04三角形中的导角模型-高分线模型、双（三）垂直模型（教师版）.docx

专题04三角形中的导角模型高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：高分线模型条件：AZ）是高，AE是角平分线例1.（2023秋浙江八年级专题练习）如图，在二ABC中，NA=30。，/8=503Co为/ACB的平分线,CE上AB于点、E,则NECD度数为（）【答案】C【分析】依据直角三角形，即可得到NBCE=40。，再根据NA=30。,8平分/AC8,即可得到NBCz）的度数,再根据NDCE=N38-NBCE进行计算即可.【详解】解：=50o,CElABf.ZBCE=40°,X.ZA=30。，Co平分ZACB,，NBCD=gZBCA=（180o-50°-30°）=50°,.NDCE=ZBS-ZBCE=50。-40。=10。,故选：C.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是1800是解答此题的关键.例2.（2023春河南南阳七年级统考期末）如图，在AABC中，01=02,G为A。的中点，BG的延长线交AC于点石，尸为AB上的一点，。尸与AD垂直，交AO于点”，则下面判断正确的有（）2'BDC4。是"BE的角平分线；BE是AABO的边AD上的中线；C”是AACO的边A。上的高；4”是ZkAb的角平分线和高A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【详解】解：根据三角形的角平分线的概念，知AG是AABE的角平分线，故此说法错误；根据三角形的中线的概念，知BG是AABO的边AO上的中线，故此说法错误；根据三角形的高的概念，知CH为AACD的边上的高，故此说法正确；根据三角形的角平分线和高的概念，知A”是AACF的角平分线和高线，故此说法正确.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键.例3.(2023安徽合肥七年级统考期末)如图，已知A。、AE分别是RtZkABC的高和中线,AB=9cmtAC=12ctm,BC=IScm,试求：(I)A。的长度；(2)AACE和aABE的周长的差.BDEC【答案】(1)A。的长度为与cm；(2)ZXACE和AABE的周长的差是3tw.【分析】(1)利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；(2)由于AE是中线，那么BE=CE,再表示SIACE的周长和mABE的周长，化简可得OACE的周长-0ABE的周长=AC-AB即可.【详解】解：(1)国BAC=90°,AD是边BC上的高，Sacb=ABAC=BCAD,AB-AC9×1236z、m田“心上360AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,SAD=(cm),即AD的长度为一cm；CB1555(2)(3AE为BC边上的中线，0BE=CE,回团ACE的周长-0ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm),即0ACE和团ABE的周长的差是3cm.【点睹】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法.例4.（2023广东东莞八年级校考阶段练习）如图，在JWC中，AD,AE分别是二45C的高和角平分线,若/8=30。，NC=50o.（1）求NTME的度数.（2）试写出ZzME与NC-NB关系式，并证明.（3）如图，F为AE的延长线上的一点，于。，这时NAFz）与NC-NB的关系式是否变化，说明理由.【答案】(I)Ioo(2)NDAE=T(NCN8)(3)不变，理由见解析【分析】(1)根据二角形内角和求出/84C,根据角平分线的定义得到N84E=5()o,根据高线的性质得到NAz出=90。，从而求出44)=60。，继而根据角的和差得到结果：(2)根据角平分线的定义得到NBAE=LBAC,根据三角形内角和求出NEAC=90。-</8-gNC,根据角的和差得到结果；(3)过A作222AGLBCG,结合(2)知NEAG=T(NC-N3),证明EDAG,得到ZAfD=NE4G,即可证明.【详解】(1)解：0ZB=3Oo,ZC=50°,0ZfiAC=180o-50o-30°=100°,(3AE平分/朋C,0ZBAE=ZCAE=ZBAC=50°,IaAD是高，(SZAD=90o,0ZB=3Oo,0Z4D=6Oo,BZZME=ZBAP-ZBAE=I0°：(2)ZDAE=(ZC-ZB),证明如下：ElAE平分NBAC,0ZE4C=ZBAC,0ZBAC=18Oo-ZB-ZC,0E4C=(18Oo-ZB-C)=9Oo-lzB-lC,0ZEAD=ZEAC-ZDAC=90o-B-C-(90o-C)=(ZC-ZB)；(3)不变，理由是：如图，过A作AG_L3C于G,由(2)可知：ZEAG=I(ZC-ZB),AG±BC,NAG3=90。，FDtBC,.ZFDC=90°,:.ZAGD=ZFDC,.FDAG,.ZAFD=NEAG,:.ZAFD=-（ZC-ZB）.2【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质,熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键.模型2：双垂直模型结论：NA=NC；®B=AAFD=CFE,ABcD=AEBC0例1.（2023陕西咸阳统考一模）如图，在AABC中，）,8E分别是AB,AC边上的高，并且CR8E交于点P,若NA=50。，则/8PC的度数为（）A.130oB.120oC.IIOoD.100°【答案】A【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得NABE的度数，再根据三角形的外角即可得.【详解】解：团BE是AC边上的高，团NBEA=90。，0ZA=5Oo,团NABE=90。-NA=90°50°=40°,回CD是AK边上的高，0ZCDB=9Oo,团NBPC=Na+NABE=90。+40。=130°,故选：A.【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点.例2.（2022秋安徽宿州八年级校考期中）如图,在sABC中，CO和5E分别是AAAC边上的高,若Cf>=12,ACBE=16,则去的值为（）.AB3 - 5A.3 - 4B.5 - 8D.【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可.11,123【详解】团SABC=-48CO=-ACBE,012A=16AC,团一故选B.22AB164【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题.根据三角形的面枳公式得HlAB8=AC8E是解题关键.例3.（2023春河南周口七年级统考期末）如图，在二ABC中，AB=S,BC=10,CF/4?于点F,ADlBC于点O,Ao与CF交于点E,/8=46。.求/AEC的度数.若AD=6,求Cb的长.【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；（2）利用等面积法，由S.=31。4。=3乂3.。尸代值求解即可得到答案.【详解】（1）解：CF-LAB,团NCEB=90。，0Z=46o,0ZBCF=44o,AD±BCf团ZADC=90。，0ZAEC=ZADC+ZBCF=90o+44o=134o：DgC 6x1015AB 8 T(2)解：QCF，AB,ADJ.BC,SabcBC-AD=ABCF,团A8=8,8C=10,AD=6,0CF【点睹】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键.模型3：子母型双垂直模型（射影定理模型）（三垂直模型）4结论：NB=CAD;NC=/84。；AB-AC=ADBCo例L（2023广东广州七年级校考阶段练习）如图，在AACB中，NAC8=90。，CO_LA8于。，求证:【答案】见解析【分析】根据COJ_48可得NAcB=NCD8=90。，再根据N8+NBCD=N88+NACO=90。,即可求证.【详解】证：0CD±AB,ZAC8=90。团ZACB=Ne力8=90。又团NB+NCDB+NBCD=180o.0NB+NBCD=90°又团ZAa=NBCD+ZACD=90o,0ZB+NBCD=NBCD+ZACD=90o3Z=ZACD【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质.例2.（2023山东泰安七年级校考阶段练习）如图，ADtB尸分别是0A8C的高线与角平分线，BF,Ao交于点E,01=02.求证：0A8C是直角三角形.【答案】见解析【分析】根据Ao是MBC的高线,可得就EZ）+0E8Q=9（,根据角平分线的定义可得财8E=0E5D,观察MEQ与0AE尸的位置，可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得财EM8E=9（,至此结合已知不难得到0A尸EHMBE=90。，由此解题.【详解】证明：由题意得：ADSBC,8”平分0A8C,00ED+0EBD=9Oo,ABE=团EBD,ED-ABE=9Qof又00E尸=ElBEO,00AE尸+0A8E=9O°,0（MEF=0A三,酿ArE+0ABE=90°,00AF=9Oo,即a48C是宜角三角形.【点睛】本题考查了三角形高线、角平分线的定义，对顶角相等，熟记角平分线的定义与宜角三角形的定义是关键.例3.（2022秋北京通州八年级统考期末）如图，在JWe中，NABC=90。，BDlACf垂足为O如果C=6,BC=3,则80的长为（）A.2B.IC.33D.不【答案】D【分析】先根据勾股定理求出A8,再利用三角形面积求出8。即可.【详解】解：团WC=90。，AC=6,BC=3,团根据勾股定理=JAC?BC?=痣=3=3小，回BDJ.AC,SABC=-ABBC=-ACBDiBJ-×33×3=-×6BD,解得：8。二”.故选择D.22222【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理,三角形面积等积式是解题关键.例4.（2023春江苏苏州七年级苏州中学校考期中）已知，在以8C中，NAeB=Na）B=/（0<m<180）,4E是角平分线，。是AB上的点，AE.CD相交于点立若z=90时，如图所示，求证：NCFE=NC七尸；（2）若小。90时，试问NaE=NCEF还成立吗？若成立说明理由；若不成立，请比较NCFE和NCEF的大小，并说明理由.【答案】见解析；（2）不成立；当相>90时，ZCFE>ZCEF；当用<90时，NCFE<NCEF；理由见解析.【分析】（1）证明NC4E=/RM：,rtlACB=ZCDB=90o,证明NACD=N由三角形的外角的性质可得NCEE=NACD+NC4E,NCEF=B+/BAE,从而可得结论.（2）证明NcFE-NCW=NAb-NB,结合三角形的内角和定理可得Z.CFE-Z.CEF=w-ZCD-(180-w-ZBCD)=2-180,再分两种情况可得结论.【详解】(1)证明：团AE是角平分线，ZCAE=ZBAE,团NAeB=Na>3="(0<根<180),w=90,®ZACB=NCDB=琳,ZACD+ZBCD=90g=BCD+B,团ZACf)=ZB,0ZCFE=ZACD+CAE,NCEF=/B+/BAE,0/CFE=/CEF.(2)不成立.理由如下：0ZCFE=ZCAF+ZACF,NCEF=NB+NEAB,ZCAE=ZBE,0ZCFE-ZCEF=ZACF-ZBfSZACB=/CDB=wo(0<w<180),0ZCFE-ZCEF=m-BCD-(180-w-ABCD)=2w-l80当相>90时，ZCFE-ZCEf=2m-S0>O,0NCFE>NCEF；当初90时，CFE-CEF=2n-180<O,QNCFE<ZCEF.【点睛】本题考查的是三角形的角平分线是含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，不等式的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键.课后专项训练1. （2023秋江苏八年级专题练习）如图，在JWC中，NC=90。，NA=30。，AB的垂直平分线交AC于点。，交AB于点E,AC=6,则8的长为（）【答案】BC. 3D. 4平分线导出角之间关系是解题的关键.则 NABC=()【分析】连接BD,由垂直平分线得BD=AD,可求得NCBD=30°,于是CD=TBD=T4。，根据AC=6,求得CD=2.【详解】解：连接30,0OE是AB的垂直平分线，BD=AD,回ZABD=ZA=30。，0ZCBD=180o-90o-30o×2=30°，ZCBD=ZABD=30°fBCD=-BD=-AD,0AC=6,03CD=6,0CD=2.故选：B.22三角形内角和定理，30。角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂直2. （2023秋浙江八年级专题练习）如图，.ABC中，BDLAC.BE平分NABC,若？A2?C,NoBE=20°,A.50oB.60oC.70oD.80°【答案】B【分析】设NC=,那么NA=2,然后利用。分别表示NABC,NABE,NABD,最后利用三角形内角和定理建立方程解决问题.【详解】解：团AABC中，？A2?C,（3设NC=,那么NA="，回NABC=I80。-NA-NC=I80。-3a,回国平分NA8C,0AABE=-ZABC=-(180°-3a),22BDA.AC,NDBE=20°,EZABD=ZABE-ZDBE=(180o-3a)-20o=70o-a,0ZA+ZABD=2«+7Oo-a=9Oo,f3=400,2回ZABC=I80。-ZA-NC=I80°-%=60o.故选：B.【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角形内角和定理.3. (2023绵阳市八年级月考)如图，在“IBC中，A产平分NBAC交BC于点F、BE平分NABC交AC于点E,AF与的相交于点。，Ao是BC边上的高，若NC=50o,BELAC,则NDA厂的度数为()【答案】C【分析】根据题意证明乂MW三(ASA),得出AC=/C=50。，三角形内角和定理得出ZABC=80°,根据直角三角形的两个锐角互余求得/加。=10。，根据角平分线的定义可得N8AF=g/3AC=25。，根据NmF=NEA尸-SAB即可求解.【详解】解：BElAC,BE平分/43C,ZAEB=NCEB=900,ZABE=ZCBE,BE=BE,入ABEmC8E(ASA),.ZA4C=NC=50o,/.ZABC=180°-ABAC-ZC=80°,.BELAC,.ZAZ)=90o,.-.ZBAD=IOPA尸平分R4C,.1.ZBAF=|ZBAC=25o,.ZZMF=ZRAF-ZDAB=15°,故选：C.【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，角平分线的定义，数形结合是解题的关键.4. (2023春辽宁沈阳七年级统考期末)如图，在AABC中，NACB=90。，AD,BE,CF分别是?。的中线、角平分线和高线，BE交CF于点G,交Ao于点”，下面说法中一定正确的是().ACD的面积等于AABD的面积；NCEG=NCGE；(3)ZACF=2ZABEi®AH=BH.A. B.C.D.【答案】B【分析】根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断的面积等于的面.枳：先根据同角的余角相等证得NCAB=NBCG,再根据角平分线的定义得出NABE=NCBE,最后根据三角形外角的性质得出NCEG=NC4B+NABE,/CGE=CBE+/BCG,即可得证；先根据同角的余角相等证得NAer=NCBE再根据角平分线的定义得出NCB尸=2乙腔，于是推出zacf=2zabex无法证得a”=b”.【详解】解：0AO是ABC的中线，CD=BD,OaACD的面积等于AA%）的面积，故正确；PBE是'ABC的角平分线，匕NABE=CBE,回Cf'是/BC的高线，0ZCM=9Oo,ZCAB+ZACF=90°,团ZACB=90。，0ZACF+ZBCG=9Oo,团NGAB=N6CG,ElNCEG是A跳:的个外角，ZCEG=ZCAB+ZABE,团NCGE是二3CG的个外角，0ZCGE=ZCBE+ZBCG,13NCEG=NCGE,故正确：团CF是WC的高线，0ZCFB=9Oo,国NCBF+/BCF=90°,团NAC3=90。，0ZACF+ZBCF=9Oo,ZACF=/CBF,回的是二ABC的角平分线，国NCBF=2ZABE,ZACF=IZABE,故正确；无法证得A4=8H,故错误；故正确的有故选团B.【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键.5. （2023湖北十堰八年级统考期末）如图，在中，ZBAC=90o,AB=6,Ac=8,BC=10,Ao是高，砥是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G,交BE于点H,下面结论：AABE的面积=ABCE的面积；NAFG=NAG/；（3）ZMG=2ZACF；®AD=2.4.其中结论正确的是（）A.【答案】C【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系：根据三角形的中线和面积公式可确定ABE和ABCE的面积关系以及求出AD的长度.【详解】解：BE是“ABC的中线.AE=EC.ABE的面积等于的面积故正确；BC=90P,Ao是乙ABC的高.ZAFG+ZACG=90。，ZDCG+ZDGC=90°C尸是一ABC的角平分线NACG=Z）CG:.ZAFG=ADGC又.NDGC=NAG/.ZAFG=ZAGf故正确;AFAG+ZDAC=ADAC+ZACD=90o:.AFAG=ZACDZACD=ZACF-ADCF=2ZACF:.ZFAG=IZACF故正确：2Sabc=AB.AC=BC.AD.4。=空生=缪=4.8故错误；故选：CBC10【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键.6. （2022秋山西吕梁八年级统考期末）如图，C是等腰三角形，AB=AC,NA=45。，在腰AB上取一点O,DElBC,垂足为E,另一腰AC上的高M交OE于点G,垂足为F,若BE=3,则OG的长为.【答案】6【分析】过点G作MGJ/交BD于点M,过点M作NWJ根据等腰三角形各角之间的关系得出NFBC=NBDE,再由垂直及等量代换得出/MGO=ZBDG,利用等角对等边确定MG=MO=BG,DG=IDN,再由全等三角形的判定和性质求解即可.【详解】解：过点G作MGJ_3产交BQ于点M,过点M作NW_LED,如图所示：团AB=AC,ZA=45。，DE工BC,ENABC=NC=67.5。，ZBDE=22.5。,ABF=A=45o,0AFBC=ZABC-ZABF=22.5o,NBGE=67.5o0NFBC=NBDE,MG±BF,NM±EDtNBGM=NMND=90。,NABF=NBMG=45。0ZMGD=180°-ZBGE-ZBGM=22.5o,MG=BG,kMGD=N8DG,MG=MD=BG,DG=IDN,NMND=NBEG=90。在ADNM与_BEG中,NBDE=NFBC,跄DNMW&BEG（AAS）DM=BG国DN=BE=3,0DG=2DN=6,故答案为：6.【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键.7. （2023春江苏宿迁七年级统考期末）如图，在JWC中，ZAC=90o,ZC=40o,AH.30分别是二ABC的高和角平分线，点E为Be边上一点，当,或）£为直角三角形时，则NCoE=。.【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得NABC=50。，由角平分线的定义得ND3C=25。，当或底为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论.【详解】解：0ZBAC=90o,NC=40。，0ZABC=90°-40°=50°回8。平分NZABC/DBC=-ZABC=25°2当功。E为直角三角形时，有以下两种情况：当NBED=90。时，如图1,0ZC=4Oo,ZCDE=90°-40°=50°：当 NB3E = 90° 时，如图 2, laZBED = 90°-25° = 65°,ZBED=C+/CDB,0ZCDE=65o-40°=25°,综匕NCQE的度数为50。或25。.故答案为：50或25.【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质"是解答此题的关键.8. （2023春江苏泰州七年级统考期末）已知：如图，在JWC中，NACB=90。，。、E分别在边AA、BC上，AE.C。相交于点F.给出下列信息：NCFE=NCEF；AE是JWC的角平分线；8是JWC的高.请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；条件：,结论：.（填序号）证明：在（1）的条件下，若NB=a,求ND注:的度数.（用含。的代数式表示）【答案】；见解答NoFE=I35。-Ta【分析】（1）条件：，结论：，由角平分线的性质可行NBAE=NC4E,由Na芯=NCEF和ZAFd=ZCFE,得出NCQ=NAF曾，利用三角形内角和可得结论:（2）利用（1）的结论和三角形外角性质即可得答案.【详解】（1）条件：，结论：，证明：团AE是1BC的角平分线，0ZBAE=ZC4E,QNCFE=4CEF/CFE=ZAFD,ZCEF=ZAFD,0ZACE+ZAEC÷ZC4E=ZAPF÷ZAfD+Z4E=18Oo,ZACE=ZADF=90o,（3C力是aABC的高.条件：，结论：，证明：团CD是工ABC的高，ZACB=ZBDC=90q,（3N8=ZACD=90。一/88,ACFE=ACEF,ZCFE=ZACF÷ZCAF,ZCEF=ZB+ZBAE,团NftAf=NCAE,gAE是&ABC的角平分线：条件：，结论：，证明：团AE是"C的角平分线，0ZfiAE=ZCAE,回CD是JIBC的高，ZACB=ZBDC=90°,ZB=ZACD=90o-ZBCD,团NCFE=NACF+NC4F,/CEF=/B+/BAE,NCFE=NCEF；故答案为：（3）：证明：见解答；（2）mNB=,（2N84C=90°-0,1 QAO-a（3AE是48C的角平分线，13N84£=：N8AC=1，2 290o-a1团ZADC=90°,0/DFE=ZBAE+ZADC=-+90°=135°一一a.22【点睛】本题考查命题与定理，掌握角分线的定义，三角形内角和定理，外角性质，掌握三角形外角的性质是解题关键.9.（2023秋浙江八年级专题练习）如图，在RtZABC中，ZACB=90。，CQ_LAB于O,AF平分NCAB交CD于E,交,BC于F.（D如果NCFE=70。，求的度数；（2）试说明：CEF=ZCFE.【答案】50。（2）见解析【分析】（1）根据三角形内角和可得NCA尸的度数，根据角平分线的定义可得NCM的度数，根据直角三角形的性质可得26的度数：（2）根据百角三角形的两锐角互余可得NeA尸+NC尸E=90。，NDAE+NAED=90。，根据角平分线的定义可得NcA尸=NOAE,从而可得NbE=ZAfD,即可得证.【详解】（1）解：.ZACB=90。，/CFE=70。，.ZC4F=180o-90o-70o=20o,AF平分Nc钻交CD于E,.ZC4B=2ZC4F=40o,.Z=90o-4（F=50o;（2）证明：.NAC3=90°,.ZC4F+ZOF=900,CD.LAB,.ZADE=90ot.ADAE+ZAED=90o,AF平分Nc钻交C力于E,.ZCAF=ZDAE,/CFE=ZAED,-ZAEd=ZCEF,."CEF=NCFE.【点睹】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.10.（2023秋浙江八年级专题练习）对于下列问题,在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.如图.在直角aABC中，8是斜边48上的高，ZBCD=35°.求NEBC的度数；求-A的度数.解：（1）CDlAB（已知），.ZCDB=°,ZEBC=ZCDB+ZBCD（）,NEBC=。+35°=。（等量代换），（2）ZEBC=ZA+ZACB（）,AZA=ZEBC-（等式的性质），.ZACB=900（己知），/.ZA=-90°=。（等量代换）.【答案】（1）90：三角形的个外角等于与它不相邻的两个内角和；90：125三角形的个外角等于与它不相邻的两个内角和；ZACB-,125°：35【分析】（1）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可；（2）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可.【详解】（1）解：COLA8（己知），.NC08=9Oo,NEBC=NCDB+N8CZ）（三角形的个外角等于与它不相邻的两个内角和）.ZEBC=90o+35o=l25o（等量代换）.（2） .NEBC=NA+NC8（三角形的个外角等于与它不相邻的两个内角和），.N4=ZEBC-ZACBi等式的性质）.NAC4=90。（已知），.ZA=125。-90。=35。（等量代换）.【点睛】本题考查三角形的外角.熟练掌握三角形的个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题关键.11. （2023广东中山八年级校联考期中）如图，在ABC中，NAC3=90。，。_1_钻于点。，E为AB上一点，AC=AEC求证：CE平分/DCB；(2)若CE=EB,求证：BD=3AD.【答案】见解析见解析【分析】(1)证明NDeE=90。-/血,NBeE=90。一NACE,再证明NCEf)=NAeE,从而可得结论；(2)先证明Z=%CE,NB=NDC七=N3CE=30。可得ZAC£)=90。一ZDeE-ZCE=3(T,AC=IAD,AB=2AC=4AD,从而可得结论.【详解】(1)证：在RtACOE中，DCE=90o-ZCED在RtZXABC中，ABCE=90o-ZACEAC=AE,ZCED=ZACE,/DCE=/BCE,回。E平分NoC3；(2)CE=BE,ZB=ZBCE团在RtZkCDE中，ZB+/88=90。，WZBCD=DCE+ZBCEZB=DCE=ZBCE=30°团NAcD=90。-NDCE-NBcE=30°团在RlZkACO中，ZACD=30°AC=2AD团在RIZABC中，NB=30。AS=2AC=4ADfBD=AB-AD=3AD.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练的证明并求解NB=ZDCE=ZBCE=30°是解本题的关键.12. (2023浙江温州八年级校考阶段练习)如图，在HABC中，(MCB=90。，CZMAB于点O,CE平分OOCB交AB于点E,求证：(MEC=0ACE;(2)若0AEC=208,AD=It求AB的长.【答案】证明见解析A8=4【分析】(1)依据0AC8=9O°,CDQlAB,即可得到IM8=团8,再根据CE平分鲂C。，可得MCE=团。CE,进而得出0AEC=IMCE;(2)依据SlACo=团BCE=酊CE,0AC8=9O°,即可得到0ACO=3O°,进而得出RtACD中，AC=2AD=2,M"8C中，A8=2AC=4.【详解】(1)00CB=9Oo,CD0A8,团BACMM=团B+0A=9O°,ACD=W,团CE平分团BCO,BCE=WCE,00+(3BCE=0ACD+0DCE,即0AEC=0ACE;(2)00AEC=0B+0BC£,AEC=2W,W=WCEf又00ACo=(38,0fiCE=0DCE,ACD=BCE=DCEt又00Ae3=90°,期Co=30°,B=30°,团RfAACO中，AC=2AD=2,RtAC,AB=2AC=4.【点睹】本题主要考查/三角形内角和定理与外角的性质、角平分线的定义、直角三角形30。角所对的直角边长度是斜边的半，解题时注意：三角形内角和是180。，三角形外角等于不相邻两个内角的和.13. (2022秋河南商丘八年级统考阶段练习)如图，在二ABC中，仞、M分别是JlBC的角平分线和高线，AABC=a,ACB=(a<).(1)若。=35。,尸=55。，贝IJNZME=；小明说：“无需给出。、/的具体数值，只需确定S与0的差值，即可确定NTME的度数请通过计算验证小明的说法是否正确.【答案】(I)K)O(2)小明的说法正确，理由见解析【分析】(1)先根据三角形的内角和求出/B4C,根据角平分线的定义求出NCA0,根据直角三角形的两个锐角互余求出ZCAE,再利用角的和差即可求出ZDAE.(2)根据(1)的思路求出NDAE=与4,即可作出判断.【详解】(1)(3ZABC=G,ACB=(a<),a=350,9=550,0ZC=18Oo-a-=9Oo,团AO是/84C的平分线，0ZDAC=-ZBC=45°,2回A七是高线，.ZAEC=90o,.NEAC=90。-NAeB=90。一夕=35。，0ZDAE=ZCAD-ZCAe=45o-35o=10o:(2)回NBAC=I80。-(ZABC+ZAC8)=180。一(+0,AP是48AC的平分线，/.ZDAC=ZBC=90o-(+/7).,AE是高线，.ZAEC=90o,.NEAC=90。一NAC5=90。-6，ZDAE=ZDAC-ZE4C=90o-(+)-(90o-7)=.由ND4E=与2.可知：NDAE的度数与外夕的具体数值无关，只和尸与。的差值有关，故小明的说法正确.【点睹】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余和角的和差计算，属于基础题目，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键.14. (2023安徽安庆八年级校考期中)如图，在JlBC中，NB=63。，NC=51。，是BC边上的高，AE是28AC的平分线.求NDAE的度数；(2)若NB>NC,试探求DAE、NB、/C之间的数量关系.【答案】(I)NAME=6。(2)No4E=；N8；NC【分析】(1)根据三角形内角和定理得出NfiAC=180。-NB-NC=66。，根据角平分线的定义得出ZBAE=ZCAE=-ZBAC=33°,根据AD_Z8C,得出ZAOB=ZADC=90°,求出NHAD=90。一/3=27。,2最后根据NZME=NBAE-NBAD=33。-27。=6。得出结果；(2)根据角平分线的定义得出N84E=NC4E=(N84C=90-(N8-8NC,根据高线的定义得出222ZADB=ZADC=90°,求出/84。=90。一/8,根据NB>NC,得出Nj%f><NAE,根据NZ4E=NEA石一NH4£>求出结果即可.【详解】(1)解：13在AABC中,Z=63o,ZC=51o,回ZBAC=I80。-ZB-NC=66。，回A石是284C的平分线，ENBAE=ZCAE=-NBAC=33°,2OAD是6C边上的高，ADlBC,ZADB=ZADC=900.0ZBA>=90o-ZB=27°,回ZDAE=ZBAE-ZBAd=33°-27°=6°.(2)解：0ZAC=18Oo-ZB-ZC,AE是/84。的平分线，0ZAE=ZCAE=-ZAC=9Oo-ZB-ZC,222团AD是BC边上的高，ADJ.BC,IZlNAOB=NAoC=90。，lZZBAP=90o-ZB,0Z>ZC,ZBAD<ZBAE,回ZDAE=ZEAE-ZBAD=90o-Z-ZC-90o+ZB22=-ZB-ZC,22BJZDf=Z-ZC.【点睹】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形的高线，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为180。.15. （2023福建莆田八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线.如图1,在RtAABC中，ZAC3=90。，CDlABf请写出图中两对“等角三角形"；（2汝口图2,在二ABC中，8为/ACB的平分线，NA=40o,NB=60°.求证：CD为的“等角分割线”；在“WC中，若NA=50。，8是AABC的"等角分割线”，请求出所有可能的/AC3的度数.【答案】JIBC与,AC。；.ABC与ABCD；_AC0与ABCO（任意写出两对“等角三角形”即可）2600310°见解析/AC8的度数为100。或115。或号-或号-【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得NAeB=NA。C=NBz）C=90。，ZA=ZBCD,AB=ZACD,