。，0PFD=5Oo,请求出团EPF.（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2,若点尸，Q在直线AB与CO之间时，01=30°,02=40°,03=70%请求出04=_.（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3,在图1的基础上，作P/E平分团BF平分（3PFf>,若设团PEB=x°,BPFD=yot则团P/=_（用含X,y的式子表示）.若P2E平分回P/E8,上户平分团P/产。，可得团7看?出平分团P2E8,Br平分团尸2包,可得团心，依次平分下去，则团B?=_.（用含x,y的式子表示）